Lista de exercicios - Anel dos polinômios A[X] em uma indeterminada. Forma e função polinomial, algoritmo de Euclides para polinômios sobre um corpo

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 15 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Ane´is de polinoˆmios A[X] em uma indeterminada, forma e func¸a˜o
polinomial, algoritmo de Euclides para polinoˆmios sobre um corpo.
1) Determine q(X) e r(X) tais que
f(X) = q(X) · g(X) + r(X),
onde r(X) = 0 ou ∂r(X) < ∂g(X), f(X), g(X) ∈ R[X].
(a) f(X) = X3 +X − 1, g(X) = X2 + 1;
(b) f(X) = X3 + 1, g(X) = X + 1;
(c) f(X) = X5 − 1, g(X) = X − 1;
(d) f(X) = X4 − 2, g(X) = X2 − 2;
(e) f(X) = X3 − 2, g(X) = X − 3√2.
2) Seja K um corpo. Dizemos que K e´ um corpo algebricamente fechado se
∀f(X) ∈ K[X]∃ α ∈ K tal que f(α) = 0. O conjunto dos nu´meros complexos,
C, e´ um exemplo de corpo algebricamente fechado. Prove que R na˜o e´ um corpo
algebricamente fechado.
3) Prove que se K e´ algebricamente fechado, enta˜o todo polinoˆmio f(X) ∈ K[X]
de grau n ≥ 1 pode ser fatorado do seguinte modo:
f(X) = c · (X − α1)(X − α2) · · · (X − αn)
onde c ∈ K e α1, · · · , αn ∈ K sa˜o ra´ızes de f(X).
4) Calcule a soma e o produto dos polinoˆmios f(X) = 2 ·X3 + 4 ·X2 + 3 ·X + 3 e
g(X) = 3 ·X4 +2 ·X+4 sobre o corpo Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}. E sobre o corpo Z/7Z?
5) Calcule todas as ra´ızes em K = Z/5Z do polinoˆmio f(X) = X5+3X3+X2+2X ∈
K[X].
6) Calcule f(X) · g(X), f(X), g(X) ∈ K[X] nos seguintes casos:
(a) f(X) = 5X3 + 3X − 4; g(X) = 2X2 −X + 3, onde K = Z/7Z;
(b) f(X) = 7X4 − 2X2 + 3; g(X) = 3X2 + 4, onde K = Z/11Z.
7) Calcular uma outra func¸a˜o polinomial f sobre o corpo K = Z/5Z que coincida
com a func¸a˜o polinomial X2 −X + 1 sobre Z/5Z.
8) Mostre que a equac¸a˜o X2 = 1 possui 4 soluc¸o˜es no anel Z/15Z. Por queˆ?
9) Escrever sob a forma usual, ou seja, a0+a1X+· · ·+anXn, os seguintes polinoˆmios
de A[X]:
(a) (2 + 3X +X2) + (2 + 2X + 3X2), A = Z/4Z;
(b) (2 + 3X + 2X2) · (1 + 2X2), A = Z/4Z;
(c) X(X − 1)(X − 2), A = Z/3Z;
(d) (1 +X +X2)2, A = Z/2Z;
(e) (1 + 2X2)9, A = Z/3Z.
10) Se f = (1, 2) + (2, 0)X, g = (1,−1)X + (1, 1)X2 e h = (−4,−1) + (−2, 1)X,
calcule f + g + h, fg − h2, e fg + h. Todos os polinoˆmios esta˜o em (Z× Z)[X].
1
2
11) Determinar os graus dos seguintes polinoˆmios de A[X]:
(a) (1 +X2)3(1−X2)2, A = Q;
(b) (1 +X2)3(1−X2)3 +X2, A = Z/3Z;
(c) (1 +X +X2 +X3 +X4)7, A = Z/7Z;
(d) (1 + 2X2)4, A = Z/8Z.
12) Se f e g sa˜o polinoˆmios do anel A[X] tais que ∂f2 = 8 e ∂(fg) = 7, determine
∂(f +g), ∂(f −g), ∂f3, ∂g2, ∂(f3 + 3f2g+ 3fg2 +g3), sabendo que A e´ um domı´nio
de integridade.
13) Determinar o quociente e o resto da divisa˜o euclidiana de f por g, polinoˆmios
pertencentes a A[X], nos seguintes casos:
(a) f(X) = 0, g(X) = 5X2 − 1, A = Q;
(b) f(X) = X2 − 1, g(X) = X3 +X2 − 1, A = Z;
(c) f(X) = 4X4 − 6X + 2, g(X) = X2 − 1, A = R;
(d) f(X) = 4X4 − 6X + 2, g(X) = 3X3 − 3X + 2, A = Z/7Z;
(e) f(X) = X10 −X, g(X) = X4 +X3 + 4X2 +X,A = Z/17Z.
14) Determinar a de modo que a divisa˜o euclidiana de f(X) = 4X3 − 6X + a por
g(X) = X + 3 seja exata, supondo que f e g pertenc¸am a (Z/7Z)[X].
15) Determinar a, b e c de forma que f(X) = 3X4 + aX3 + 6X2 + bX + c seja
divis´ıvel por g(X) = X3 − 5X2 + 6X, supondo f, g ∈ Q[X].
16) Ache a, b ∈ R de modo que o polinoˆmio f = 1 + 10X + bX2 + bX3 + aX4 +X5
seja divis´ıvel por (X − 1)2.
17) Ache os geradores dos seguintes ideais em Z[X]:
(a) I = {a0 + a1X + · · · ∈ Z[X] | a0 = 0};
(b) J = {a0 + a1X + · · · ∈ Z[X] | a0 ∈ 2Z}.
18) Mostre que e´ um homomorfismo de Z[X] em (Z/mZ)[X], ∀m > 1, a aplicac¸a˜o
F : Z[X]→ (Z/mZ)[X] dada por F (a0 + a1X + · · ·+ arXr) = a0 + a1X + · · · arXr,
∀ a0 + a1X + · · ·+ arXr ∈ Z[X].
19) Mostrar que Z[X] e´ um subanel de Q[X]; Z[X] e´ um ideal de Q[X]?
20) Verifique se sa˜o subane´is de Z[X] ou ideais em Z[X]:
(a) {a0 + a1X + · · · ∈ Z[X] | a0 ∈ 2Z};
(b) {a0 + a1X + · · · ∈ Z[X] | a0 = 0};
(c) {a0 + a1X + · · · ∈ Z[X] | a0 + a1 = 0}.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica– IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 15 – Soluc¸o˜es
Temas abordados: Anel dos polinoˆmios A[X] em uma indeterminada, forma e func¸a˜o
polinomial, divisa˜o euclidiana para polinoˆmios sobre um corpo.
Exerc´ıcios
1) Vamos determinar nos casos considerados, usando a divisa˜o euclidiana em R[X],
polinoˆmios q(X), r(X) tais que f(X) = q(X)g(X) + r(X) onde r(X) = 0 ou
∂r(X) < ∂g(X).
(a) Se f(X) = X3 +X − 1 e g(X) = X2 + 1 temos que
q(X) = X e r(X) = −1.
(b) Se f(X) = X3 + 1 e g(X) = X + 1 temos que
q(X) = X2 −X + 1 e r(X) = 0.
(c) Se f(X) = X5 − 1 e g(X) = X − 1 temos que
q(X) = X4 +X3 +X2 +X + 1 e r(X) = 0.
(d) Se f(X) = X4 − 2 e g(X) = X2 − 2 temos que
q(X) = X2 + 2 e r(X) = 2.
(e) Se f(X) = X3 − 2 e g(X) = X − 3√2 temos que
q(X) = X2 +
3
√
2X +
3
√
22 e r(X) = 0.
2) Note que R na˜o e´ um corpo algebricamente fechado ja´ que, por exemplo, o
polinoˆmio f(X) = X2 + 1 na˜o possui ra´ızes em R. De fato, se por absurdo existisse
um α ∈ R tal que f(α) = 0 enta˜o ter´ıamos que α2 = −1, mas isso e´ uma contradic¸a˜o
ja´ que α e´ um nu´mero real.
3) Deixado ao leitor. Ideia: por induc¸a˜o (segunda forma) sobre o grau n do po-
linoˆmio f(X). Se ∂f = 1, enta˜o e´ obvio que o resultado vale, ja´ que f(X) = aX + b
com a, b ∈ K e a 6= 0 ja´ que o grau de f(X) e´ 1. Como K e´ um corpo e a 6= 0,
enta˜o existe a−1 ∈ K e assim podemos escrever f(X) = a(X + ba−1) = a(X −α1) e
obviamente α1 = −ba−1 e´ raiz de f(X). Seja agora n ≥ 2 e suponha que o resultado
valha para todo polinoˆmio g(X) ∈ K[X] com grau r < n. Temos que
g(X) = c(X − β1)(X − β2) · · · (X − βr), (∗∗)
onde c, β1, . . . , βr ∈ K e β1, . . . , βr sa˜o ra´ızes de g(X).
Vamos provar que o resultado vale para qualquer polinoˆmio f(X) ∈ K[X] de grau
n. Como K e´ algebricamente fechado, enta˜o existe pelo menos uma raiz de f(X),
digamos α1 ∈ K tal que f(α1) = 0, enta˜o usando a divisa˜o euclidiana temos que
f(X) = (X − α1)h(X), (†)
para algum polinoˆmio h(X) ∈ K[X] com n − 1 = ∂h(X) < n. Note que o resto
desta divisa˜o e´ nulo ja´ que α1 e´ raiz de f(X). Enta˜o o polinoˆmio (X − α1) divide
f(X). (Verifique isso supondo por absurdo que o resto dessa divisa˜o na˜o seja 0 e
ache a contradic¸a˜o).
1
2
Agora como n − 1 = ∂h(X) < n podemos usar a hipo´tese indutiva, e de (∗∗)
segue que existem c, β1, . . . , βn−1 ∈ K tais que
h(X) = c(X − β1)(X − β2) · · · (X − βn−1),
e β1, . . . , βn−1 sa˜o ra´ızes de h(X). Substituindo esse resultado em (†) obtemos que
f(X) = (X − α1)h(X) = c(X − α1)(X − β1)(X − β2) · · · (X − βn−1).
Terminamos observando que β1, . . . , βn−1, sendo ra´ızes de h(X), sa˜o obviamente
tambe´m ra´ızes de f(X) ja´ que h(X) divide a f(X).
4) Considere o corpo K = Z/5Z e os seguintes polinoˆmios em K[X]:
f(X) = 2¯X3 + 4¯X2 + 3¯X + 3¯ g(X) = 3¯X4 + 2¯X + 4¯.
Temos que:
f(X) + g(X) = 3¯X4 + 2¯X3 + 4¯X2 + 2¯
e
f(X)g(X) = X7 + 2¯X6 + 4¯X5 + 3¯X4 +X3 + 2¯X2 + 3¯X + 2¯.
Seja agora K = Z/7Z e considere os seguintes polinoˆmios em K[X]:
f(X) = 2¯X3 + 4¯X2 + 3¯X + 3¯ g(X) = 3¯X4 + 2¯X + 4¯.
Temos que
f(X) + g(X) = 3¯X4 + 2¯X3 + 4¯X2 + 5¯X
e
f(X)g(X) = 6¯X7 + 5¯X6 + 2¯X5 + 6¯X4 + 2¯X3 +X2 + 5¯X + 5¯.
5) Considere o corpo K = Z/5Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯} e o seguinte polinoˆmio em K[X] :
f(X) = X5 + 3¯X3 +X2 + 2¯X.
Notamos que f(0¯) = 0¯ f(1¯) = 2¯ f(2¯) = 4¯ f(3¯) = 4¯ f(4¯) = 0¯; assim, as
ra´ızes de f(X) em K sa˜o {0¯, 4¯}.
6) Considere o corpo K = Z/7Z e os seguintes polinoˆmios em K[X]:
f(X) = 5¯X3 + 3¯X − 4¯ e g(X) = 2¯X2 −X + 3¯.
Temos que
f(X)g(X) = 3¯X5 + 2¯X4 + 3¯X2 + 6¯X + 2¯.
Considere agora o corpo K = Z/11Z e os seguintes polinoˆmios em K[X]:
f(X) = 7¯X4 − 2¯X2 + 3¯ e g(X) = 3¯X2 + 4¯.
Temos que
f(X)g(X) = 1¯0X6 +X2 + 1¯.
7) Seja p(X) = X2 − 1¯X + 1¯ em Z/5Z[X]. Considere a func¸a˜o polinomial definida
por p(X) sobre Z/5Z:
Fp(X) : Z/5Z→ Z/5Z
0¯ 7→ p(0¯) = 1¯
1¯ 7→ p(1¯) = 1¯
2¯ 7→ p(2¯) = 3¯
3¯ 7→ p(3¯) = 2¯
4¯ 7→ p(4¯) = 3¯
3
Considere agora o polinoˆmio f(X) = 1¯ + 4¯X+X2. Confira que o polinoˆmio dadoinduz a mesma func¸a˜o polinomial de p(X) sobre o corpo Z/5Z. Observe que:
Ff(X) : Z/5Z→ Z/5Z
0¯ 7→ f(0¯) = 1¯
1¯ 7→ f(1¯) = 1¯
2¯ 7→ f(2¯) = 3¯
3¯ 7→ f(3¯) = 2¯
4¯ 7→ f(4¯) = 3¯
Ideia geral para achar outro polinoˆmio que induz a mesma func¸a˜o polinomial:
o polinoˆmio na˜o pode ser constante, veja como esta´ definida a func¸a˜o polinomial.
Enta˜o suponha que o polinoˆmio e´ da forma l(X) = a¯+ b¯X, com b¯ 6= 0¯, mas queremos
que l(0¯) = a¯ = 1¯ e que l(1¯) = a¯ + b¯ = 1¯ e isso na˜o e´ poss´ıvel. Enta˜o suponha
l(X) = a¯ + b¯X + c¯X2 com c¯ 6= 0¯. Como l(0¯) = a¯ = 1¯ e l(1¯) = a¯ + b¯ + c¯ = 1¯, enta˜o
temos que a¯ = 1 e b¯ + c¯ = 0¯. Existem va´rias escolhas de b¯ e c¯ que satisfazem isso
em Z/5Z, considere todas as possibilidades e teste os va´rios polinoˆmios que se pode
obter, um dos poss´ıveis e´ o polinoˆmio f(X) indicado acima.
8) Considere a equac¸a˜o X2 = 1¯ em (Z/15Z)[X]. Como em Z/15Z temos que
1¯2 = 1¯, 4¯2 = 1¯, 11
2
= 1¯, 14
2
= 1¯, enta˜o a equac¸a˜o possui quatro soluc¸o˜es em
Z/15Z. Notamos que isso e´ poss´ıvel ja´ que Z/15Z na˜o e´ um corpo. De fato, se K
fosse um corpo qualquer, enta˜o o polinoˆmio X2 − 1K teria no ma´ximo duas ra´ızes
em K.
9)
(a) Em (Z/4Z)[X] temos que
(2¯ + 3¯X +X2) + (2¯ + 2¯X + 3¯X2) = X.
(b) Em (Z/4Z)[X] temos que
(2¯ + 3¯X + 2¯X2)(1¯ + 2¯X2) = 2¯ + 3¯X + 2¯X2 + 2¯X3.
(c) Em (Z/3Z)[X] temos que
X(X − 1¯X)(X − 2¯) = X(X2 + 2¯) = X3 + 2¯X.
(d) Em (Z/2Z)[X] temos que
(1¯ +X +X2)2 = (1¯ +X +X2)(1¯ +X +X2) = 1¯ +X2 +X4.
(e) Em (Z/3Z)[X] temos que
(1¯ + 2¯X2)9 = (1¯ + 2¯X2)(1¯ +X2 +X4 +X6 +X8 +X10 +X12 +X14 +X16) = 1¯ + 2¯X18
10) Considere o anel (Z× Z)[X] e os seguintes polinoˆmios:
f(X) = (1, 2)+(2, 0)X, g(X) = (1,−1)X+(1, 1)X2 eh(x) = (−4,−1)+(−2, 1)X.
Temos que
f(X) + g(X) + h(X) = (1, 2) + (−4,−1) + ((2, 0) + (1,−1) + (−2, 1))X + (1, 1)X2
= (−3, 1) + (1, 0)X + (1, 1)X2,
4
f(X)g(X)− (h(X))2 = ((1, 2) + (2, 0)X)((1,−1)X + (1, 1)X2)− ((−4,−1) + (−2, 1)X)2
= ((1,−2)X + (3, 2)X2 + (2, 0)X3)− ((16, 1) + (16,−2)X + (4, 1)X2)
= (−16,−1) + (−15, 0)X + (−1, 1)X2 + (2, 0)X3
f(X)h(X) + g(X) = ((1, 2) + (2, 0)X)((−4,−1) + (−2, 1)X) + (1,−1)X + (1, 1)X2
= (−4,−2) + (−10, 2)X + (−4, 0)X2 + (1,−1)X + (1, 1)X2
= (−4,−2) + (−9, 1)X + (−3, 1)X2
11) As contas sa˜o deixadas ao leitor. Temos que:
(a) 10
(b) 12
(c) 28
(d) 0 (Observe que (1¯ + 2¯X2)4 = 1¯ e que Z/8Z na˜o e´ dominio de integridade)
12) Considere A[X] com A domı´nio de integridade. Sabendo que ∂(f(X)2) = 8 e
∂(f(X)g(X)) = 7 temos que
∂(f(X)) + ∂(g(X)) = 7 e ∂(f(X)) + ∂(f(X)) = 8.
Isso implica que ∂(g(X)) = 3 e ∂(f(X)) = 7− 3 = 4. Assim segue que
∂(f(X) + g(X)) =max{∂(f(X)), ∂(g(X))} = 4 ∂(f(X)− g(X)) = 4
∂(f(X)3) =12 ∂(g(X)2) = 6
e
∂(f(X)3 + 3f(X)2g(X) + 3f(X)g(X)2 + g(X)3) =
= max{∂(f(X)3), ∂(3f(X)2g(X)), ∂(3f(X)g(X)2), ∂(g(X)3)} = 12.
13) Vamos determinar nos casos considerados, usando o algoritmo de Euclides em
A[X], polinoˆmios q(X), r(X) tais que f(X) = q(X)g(X) + r(X) onde r(X) = 0A
ou ∂r(X) < ∂g(X).
(a) A = Q. Se f(X) = 0 e g(X) = 5X2 − 1 temos que
q(X) = r(X) = 0.
(b) A = Z. Se f(X) = X2 − 1 e g(X) = X3 +X2 − 1 temos que
q(X) = 0, r(X) = X2 − 1.
(c) A = R. Se f(X) = 4X4 − 6X + 2 e g(X) = X2 − 1 temos que
q(X) = 4X2 + 4, r(X) = −6X + 6.
(d) A = Z/7Z. Se f(X) = 4¯X4 − 6¯X + 2¯ e g(X) = 3¯X3 − 3¯X + 2¯ temos que
q(X) = 6¯X, r(X) = 4¯X2 + 3¯X + 2¯.
(e) A = Z/17Z. Se f(X) = X10 −X e g(X) = X4 +X3 + 4¯X2 +X temos que
q(X) = X6 + 1¯6X5 + 1¯4X4 + 6¯X3 + 7¯X2 + 6¯X + 1¯1, r(X) = 9¯X3 + 5¯X + 6¯.
5
14 Seja A = Z/7Z e considere os seguintes polinoˆmios em A[X] :
f(X) = 4¯X3 − 6¯X + a¯, g(X) = X + 3¯.
Fazendo a divisa˜o euclidiana em (Z/7Z)[X] temos o seguinte:
f(X) = (4¯X2 + 2¯X + 2¯)g(X) + (a¯− 6¯).
Como queremos o valor de a¯ tal que f(X) seja divis´ıvel por g(X) (divisa˜o exata)
precisamos que o resto da divisa˜o seja 0¯ e portanto temos que a¯ = 6¯.
15) Contas deixadas ao leitor. Temos que
c = 0, b =
72
5
, a = −63
5
.
16) Contas deixadas ao leitor. Depois da divisa˜o euclidiana achamos que a e b
precisam satisfazer as seguintes condic¸o˜es{
5b+ 4a+ 15 = 0
−3b− 3a− 3 = 0,
e isso implica que a = 10 e b = −11.
17) Deixado ao leitor (vamos ver em aula).
18) Seja m > 1 e considere a seguinte aplicac¸a˜o
F : Z[X] −→ (Z/mZ)[X]
a0 + a1X + · · ·+ arXr 7−→ F (a0 + a1X + · · ·+ arXr) = a0 + a1X + · · ·+ arXr
(Exemplo: seja m = 3 e considere o polinoˆmio 3 + 7X − 5X2 + 3X4, enta˜o temos
que F (3 + 7X − 5X2 + 3X4) = 3¯ + 7¯X − 5¯X2 + 3¯X4 = X + X2 ja´ que estamos
pensando em (Z/3Z)[X].)
Vamos provar que a aplicac¸a˜o definida acima e´ um homomorfismo de aneis para
qualquer m > 1.
Dados quaisquer f(X), g(X) ∈ Z[X], temos que provar que
F (f(X) + g(X)) = F (f(X)) + F (g(X)) e que F (f(X)g(X)) = F (f(X))F (g(X)).
Sejam, por simplicidade, f(X) =
∑∂f
i=0 aiX
i e g(X) =
∑∂g
j=0 bjX
j , enta˜o temos
que F (f(X)) =
∑∂f
i=0 aiX
i e F (g(X)) =
∑∂g
j=0 bjX
j , assim
F (f(X))+F (g(X)) =
∂f∑
i=0
aiX
i+
∂g∑
j=0
bjX
j =
max(∂f,∂g)∑
k=0
(ak+bk)X
k =
max(∂f,∂g)∑
k=0
(ak + bk)X
k.
Note que aqui temos que usar a convenc¸a˜o de que ak = 0 se k > ∂f e bk = 0 se
k > ∂g.
Por outro lado temos que
F (f(X) + g(X)) = F
max(∂f,∂g)∑
k=0
(ak + bk)X
k
 = max(∂f,∂g)∑
k=0
(ak + bk)X
k,
usando a mesma convenc¸a˜o, e assim veˆ-se que as duas expressso˜es coincidem.
Olharemos o produto agora. Temos que
F (f(X))F (g(X)) =
(
∂f∑
i=0
aiX
i
) ∂g∑
j=0
bjX
j
 = ∂f+∂g∑
s=0
 ∑
i+j=s
aibj
Xs = ∂f+∂g∑
s=0
 ∑
i+j=s
aibj
Xs,
6
e por outro lado temos
F (f(X)g(X)) = F
∂f+∂g∑
s=0
 ∑
i+j=s
aibj
Xs
 = ∂f+∂g∑
s=0
 ∑
i+j=s
aibj
Xs = ∂f+∂g∑
s=0
 ∑
i+j=s
aibj
Xs
e as duas expresso˜es coincidem, como quer´ıamos provar.
19) Vamos provar que Z[X] e´ subanel de Q[X]. Obviamente temos que
Z[X] ⊆ Q[X], ja´ que Z ⊆ Q e como Z ⊆ Z[X] (todos os polinoˆmios constantes)
enta˜o Z[X] e´ obviamente na˜o vazio.
Sejam agora f(X), g(X) ∈ Z[X], enta˜o por exemplo temos que
f(X) =
∂f∑
i=0
aiX
i g(X) =
∂g∑
j=0
bjX
j ,
com ai, bj ∈ Z. Assim temos que
f(X)− g(X) =
∂f∑
i=0
aiX
i −
 ∂g∑
j=0
bjX
j
 = m∑
k=0
(ak − bk)Xk ∈ Z[X],
onde m ≤ max(∂f, ∂g) e com a convenc¸a˜o que ak = 0 se k > ∂f e bk = 0 se k > ∂g.
Alem disso temos que
f(X)g(X) =
∂f+∂g∑
k=0
 ∑
i+j=k
aibj
Xk ∈ Z[X],
ja´ que
∑
i+j=k aibj ∈ Z para todo k.
Notamos que Z[X] na˜o e´ ideal de Q[X] ja´ que por exemplo(
1
3
X
)
(X − 2) /∈ Z[X].
20) Deixado ao leitor
(a) e´ ideal;
(b) e´ ideal;
(c) na˜o e´ subanel, por exemplo temos que f(X) = −2 + 2X, f2(X) = −3 + 3X
esta˜o no conjunto definido no item c) mas f1(X)f2(X) = 6 − 12X + 6X2
na˜o satisfaz a definic¸a˜o do conjunto, ja´ que 6 + (−12) 6= 0.