Geometria Analitica Parte I 2016

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 
VETORES, 
RETA, 
PLANO E 
DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 
 
2016 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
Conteúdo 
1. Vetores ........................................................................................................................................ 4 
1.1. Definições ....................................................................................................................................................... 4 
1.1.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 4 
1.1.2. Ilustração geométrica no R3 .................................................................................................................. 4 
1.2. Adição de vetores ......................................................................................................................................... 5 
1.2.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 5 
1.2.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 5 
1.3. Multiplicação de um vetor por uma constante não nula......................................................................... 7 
1.3.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 7 
1.3.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 7 
1.4. Igualdade entre vetores .............................................................................................................................. 8 
1.4.1. Exemplos ..................................................................................................................................................... 8 
1.5. Vetor definido por dois pontos .................................................................................................................. 9 
1.5.1. Ilustração geométrica no R2 .................................................................................................................. 9 
1.5.2. Exemplos ..................................................................................................................................................... 9 
1.6. Norma de um vetor (módulo) .................................................................................................................... 10 
1.6.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 10 
1.6.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 10 
1.7. Vetor unitário ................................................................................................................................................ 11 
1.8. Versor de um vetor ...................................................................................................................................... 11 
1.9. Ponto médio de um segmento ..................................................................................................................... 11 
1.10. Produto escalar ............................................................................................................................................ 12 
1.10.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 12 
1.10.2. Propriedade de Produto Escalar ..................................................................................................... 12 
1.10.3. Exemplos .............................................................................................................................................. 12 
1.11. Ângulo entre dois vetores ......................................................................................................................... 13 
1.11.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 13 
1.12. Vetores Paralelos ........................................................................................................................................ 14 
1.12.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 14 
1.12.2. Exemplos .............................................................................................................................................. 14 
1.13. Vetores Ortogonais .................................................................................................................................... 15 
1.13.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 15 
1.13.2. Exemplos .............................................................................................................................................. 15 
1.14. Vetores diretores ....................................................................................................................................... 16 
1.15. Ângulos diretores ........................................................................................................................................ 16 
1.16. Projeção de vetor sobre vetor ................................................................................................................. 17 
1.16.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 17 
1.17. Produto Vetorial .......................................................................................................................................... 18 
1.17.1. Ilustração geométrica ...................................................................................................................... 18 
1.17.2. Interpretação geométrica ............................................................................................................... 18 
1.17.3. Propriedade de Produto Vetorial .................................................................................................... 18 
1.17.4. Exemplos .............................................................................................................................................. 19 
1.18. Produto Misto ............................................................................................................................................... 20 
1.18.1. Propriedade de Produto Misto ........................................................................................................ 20 
1.18.2. Interpretação geométrica ............................................................................................................... 20 
1.18.3. Exemplos .............................................................................................................................................. 21 
2. Retas .......................................................................................................................................... 23 
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2.1. Equação Vetorial da Reta ...........................................................................................................................23 
2.1.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 23 
2.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 23 
2.2. Equações Paramétricas da Reta ............................................................................................................... 26 
2.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 26 
2.3. Equações Simétricas da Reta ................................................................................................................... 27 
2.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 27 
2.4. Equações Reduzidas da Reta ..................................................................................................................... 28 
2.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 29 
2.5. Retas Paralelas ............................................................................................................................................. 30 
2.5.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 30 
2.5.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 30 
2.6. Retas Ortogonais ......................................................................................................................................... 31 
2.6.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 31 
2.6.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 31 
2.7. Ângulo entre Retas ..................................................................................................................................... 32 
2.7.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 32 
2.7.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 32 
2.8. Interseção entre Duas retas .................................................................................................................... 33 
2.8.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 33 
2.8.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 33 
2.9. Reta Ortogonal a Duas Retas .................................................................................................................... 35 
2.9.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 35 
2.9.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 35 
3. Plano ........................................................................................................................................... 36 
3.1. Equação Geral do Plano ............................................................................................................................... 36 
3.1.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 36 
3.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 36 
3.2. Equação Vetorial do Plano .......................................................................................................................... 37 
3.2.1. Ilustração geométrica ........................................................................................................................... 37 
3.2.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 37 
3.3. Equações Paramétricas do Plano .............................................................................................................. 38 
3.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 38 
4. Distâncias .................................................................................................................................. 41 
4.1. Distância entre Pontos ............................................................................................................................... 41 
4.1.1. Ilustração geométrica no R2 ................................................................................................................ 41 
4.1.2. Exemplos ................................................................................................................................................... 41 
4.2. Distância entre Ponto e Reta .................................................................................................................... 42 
4.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 42 
4.3. Distância entre Ponto e Plano ................................................................................................................... 44 
4.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 44 
4.4. Distância entre duas Retas ....................................................................................................................... 45 
4.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 45 
 
 
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1. Vetores 
 
1.1. Definições 
 
Designa-se por vetor no Rn um elemento do conjunto de todas as n-uplas de números 
reais, representado pelo espaço R
n
. 
 
 Notação: u = (u1, u2, u3,.. un) 
 
 
1.1.1. Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2. Ilustração geométrica no R3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u1 
u=(u1,u2) 
u2 
u1 
u2 
u=(u1, u2, u3) 
u3 
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1.2. Adição de vetores 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn) do R
n
 . A adição u + v 
é um vetor s = (s1, s2, s3,.., sn) onde cada elemento resulta da soma dos elementos 
correspondentes dos dois vetores 
s = u + v 
(s1, s2, s3,.., sn) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3,..., un + vn) 
si = ui + vi i = 1, 2, 3,..., n 
Veja animação em: 
 
 
1.2.1.Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.2. Exemplos 
 
1) Sejam os vetores do R2 u = (1, 3) e v = (4, 2) 
Solução: 
s = u + v = (1, 3) + (4, 2) = (5, 5) 
 
 
 
 
2) Sejam os vetores do R3 u = (2, -1, 5) e v = (0, 3, -7) 
Solução: 
s = u + v = (2, -1, 5) + (0, 3, -7) = (2, 2, -2) 
 
3) Sejam os vetores do R5 u = (1, 2, 0, -1, -3) e v = (2, -5, 0, 3, -7) 
Solução: 
s = u + v = (1, 2, 0, -1, -3) + (2, -5, 0, 3, -7) = (3, -3, 0, 2, -10) 
 
u1 
u2 
v1 
v2 
u1+v1 
u2+v2 
v 
u+v u 
u 
u+v 
v 
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4) Dados os vetores u e v, identificar os vetores ilustrados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sejam os vetores u e v ilustrados na figura ao lado: 
Pede-se 
a) v - u 
 
 
 
 
 
 
 
b) u - 2v 
 
 
 
5) Determine o vetor x no caso abaixo: 
 
 
a) Resposta: x = v - u 
 
 
6) Usando a figura abaixo, determine as somas dos vetores indicados. 
 
 
 
 
Resposta: AH 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: IL 
 
 
u 
v 
u 
v 
-2v -v 
u-2v 
u 
v 
-u 
v-u 
u 
v 
x 
v-u 
u 
v 
x 
? 
u 
v 
u+v 
? 
? 
? 
? 
 
A B 
C 
G H 
E 
D 
F 
A B 
C 
G H 
E 
D 
F 
A B 
G 
J K 
E 
H 
D 
C 
F 
L 
I 
A B 
G 
J K 
E 
H 
D 
C 
F 
L 
I 
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1.3. Multiplicação de um vetor por uma constante não nula 
 
Seja o vetor u = (u1, u2, u3,.., un)  R
n
 e uma constante K  R. A multiplicação Ku é 
um vetor p = (p1, p2, p3,.., pn) onde cada elemento resulta da multiplicação dos elementos 
pela constante K. 
p = Ku 
(p1, p2, p3,.., pn) = (Ku1, Ku2, Ku3,.., Kun) 
 
 
1.3.1. Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2. Exemplos 
 
1) Seja o vetor do R2 u = (1, 4) e K= 3 
Solução: 3u = 3(1, 4) = (3, 12) 
 
2) Seja o vetor do R3 u = (3, -2, -1) e K = -2 
Solução: (-2)u = (-2)(3, -2, -1) = (-6, 4, 2) 
 
3) Sejam u = (–1, 1, 0) , v = (2, 4, –1) e w = (0, 2, –1). 
Determinar, se possível, o valor de 2(u + (v –3w)). 
Solução: 3w = (0, 6, -3) 
v-3w = (2, 4, -1) - (0, 6, -3) = (2, -2, 2) 
u + (v-3w) = (-1, 1, 0) + (2, -2, 2) = (1, -1, 2) 
2(u + (v-3w)) = (2, -2, 4) 
 
4) Sejam os vetores u = (1, 1, 2), v = (-1, 1, 2), w = (2, -1, -1) e z = (-2, 1, 1) 
 Determine o vetor x tal que 3x – z = 2u -3(v+w). 
Solução: 3x – z = 2(u -3(v +w)) 
3x = 2(u -3(v +w)) + z 
3x = 2(1,1,2) -3((-1,1,2) +(2,-1,-1)) + (-2,1,1) = (-3, 3, 2) 
x = (- 1, 1, 2/3) 
u1 
u=(u1,u2) 
u2 
u1 
ku=(ku1,ku2) 
u2 
ku1 
ku2 
pi = Kui i = 1, 2, 3,..., n 
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1.4. Igualdade entre vetores 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n
. Os vetores u e v 
são iguais se, e somente seus elementos correspondentes são iguais. 
u = v 
(u1, u2, u3,.., un) = (v1, v2, v3,.., vn) 
 
 
1.4.1. Exemplos 
 
1) Determine x de modo que os vetores R2 u = (1, x) e v = (1, 2) sejam iguais. 
Solução: u = v 
(1, x) = (1, 2) 
x = 2 
 
2) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (x + 2, x + y, 3) e v = (1, 2, y - 1) sejam 
iguais. 
Solução: u = v 
(x + 2, x + y, 3) = (1, 2, y - 1) 
x + 2 = 1  x = - 1 
x + y = 2 
3 = y – 1  y = 4 
Fazendo x + y = 3 
 Portanto, é impossível encontrar x e y. 
 
3) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (1, x + y, 2) e v = (1, 2, y) sejam iguais. 
Solução: u = v 
(1, x + y, 2) = (1, 2, y) 
x + y = 2 
2 = y 
 Portanto x = 0 e y = 2 
 
4) Determine x, y de modo que os vetores R3 u = (x + 2, x + y, 2) e v = (1, 2, y - 1) sejam 
iguais. 
Solução: u = v 
(x + 2, x + y, 2) = (1, 2, y - 1) 
x + 2 = 1  x = - 1 
x + y = 2 
2 = y – 1  y = 3 
 
Portanto, x = - 1 e y = 3, pois x + y = 2 
ui = vi i = 1, 2, 3,..., n 
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1.5. Vetor definido por dois pontos 
 
Considere os pontos A = (a1, a2, a3,.., an) e B = (b1, b2, b3,.., bn) do R
n
. O vetor 
definido pelos pontos A e B, representado por 
AB
 e definido por 
AB
 = B – A. O 
vetor P=( b1 - a1, b2 - a2) é chamado de vetor posição. 
 
 
 
 
1.5.1. Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.2. Exemplos 
 
1) Determine o vetor dado pelos pontos do R2 A = (1, 3) e B = (4, 2). 
Solução: 
u = B – A 
u = (4, 2) – (1, 3) = (3, -1) 
 
2) Determine o vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 1) e B = (2, 0, 4). 
Solução: 
u = B – A 
u = (2, 0, 4) – (5, -2, 1) = (-3, 2, 3) 
 
3) Determine o vetor dado pelos pontos do R5 A = (1, 4, 3, -2, 1) e B = (1, 2, 6, 7, 4). 
Solução: 
u = B – A 
u = (1, 2, 6, 7, 4) – (1, 4, 3, -2, 1) = (0, -2, 3, 9, 3) 
0 
A=(a1, a2) 
B=(b1, b2) 
AB 
b1 a1 
b2 
a2 
P=( b1 - a1, b2 - a2) 
AB
 = B – A 
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1.6. Norma de um vetor (módulo) 
 
Seja o vetor u = (u1, u2, u3,.., un)  R
n. Definimos Norma (ou comprimento) do vetor 
u, representado por |u|, o número real dado por; 
 
|u| =
2
n
2
3
2
2
2
1 u...uuu  
 
 
1.6.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.2. Exemplos 
 
1) Determine a norma do vetor u = (1, 3). 
Solução: 
u = (1, 3) 
|u| = 22 )3()1(  = 10  |u| = 10 
 
2) Determine a norma do vetor u = (5, -2, 1). 
Solução: 
u = (5, -2, 1) 
|u| = 222 )1()2()5(  = 30  |u| = 30 
 
3) Determine a norma do vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 5) e B = (2, -2, 1). 
Solução: 
u = B – A 
u = (2, -2, 1) – (5, -2, 5) = (-3, 0, -4) 
|u| = 222 )4()0()3(  = 5  |u| = 5 
 
4) Obter, se possível, o valor de k de modo que |u| = 5, onde u = (k, -2, -1, 2) 
Solução: 
 u = (k, –2, –1, 2) e |u| = 5 
 |u| = 2222 )2()1()2()k(  = 9k2  
e como |u|= 5, temos que k2 + 9 = 25, 
 ou seja; k =  4 
 
u1 
|u| 
u2 
u=(u1,u2) 
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1.7. Vetor unitário 
 
Um vetor u = (u1, u2, u3,.., un)  R
n é chamado de vetor unitário se |u|=1. 
Exemplos: 
a) u =





 
2
1
,
2
1
 |u|= 22
2
1
2
1





 






 
= 
2
1
2
1

 
= 
1 = 1 
b) u =





 
10
1
,
10
3
 |u|= 22
10
1
10
3





 





 = 
10
1
10
9

 
= 
1 = 1 
 
1.8. Versor de um vetor 
 
Seja um vetor 
v
 = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n . Definimos versor de 
v
, o vetor unitário 
dado por: 
|v|
v

 . 
Exemplos: 
a) u =(2, 3, -1) tem um versor dado por: 







14
1
,
14
3
,
14
2
|u|
u
 
b) u =(4, 2, -2, 1) tem um versor dado por: 







5
1
,
5
2
,
5
2
,
5
4
|u|
u
 
 
Observações: 
a) 
|v|
v
é um vetor unitário associado a 
v
com a mesma direção e mesmo sentido. 
b) -
|v|
v
é um vetor unitário associado a 
v
com amesma direção e sentido oposto. 
 
1.9. Ponto médio de um segmento 
 
Considere os pontos A = (a1, a2, a3,.., an) e B = (b1, b2, b3,.., bn) do R
n. 
Definimos o ponto médio por: 
M =





 
2
ba
,..,
2
ba
,
2
ba nn2211
 
Exemplos: 
 Obter o ponto médio dos segmentos formandos pelos pontos abaixo; 
c) A=(1, 3) e B=(4, 1) 
Solução: 











 
 2,
2
5
2
13
,
2
41
M
 
d) A=(5, -1) e B=(1, 4) 
Solução: 











 

2
3
,3
2
41
,
2
15
M
 
 
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1.10. Produto escalar 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n
. O produto 
escalar entre u e v é um número real, representado por u  v e definido por; 
 
 
 
 
 
1.10.1. Ilustração geométrica 
 
Da igualdade 
 
|u-v|2 = |u|2 + |v|2 - 2u  v 
 
E aplicando a lei dos cosseno ao ABC 
 
|u-v|2 = |u|2 + |v|2 - 2|u|.|v|.Cos() 
 
Temos |u-v|2 = |u|2 + |v|2 + 2u  v = |u|2 + |v|2 - 2|u|.|v|.Cos() 
 
u  v = |u|.|v|.Cos() 
 
 
 
 
 
1.10.2. Propriedade de Produto Escalar 
Sejam os vetores u, v, w  Rn e k R. 
I. u  v = v  u (comutativa) 
II. u  (v + w) = u  v + u  w (distributiva) 
III. K.(u  v) = (K.u)  v = u  (K.v) (associativa) 
IV. u  u > 0 
V. u  u = |u|2 
 
1.10.3. Exemplos 
 
2) Determine o produto escalar entre os vetores u = (5, -2, 1) e v = (2, 0, -4) 
Solução: 
 u  v = (5).(2) + (-2).(0) + (1).(-4) = 6 
 
3) Determine o produto escalar entre os vetores u = (2, -3, -2, 0) e v = (1, 2, -2, 3) 
Solução: 
u  v = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 
 
 
u 
v 
u-v 
u  v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3 +,...,+ un . vn 
 
u  v = |u|.|v|.Cos() 0o    180o 
 
B A 
C 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 13 
 
4) Sabendo que |u| = 3, |v| = 7 e u  v = 2 calcular (2u – 3v)  (u + 4v) 
Solução: 
(2u – 3v)  (u + 4v) = 2u  u + 8u  v – 3v  u – 12v  v 
= 2|u|2 + 5u  v – 12|v|2 
= 2(3)2 + 5(2) – 12(7)2 = -560 
  (2u – 3v)  (u + 4v) = -560 
5) Determine se possível, o valor de k de modo que uv = 25, onde u = (-3, 5, 7, 3, -2) e v = 
(-1, 3, -1, 2k, 5) 
Solução: uv = 25 e uv = (-3, 5, 7, 3, -2) (-1, 3, -1, 2k, 5) = 6k + 1 
25 = 6k + 1 K = 4 
 
 
1.11. Ângulo entre dois vetores 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n e aplicando a 
segunda expressão do produto vetorial, o ângulo entre os vetores u e v é definido por: 
 
 
 
 
 
 
1.11.1. Exemplos 
 
1) Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 3) e v = (2, 4) 
Solução: u  v = (1).(2) + (3).(4) = 14 
|u| = 22 )3()1(  = 10 
|v| = 22 )4()2(  = 20 






 
20.10
14
Cos 1
  8,1o 
 
2) Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 4, 1) e v = (-1, 2, 2) 
Solução: u  v = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 
|u| = 222 )1()4()1(  = 18 
|v| = 222 )2()2()1(  = 3 






 
3.18
9
Cos 1
 = 45o 
 
3) Sabendo que |u|=10, |v|=5 e que o ângulo entre os vetores é  = 60o. Determine u  v. 
Solução: u  v = ? |u| = 10 |v| = 5 
 = 60o 
Da fórmula u  v = |u|.|v|.Cos() temos: 
u  v = 10.5.Cos(60) = 25  u  v = 25 






 
|v|.|u|
v.u
Cos 1
 
 
u 
v 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 14 
 
1.12. Vetores Paralelos 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n. Os vetores u e 
v são paralelos (u//v) se, e somente se existir um número real k tal que v = ku. 
 
Condição A: (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) 
 
 
Condição B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.12.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os vetores: u = (2, 1) é paralelo ao vetor 3u = (6, 3) 
v = (-3, 2) é paralelo ao vetor -v = (3, -2) 
w = (-3, 0) é paralelo ao vetor -2w = (-6, 0) 
 
1.12.2. Exemplos 
1) Verificar se os vetores u = (1, 3, 4) e v = (2, 6, 4) são paralelos. 
Solução: 
2
1
2
u
v
1
1 
 
2
3
6
u
v
2
2 
 e 
1
4
4
u
v
3
3 
 
Logo, 
1
u
v
u
v
u
v
2
3
3
2
2
1
1 
 temos que os vetores não são paralelos. 
 
2) Determine x e y de modo que os vetores u = (x, 2x-y, 4) e v = (2, 6, 4) são paralelos. 
Solução: Como
1
4
4
u
v
3
3 
, ou seja, v3 = u3, 
Sendo assim os componentes devem ser iguais 
De v1 = u1, temos que x = 2 e 
De v2 = u2, temos que 2x-y = 6, y = -2. 
u = (x, 2x-y, 4) = (2, 2(2)-(-2), 4) = (2, 6, 4) (verificando!) 
 
3) Obter, se possível, o vetor u, paralelo ao vetor v=(2,-2,-1), de modo que |u| = 5 
Solução: u = (a, b, c) paralelo a v=(2,-2,-1), isto é u=kv, temos que u=(2k, -2k, -k) 
|u| =
222 )k()k2()k2( 
= 3k e como |u|= 5, temos que k=5/3 
logo u= (10/3 , -10/3 , -5/3) 
v 
u 
u
v
k 
 
v = ku 
0 
y 
x u 
3u 
v 
-v 
w -2w 
6 1 2 
-1 
-2 
3 4 5 
1 
2 
3 
4 
-1 -2 -3 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 15 
 
1.13. Vetores Ortogonais 
 
Considere os vetores u = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n. Os vetores u e 
v são ortogonais (u  v) se, e somente u●v = 0. 
 
 
 
 
 
1.13.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.13.2. Exemplos 
 
1) Verificar se os vetores u = (1, 3, 4) e v = (2, 6, 4) são ortogonais. 
Solução: 
u  v = (1).(2) + (3).(6) + (4).(4) = 36 
 
Portanto, os vetores não são ortogonais. 
 
2) Verificar se os vetores u = (2, -3, -2, 0) e v = (1, 2, -2, 3) são ortogonais. 
Solução: 
u  v = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 
 
Portanto, os vetores são ortogonais. 
 
3) Determine, se possível, o vetor u , sabendo que |u| = 5 , u é ortogonal ao eixo 
OX e uw = 6 onde w=(1, 2, 0) . 
Solução: 
u = (a, b, c) 
u é ortogonal ao eixo OX, isso implica que u = (0, b, c) 
|u| = 22 cb  |u| = 5 uw = 6 e 
uw = 2b, logo b=3 
de |u| = 22 cb  =5 e b=3 temos c= 416  portanto, u=(0, 3, 4) ou 
u=(0, 3, -4) 
 
v 
u 
u●v = 0 
y 
x 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 16 
 

v
 
 
 
1.14. Vetores diretores 
 
Definimos os vetores diretores os vetores que formam a base canônica de cada espaço 
vetorial. 
 
Para: R
2
: 
0) ,1(i 
 e 
1) ,0(j 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
3
: 
0) 0, ,1(i 
 , 
0) 1, ,0(j 
 e 
1) 0, ,0(k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.15. Ângulos diretores 
 
São ângulos formados entre um vetor e os vetores diretores. 
 
Para: R
2
: 
0) ,1(i 
 e 
1) ,0(j 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
3
: 
0) 0, ,1(i 
 , 
0) 1, ,0(j 
 e 
1) 0, ,0(k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
1) 0, ,0(k 

 
0) 1, ,0(j 

 
0) 0, ,1(i 

 
z 
y 
0) ,1(i 
 
1) ,0(j 
 
x 
y 
0) ,1(i 
 
1) ,0(j 
 
x 
y 
x 
1) 0, ,0(k 

 
0) 1, ,0(j 

 
0) 0, ,1(i 

 
z 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância.José Fernando Santiago Prates 17 
 
1.16. Projeção de vetor sobre vetor 
 
Considere os vetores 
u
 = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n. A projeção de 

u
 sobre 
v
 é o vetor dados por: 






 v.
|v|
vu
 ojPr u
v
 
 
 
 
1.16.1. Exemplos 
 
1) Obter a projeção do vetor 
u
 = (1, 3, 4) sobre os vetores diretores do R3. 
Solução: 
a) 
u
 = (1, 3, 4) e 
0) 0, ,1(i 
 






 i.
|i|
iu
 ojPr u
i
 = 
)0,0,1.(
|)0,0,1(|
)0,0,1()3,2,1( 
 = 
)0,0,1.(
1
1
 = (1, 0, 0) 
b) 
u
 = (1, 3, 4) e 
0) 1, ,0(j 
 






 j.
|j|
ju
 ojPr u
j
 = 
)0,1,0.(
|)0,1,0(|
)0,1,0()3,2,1( 
 = 
)0,1,0.(
1
2
 = (0, 2, 0) 
c) 
u
 = (1, 3, 4) e 
1) 0, ,0(k 
 






 k.
|k|
ku
 ojPr u
k
 = 
)1,0,0.(
|)1,0,0(|
)1,0,0()3,2,1( 
 = 
)3,0,0.(
1
3
 = (0, 0, 3) 
 
2) Obter a projeção do vetor 
u
 = (1, 3, 4) sobre o vetor 
v
 = (4, 3, 1). 
Solução: 

u
 = (1, 3, 4) e 
0) 0, ,1(i 
 






 v.
|v|
vu
 ojPr u
v
 = 
)1,3,4.(
|)1,3,4(|
)1,3,4()3,2,1( 
 = 









26
13
,
26
39
 ,
26
52
)1,3,4.(
26
13
 
 
 


u
v
 ojPr
 

v 

u
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 18 
 
1.17. Produto Vetorial 
 
Sejam os vetores 
kzjyixu 111


 e 
kzjyixv 222


. O produto vetorial de 
u
 e 
v
 , nesta ordem, representado por 
vu


, é definido pelo determinante de Laplace de 
ordem 3. 
vu


= 
222
111
zyx
zyx
kji

 = 
i 
zy
zy
22
11 
 - 
j 
zx
zx
22
11 
 + 
k 
yx
yx
22
11 
 
 
Podendo também ser calculado pela regra de SARRUS 
 
vu


= 
2
1
2
1
222
111
y
y
j
x
x
i
zyx
zyx
kji

 
 
 
1.17.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
1.17.2. Interpretação geométrica 
 
Aplicando as relações de um  retângulo com ângulo α (indicado na figura), hipotenusa |v| e o cateto 
oposto ao ângulo α é dado por H. Sendo assim; 
 
Área = Base . Altura 
 
Área = |u×v| = |u|.|v|.sen(α) 
 
 
 
Ou ainda pela identidade de Lagrange |u×v|2 = |u|.|v| - (u●v)2 
 
 
 
 
1.17.3. Propriedade de Produto Vetorial 
 
I- u×v = - v×u 
II- u×v =0 se, e somente se, u // v ( são paralelos). 
III- u×v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v. (u×vu e u×vv ) 
|v| 
|u| 
α 
H = |v|.sen(α) 
Área = |u×v| = |u|.|v|.sen(α) 
vu


 
vuuv


 
v 
u 
222 )(||.|| vuvuÁrea 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 19 
 
1.17.4. Exemplos 
 
1) Sejam os vetores u = (-1, 1, 0), v = (2, 4, -1) e w = (0, 2, -1). 
Determinar os produtos vetoriais abaixo 
a) 
vu


 
Solução: 
vu


 = 
142
011
kji



 = 
i 
14
01 

 - 
j 
12
01 

 + 
k 
42
11  = k6ji   
 
vu


 = (-1, -1, -6) 
 
b) 
wu


 
Solução: 
wu


 = 
120
011
kji



 =
2
1
j
 
0
1
i
 
120
011
kji



 = k2ji   
 
wu


 = (-1, -1, -2) 
 
c) 
wv


 
Solução: 
wv


 = 
120
142
kji



 = 
i 
12
14 

 - 
j 
10
12 

 + 
k 
20
42  = k4j2i2   
 
wv


 = (-2, 2, 4) 
 
2) Determine o vetor v de modo que seja ortogonal ao eixo dos y e u = 
wv


, sendo u = (4, -5, 
6) e w = (1, 2, 1) 
 Solução: 
 Tomando v = (v1, v2, v3) e como vOy temos que v2 = 0, isto é v = (v1, 0 v3) 
wv


 = 
121
v0v
kji
31

 
wv


 = 
i 
12
v0 3 

 - 
j 
11
vv 31 
 + 
k 
21
0v1 
 = 
kv2j)vv(iv2 1133


 
wv


 = (-2v3, v3 – v1, 2v1) 
como 
u = 
wv


 
(4, -5, 6) = (-2v3, v3 – v1, 2v1) 
v1 = 3 v2 = 0 v3 = -2 
 v = (v1, v2, v3) = (3, 0, -2) 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 20 
 
1.18. Produto Misto 
 
Sejam os vetores 
kzjyixu 111


 (ou u=(x1, y1, z1)), 
kzjyixv 222


 (ou 
v=(x2, y2, z2)) e 
kzjyixw 333


 (ou w=(x3, y3, z3)). O produto misto entre u , v e w 
nesta ordem, é um número real representado por 
)wv(u


 ou 
)w,v,u(

, é definido pelo 
determinante; 
)w,v,u(

= 
333
222
111
zyx
zyx
zyx
 = 
1
33
22 x 
zy
zy - 
2
33
22 y
zx
zx + 
1
33
22 z 
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
1.18.1. Propriedade de Produto Misto 
 
I. O produto troca de sinal a cada troca de posição: 
)w,v,u(

 = - 
)w,u,v(

 = 
)u,w,v(

 
II. (
u
 +
x
 , 
v
 , w ) = )w ,v ,u(  + )w,v,x(  
)w ,xv ,u(


 = 
)w ,v ,u(

 + 
)w ,x ,u(

 
)xw ,v ,u(


 = 
)w ,v ,u(

 + 
)x ,v ,u(
 
 
III. (k
u
 , 
v
 , w ) = k )w ,v ,u(  
)w ,vk ,u(

 = k
)w ,v ,u(

 
)wk ,v ,u(

 = k
)w ,v ,u(
 
)wk ,vk ,uk( 321
 
= k1.k2.k3 
)w ,v ,u(
 
 
IV. 
)w ,v ,u(

 = 0 se, e somente se os vetores forem coplanares (mesmo plano). 
 
 
1.18.2. Interpretação geométrica 
 
Volume = Área . Altura 
=|v×w|.h e como h = |u|.cos(α) 
= |v×w|.|u|.cos(α) 
= |u|.|v×w|.cos(α) 
= | |u|.|v×w|.cos(α) | 
= ||u|●|v×w| | 
= |(u, v, w)| 
 
 
 
|)w,v,u(|Volume


 
)w,v,u(

= 
333
222
111
zyx
zyx
zyx
 
h 
v 
w 
u 
v×w 
α 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 21 
 
1.18.3. Exemplos 
 
1) Sejam os vetores u = (-1, 1, 0), v = (2, 4, -1) e w = (0, 2, -1). 
Determinar o produto misto 
)w,v,u(

. 
Solução: 
)w,v,u(

=
120
142
011



 = 4 
 
2) Sabendo que (x, w, u) = 3 e (v, w, x) = - 2, determine se possível (3u - 2v, - w, 2x). 
Solução: 
(3u - 2v, - w, 2x) = (3u, - w, 2x) - (2v, - w, 2x) 
 = (3)(-1)(2)(u, w, x) – (2)(-1)(2)(v, w, x) 
 = (-6)(u, w, x) + (4)(v, w, x) 
 = (-6)(-3) + (4)(-2) = 10 
 
 (3u - 2v, - w, 2x) = 10 
(fazer uma correção......) 
 
3) Obter, se possível, o valor de k de modo que os vetores u = (k, 2, - 1), v = (k, - 1, - 1) e w 
= (2, 0, 1) sejam coplanares. 
Solução: 
Para que os vetores sejam coplanares, 
)w,v,u(

 = 0 
 
)w,v,u(

=
102
11k
12k


 = -3k – 6 =0 
 k = - 2 
 
 
4) Obter, se possível, o valor de k de modo que os vetores u = (k+1, 0, 1), v = (2, k-3, 0) e 
w = (0, 2, 1) sejam coplanares. 
Solução: 
Para que os vetores sejam coplanares, 
)w,v,u(
 = 0 
 
)w,v,u(
 =
120
03k2
121k


 = k2 – 2k - 3 = 0 
 k1 = - 1 ou k2 = 3 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 22 
 
5) Verificar se os pontos A = (1, 0, 3), B = (2, 1, 3) e C = (1, - 2, 1) pertencem ao mesmo 
plano. 
Solução: 
Devemos verificar se os vetores formados pelos pontos estão no mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
u = AB = B – A= (2, 1, 3) - (1, 0, 3) = (1, 1, 0) 
v = AC = C – A = (1, -2, 1) - (1, 0, 3) = (0, -2, -2) 
w = BC = C – B = (1, -2, 1) - (2, 1, 3) = (-1, -3, -2) 
)w,v,u(

=
231
220
011


 = - 4  Os pontos não são coplanares 
 
6) A medida do ângulo, em radianos, entre 
v
e 
w
 é 
6


 e
u
 é simultaneamente ortogonal a 
v
 
e a 
w
. Sendo 
1 |u| 
 
1 |v| 
 e 
1 |w| 
 , determinar 
)w,v,u(
 . 
 
 
)(Cos.|u|.|w v| Volume)w,v,u( 
 ,  ângulo entre 
u
 e 
v
 e entre 
u
 e 
w
 
)(Sen.|w|.| v| Área|w v| 
 ,  ângulo entre 
v
 e 
w 
 
 
 
 
 
 
B 
● 
● C 
● 
A 
B 
● 
● C 
● 
A 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 23 
 
2. Retas 
 
2.1. Equação Vetorial da Reta 
 
Considere um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo u = (u1, u2, u3). Um ponto 
P = (x, y, z) pertence a reta r que passa por A com direção u se, e somente se, o vetor 
pertencer a reta, ou seja; 

AP = ku 
P-A = ku 
P = A + ku 
r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) 
 
 
 
 
Que é a equação vetorial da reta. 
 
2.1.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.2. Exemplos 
 
1). Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = (2, 
4, 6). 
Solução: 
A = (3, -2, 2) 
v = (2, 4, 6) 
r : (x, y, z) = (3, -2, 2) + k(2, 4, 6) 
 
2). Determine uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 3). 
Solução: 
Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por 
v = AB = B – A = (2, 1, 3) - (1, -3, 5) = (1, 4, -2) 
r : (x, y, z) = (1, -3, 5) + k(1, 4, -2) 
r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) 
 
y 
z 
u 
x 
A 
  
P 
  
P 
A 
z 
u 
y 
x 

AP
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 24 
 
3) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as 
retas r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1 (2, -1, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2 (1, 1, 2) 
Solução: 
A = (-2, -2, 2) 
Usando o vetor direção da reta r1 temos v1 = (2, -1, 1) 
Usando o vetor direção da reta r2 temos v2 = (1, 1, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o produto vetorial 
vu


 é simultaneamente ortogonal u e v temos 
w = 
vu


=
211
112
kji


= (-3, -3, 3) 
Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k (-3, -3, 3) 
 
 
4) Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto A2 =(-2, -2, 2) e é paralela a 
reta r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) 
Solução: 
A2 = (-2, -2, 2) 
Usando o vetor direção da reta r1 temos v1 = (2, -1, 1) 
Um vetor paralelo ao vetor v1 pode ser dado por v2 = av1 = (2a, -a, a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r1 
r2 
r 
x 
y 
z 
v1 
v2 
v1xv2 
v1 
r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 
z 
y 
x 
r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 
 v2=kv1 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 25 
 
Se a = 2 temos v2 = (2)v1 = (4, -2, 2) 
Sendo assim, a reta é dada por: r2 :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(4, -2, 2) 
 
Se a = -1 temos v2 = (-1)v1 = (-2, 1, -1) 
Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(-2, 1, -1) 
 
Se a = 3 temos v2 = (3)v1 = (6, -3, 3) 
Sendo assim, a reta é dada por: r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + k2(6, -3, 3) 
 
5) Verificar se o ponto P = (-5, -1, 3) pertence a reta r :{ (x, y, z) = (7, 8, 9) + k (4, 3, 2) 
Solução: 
Verificar se o ponto P = (-5, -1, 3) pertence a reta é encontrar o valor de k tal que; 
(-5, -1, 3) = (7, 8, 9) + k (4, 3, 2) 
(-5, -1, 3) = (7 + 4k, 8 + 3k, 9 + 2k) que resulta nas seguintes igualdades. 
-5 = 7 + 4k  k = -3 
-1 = 8 + 3k  k = -3 
3 = 9 + 2k  k = -3  O ponto pertence a reta. 
 
6) Verificar se o ponto P = (1, 2, 3) pertence a reta r :{ (x, y, z) = (1, 2, 2) + k (1, -1, 1) 
Solução: 
Verificar se o ponto P = (1, 2, 3) pertence a reta é encontrar o valor de k tal que; 
(1, 2, 3) = (1, 2, 2) + k (1, -1, 1) 
(1, 2, 3) = (1 + k, 2 - k, 3 + k) que resulta nas seguintes igualdades. 
1 = 1 + k  k = 0 
2 = 2 – k  k = 0 
3 = 2 + k  k = 1 
 
 O ponto NÃO pertence à reta. 
 
 
Como ilustrações abaixo estão alguns pontos pertencentes à reta; 
 
 
Para k = 1 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (1) (1, -1, 1) = (2, 1, 3) 
Para k = -1 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (-1) (1, -1, 1) = (0, 3, 1) 
Para k = 0 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (0) (1, -1, 1) = (1, 2, 2) 
Para k = 2 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (2) (1, -1, 1) = (3, 0, 4) 
Para k = -2 temos: (x, y, z) = (1, 2, 2) + (-2) (1, -1, 1) = (-1, 4, 0) 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 26 
 
2.2. Equações Paramétricas da Reta 
 
Considere a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o 
vetor não nulo u = (u1, u2, u3). 
r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) 
r : (x, y, z) = (x1 + ku1, y1 + ku2, z1 + ku3) 
 
Da igualdade entre os termos temos r : 











3
2
1
1
1
1
ku
ku
ku
z
y
x
z
y
x
 
 
Que formam as Equações Paramétricas da reta. 
 
2.2.1. Exemplos 
 
1). Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = 
(2, 4, 6). 
Solução: 
A = (3, -2, 2) v = (2, 4, 6) r : 












t6
t4
t2
2
2
3
z
y
x
 
 
2). Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 
3). 
Solução: 
Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por v = AB = B – A = (1, 4, -2) 
r : 












k2
k4
k
5
3
1
z
y
x
 
 
3) Determine as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é 
ortogonal as retas 
r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) e 
r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2 (1, 1, 2) 
Solução: 
A = (-2, -2, 2) 
Usando os vetores direção da reta r1 u = (2, -1, 1) e da reta r2 v = (1, 1, 2) 
Sabendo que o produto vetorial 
vu


 é simultaneamente ortogonal u e v temos 
w = 
vu


= (-3, -3, 3) 
Sendo assim, a reta é dada por: r : 













k3
k3
k3
2
2
2
z
y
x
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 27 
 
2.3. Equações Simétricas da Reta 
 
Considere as Equações Paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e 
tem o vetor não nulo u = (u1, u2, u3). 











ku
ku
ku
z
y
x
z
y
x
3
2
1
1
1
1 
k
u
xx
1
1 

 
k
u
yy
2
1 

 
k
u
zz
3
1 

 
Isolando em cada equação a constante k com u10, u20 e u30 temos: 
r : 
3
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
xx 




 
 
 
 
 
 
Que formam as Equações Simétricas da reta. 
 
2.3.1. Exemplos 
 
1). Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3, -2, 2) e direção v = 
(2, 4, 6). 
Solução: 
A = (3, -2, 2) v = (2, 4, 6) 
r : 
6
2z
4
2y
2
3x 



 
 
2). Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelos pontos A=(1, -3, 5) e B = (2, 1, 
3). 
Solução: 
Usando o ponto A = (1, -3, 5) e o vetor dado por v = AB = B – A = (1, 4, -2) 
r : 
2
5z
4
3y
1
1x






 
 
3) Determine as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal 
as retas r1 : (x, y, z) = (1, 1, 3) + k1(2, -1, 1) e r2 : (x, y, z) = (2, 3, 2) + k2(1, 1, 2) 
Solução: 
A = (-2, -2, 2) 
Usando os vetores direção da reta r1 u = (2, -1, 1) e da reta r2 v = (1, 1, 2) 
Sabendo que o produto vetorial 
vu


 é simultaneamente ortogonal u e v temos 
w = 
vu


= (-3, -3, 3) 
Sendo assim, a reta é dada por: r : 
3
2z
3
2y
3
2x 






 
r : 
3
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
xx 




 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 28 
 
2.4. Equações Reduzidas da Reta 
 
Considere as Equações Simétricas da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem 
o vetor não nulo u = (u1, u2, u3). 
r : 
3
1
2
1
1
1
u
zz
u
yy
u
xx 




 
 
Agrupando duas equações cada vez e isolando x e z em função da variável y temos: 
 
 
2
1
1
1
u
yy
u
xx 


  
2
1112
2
1
u
yuxu
u
u
yx


  x = my + a 
 
2
1
3
1
u
yy
u
zz 


  
2
1312
2
3
u
yuzu
u
u
yz


  z = ny + b 
 
 
Que formam as Equações reduzidas da reta em y, ou seja, 
 
 
 
Agrupando duas equações cada vez e isolando x e y em função da variável z temos: 
 
 
3
1
1
1
u
zz
u
xx 


  
3
1113
3
1
u
zuxu
u
u
zx


  x = pz + c 
 
3
1
2
1
u
zz
u
yy 


  
3
1213
3
2
u
zuyu
u
u
zy


  y = qz + d 
 
 
Que formam as Equações reduzidas da reta em z, ou seja, 
 
 
Agrupando duas equações cada vez e isolando z e y em função da variável x temos: 
 
 
1
1
2
1
u
xx
u
yy 


  
1
1211
1
2
u
xuyu
u
u
xy


  y = sx + e 
 
1
1
3
1
u
xx
u
zz 


  
1
1311
1
3
u
xuzu
u
u
xz


  z = wx + f 
 
 
Que formam as Equações reduzidas da reta em x, ou seja, 
 
 
r: 





bnyz
amyx . 
r: 





dqzy
cpzx 
r: 





fwxz
esxy 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 29 
 
2.4.1. Exemplos 
 
1) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de z, da reta que passa por A = (5, -3, 4) 
e tem direção v = (6, -4, 2). 
Solução: 
 Da equação 
3
1
1
1
u
zz
u
xx 


 temos 
2
4z
6
5x 


 que resulta em x = 3z – 7 
 
 Da equação 
3
1
2
1
u
zz
u
yy 


 temos 
2
4z
4
3y 



 que resulta em y = –2z + 5 
 
r: 





5z2y
7z3x 
 
2) Determine, se possível, a equação reduzida, em função de x, da reta que passa pelos pontos A 
= (1, - 2, 4) e B = (4, 1, -2). 
Solução: 
Tomando o ponto A = (1, - 2, 4) e o vetor direção v = AB = B – A = (3, 3, –6) 
 Da equação 
1
1
2
1
u
xx
u
yy 


 temos 
3
1x
3
2y 


 que resulta em y = x - 3 
 Da equação 
1
1
3
1
u
xx
u
zz 


 temos 
3
1x
6
4z 



 que resulta em z = -2x + 6 
 
r: 





6x2z
3xy 
 
3) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de z, da reta que passa por A = (1, 2, 3) e 
tem direção v = (0, 2, 1). 
Solução: 
 Da equação 
3
1
1
1
u
zz
u
xx 


 temos 
1
3z
0
1x 


 Impossível! 
 
4) Obter, se possível, a equação reduzida, em função de y, da reta que passa por A = (6, 2, 1) e 
tem direção v = (4, 1, 3). 
Solução: 
 Da equação 
2
1
1
1
u
yy
u
xx 


 temos 
1
2y
4
6x 


 que resulta em x = 4y - 2 
 Da equação 
2
1
3
1
u
yy
u
zz 


 temos 
1
2y
3
6z 


 que resulta em z = 3y 
 
r: 





y3z
2y4x 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 30 
 
2.5. Retas Paralelas 
 
Considere as Equações vetoriais das retas r1 :{(x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, 
c1) e r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2 (a2, b2, c2). As retas r1 e r2 são paralelas se, e 
somente se seus vetores direção v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2) forem paralelos, ou 
sejam: 
Condição A: (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) 
 
Condição B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.2. Exemplos 
 
1) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k(1, -3, -4) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + 
k(-2, 6, 8) são paralelas. 
Solução: 
v1 = (1, -3, -4) e v2 = (-2, 6, 8) 
2
1
2
1
a
a
2
1 


 
2
1
6
3
b
b
2
1 


 e 
2
1
8
4
c
c
3
1 


 
Logo, as retas são paralelas. 
 
2) Verificar se as retas 
r1 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -3, 4) e 
r2 : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(2, 6, 2) são paralelas. 
Solução: 
v1 = (2, -3, 4) e v2 = (2, 6, 2) 
1
2
2
a
a
2
1 
 
2
1
6
3
b
b
2
1 


 e 
2
2
4
c
c
2
1 
 
Logo, as retas não são paralelas. 
 
 
v1 
r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 
z 
y 
x 
r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 
 v2=kv1 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 31 
 
2.6. Retas Ortogonais 
 
Considere as Equações vetoriais de retas: 
r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1 (a1, b1, c1) e 
r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2 (a2, b2, c2). 
As retas r1 e r2 são ortogonais se, e somente se seus vetores direção v1 = (a1, b1, c1) e v2 = 
(a2, b2, c2) forem ortogonais, isto é: 
v1  v2 = 0. 
2.6.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.2. Exemplos 
 
1) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1(1, -3, -4) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + 
k2 (-2, 6, 8) são ortogonais. 
Solução: 
v1 = (1, -3, -4) e v2 = (-2, 6, 8) 
v1  v2 = (1).(-2) + (-3).(6) + (-4).(8) = -2-18-32=-52 
Logo, as retas não são ortogonais. 
 
2) Verificar se as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1 (-2, 4, 7) e r2 : (x, y, z) = (2, 4, 6) + 
k2 (3, 5, -2) são ortogonais. 
Solução: 
v1 = (-2, 4, 7) e v2 = (3, 5, -2) 
v1  v2 = (-2).(3) + (4).(5) + (7).(-2) = 0 
 
Logo, as retas são ortogonais. 
 
v1 
r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 
r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 
 v2 
z 
y 
x 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 32 
 
2.7. Ângulo entre Retas 
 
Considere as Equações vetoriais de retas: 
r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e 
r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). 
O ângulo entre as retas r1 e r2 v é definido por: 







 
 
|v|.|v|
vv
Cos
21
211
, 
onde v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2). 
 
2.7.1. Ilustração geométrica2.7.2. Exemplos 
 
1) Determine o ângulo entre as retas r1 : (x, y, z) = (1, 3, 5) + k1 (1, 4, 1) e r2 : (x, y, z) = 
(2, 4, 6) + k2 (-1, 2, 2) 
Solução: 
v1 = (1, 4, 1) e v2 = (-1, 2, 2) v1  v2 = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 
|v1| = 222 )1()4()1(  = 18 |v2| = 222 )2()2()1(  = 3 






 
3.18
9
Cos 1
 = 45o 
Portanto, o ângulo entre as retas r1 e r2  = 45
o 
 
2) Determine o ângulo entre as retas r1 : (x, y, z) = (3, -1, 0) + k1 (3, 1, -1) e r2 : (x, y, z) = 
(1, -2, 3) + k2 (-1, 0, 2) 
Solução: 
v1 = (3, 1, -1) e v2 = (-1, 0, 2) v1  v2 = (3).(1) + (1).(0) + (-1).(2) = 0 
|v1| = 222 )1()1()3(  = 11 |v2| = 222 )2()0()1(  = 5 






 
5.11
0
Cos 1
 = 90o 
Portanto, o ângulo entre as retas r1 e r2  = 90
o 
 
y 
x 
v2 
 
v1 
 
 
z 
r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 
 
r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 33 
 
2.8. Interseção entre Duas retas 
 
Considere as Equações vetoriais de retas: 
r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e 
r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). 
Se existir um ponto I = (x0, y0, z0) pertencente às retas r1 e r2, dizemos que esse 
ponto é o ponto de interseção entre as retas r1 e r2. 
 
2.8.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8.2. Exemplos 
 
1). Considere as Equações vetoriais de retas: 
r1 : { (x, y, z) = (-2, 1, 3) + k1(-2, 1, 0) e 
r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + k2(1, -2, 0). 
Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 
Solução: 
De r1 :(x, y, z) = (-2, 1, 3) + k1(-2, 1, 0) 










1
12
3
1
2
k
k
z
y
x
 
e r2 :(x, y, z) = (- 2, 4, 3) + k2(1, -2, 0)
 










2
2
k2
k
3
4
2
z
y
x
 
 
3
k1
k22
1
1


?



z
y
x
3
k24
k2
2
2


 
3
3
0
3
k2
k
k
k2
2
2
1
1










 
 
k1 = -1 e k2 = 2 logo, I =(0, 0, 3) 
Tirando a prova! 
De r1 : { (x, y, z) = (-2, 1, 3) + (-1)(-2, 1, 0) = (0, 0, 3) 
De r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + (2)(1, -2, 0) = (0, 0, 3) 
y 
x 
v2 
 
v1 
 
z 
r2:(x, y, z) = A2 + k2.v2 
 
r1:(x, y, z) = A1 + k1.v1 
I=(x0, y0, z0)= A2 + k2.v2 
I=(x0, y0, z0)= A1 + k1.v1 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 34 
 
2). Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 
r1 : { (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1 (-1, 1, 1) e r2 : { (x, y, z) = (-2, -7, 9) + k2 (1, 3, -2) 
Solução: 
 
2
2
2
1
1
1
k29
k37
k2
z
y
x
k3
k2
k1














  
6
9
3
k2
k3
k
k
k
k
2
2
2
1
1
1











 
 
k1 = 0 e k2 = 3 logo, I =(1, 2, 3) 
 
 
3). Considere as Equações vetoriais de retas: 
r1 :{ (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(1, 1, 1) e 
r2 : { (x, y, z) = (3, 2, 1) + k2(1, -1, 1). 
Determine, se possível, o ponto I = (x0, y0, z0), de interseção das retas r1 e r2 
Solução: 
 
De r1 :(x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(1, 1, 1) 











1
1
1
k
k
k
3
2
1
z
y
x
 
e r2 :(x, y, z) = (3, 2, 1) + k2(1, -1, 1)
 











2
2
2
k
k
k
1
2
3
z
y
x
 
 
2
2
2
1
1
1
k
k
k
1
2
3
z
y
x
k
k
k
3
2
1














  
2
0
2
k
k
k
k
k
k
2
2
2
1
1
1











 
 
Como o sistema não admite solução, logo é impossível obter I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 35 
 
2.9. Reta Ortogonal a Duas Retas 
 
Considere as Equações vetoriais de retas r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(a1, b1, c1) e 
r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k2(a2, b2, c2). 
Se u = 
21 vv


onde v1 e v2 são os vetores direção das retas r1 e r2 respectivamente, 
então a reta que passa por um ponto A = (a0, b0, c0) e com o vetor direção u é ortogonal as 
retas r1 e r2 simultaneamente. 
 
2.9.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.9.2. Exemplos 
 
1) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(-2, -2, 2) e é ortogonal as 
retas 
r1 :











k
k
k2
3
1
1
z
y
x
 e r2 :
2
2z
1
3y
1
2x 




 
Solução: 
A = (-2, -2, 2) 
v1 = (2, -1, 1) e v2 = (1, 1, 2) 
v = v1 x v2 = (-3, -3, 3) 
reta é r :{ (x, y, z) = (-2, -2, 2) + h(-3, -3, 3) 
 
 
2) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A=(1, 3, 5) e é ortogonal as retas 
 r1 :{ (x, y, z) = (-2, 1, 3) + k(3, 0, -2) e r2 : { (x, y, z) = (-2, 4, 3) + h (1, 2, 1) 
Solução: 
A = (1, 3, 5) 
v1 = (3, 0, -2) e v2 = (1, 2, 1) 
v = v1 x v2 = (4, 5, 6) 
reta é r : { (x, y, z) = (1, 3, 5) + t (4, 5, 6) 
 
r1 
r2 
r 
x 
y 
z 
v1 
v2 
v1xv2 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 36 
 
3. Plano 
 
3.1. Equação Geral do Plano 
 
Considere um ponto A = (x1, y1, z1) pertencente ao plano  e um vetor não nulo u = 
(a, b, c) perpendicular ao plano . O ponto P = (x, y, z) pertence ao plano se, e somente se, 
o produto escalar entre u e AP for nulo, ou seja; 
u  AP = 0 
u  (P-A) = 0 
a (x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 
 : ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0 
 
 
 
 
d = - (ax1 + by1 + cz1) 
 
Que é a equação geral do plano. 
 
3.1.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2. Exemplos 
 
1) Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e tem o vetor normal 
n=(-2, -1, 2). 
Solução: 
Substituindo os valores A=(1, 2, 3) e n=(-2, -1, 2) na equação temos; 
 : -2x - y + 2z - (1)(-2) - (2)(-1) - (3)(2) = 0 
 : -2x - y + 2z - 2 = 0 
 
2) Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(2, -1, 4) e tem o vetor normal 
n=(4, 3, 5). 
Solução: 
Substituindo os valores A = (2, -1, 4) e n = (4, 3, 5) na equação temos; 
 : 4x + 3y + 5z - (2)(4) - (-1)(3) - (4)(5) = 0 
 : 4x + 3y + 5z - 25 = 0 
u = (a, b, c) 
A 
P 

AP 
 : ax + by + cz + d = 0 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 37 
 
3.2. Equação Vetorial do Plano 
 
Considere um ponto A = (x1, y1, z1) pertencente ao plano  e dois vetores u = (u1, u2, 
u3) e v = (v1, v2, v3) paralelos ao plano . O ponto P = (x, y, z) pertence ao plano se, e 
somente se, u, v e AP forem coplanares, ou seja; 

AP = k1u + k2v, k1, k2  R 
P-A = k1u + k2v 
P = A + k1u + k2v 
 
 
 
Que é a equação vetorial do plano. 
 
3.2.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.2. Exemplos 
 
1) Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e é paralelo aos 
vetores u = (7, 8, 9)e v = (4, 5, 6). 
Solução: 
Substituindo os valores na equação temos; 
 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) 
 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(7, 8, 9) + k2(4, 5, 6) 
 
2) Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A=(1, -1, 1) e é paralelo aos 
vetores u = (2, -2, 2) e v = (3, -3, 3). 
Solução: 
Substituindo os valores na equação temos; 
 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) 
 : (x, y, z) = (1, -1, 1) + k1(2, -2, 2) + k2(3, -3, 3) 
 
 
A 
P 
u 
k2v 
k1u 
v 

AP 
 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 38 
 
3.3. Equações Paramétricas do Plano 
 
Considere a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e é 
paralelo aos vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) 
 
 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k1(u1, u2, u3) + k2(v1, v2, v3) 
 
Aplicando a igualdade de vetores 
 
(x, y, z) = (x1 + k1u1 + k2v1, y1 + k1u2 + k2v2, z1 + k1u3 + k2v3) 
temos 
 : 








32311
22211
12111
vkukzz
vkukyy
vkukxx
 
 
Que formam as equações paramétricas do plano 
 
3.3.1. Exemplos 
 
1) Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A=(1, 2, 3) e é paralelo 
aos vetores u = (7, 8, 9) e v = (4, 5, 6). 
Solução: 
Substituindo os valores na equação temos; 
 : 








21
21
21
k6k93z
k5k82y
k4k71x
 
 
2) Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A=(1, -1, 1) e é paralelo 
aos vetores u = (2, -2, 2) e v = (3, -3, 3). 
Solução: 
Substituindo os valores na equação temos; 
 : 








21
21
21
k3k21z
k3k21y
k3k21x
 
 
3) Determine os valores de m e n para que a reta r : (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(2, -4, 2) esteja 
contida no plano  : -3x + my + nz + 2 = 0 
Solução 
Basta tomar dois pontos da reta e aplicar na equação do plano. 
p/ t=0 temos P0=(2,-1,3)  -3(2) + m(-1) + n(3) + 2 = 0  -m + 3n =4 
p/ t=1 temos P1=(4,-5, 5) -3(4) + m(-5) + n(5) + 2 = 0  -5m + 5n =10 
Que resulta em n = 1 e m = -1 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 39 
 
4) Verificar se a reta r :{ (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(2,-4, 2) é paralela ao plano : 3x + 4y + 
5z + 22 =0 
Solução: 
Basta verificar se o vetor direção da reta v = (2, -4, 2) e o vetor normal do plano u 
= ( -3, 4, 5) são paralelos. 
v  u = 0  reta paralela ao plano. 
v  u = (2)( 3) + (-4)(4) + (2)(5) = 0 , portanto a reta é paralela ao plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine os valores de m e n para que a reta r : (x, y, z) = (-2, 3, 0) + t(1, -2, 2) esteja 
contida no plano  : 10x + my + nz + 14 = 0 
Solução 
Basta tomar dois pontos da reta e aplicar na equação do plano. 
p/ t=0 temos P0=(-2, 3, 0)  10(-2) + m(3) + n(0) + 2 = 0  m = 6 
p/ t=1 temos P1=(-1, 1, 2)  10(-1) + m(1) + n(2) + 2 = 0  m + 2n =-4 
Que resulta em n = -3 e m = 2 
 
 
 
6) Determine uma equação vetorial do plano que passa pelos pontos A=(1, 2, 3), B=(-1, 1, 2) 
e C=(3, 2, 1). 
Solução 
Basta tomar os dois vetores AB e AC e substituir na fórmula da equação do plano. 
u = AB = B – A = (-2, -1, -1) 
v = AC = C – A = (-2, 0, -2) 
 
 
 
 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) 
ou 
 : (x, y, z) = (-1, 1, 2) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) 
ou 
 : (x, y, z) = (3, 2, 1) + k1(-2, -1, -1) + k2(-2, 0, -2) 
 
 
u = (u1, u2, u3) 
r 
v = (v1, v2, v3) 
B 
A 
C 

AC
 

AB 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 40 
 
7) Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(4, 1, 3), B=(2, 2, 2) e 
C=(3, 0, 1). 
Solução 
Basta tomar o vetor normal w =  ACAB e um dos pontos e aplicar na equação do 
plano. 
A=(4, 1, 3), 
u = AB = B – A = (2, -1, 1) 
v = AC = C – A = (1, 1, 2) 
w =  ACAB = (-3, -3, 3) 
 
 : -3x -3y + 3z - (-3)(4) - (-3)(1) - (3)(3) = 0 
 : -3x -3y + 3z + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2, 2, 1), B=(2, 4, 3) e 
C=(4, 2, –1). 
Solução: 

AB = (0, 2, –2), 

AC = (2, 0, –2) 
w =  ACAB = 
202
220
kji


 = (–4, 4, –4) 
 Tomando A=(2, 2, 1) 
  : –4x + 4y - 4z + 4 = 0 
 
B 
A 
C 

AC
 

AB 

ACAB 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 41 
 
4. Distâncias 
 
4.1. Distância entre Pontos 
 
Considere os ponto do Rn P = (p1, p2, p3,.., pn) e Q = (q1, q2, q3,.., qn). A distância 
entre P e Q, representada por D(P,Q) é definida por. 
 
2
nn
2
33
2
22
2
11)Q,P( )qp()qp()qp()qp(D  
 
 
4.1.1. Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2. Exemplos 
 
1) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, 1) e Q = (3, -1, 2). 
Solução 
222
)Q,P( )21())1(5()32(D 
= 6,16 
 
2) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, -2) e Q = (4, 1, 2). 
Solução 
222
)Q,P( )22()15()42(D 
= 6 
 
3) Determine se possível o valor de k de modo que D(P,Q) = 8 , onde P=(2, k, 5) e Q=(3, 1, 3) 
Solução 
Como D(P,Q) = 8 e 222
)Q,P( )35()1k()32(D 
=
6k2k2 
 
temos k2 -2k –2 = 0, que resulta em k1 = -1 ou k2 = 3 
 
4) Determine a distância entre o Ponto P=(2, 4, 0) e a reta r:{ (x, y, z) = (1, 2, 1) + k(1, –2, 1) 
nos seguintes pontos onde k=5 e k=–3. 
Solução: 
Para k = 5 temos Q = ( 6, –8, 6) 
D(P,Q) = 222 )60())8(4()62(  = 14 
 
Para k = –3 temos Q = ( –2, 8, –2) 
D(P,Q) = 222 ))2(0()84())2(2(  = 6 
a1 a2 
b2 
b1 
a2-a1 
b1-b2 
P 
Q 
D(P,Q) 
2
12
2
12)Q,P( )bb()aa(D 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 42 
 
4.2. Distância entre Ponto e Reta 
 
Considere a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor 
não nulo u = (u1, u2, u3) e um ponto P = (x0, y0, z0). 
A distância entre P e reta r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3), representada por 
D(P,r) é definida por: 
 
 
 
 
Ilustração: 
 Como a área do paralelogramo é: 
Área =|u×v|=Base . Altura = |u|. H 
|u|
|vu|
H


 
 Aplicando as informações da reta e de um ponto temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.1. Exemplos 
 
1) Determine a distância entre o ponto P=(1, 2, –1) e a reta r :{ (x,y,z) = (1, 2, 2) + k(1, 1, 0) 
Solução: 
u = (1, 1, 0) 
AP = P – A = (1, 2, –1) - (1, 2, 2) = (0, 0, –3) 
APu
 =
300
011
kji


 = (-3, 3, 0) 
|uxAP| = 
18
= 4,243 
|u| = 
2
= 1,4,14 
D(P,r) = 
2
18
=3 
 
P = (x0, y0, z0) 
r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3) 
H 
A = (x1, y1, z1) u = (u1, u2, u3) 
|v| 
|u| 
H 
|u|
|APu|
D )r,P(


 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 43 
 
2) Determine a distância entre o ponto P=(5, 6, 1) e a reta r :{ (x,y,z) = (3, 2, 1) + k(4, 3, 0) 
Solução: 
u = (4, 3, 0) 
AP = P – A = (5, 6, 1) - (3, 2, 1) = (2, 4, 0) 
APu
 =
042
034
kji

 = (0, 0, 10) 
|uxAP| = 10 
|u| = 5 
D(P,r) = 2 
 
3) Determine a distância entre o ponto P=(4, 3, 1) e a reta r :{(x,y,z) = (2,3, 3) + k(0, 2, -2) 
Solução: 
u = (0, 2, -2) 
AP = P – A = (4, 3, 1) - (2, 3, 3) = (2, 0, -2) 
APu
 =
202
220
kji



 = (-4, -4, -4) 
| u x AP| = 3,46410 
| u | = 2,82842 
D(P,r) = 1,224744 
 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 44 
 
4.3. Distância entre Ponto e Plano 
 
Considere a equação geral do plano que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor 
normal u = (a, b, c) e um ponto P = (x0, y0, z0). 
A distância entre P e o plano  : ax + by + cz + d = 0, representada por D(P,) é 
definida por: 
 
222
000
),P(
cba
|dczbyax|
d



 
4.3.1. Exemplos 
 
1) Determine a distância do ponto P=(2, 4, 6) ao o plano  : 3x - 5y + 7z – 9 = 0 
Solução: 
P = (2, 4, 6) 
u = (3, -5, 7) 
222),P( )7()5()3(
|9)6(7)4(5)2(3|
d



 = 7,134 
 
2) Determine a distância do ponto P=(2, 4, -6) ao o plano  : 3x - 6y - 2z – 8 = 0 
Solução: 
P = (2, 4, -6) 
u = (3, -6, -2) 
222),P( )2()6()3(
|8)6(2)4(6)2(3|
d



 = 2 
 
3) Determine a distância do ponto P=(3, -2, 1) ao o plano  : 2x - 2y - z + 3 = 0 
Solução: 
P = (3, -2, 1) 
u = (2, -2, -1) 
222),P( )1()2()2(
|3)1(1)2(2)3(2|
d



 = 4 
 
4) Determine m de modo que a distância do ponto P=(3, m, 1) ao o plano  : 2x + y - z + 3 
= 0 seja D(P,) < 3 
Solução: 
P = (3, m, 1) 
u = (2, -2, -1) 
222),P( )1()2()2(
|3)1(1)m()3(2|
d



 = 
3
|8m|  
3
|8m|  < 3  |m + 8| < 9  -17 < m < 1 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 45 
 
4.4. Distância entre duas Retas 
 
Considere as Equações vetoriais de retas r1 : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(a1, b1, c1) e 
r2 : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k(a2, b2, c2). 
A distância entre r1 e r2, representada por D(r1,r2) é definida por. 
 
|vv|
|)AA,v,v(|
D
21
2121
)2r,1r( 

 
Onde: v1 = (a1, b1, c1) é o vetor direção da reta r1 
A1 = (x1, y1, z1) é o ponto da reta r1 
v2 = (a1, b1, c1) é o vetor direção da reta r2 
A2 = (x1, y1, z1) é o ponto da reta r2 
(v1 , v2, A1A2) é o produto misto entre v1, v2 e A1A2 
v1xv2 é o produto vetorial entre v1 e v2. 
 
4.4.1. Exemplos 
 
1) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (2, -1, 1) + k1(0, 4, 3) e 
r2:{(x, y, z) = (4, -3, 1) + k2(-3, 0, 2) 
Solução: 
A1 = (2, –2, 1) v1 = (0, 4, 3) 
A2 = (4, –3, 1) v2 = (–3, 0, 2) 
A1 A2 = (2, –2, 0) |v1xv2| = 17 
| (v1, v2, A1A2) | = 34 
D(r1,r2) = 2 
 
2) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (3, 1, 4) + k1(3, 2, 2) e 
r2:{(x, y, z ) = (4, 2, 1) + k2(1, 0, 2) 
Solução: 
A1 = (3, 1, 4) v1 = (3, 2, 2) 
A2 = (4, 2, 1) v2 = (1, 0, 2) 
A1A2 = (1, 1, –3) |v1xv2| = 6 
|(v1, v2, A1A2)| = 6 
D(r1,r2) = 1 
 
 
Geometria Analítica Vetores, Reta, Plano e Distância. 
 
José Fernando Santiago Prates 46 
 
3) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (4, 1, 1) + k1(3, 2, 2) e 
r2:{(x, y, z ) = (1, 4, 1) + k2(1, 0, 2) 
Solução: 
De r1: A1 = (4, 1, 1) e 
1v
= (3, 2, 2) 
De r2: A2 = (1, 4, 1) e 
2v
 = (1, 0, 2) 

21AA
 = (–3, 3, 0) 
)AA,v,v( 2121
 =
24
033
201
223


  
24)AA,v,v( 2121 

 

 21 vv
 =
201
223
kji

 = (4, -4, -2)  
6)2()4()4(|vv| 22221 
 
D(r1,r2) = 4
6
24
|vv|
)AA,v,v(
21
2121



