UNIDADE V – COEFICIENTE BINOMIAL

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Prof. Jorge Mauricio Jaramillo Monsalve 
Departamento de Matemática 
Email: maomathmao@gmail.com 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO 
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO 
 
UNIDADE V – COEFICIENTE BINOMIAL 
 
1. NÚMEROS BINOMIAIS : 
Dados dois números naturais n e k , com n ≥ k , o número 
 
 
 é chamado de número 
binomial, ou binomial n sobre k definido da seguinte forma: 
 
 
O símbolo 
 
 
 denota o número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n 
elementos. 
O número binomial também é chamado de coeficiente binomial. 
O número é o numerador do binomial e é chamado classe do binomial. Observe os exemplos 
de alguns números binomiais. 
Exemplos 
 
 
 
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Observações: 
 
Como vimos é a quantidade de subconjuntos com elementos que se pode 
obter de um conjunto de elementos. Com elementos só existe um subconjunto que 
é 
 
 
 
Exercícios: Determine os seguintes números binomiais 
 
 
 
Proposição: Seja n um inteiro com Então 
 
 
 
 
Proposição: Sejam com Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo de 
 
 
 
Temos calculado vários valores de 
 
 
 mas nosso trabalho tem sido específico. Não 
temos um método geral para obter esses valores. Constatamos que os valores não nulos 
de 
 
 
 são . 
 
Desenvolvendo 
Isso sugere que uma forma para desenvolver o binômio é dada, utilizando-se 
os números binômias 
 
 
 que representam os coeficientes de , Vejamos o 
seguinte teorema 
 
2. TEOREMA BINOMIAL: SEJA ENTÃO 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
O triangulo de Pascal é um triangulo aritmético formado por números que tem diversas 
relações entre si, muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que 
justifica o nome que lhe é dado 
 
 
Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os 
restantes números são a soma dos números acima. 
Ocorre que sabemos pelo Binômio de Newton que cada número do triângulo de Pascal será um 
coeficiente binomial, ou seja, na (n+1)-ésima linha o (k+1)-ésimo número será: 
 
 
 
 
 
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Por exemplo, na 5ª linha o terceiro número é: 
 
Pela construção do triângulo de Pascal, temos a seguinte relação denominada (relação de Stiffel 
ou identidade de Pascal) 
 
Por exemplo, 10=4+6, ou seja: 
 
A soma de todos os números na (n+1)-ésima linha é igual a 2
n
. Por exemplo, na 1ª linha a soma é 
2
0
=1, na 4ª linha 2
3
=8, etc. 
O triângulo de Pascal é simétrico em relação a sua altura pois 
 
Se somarmos a diagonal também temos o seguinte resultado: 
 
 
 
 
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Por exemplo, na 3ª diagonal: 1+3+6+10=20, ou