10 Conicas Hiperbole

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Cônicas 
- Hipérbole - 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Hipérbole 
Definição 
 
Conjunto de todos os 
pontos de um plano cuja 
diferença das distâncias, 
em valor absoluto, a dois 
pontos fixos desse plano é 
constante. |𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 | = 2𝑎 
P 
𝐹1 𝐹2 
Hipérbole 
Construção 
2𝑐 
a a 
C 𝐴2 𝐴1 
𝐹1 𝐹2 
𝑐 
𝑀 𝑁 
𝑄 𝑃 
𝑎 
𝑏 
𝐵2 
𝐵1 
𝑟 𝑠 
Hipérbole 
Elementos 
 
1. Foco; 
 Ponto 𝐹1 e 𝐹2. 
2. Distância Focal; 
 Distância entre os focos (2c). 
3. Centro; 
 Ponto Médio C do segmento 𝐹1𝐹2. 
4. Vértices 
 𝐴1 𝑒 𝐴2 
5. Eixo Real ou Transverso; 
 Segmento 𝐴1𝐴2 de comprimento 2a. 
6. Eixo Imaginário ou Não-transverso; 
 Segmento 𝐵1𝐵2 de comprimento 2b; 
 Perpendicular a 𝐴1𝐴2 no seu ponto médio. 
7. Assíntotas 
 Retas 𝑟 e 𝑠 
8. Abertura da hipérbole 
 Ângulo 𝜃. 
• 𝑑 𝐴1, 𝐹1 = 𝑐 − 𝑎 
• 𝑑 𝐴1, 𝐹2 = 𝑎 + 𝑐 
Hipérbole 
Elementos 
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² 
Hipérbole 
Excentricidade 
 
Relacionada à abertura da hipérbole. 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 (𝑒 > 1) 
Hipérbole 
Equações Reduzidas 
 
1. Eixo real está sobre o eixo dos x; 
|𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 | = 2𝑎 
𝑥2
𝑎²
−
𝑦2
𝑏²
= 1 
Hipérbole 
Equações Reduzidas 
 
2. Eixo real está sobre o eixo dos y; 
|𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 | = 2𝑎 
𝑦2
𝑎²
−
𝑥2
𝑏²
= 1 
Hipérbole 
 
Exemplo 1: Dada a equação da hipérbole 
 
𝑥² − 4𝑦2 + 16 = 0 
Determine 
 A medida dos semi-eixos; 
 Um esboço do gráfico; 
 Os vértices; 
 Os focos; 
 A excentricidade; 
 As equações das assíntotas. 
 
 
 
Hipérbole 
Translação de eixos 
𝑥′2
𝑎²
−
𝑦′2
𝑏²
= 1 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎²
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏²
= 1 
Hipérbole 
Equação Geral da Hipérbole 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0 
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 
¹ 𝑎 𝑒 𝑏 𝑑𝑒 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐𝒔 
² 𝑎 = 𝑏 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟á 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑎. 
 
Hipérbole 
Exemplo 2: Dada a hipérbole de equação 
 
9𝑥² − 4𝑦2 − 54𝑥 + 8𝑦 + 113 = 0 
 
determine: 
a) Equação reduzida; 
b) Centro; 
c) Gráfico; 
d) Vértices; 
e) Focos; 
f) Excentricidade. 
Hipérbole 
Equações Paramétricas 
𝑥2
𝑎²
−
𝑦2
𝑏²
= 1 
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 
sin² 𝜃 + cos² 𝜃 = 1 
÷ cos² 𝜃 
𝐬𝐞𝒄² 𝜽 − 𝐭𝐠²𝜽 = 𝟏 
Hipérbole 
Equações Paramétricas 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Com: 
 𝜃 ≠
𝜋
2
 e 𝜃 ≠
3𝜋
2
 
 
𝑥 = 𝑎 ∙ sec 𝜃
𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑡𝑔 𝜃
 
𝑥
𝑎
2
−
𝑦
𝑏
2
= 1 
Hipérbole 
Equações Paramétricas 
 
Observações 
 
1. 
𝑦2
𝑎²
−
𝑥2
𝑏²
= 1 
𝑥 = 𝑏 ∙ tg 𝜃
 
 
𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝜃
 
Hipérbole 
Equações Paramétricas 
 
Observações 
 
2. 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝐶(ℎ, 𝑘) 
 
𝑥 = ℎ + 𝑎 ∙ sec 𝜃
 
 
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 ∙ 𝑡𝑔 𝜃
 
𝑥 = ℎ + 𝑏 ∙ tg 𝜃
 
 
𝑦 = 𝑘 + 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝜃
 
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑂𝑥 𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑂𝑦 
Hipérbole 
 
Exemplo 3: Obter equações paramétricas 
da hipérbole de equação: 
 
4𝑥² − 9𝑦2 − 36 = 0 
 
 
 
 
Hipérbole 
Atividade 
 
Livro: Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica 
 
Questões: 
 
Capítulo 8 – Hipérbole 
 
Problemas Propostos: 
 
2 – 8 – 13.a – 14 – 18 – 20 – 30 – 33 – 37 – 42 – 45 – 57 
 
 
 
 
 
 
Data para entregar: 
27/09/2016