1 a Prova de MAT029 - EDO - Equações Diferenciais I - Lucy

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1a Prova de MAT029 - Equac¸o˜es Diferenciais I - 20/11/2013
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (15 pontos)Encontre o valor de b (Justificando!!!!) para o qual temos verdadeira a equac¸a˜o
eb + e2b + e3b + · · · = 7.
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2. Mostre que
(a) (10 pontos) lim
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) = 0.
(b) (20 pontos) a sequeˆncia
(
5n
n!
)
e´ i) mono´tona, ii) limitada e iii) determine para qual valor
real a sequeˆncia converge.
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3. (15 pontos) Considere a sequeˆncia
(
2,
4
3
,
8
5
,
16
7
,
32
9
, · · ·
)
. Determine
(a) o termo geral desta sequeˆncia;
(b) e se a sequeˆncia e´ convergente.
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4. (40 pontos)Verifique se cada se´rie, dada abaixo, e´ convergente ou divergente e, no caso de
convergeˆncia, dizer se e´ convergeˆncia absoluta ou condicional.
(a)
∑∞
n=1(−1)n
7 cos(
npi
3
)
n!
(b)
∞∑
n=2
(−1)n
n lnn
(c)
∞∑
n=1
n cos(npi)
n3 + 1
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5. (20 pontos) Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
lnn
en
(x− e)n.