Prova de Cálculo limites resolvida (41)

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22(PROFMAT)
Goiânia, 01 de Junho de 2012 Turma: Polo de Anápolis
Lista 7-Um mundo sem calculadoras!
OBS: Esta lista DEVE ser entregue ATÉ dia 07/06/2012!
5) Em relação as funções diferenciáveis, responda.
a) O grá�co da curva y3+x3+x+y = 12, possui alguma tangente vertical ou horizontal? Calcule a equação da reta tangente
a esta curva no ponto (1, 2).
b) Em um mundo SEM calculadoras, como saber se epi < pie ou epi > pie? Baseado no comportamento de f(x) = ln x
x
, x > 0,
responda a esta pergunta! Justi�que sua resposta.
c) Para f(x) = xx, x > 0, calcule f ′(x) e f ′′(x).
d) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) = xx, assim como suas concavidades.
e) Calcule lim
x→0+
x lnx. Em seguinda calcule lim
x→0+
xx.
f) De�na g : [0,∞)→ R dada por g(x) =
{
xx, se x > 0
lim
t→0+
tt, se x = 0 . Qual é o mínimo global de g? Justi�que!
g) Esboçe o grá�co y = g(x), x ≥ 0.
2) Considere duas partículas de carga -1 localizadas sobre uma reta orientada, uma na origem e a outra no ponto de coordenada
10. Segundo a lei de Coulomb, se uma terceira partícula de carga +1 for colocada na posição x ∈ (0, 10) dessa reta, a força
resultante sobre essa partícula é dada por F (x) = − k
x2
+ k(x−10)2
 –1 +1 –1
 10 x O
onde k é uma constante positiva que depende do meio.
a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função F .
b) Determine os intervalos em que o grá�co de F é côncavo para baixo e côncavo para cima.
c) Calcule os limites laterais de F , à direita na origem e à esquerda no ponto 10.
d) Esboce o grá�co da função F considerando k = 1.