2 - Matrizes

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2 – Matrizes: 
 
Matriz é um conjunto cujos elementos estão organizados em linhas e colunas. Por 
exemplo, uma matriz n x m possui n linhas e m colunas. Um elemento genérico de uma matriz 
[ ]A é representado por aij. Sendo assim: 
 
[ ] [ ]














==
mnnn
m
m
mnijmn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
xx
 
 
2.1 – Principais Tipos de Matrizes: 
 
2.1.1 – Matriz Linha e Matriz Coluna: 
 
Também conhecidas como vetor linha e vetor coluna, devem apresentar 
obrigatoriamente n = 1 e m = 1, respectivamente. 
 
[ ] [ ] [ ]mmijm aaaaA 11211x1x1 L== Matriz linha ou vetor linha (n = 1). 
 
[ ] [ ]














==
1
21
11
1x1x
n
nijn
a
a
a
aA
M
 Matriz coluna ou vetor coluna (m = 1). 
 
2.1.2 – Matriz Nula: 
 
Matriz nula é aquela onde todos os elementos são nulos, ou seja: aij = 0 para todo i e j. 
 
[ ] [ ]












=∅=
000
000
000
xx
L
MMMM
L
L
mnmn
A 
2.1.3 – Matriz Quadrada: 
 
Matriz quadrada é aquela onde o número de linhas e igual ao número de colunas, ou 
seja: n = m. 
 
[ ] [ ]














==
nnnn
n
n
nnijnn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
xx
 
 
2.1.4 – Matriz Diagonal: 
 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (n = m) onde os elementos fora da diagonal 
principal são nulos, ou seja: aij = 0 para i ≠ j. Portanto, aii ≠ 0. 
 
[ ] [ ]












==
nn
nnijnn
a
a
a
aA
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
xx
 
 
2.1.5 – Matriz Identidade: 
 
Matriz identidade é uma matriz diagonal (n = m) onde todos os elementos da diagonal 
são unitários. 
 
[ ] [ ]












===
100
010
001
1
xx
L
MOMM
L
L
nniinn aI 
 
 
 
 
 
 
2.2 – Operações com Matrizes: 
 
2.2.1 – Soma de Matrizes: 
 
Para que duas matrizes possam ser adicionadas, elas devem possuir a mesma dimensão 
(ou seja, mesmo número de linhas e de colunas). Dadas as matrizes [ ]A e [ ]B , 
de dimensão n x m, 
 
[ ] [ ]














==
mnnn
m
m
mnijmn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
xx
 [ ] [ ]














==
mnnn
m
m
mnijmn
bbb
bbb
bbb
bB
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
xx
 
 
O resultado da soma [ ] [ ]BA + fornece a matriz [ ]C , tal que: [ ] [ ] [ ]BAC += , 
 
onde [ ] [ ] [ ]
mnijmnijmnij bac xxx += para ji,∀ . Portanto: 
 
[ ] [ ]














+++
+++
+++
==
mnmnnnnn
mm
mm
mnijmn
bababa
bababa
bababa
cC
L
MMMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
xx
 
 
Propriedades: 
 
i) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]CBACBA ++=++ (Associativa); 
ii) [ ] [ ] [ ] [ ]ABBA +=+ (Comutativa); 
iii) [ ] [ ] [ ]AA =∅+ (Elemento Neutro da Soma – onde [ ]∅ é uma matriz nula. 
 Note que: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∅=−=−+ AAAA ); 
iv) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]BkAkBAk +=+ (Distributiva da soma de matrizes – onde k é uma constante 
 escalar); 
v) ( ) [ ] [ ] [ ]AlAkAlk +=+ (Distributiva da soma de escalares – onde k e l são constantes 
 escalares); 
 
2.2.2 – Multiplicação de Matrizes: 
 
Para que duas matrizes possam ser multiplicadas, o número de colunas da primeira 
deve ser igual ao número de linhas da segunda. Dadas as matrizes [ ]A de dimensão n x m e 
[ ]B , de dimensão m x p, 
 
[ ] [ ]












==
nmnn
m
m
mnijmn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
xx
 [ ] [ ]














==
pmmm
p
p
pmijpm
bbb
bbb
bbb
bB
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
xx
 
 
O resultado da multiplicação [ ] [ ]BA fornece a matriz [ ]C , tal que: 
 
[ ] [ ] [ ] pmmnpn BAC xxx = , onde [ ] [ ] ∑
=
===
m
k
kjikjipnijpn babacC
1
xx
. 
 
Note que ia corresponde a cada vetor linha da matriz [ ]A , enquanto jb corresponde a 
cada vetor coluna da matriz [ ]B . Portanto, cada elemento cij é obtido através do produto 
escalar do i-ésimo vetor linha de [ ]A pelo j-ésimo vetor coluna de [ ]B . 
 
Propriedades: 
 
i) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )BkABAkBAk == (Associativa de multiplicação por escalar); 
ii) [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ]( ) [ ]CBACBA = (Associativa de multiplicação de matrizes); 
iii) [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ] [ ][ ]CABACBA +=+ (Distributiva da multiplicação de matrizes); 
 
Observação: 
 
A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de matrizes, ou seja 
[ ][ ] [ ] [ ]ABBA ≠ . Ainda que as dimensões de [ ]A e [ ]B permitam a inversão do produto, o 
resultado obtido não é o mesmo. 
 
 
2.3 – Tipos Especiais de Matrizes: 
 
2.3.1 – Matrizes Triangulares Superior e Inferior: 
 
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada (n = m) onde todos os elementos 
abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja: aij = 0 para i > j. Analogamente, em uma 
matriz triangular inferior todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja: 
aij = 0 para i < j. 
 
[ ] [ ]












==
nn
n
n
nnijnn
a
aa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
00
0 222
11211
xx
 Matriz triangular superior (aij = 0 para i > j). 
 
[ ] [ ]












==
nnnn
nnijnn
aaa
aa
a
aA
L
MOMM
L
L
21
2221
11
xx
0
00
 Matriz triangular inferior (aij = 0 para i < j). 
 
2.3.2 – Matrizes Simétrica e Anti-simétrica: 
 
Matriz simétrica é uma matriz quadrada (n = m) onde aij = aji, enquanto, em uma 
matriz anti-simétrica, aij = – aji. Note que, numa matriz simétrica, os elementos da diagonal 
principal existem (aii ≠ 0), enquanto numa anti-simétrica estes elementos são nulos (aii = 0) . 
 
[ ] [ ]












==
nnnn
n
n
nnijnn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22212
11211
xx
 Matriz simétrica (aij = aji). 
 
[ ] [ ]












−−
−
==
0
0
0
21
212
112
xx
L
MOMM
L
L
nn
n
n
nnijnn
aa
aa
aa
aA Matriz anti-simétrica (aij = – aji). 
 
 
Propriedades: 
 
i) Qualquer matriz real quadrada [ ]A pode ser expressa como a soma de uma matriz 
simétrica [ ] SIMM e uma anti-simétrica [ ] SIM-ANTIM , ou seja [ ] [ ] [ ] SIM-ANTISIM MMA += . 
 
onde: [ ] [ ] [ ] 




 +=
T
SIM 2
1 AAM [ ] [ ] [ ] 





−=
T
SIM-ANTI 2
1 AAM 
 
2.3.3 – Matriz Transposta: 
 
A matriz transposta [ ] TA é uma matriz quadrada (n = m) onde os elementos aij são 
substituídos pelos elementos aji. 
 
[ ] [ ]












==
nnnn
n
n
nnijnn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
xx
 Matriz [ ] [ ]ijaA = 
 
[ ] [ ]












==
nnnn
n
n
nnjinn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22212
12111
x
T
x Matriz [ ] [ ]jiaA =T 
 
Propriedades: 
 
i) [ ] [ ]AA =




TT
 (a transposta da transposta é igual à matriz original); 
ii) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] TTT BABA +=+ (a transposta da soma é a soma das transpostas); 
iii) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] TTT ABBA = (a transposta do produto de [ ]A por [ ]B é igual ao produto da 
 transposta de [ ]B pela transposta de [ ]A ); 
 
 
 
 
2.3.4 – Matrizes Conjugada, Hermite e Anti-Hermite: 
 
Em matrizes quadradas contendo elementos complexos, a matriz conjugada [ ]A é 
aquela cujos elementos são os conjugados complexos dos elementos de [ ]A . A transposta da 
matriz cojugada é designada por [ ] [ ]T* AA = . Esta matriz é dita Hermite se [ ] [ ]AA =T ou 
anti-Hermite se [ ] [ ]AA −=T . Note que, numa matriz Hermite, os elementos da diagonal 
principal devem ser reais, enquanto, numa matriz anti-Hermite, os elementos da diagonal 
principal devem ser imaginários puros ou nulos. Além disso, uma matriz [ ]A é real se e 
somente se [ ] [ ]AA = e é imaginária se e somente se [ ] [ ]AA −= . 
 
Propriedades: 
 
i) [ ] [ ] [ ] TT* AAA == (a transposta da conjugada é igual à conjugada da transposta); 
ii) [ ] [ ]AA =



*
*
 (a conjugada da conjugada é igual à matriz original); 
iii) [ ][ ] [ ]** AzAz = (onde z é o conjugado de uma constante complexa z ); 
iv) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]*** BABA +=+ (a conjugada da soma é igual à soma das conjugadas); 
v) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]*** ABBA = (a conjugada do produto de [ ]A por [ ]B é igual ao produto da 
 conjugada de [ ]B pela conjugada de [ ]A ). 
 
2.3.5 – Matriz Inversa: 
 
A matriz inversa da matriz quadrada [ ]A , denotada por [ ] 1−A é tal que: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IAAAA == −− 11 , onde [ ]I é a matriz identidade. Posteriormente, a obtenção 
desta matriz será discutida. 
Uma matriz que não possui inversa é dita singular. 
 
 
Propriedades: 
 
i) [ ] [ ]AA =



−
−
1
1
 (a inversa da inversa é igual à matriz original); 
ii) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] 111- −−= ABBA (a inversa do produto de [ ]A por [ ]B é igual ao produto da inversa 
 de [ ]B pela inversa de [ ]A ); 
iii) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]IBABA =1- . 
 
Observações: 
 
i) Se a matriz [ ]A possui inversa, esta matriz inversa é única; 
ii) Se a matriz [ ]A é não-singular, tanto a sua inversa [ ] 1−A , como a sua transposta [ ] TA 
também são não-singulares. Portanto: [ ] [ ]
T
T
AA 



=


 −
−
1
1
; 
iii) A matriz identidade [ ]I é não-singular e sua inversa é ela própria, ou seja [ ] [ ] 1−= II ; 
iv) Se as matrizes [ ]A e [ ]B são não-singulares, o produto [ ] [ ]BA também é não-singular. 
 
2.3.6 – Matriz Ortogonal: 
 
Uma matriz quadrada [ ]A é dita ortogonal se [ ] [ ] T1 AA =− . Com isso, 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IAAAA == TT . Se, além de ortogonal, a matriz [ ]A é tal que seus vetores linha e seus 
vetores coluna são: 
 
i) ortogonais entre si (ou seja, o produto escalar entre todos os pares de vetores linha e de 
vetores coluna forem nulos); 
ii) normalizados (ou seja: a norma ou módulo de cada vetor linha e de cada vetor coluna for 
unitário). 
 
Estes vetores formam uma base ortonormal para o espaço vetorial de dimensão igual à 
dimensão da matriz [ ]A . Portanto, neste caso, a matriz ortogonal [ ]A é dita normalizada ou 
apenas Ortonormal. 
Exemplo: Considere uma matriz quadrada [ ]A de terceira ordem, conforme a seguir: 
 
[ ]










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
Para que [ ]A seja ortonormal, tem-se que: 
 
i) [ ] [ ]










==
−
332313
322212
312111
T1
aaa
aaa
aaa
AA Condição para que [ ]A seja ortogonal. 
 
 
ii) ( ) ( ) 0,,,, 232221131211 =• aaaaaa 
 
 
( ) ( ) 0,,,, 333231232221 =• aaaaaa 
 
 
( ) ( ) 0,,,, 333231131211 =• aaaaaa 
 Condições para que os vetores linha sejam 
 ortogonais entre si 
 
 
 ( ) ( ) 0,,,, 322212312111 =• aaaaaa 
 
 
( ) ( ) 0,,,, 332313322212 =• aaaaaa 
 
 
( ) ( ) 0,,,, 332313312111 =• aaaaaa 
 Condições para que os vetores coluna sejam 
 ortogonais entre si 
 
 
 
iii) ( ) ( ) ( ) 1213212211 =++ aaa 
 
( ) ( ) ( ) 1223222221 =++ aaa 
 
 
( ) ( ) ( ) 1233232231 =++ aaa 
 Condições para que os vetores linha sejam 
 
unitários. 
 
 
 
( ) ( ) ( ) 1231221211 =++ aaa 
 
 
( ) ( ) ( ) 1232222212 =++ aaa 
 
 
( ) ( ) ( ) 1233223213 =++ aaa 
 Condições para que os vetores coluna sejam 
 
unitários.