Lista 4 de exercícios (Prof.ª Janete - UnB)

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Ca´lculo 2
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 4
Temas abordados : Teste da Convergeˆncia Absoluta; Se´ries de poteˆncias: Raio de con-
vergeˆncia e Intervalo de convergeˆncia
1) Estude a convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n3n− 1
2n+ 1
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
4n2 + 1
(c)
∞∑
n=2
(−1)n n
ln(n)
(d)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
1 + 2
√
n
(e)
∞∑
n=1
(−1)n−1 ln(n)
n
(f)
∞∑
n=1
(−1)n cos(npi)
n3
2) Determine se cada uma das se´ries abaixo e´ convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n e
1
n
n3
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
(c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
4
√
n
(d)
∞∑
n=1
nn
31+3n
3) Determine o raio e o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo.
(a)
∞∑
n=0
(2x)n (b)
∞∑
n=0
(x+ 5)n
(c)
∞∑
n=0
(−1)n(4x+ 1)n (d)
∞∑
n=1
(3x− 2)n
n
(e)
∞∑
n=1
(x− 1)n√
n
(f)
∞∑
n=1
xn
n
√
n3n
4) Determine o raio de convergeˆncia e o valor da soma da se´rie, em func¸a˜o de x, para a se´rie
∞∑
n=1
(x+ 1)n
9n
.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) (a)
∑∞
n=1(−1)n 3n−12n+1 diverge (termo geral na˜o vai para zero)
(b)
∑∞
n=1
(−1)n+1
4n2+1
converge (Teste da Se´rie Alternada)
(c)
∑∞
n=2(−1)n nln(n) diverge (termo geral na˜o vai para zero)
(d)
∑∞
n=1(−1)n
√
n
1+2
√
n
diverge (termo geral na˜o vai para zero)
(e)
∑∞
n=1(−1)n−1 ln(n)n converge (Teste da Se´rie Alteranada)
(f)
∑∞
n=1(−1)n cos(npi)n3 converge (Teste da Comparac¸a˜o fornece convergeˆncia absoluta)
2) (a)
∑∞
n=1(−1)n e
1
n
n3
, convergente (Teste da Comparac¸a˜o)
(b)
∑∞
n=1(−1)n+1 32n , convergente (Teste da Comparac¸a˜o)
(c)
∑∞
n=1(−1)n+1 14√n , convergente (Teste da Se´rie Alternada)
(d)
∑∞
n=1
nn
31+3n
, divergente (Teste da Raiz)
3) Vamos usar a seguinte notac¸a˜o nas respostas abaixo:
R: raio de convergeˆncia
IC: intervalo de convergeˆncia
(a) R = 1
2
; IC: −1
2
< x <
1
2
;
(b) R = 1; IC: −6 < x < −4;
(c) R =
1
4
; IC: −1
2
< x < 0;
(d) R =
1
3
; IC:
1
3
≤ x < 1;
(e) R = 1; IC: 0 ≤ x < 2;
(f) R = 3; IC: −3 ≤ x ≤ 3.
4) O raio de convergeˆncia e´ R = 9 e a soma e´ S(x) =
x+ 1
−x+ 10
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 2 de 2