ExercíciosResolvidoseParaseremfeitos V.A.Discretas

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ESTATÍSTICA Profª Mariane Alves 
Exercícios Resolvidos – V.A.Discretas 
 
1 - Seja uma variável aleatória discreta bidimensional (X,Y) cuja distribuição de 
probabilidade conjunta é apresentada a seguir: 
 
X/Y -1 0 1 
-1 1/6 1/3 1/6 2/3 
0 0 0 0 0 
1 1/6 0 1/6 1/3 
 1/3 1/3 1/3 1 
 
a) Obtenha a COV(X,Y) 
COV(X,Y) = E(X,Y) – E(X)E(Y) 
E(X) = 
 
 
 
 
 
 
E(Y) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(X,Y) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
COV(X,Y) = 
 
 
b) Obtenha a COV(3X , X+Y) 
 
COV(3X , X+Y) = COV(3X , X) + COV(3X,Y) = 3 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Seis lotes de components estão prontos para embarque em um fornecedor. O número 
de componentes com defeito em cada lote é mostrado a seguir: 
Lote 1 2 3 4 5 6 
Número de peças 
com defeito 
0 2 0 1 2 0 
 
Um desses lotes será selecionado aleatoriamente para embarque a um cliente específico. Seja X 
o número de pacas com defeito no lote selecionado. Os três valores possíveis de X são 0, 1 e 2. 
Dos seis eventos igualmente prováveis, três resultam em X=0, um em X=1 e os outros dois em 
X=2. Sejam p(0) a probabilidade de X=0 e p(1) e p(2) as probabilidades dos dois valores 
possíveis de X. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ou seja, a probabilidade 0,167 é alocada para o valor 1 de X e a probabilidade restante, 0,333, é 
associada ao valor 2 de X. Os valores de X juntamente com suas probabilidades especificam 
coletivamente a distribuição de probabilidade de X. Se o experimento fosse repetido diversas 
vezes no longo prazo, X=0 ocorreria na metade das vezes, X=1 em um sexto das vezes e X=2 
em um terço das vezes. 
Logo, a distribuição de probabilidade de x é dada por: 
X 0 1 2 
P(X=x) 0,500 0,167 0,333 
 
A probabilidade de X ser no máximo 1 é então: (lembre-se que a probabilidade de o valor X observado ser 
no máximo x é dado pela função de distribuição acumulada) 
 
 
E a ? 
 
Nesse exemplo, , se e somente se de forma que 
 . 
De forma similar, , e também. 
Como 0 é o menor valor possível de X, , ; isto é, 
 , e assim por diante. 
Observe que , pois a probabilidade de X com valor 1 está 
incluída na última probabilidade, mas não na anterior. Quando X é uma variável aleatória 
discreta e x um valor possível de X, 
 
 
3 - Considere Y uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de 
probabilidade 
 
Y 1 2 3 4 
P(Y=y) 0,4 0,3 0,2 0,1 
 
Qual a função de distribuição acumulada de Y, isto é, ? 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como pode observar, para qualquer valor de y, a acumulada será o valor mais próximo possível 
de Y à esquerda de y. Por exemplo: 
 
e 
 
 
 
DICA: se meus possíveis valores de uma variável discreta W são a,b,c,d (considerando a < b < c < d ). 
 
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A 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA SEREM RESOLVIDOS 
 
1) Sejam M e N duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: 
 
 
N 5 10 12 
P(N) 0,3 0,5 0,2 
 
a) ache a distribuição conjunta de (M,N); 
b) calcule E[M] e E[N]; (R.:1,8 e 8,9) 
c) calcule d.p.[M] e d.p.[N]; (R.: ) 
d) qual é o valor da COV(M,N)? Por quê? (R.: 0 ) 
 
 
 
2) Sejam V e Z duas v.a. aleatórias independentes com as seguintes distribuições de probabilidade 
 
 
W \ Z 0 1 2 
1 0,14 0,28 0,28 
4 0,06 0,12 0,12 
 
a) Achar a distribuição marginal de W e Z; 
b) Calcular E(Z) (1,22) 
c) Calcular VAR(W) (3,6) 
d) Calcule a COV(W,Z) (0) 
e) Ache a distribuição de Z+W 
 
 
 
3) Sabendo-se que Y=3X-5 e que E(X)=2 e V(X=1), calcule: 
 
a) E(Y) (1) 
b) V(Y) (9) 
c) E(X + 3Y) (5) 
d) E(X² + Y²) (15) 
 
 
4) Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante intervalos 
aleatoriamente escolhidos de 10 minutos, segue uma distribuição de probabilidade dada na tabela 
abaixo. Calcule o número esperado de chegada de clientes por intervalo de 10 minutos, e calcule 
também o desvio padrão das chegadas. 
 
 
M 1 3 
P(M) 0,6 0,4 
Número de chegadas X 0 1 2 3 4 5
Probabilidade p(x) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05
Respostas E(x) = 2 e Var(x)= 1,9
 
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5) As vendas de uma revista mensal em uma banca segue uma distribuição de probabilidade dada na 
tabela abaixo. Calcule o valor esperado e a variância. 
 
 
6) Uma v.a. discreta tem distribuição de probabilidade dada por: 
P(x) = 
7 5, 3, 1, x para ,
x
K

 
a) Calcule o valor de K b) Calcule P(x = 5) 
 
 
 
7) Uma empresa de seguros oferece aos segurados diferentes opções de pagamento premium. Para 
um segurado selecionado aleatoriamente, seja Y=número de meses entre pagamentos sucessivos. A 
função distribuição acumulada de Y é como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual a função distribuição de probabilidade de Y? 
b) Usando apenas a função de distribuição acumulada, calcule e . (R.: 0,30 e 0,60) 
Número de revistas em
Milhares X 
probabilidade de X 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1
Respostas E(x) = 17,8 e Var(x)= 1,66
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