Integrais

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 Professor Mauricio Lutz 
 
 
1 
INTEGRAIS 
 
Definição: Uma função 
F
 é uma antiderivada de 
f
 em um intervalo 
I
se 
)()(' xfxF 
 para todo 
x
 em 
I
. 
Chamaremos também 
)(xF
 uma antiderivada de 
)(xf
. O processo de 
determinação de 
F
, ou 
)(xF
, é chamado ANTIDIFERENCIAÇÃO. 
 
Exemplos: a) 
2)( xxF  é uma antiderivada de xxf 2)(  . 
Por que 
)(2)()(' 2 xfxxDxF x 
 
Há muitas outras derivadas de 2x, tais como 
42 x
, 
8
22 x
 e 
52 5x
. 
De modo geral, se 
C
 é uma constante ARBITRÁRIA, então 
Cx 2 é uma 
antiderivada de 
x2
, porque 
xxCxDx 202)(
2 
. 
Assim, há uma família de antiderivadas de 
x2
 da forma
CxxF  2)(
 
onde 
C
 é uma constante arbitrária. 
 
b) Outros exemplos 
 
)(xf
 Antiderivadas de 
)(xf
 

 
2x
 
Cxxx  333
3
1
;8
3
1
;
3
1
 

 
38x
 
Cxxx  444 2;22;2
 

 
xcos
 
Csenxsenxsenx  ;
8
3
;
 
Definição:Se 
F é uma antiderivada de f em I , então a família de 
funções 
CxF )(
 , 
C constante, será chamada de INTEGRAL INDEFINIDA de f 
em 
I
 e denotada por: 
  CxFdxxf )()(
, se 
)()(' xfxF 
 
Ix
. 
 
Observação: O símbolo 

 usado na definição acima é o SINAL DE INTEGRAL. 
Chamamos de 
 dxxf )(
 a INTEGRAL DEFINIDA de 
)(xf
. A expressão 
)(xf
 é o 
INTEGRANDO e o 
C é a CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO. 
 
 
 
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2 
1) Fórmulas fundamentais de integração 
a) 
   Cxfdxxfdx
d
)()(
; 
b) 
   Cxdxdx1
; 
c) 
   vdxudxdxvu )(
; 
d) 
  udxaaudx
, onde 
a
 é uma constante qualquer; 
e) 
 


C
n
x
dxx
n
n
1
1 , se 
1n
; 
f) 
   Cxx
dx
dx
x
ln
1
; 
g) 
  Ca
a
dxa
x
x
ln
, se 
0a
; 
h) 
  Cea
dxe axax
1
, onde 
a
 é uma constante qualquer; 
i) 
Cxsenxdx  cos
; 
j) 
Csenxxdx cos
. 
 
Exemplos: Calcule as integrais indefinidas: 
a) 
C
x
C
x
dxx 



615
615
5
 
b) 
C
x
C
x
C
x
dxx
x
dx







  2
213
3
3 2
1
213
 
c) 
CuC
u
C
u
duuduu  


3
4
3
4
3
4
1
3
1
1
3
1
3
1
3
4
3 
d) 
CzC
z
C
z
dzz
z
dz
z
dz




 
3
3
1
3
1
1
3
2
1
3
2
3
2
3
23 2
3
 
e) 
    dxxdxdxxdxxdxdxxdxxx 352352)352(
222
 
CxxxCx
xx






3
2
5
3
2
3
11
.5
12
.2 23
1112 
 
 
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3 
f) 
  






 dxxdxxdxxxdxxxdxxx 2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
)1()1( C
xx





1
2
3
1
2
1
1
2
3
1
2
1
 
CxxC
xx
 2
5
2
3
2
5
2
5
2
3
5
2
3
2
2
3
 
g)
    dssdsdssdssdsdssdsssdss 1624916249)16249()43(
2222
 
CsssCsssCs
ss






1212316
2
24
3
9
16
11
.24
12
.9 2223
1112 
h)
 
 

dxxdxxdxdxxxdxxxxdx
x
xx 22223
2
23
45)45()45(
45
C
x
x
x
dxxdxxdxdxxdxxdx 






 12
.45
11
4545
1211
22
C
x
x
x

4
5
2
2 
i)
   xdxdxxxdxdxxdxxx cos25cos25)cos25(
333
CsenxxCsenx
x



2
4
5
2
13
.5 4
13 
j)
 
 

dxxdxdxxdxxxdxxxxdx
x
x 2222224
2
22
2)2()12(
)1(
C
x
x
x
C
x
x
x





 1
2
312
2
12
31212 
 
 
Um problema aplicado pode ser enunciado em termos de uma 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL, isto é, uma equação que envolve derivadas de uma 
função incognita. Uma função 
f
 é uma solução de uma equaçãovdiferencial se 
verifica a equação, isto é, se a substituição da função incógnita por 
f
 resulta em 
uma afirmação verdadeira. Resolver uma equação diferencial significa achar todas 
as suas soluções. 
 
Exemplos: 
a) Resolva a equação diferencial 
56)(' 2  xxxf
, sujeita à condição inicial 
2)0( f
. 
 
 
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4 
  dxxdxdxxdxxdxdxxdxxxdxxf 5656)56()('
222
 
Cx
x
xCx
xx
Cx
xx






5
2
25
23
6
5
1112
6 23
231112
 
2)0( f
 
2)0(5
2
)0(
)0(22
2
3  CC
 
Logo a solução de 
f
 da equação diferencial, com condição inicial 
2)0( f
, é 
25
2
1
2 23  xxxy
. 
 
b) Resolva a equação diferencial 
senxxxf 2cos5)(" 
, sujeita às condições iniciais 
3)0( f
 e 
4)0(' f
. 
  senxdxxdxsenxdxxdxdxsenxxdxxf 2cos52cos5)2cos5()("
 
CxsenxCxsenx  cos25)cos(25
 
Portanto 
Cxsenxxf  cos25)('
. 
Aplicando a condição inicial 
4)0(' f
, temos: 
62040cos2054  CCCsen
 
Logo 
6cos25)('  xsenxxf
 
  dxxdxsenxdxdxxsenxdxxf 6cos25)6cos25()('
 
CxsenxxCxsenxxdxxdxsenxdx   62cos56)(2)cos(56cos25
 
Aplicando agora a outra condição inicial 
3)0( f
 obtemos: 
8530.6020cos53  CCCsen
 
Portanto, a solução da equação diferencial com condições iniciais dadas 
é 
862cos5)(  xsenxxxf
. 
 
Exercícios 
1) Calcule: 
a) 
  dxx )34( 
b) 
  dxxx )184(
2 
c) 
  dttt )349(
2
 
d) 
  dtttt )732(
23 
e) 
 





 dz
zz 23
31
 
f) 
 





 dzz
zz 47
74
 
g) 
 





 du
u
u
1
3
 
h) 
 





  duuu 5
2
1 23
 
i) 
 






  dvvvv 44
1
4
5
362
 
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5 
j) 
 






 dvvv 3
5
53
 
k) 
   dxx
2
13 
l) 
 





 dx
x
x
2
1 
m) 
  dxxx )32( 
n) 
  dxxx )13)(52( 
o) 
dx
x
x


3
58
 
p) 


dx
x
xx 32 2
 
q) 


dt
t
t
6
22 )3(
 
r) 


dt
t
t
3
2)2( 
s) 
 uducos4
3
 
t) 
 senudu5
1
 
 
2) Calcule a integral para 
a
 e 
b
constantes. 
a) 
 dxa2
 b) 
abdx
 c) 
  dtbat )(
 d) 
 





dtt
b
a
2
 
e) 
  duba )(
 f) 
  duab )(
2
 
 
3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas. 
a) 
1612)(' 2  xxxf
; 
5)1( f
. b) 
89)(' 2  xxxf
; 
1)1( f
. 
c) 
3
1
5

 x
dx
dy ; 70y se 27x . d) 214x
dx
dy

; 
21y
 se 
4x
. 
e) 
14)("  xxf
; 
2)2(' f
; 
3)1( f
. f) 
46)("  xxf
; 
5)2(' f
; 
4)2( f
. 
g) 
xsenx
dx
yd
cos43
2
2

; 
7)0( f
 e 
2'y
 se 
0x
. 
h) 
senxx
dx
yd
5cos2
2
2

; 
 62)( y
; 
3'y
 se 
x
. 
 
4) Calcule as integrais indefinidas. 
a) 
  dxxx )2).(3(
32
 b) 
 





 dz
zzz
111
35
 c) 
 





 dx
x
x
1
33
 
d) 
  






dxxx )53 5
1 e) 
  dxx
3)12(
 f) 
  dxyx )32(
2
 
g) 
 dx
x
xy 22
 h) 
  dxxx
3)1).(1(
 i) 


dx
x
x 12
 
j) 
  dxxxsenx )242
1
( 25
 k) 
    dxxxcos2
 l) 
  dxxsenx )cos52(
 
m) 


dx
x
x
2
3 1
 n) 


dx
x
yx 322
 o) 
  dxsenxxxyz )cos3(
23
 
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6 
 
Gabarito 
1) a) 
Cxx 32 2 ; b) 
Cxx
x
 2
3
4
3
4
; c ) 
Cttt  323 23
; d) 
Cx
ttt
 7
2
3
32
234 ; 
e) 
C
zz

3
2
1
2
; f) 
C
z
zz

23
7
3
2 2
36
; g) 
Cuu  22 3
 
; h) 
Cu
u
u  5
2
1
5
2
2
5 ; 
i) 
C
v
v
v 
3
4
5
4
9
1
5
24
9
8 ; j) 
C
vv

8
3
2
3
8
6 ; k) 
Cxxx  23 33
; l) 
C
x
x
x

1
2
3
3 ; 
m) 
C
xx

2
3
3
2 23
; n) 
Cx
x
x  5
2
13
2
2
3
; o) 
C
xx

2
15
5
24 3
2
3
5
; p) 
Cx
xx
 2
12
3
2
5
6
3
2
5
4 ; 
q) 
C
ttt

53 5
921
; r) 
C
ttt

23
2
3
81
 
; s) 
Csenu
4
3
 
; t) 
Cu cos
5
1
. 
2) a) 
Cxa 2
; b) 
Cabx
; c) 
Cbt
at

2
2 ; d) 
C
b
at

2
2
2
; e) 
Cuba  )(
; f) 
Cuab  )( 2
. 
3) a) 
334)( 23  xxxxf
; b) 
2
9
8
2
3)(
2
3  x
x
xxf
; c) 
2
5
2
15
)( 3
2
 xxf
; 
d) 
3
1
3
8
)( 2
3
 xxf
; e) 
6
65
8
23
2
)(
23
 x
xx
xf
; f) 
22)( 23  xxxxf
; 
g) 
35cos43)(  xxsenxxf
; h) 285cos2)(  xsenxxxf . 
4) a) 
Cx
xxx
 6
3
2
4
3
6
346 ; b) 
Cz
zz
 ||ln
2
1
4
1
24
; c) 
Cxx  2
4
9 3 4
; 
d) 
Cxx  5
6
5
11
2
25
11
15 ; e) Cxxxx  234 342 ; f) Cxyx  22 3 ; g) Cxy 2
5
2
5
2 ; 
h) 
Cxx
xx
 2
45
25
; i) 
Cxxx  2
3
4
; j) 
Cxxx  36
3
2
3
2
cos
2
1
; 
k) 
Cxsenx  2
3
3
2
2
; l) 
Csexx  5cos2
; m) 
C
x
x

1
2
2 ; n) 
Cxxy
x
 ||ln3||ln
2
2
2 ; 
o) 
Cxsenx
xyz
 cos3
2
223 . 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
2) Mudança de variável ou método de substituição 
Definição: Se 
F
 é uma antiderivada de 
f
, então 
  CxgFdxxgxgf ))(()(')).((
. Se 
)(xgu 
 e 
dxxgdu )('
, então 
  CuFduuf )()(
 . 
 
Exemplos: Calcule as derivadas. 
a)
  xdxx 2.1 802 
. 
xdxduxu 212 
 
  CuCuduuxdxx 

 

81180
2.1
81180
80
80
2
 
Portanto 
    Cxxdxx 
812
80
2 1
81
1
2.1
 
Verificação: 
      xxxxCx
dx
d
2.12.1
81
81
1
81
1 802802812 




 
 
b) 
dxx 75
. 
dx
du
dxduxu 
5
575
 
CuC
u
C
u
duuduudxx 



 2
32
3
1
2
1
2
1
15
2
2
35
1
1
2
15
1
5
1
5
1
75
 
Portanto 
Cxdxx  2
3
)75(
15
2
75
 
Verificação: 
  755.75
2
3
.
15
2
)75(
15
2
2
1
2
3






 xxCx
dx
d
 
 
c) 
dxx 4cos
 
dx
du
dxduxu 
4
44
 
  Csenuduuduudxx 4
1
cos
4
1
4
1
cos4cos
 
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8 
Portanto 
Cxsendxx  44
1
4cos
 
Verificação: 
xxCxsen
dx
d
4cos4).4(cos
4
1
4
4
1





 
 
d) 
  dxxx 
273 .12
 
dxx
du
dxxduxu 223
6
612 
 
    

C
u
C
u
C
u
u
du
udxxx
4886
1
176
1
6
1
6
.12
88!7
77273
 
Portanto 
    Cxdxxx  48
12
.12
83
273
 
Verificação: 
      273
27383
12
48
6.128
48
12
xx
xx
C
x
dx
d












 
 
e) 
dxxx 
3 267
 
xdx
du
xdxduxu 
12
1267 2
 
CuC
u
C
u
duuduudxxx 









 3
43
4
1
3
1
3
1
3
1
3 2
16
1
3
412
1
1
3
112
1
12
1
12
1
.67
 
Portanto 
  Cxdxxx  3
4
23 2 67
16
1
67
 
Verificação: 
     3
1
23
1
23
4
2 67)12(67
3
4
16
1
67
16
1
xxxxCx
dx
d







 
 
f) 
dxxsenx 5.5cos
3
 
xdxsen
du
xdxsenduxu 5
5
555cos 
 
CuC
u
C
u
duu
du
udxxsenx 



  

4
413
333
20
1
45
1
135
1
5
1
5
.5.5cos
 
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9 
Portanto 
Cxdxxsenx  5cos20
1
5.5cos 43
 
Verificação: 
  xsenxxsenxCx
dx
d
5.5cos)5(5.5cos4
20
1
5cos
20
1 334 




 
 
g) 
dx
x
x

cos
 
dx
x
dudxxduxu
1
2
2
1
2
1


 
   Csenuududuudx
x
x
2cos22.cos
cos
 
Portanto 
Cxsendx
x
x
 2
cos
 
Verificação: 
 
x
x
xxCxsen
dx
d cos
2
1
.cos22 2
1


 
 
h) 
 
dx
xx
x



63
2
13
1
 
dxx
du
dxxdxxduxxu )1(
3
)1(3)33(13 2223 
 
 
CuC
u
C
u
duu
du
u
dx
xx
x






 


 
5
516
6
663
2
15
1
53
1
163
1
3
1
3
.
1
13
1
 
Portanto 
C
xx
Cxxdx
xx
x




 
 53
53
63
2
)13(15
1
)13(
15
1
13
1
 
Verificação: 
63
2
63
2
26353
)13(
)1(
)13(
)1(3
15
5
)33()13)(5(
15
1
)13(
15
1









 
xx
x
xx
x
xxxCxx
dx
d
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
Exercícios 
1) Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em 
termos de 
x
. 
a) 
   dxxx
102 32
; 
32 2  xu
. b) 
  
dx
x
x
32 5
; 
52  xu
. 
c) 
  dxxx
3 32 73.
; 
73 3  xu
. d) 


dx
x
x
3
5
2
; 
32  xu
. 
e)  


dx
x
x
3
1 ; xu 1 . f) 
  
dx
x
10
45
1
; 
45  xu
. 
g) 
 dxxx
3cos.
; 23xu  . h) 
  dxxx
22
1
3 .)2(
; 
23  xu
. 
i) 
  
dx
x
x
33
2
2
8
; 
23  xu
. j) 


dx
x
x
4 3
2
3
; 
33  xu
. 
 
2) Calcule as integrais. 
a) 
  dxx 23
 b) 
  dxx4 52
 c) 
  dtt
3 58
 
d) 
 
dt
t54
1
 e) 
   dzz
4
13
 f) 
   zdzz
52 32
 
g) 
  dvvv 1
32
 h) 
  dvvv
29
 i) 
dx
x
x

3 221
 
j) 
   dxxx
3343
 k) 
   dss
22 1
 l) 
   dss
223
 
m)  


dx
x
x
4
3 n) 
  

dt
tt
t
32 34
2
 o) 
  

dt
tt
tt
432
2
234
 
p) 
 xdx2
1
cos4
 q) 
  dxxsen )61(
 r) 
  dvvvsen
2
 
s) 
 dv
v
v
3 2
3cos
 t) 
 dxxsenx
3 33cos
 
 
3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições indicadas. 
a) 
3 23)('  xxf
; 
9)2( f
. 
b) 
52  xx
dx
dy
; 
12y
 se 
2x
.. 
c) 
senxxxf 32cos16)(" 
; 
2)0( f
, 
4)0(' f
. 
d) 
xxsenxf 4cos1624)(" 
; 
6)0( f
, 
1)0(' f
. 
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11 
Gabarito: 
1)a) 
  Cx  112 32
44
1
; b) 
C
x



22 )5(4
1
; c) 
  Cx  3
4
3 73
12
1
; d) 
  Cx  2
1
2 35
; 
e) 
  Cx  41
2
1
; f) 
C
x



9)45(45
1
; g) 
Cxsen 3
3
2
; h) 
  Cx  2
3
3 2
9
2
; 
i) 
  Cx  23 2
3
4
 j) 
  Cx  4
3
3 3
9
4
. 
 
2)a) 
  Cx  2
3
23
9
2
; b) 
  Cx  4
5
52
5
2
; c) 
  Ct  3
4
58
32
3
; d) 
  Ct  2
1
54
5
2
; 
e) 
  Cz  513
15
1
; f) 
  Cz  62 32
24
1
; g) 
  Cv  2
3
3 1
9
2
; h) 
  Cv  2
3
29
3
1
; 
i) 
  Cx  3
2
221
8
3
; j) 
  Cx  443
16
1
; k) 
Cs
ss

3
2
5
35 ; l) 
C
sss

85
6
2
9 852
; 
m)  
C
x


5
32 ; n)   Ctt  22 34
4
1
; o) 
  Ctt  332 634
18
1
; p) 
Cxsen 
2
1
8
; 
q) 
Cx  )61cos(
6
1
; r) 
Cv  2cos
2
1
; s) 
Cvsen 33
; t) 
  Cxsen 3
4
3
4
1
. 
 
3) a)  
5
4
23
)(
3 4



x
xf
; b) 
  35
3
1
)(
32  xxf
; 
c) 
232cos4)(  xsenxxxf
; d) 
Cxxxsenxf  34cos2)(
. 
 
3) Integração por partes 
Sejam 
)(xfu 
, 
)(xgv 
 funções deriváveis com derivadascontínuas. O 
método da integração por partes é baseado na regra da derivada do produto de 
duas funções. 
  )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d

 
  )().(')().()(').( xgxfxgxf
dx
d
xgxf 
 
Assim 
dxxgxfxgxfxgxf   )().(')().()(').(
 
Em outra linguagem 
)(xfu 
, 
dxxfdu )('
 
)(xgv 
, 
dxxgdv )('
 
Assim 
  vduuvudv
 
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12 
 
Exemplos: Calcule as integrais. 
a) 
 dxxe
x
 
xu 
, 
dxdu 1
 
dxedv x
, 
xev 
 
CxeCexedxeexdxxevduuvudv xxxxxx   )1(.
 
Portanto 
Cxedxxe xx  )1(
 
Verificação: 
  xxxx xeexeCxe
dx
d
 )1()1(
 
 
b) 
 dxex
x2
 
2xu 
, 
xdxdu 2
 
dxedv x
, 
xev 
 

Cexe
xxxxx
xx
xdxeexxdxeexdxexvduuvudv

  22..
222
CxxeCexeex xxxx  )22(22 22
 
Portanto 
Cxxedxex xx  )22(
22
 
Verificação: 
  xxxx exexxxeCxxe
dx
d 222 )22()22()22( 
 
 
c) 
 dxex
x3
 
3xu 
, 
dxxdu 23
 
dxedv x
, 
xev 
 

Cxxe
xxxxx
x
dxxeexdxxeexdxexvduuvudv

 
)22(
23233
2
33..
CxxxeCexeexex xxxxx  )663(663 2323
 
Portanto 
Cxxxedxex xx  )663(
233
 
Verificação: 
  xxxx exexxxxxeCxxxe
dx
d 322323 )663()663()663( 
 
 
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13 
d) 
 dxex
x32
 
2xu 
, 
xdxdu 2
 
dxedv x3
, 
3
3xe
v 
 

A
x
xxx
x xdxe
ex
xdx
eex
dxexvduuvudv  
3
32332
32
3
2
3
2.
33
.
)1( 
Calculando A 
xu 
, 
dxdu 1
 
dxedv x3
, 
3
3xe
v 
 
C
exe
dx
exe
xdxevduuvudv
xx
C
e
xx
x
x


 9333
33
9
33
3
3

 
Substituindo em (1) temos: 
Cxx
e
C
eexex
dxex
xxxx
x 











 9
2
3
2
393
.
3
2
3
. 2
33332
32 
Portanto 
Cxx
e
dxex
x
x 





 9
2
3
2
3
2
3
32
 
Verificação: 
x
x
x
x
exx
e
xxeCxx
e
dx
d 32
3
232
3
3
2
2
39
2
3
2
9
2
3
2
3

























 
 
e) 
 xdxln
 
xu ln
, 
dx
x
du
1

 
dxdv 
, 
xv 
 
CxxCxxxdxxxdx
x
xxxxdxvduuvudv   )1(lnlnln
1
.ln.ln
Portanto 
Cxxxdx  )1(lnln
 
Verificação: 
  x
x
xxCxx
dx
d
ln
1
.1ln)1(ln 
 
 
 
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14 
f) 
 xdxx 5ln
 
xu 5ln
, 
dx
x
dx
x
du
1
5.
5
1

 
xdxdv 
, 
2
2x
v 
 
C
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
xx
xxdxxvduuvudv   4
5ln
22
5ln
2
1
.
22
.5ln5ln
22222
PortantoC
x
x
x
xdxx  4
5ln
2
5ln
22 
Verificação: 
)5ln(
4
2
5.
5
1
.
2
5ln
2
2
4
5ln
2
222
xx
x
x
x
x
x
C
x
x
x
dx
d







 
 
g) 
 senxdxx
2
 
2xu 
, 
xdxdu 2
 
senxdxdv 
, 
xv cos
 

A
xdxxxxxdxxxxsenxdxxvduuvudv   cos2cos2.cos)cos()1(
222
Calculando A 
xu 2
, 
dxdu 2
 
xdxdv cos
, 
senxv 
 
Cxxsenxsenxdxxsenxsenxdxxsenxxdxxvduuvudv   cos222222cos2
Substituindo em (1) temos: 
Cxxsenxxxsenxdxx  cos22cos
22 
Portanto 
Cxxsenxxxsenxdxx  cos22cos
22
 
Verificação: 
  senxxsenxxxsenxsenxxxxCxxsenxxx
dx
d 222 2cos22cos2cos22cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
Exercícios 
1)Calcule as integrais. 
a) 

 dxxe x
 b) 
 xsenxdx
 c) 
 xdxsenx 4
2
 d) 
 xdxx 5cos
 
e) 

 dxxe x2
 f) 
 xdxx ln
2
 g) 
 xdxx ln
 h) 
  dxex
x)92(
 
i) 
 dxxe
x2
 j) 

 dxex x)13(
 k) 
 dxx
x2
 l) 
 dxx
x5
 
m) 
  dxxx
14)5(
 n) 
  dxxx
10)5(
 o) 
  dxxx
92 )1(
 
 
Gabarito 
1) a) 
Cxex  )1(
; b) 
Csenxxx  cos
; c) 
C
xxxsenxx


32
4cos
8
4
4
4cos2
; 
d) 
C
xxxsen

25
5cos
5
5
; e) 
Cx
e x







 
2
1
2
2 ; f) 
C
x
x
x

9
ln
3
33 ; g) 
Cx
x







3
2
ln
3
2 2
3
; 
h) 
Cxex  )72(
; i) 
C
x
e x 






4
1
2
2
; j) 
Cxe x   )23(
; k) 
Cx
x







2ln
1
2ln
2
; 
l) 
Cx
x







5ln
1
5ln
5
; m)  
C
xxx




240
5
15
)5(
1615 ; n)  
C
xxx




132
1
11
)1(
1211 ; 
o)    
C
xxxxx






660
1
55
1
10
)1(
1211102 ; 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
Seja 
)(xf
uma função e 
)(xg
 uma de seua primitivas. Portanto 
Cxgdxxf  )()(
. 
Teorema fundamental do cálculo: Suponhamos 
f
 contínua em um 
intervalo fechado 
],[ ba
. Definimos a integral definida de 
)(xf
 entre os limites 
a
 e 
b
 como a diferença 
)()( agbg 
, e indicamos simbolicamente 
 
b
a
agbgdxxf )()()(
 
A diferença 
)()( agbg 
 também costuma ser indicada pelo símbolo 
  baxg )(
 ou 
b
a
xg )(
. 
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16 
Esta definição não depende da primitiva considerada, pois se 
)(xh
 for 
outra primitiva de 
)(xf
, então a diferença entre 
)(xh
e 
)(xg
 é uma constante; 
consequêntemente 
)()()()( ahbhagbg 
. 
 
4) Propriedades da integral definida 
a) 
   
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
. 
b) 
 
b
a
b
a
dxxfCdxxCf )()(
; 
C
 é uma constante real. 
c) 
 
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
. 
d) 
 
a
a
dxxf 0)(
. 
e) Se 
bca 
 então 
  
c
a
b
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
. 
 
Exemplos: Calcule as intregais definidas. 
a) 

5
2
2dxx
 
Como 
  C
x
dxx
3
3
2
, uma das primitivas da função dada é 
3
3x
. 
Assim: 
   
39
3
117
3
2
3
5
3
335
2
3
5
2
2 






x
dxx
 
 
b) 

2
1
1
dx
x
 
Temos: 
  2ln1ln2ln||ln1 21
2
1
 xdxx
 
 
c) 
 
3
2
2 )56( dxx 
              4563910161554252235325
3
6
)56(
33
3
2
3
3
2
2 







 x
x
dxx
 
 
 
 
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17 
d) 
 
2
1
23 )1( dxx 
       
























  12
1
7
1
2
2
2
7
2
4
2
7
)12()1(
47472
1
2
1
47
36
2
1
23 x
xx
dxxxdxx
14
405
14
42105258
3
2
15
7
129
1
2
1
7
1
2
2
16
7
128



 
 
 
e) 
 






4
1 3
32
25 dx
x
xx
 
4
1
2
2
3
2
4
1
22
3
2
4
1
32
1
4
1 3
16
3
4
2
5
2
32
2
3
2
2
5
3225
32
25







































 x
xxxxx
dxxxxdx
x
xx
   
 
   
  

























 16
3
4
2
5
1
3
8.4
8.5
1
16
3
14
2
15
4
16
3
44
2
45
2
32
2
32
 
6
259
6
1556330
2
5
3
28
5516
3
4
2
5
1
3
32
40 


 
 
f) 
 
10
2 15
3
dx
x
 
dx
du
dxduxu 
5
515 
 102
10
2
2
1
10
2
2
1
10
2
2
1
10
2
10
2
152
5
3
2
5
3
2
15
3
5
3
5
1
3
15
1
3 

















 

xu
u
duu
du
u
dx
x
 
   
5
24
614
5
3
92492
5
3

 
 
Exercícios 
1) Calcule as integrais definidas. 
a) 
  
4
1
2 34 dxxx 
b) 
  
3
2
245 dxxx 
c) 
  
3
2
3 138 dzzz
 
d)
   
2
0
34 2 dzzz 
e) 

12
7
dx 
f) 



1
6
8dx
 
g) 

2
1 6
5
dx
x 
h) 

4
1
516 dxx 
i) 

9
4
3
dt
t
t
 
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18 
j) 

2
1 3
72
dt
t
t
 
k) 
  
8
8
3 2 2 dss 
l) 
  
0
1
32 dssss
 
m) 
  
0
1
2
32 dxx 
n) 
  

2
1
45 54 dxxx 
o) 
 
2
3
2
1
1
dx
x
x
 
p) 



1
0
3
2
8
dx
x
x
 
q) 
  
1
1
1002 54 dxx 
r) 

3
1 2
23 542
dx
x
xx
 
s) 










1
2
2
1
dx
x
x 
t) 
 
4
1
5 dxx
 
 
Gabarito 
1)a) 
18
 
; b) 
6
115

; c) 
2
265
; d) 
5
8

; e) 
5
; f) 
40
; g) 
32
31
; h) 
7
1016
; i) 
3
20
; j) 
8
45

; 
k)5
352
; l)
 70
1

; m)
 3
13
; n)
 16
481

; o)
 2
7

; p)
 3
16

; q)
 
0
; r) 
3
10
; s) 
6
5
; t) 
3
14
. 
 
 
Seja 
)(xf
 
uma função contínua e não negativa definida num intervalo 
 ba,
. A integral definida 

b
a
dxxf )( 
representa a área da região compreendida entre 
o gráfico de 
)(xf
, o eixo 
x
 e as vertivais que passam por 
a
 
e 
b
. Veja afigura 
abaixo. 
 
A área destacada representa a integral definida de 
)(xf
 entre 
a
 
e 
b
. 
Assim, indicando por 
A
 a área destacada da figura acima, teremos: 

b
a
dxxfA )(
 
Caso 
)(xf
 
seja negativa no intervalo 
 ba,
, a área 
A
 
da da região 
delimitada pelo gráfico de 
)(xf
, eixo 
x
, e pelas verticais que passam por 
a
 
e por 
b
 é dado por: 

b
a
dxxfA )( 
 
 
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19 
Vejamos a figura abaixo. 
 
A área destacada é o oposto da integral definida. 
De fato, se considerarmos a função 
)()( xfxh 
 definida no intervalo 
 ba,
, teremos o gráfico da figura abaixo: 
 
Gráfico de 
)(xf
 
é 
)(xf
 . 
Como os gráficos de 
)(xf
 e 
)(xh
são simétricos em relação ao eixo 
x
, a 
área compreendida entre 
)(xh
, eixo 
x
, e as verticais que passam por 
a
 
e 
b
 é igual 
à área compreendida entre 
)(xf
, eixo 
x
, e as verticais que passam por 
a
 
e 
b
. 
Logo, indicando por 
A
 a referida área teremos: 
 
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxhA )()()(
 
 
Exemplos: Calcule as áreas destacadas abaixo: 
a) 
 
   
3
26
3
1
3
3
3
333
1
3
3
1
2 





 
x
dxxA
 
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20 
b) 
 
         
2
9
2
03
3
0
2
33
3
3
2
3
3
3
23233
0
23
3
0
2 






















xx
dxxx
 
Logo , a área destacada 
A
 vale: 
2
9
2
9






A
 
 
c) 
 
Chamando de 
1A
 a área destacada quando 
)(xf
 é negativa, e 
2A
quando 
)(xf
 é positiva, teremos: 
 
2
9
3
3
0
2
1   dxxxA
 
         
6
11
2
33
3
3
2
43
3
4
2
3
3
3
23234
3
23
4
3
2
2 





















 
xx
dxxxA
 
Logo a área destacada vale 
3
19
6
11
2
9
21  AA
. 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
Exercícios 
1)Obtenha as áreas destacadas 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) f) 
 
g) h) 
 
 
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22 
i) 
 
 
Gabarito 
1) a) 
3
1
; b) 
9
; c) 
2ln
; d) 
2ln4
; e)
 3
8
; f)
 2
9
; g)
 
4
; h)
 3
8
; i) 
4
. 
 
 
INTEGRAIS DUPLAS 
 
Se 
f
 for contínua no retângulo 
  dycbxabyxR  ;/,
, então 
calculamos a integral dupla de 
f
 em 
R
 através de integrais iteradas, como 
mostrada abaixo na figura e pelo Teorema de Fubini. 
 
 
Teorema de Fubini: A integral dupla de uma função contínua 
),( yxf
 
num retângulo 
   dcxbaR ,,
 é igual à integral iterada (em qualquer ordem): 
   







d
c
b
a
b
a
d
c
R
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
 
 
Exemplos: a) Calcule o valor da integral 
dAyx
R

2
, onde 
   2,13,0 xR 
. 
   
dx
xx
dx
yx
dydxyxdAyx
R
 























3
0
2222
3
0
2
1
22
3
0
2
1
22
2
1
2
2
2
 
   
2
27
2
0
2
3
26
3
2
3
22
4
333
0
3
3
0
3
3
0
2
3
0
22






























 
xx
dx
x
dx
xx
 
 
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23 
ou    
dy
yy
dy
yx
dxdyyxdAyx
R
 























2
1
33
2
1
3
0
3
2
1
3
0
22
3
0
3
3
3
 
     
2
27
2
9
2
36
2
19
2
29
2
9
9
222
1
2
2
1






 
y
dyy
 
 
b) Calcule a integral 
 dAyxx
R
 
262
,onde 
   2,14,1  xR
. 
        
4
1
2
1
22
4
1
2
1
22 326262 dxyxxydydxyxxdAyxx
R
 
               dxxxxxdxxxxx  
4
1
22
4
1
2222 3212413122322
 
              234131343433396 32324132
4
1
2   xxdxxx
 
 
Pode-se definir como a integral uma integral dupla iterada sobre a região 
xR
 ou 
yR
 do tipo exibido abaixo: 
 
 
dxdyyxfdydxyxf
b
a
xg
xg
b
a
xg
xg    



)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(
 
dydxyxfdxdyyxf
d
c
yh
yh
d
c
yh
yh    



)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(
 
 
Exemplos: Calcule as integrais duplas. 
a) 
 dydxyxx
x  
2
0
2
2
2
4
 
          


 
2
0
4423
22
0
22
2
0
2
2 28224
22
dxxxxxdxyyxdxdyyx
x
x
x
x
 
 
15
152
15
288320120
5
96
3
64
8
5
3
3
8
2
382
2
0
2
0
534
423 








xxx
dxxxx
 
 
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Campus Alegrete 
RS – 377 km 27 – Passo Novo 
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24 
b) 
 dxdyxy
y
 
3
1
6
2
cos2
 
    dyyysenydysenyydyysenxdydxxy
yy
   














 3
1
3
1 (*)
22
6
3
1
3
1
6
2
2
1
22cos2
2
2

 
9cos1cos4
21
1cos
2
9
9cos
2
1
1cos
2
9
9cos
2
cos
3
1
2
2 


















y
y
 
Calculo de (*): 
  
22 coscos2 yusenududyyseny
 
ydyduyu 22 
 
 
Exercícios 
1) Calcule as integrais duplas. 
a) 
   
2
1
2
1
32 812 dxdyxxy
 b) 
  
2
1 1
2 dxdyyx
x
x
 c) 
   
2
0
2
2
4 dydxyx
y
y
 
d) 
  





2
1 3
dxdye
x
x
x
y e) 
    
4
1
2
1
2 dydxxy
 f) 
  
1
0
3
2
2 dydxxy
y
y
 
g) 
  
2
0 0
2
2
cos dxdyxyx
x
 h) 
  
2
0
2
0
2
dydxe
y
y
 i) 
  
4
0 0
2cos dxdyxy
x
 
j) 
  







2
0 0 7
3
16
dxdy
x
yx
 k) 
 
2
0
4
3
dxdy
x
x
 l) 
 
2
0
2
2 dydx
y
y
 
 
Gabarito 
a)
36
; b) 
120
163
; c) 
5
36
; d) 
 44
2
1
ee
; e) 
2
75
; f) 
2
1
; g) 
 8cos1
3
1

; h) 
 1
4
1 4 e
; 
i) 
4
16sen
; j) 
7
12
; k) 
4
; l) 
3
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
INTEGRAIS TRIPLAS 
 
As integrais triplas de 
funções 
),,( zyxf
 de três variáveis são 
uma generalização bastante imediata 
das integrais duplas. Em vez de um 
retângul a figura abaixo. 
 
  qzpdycbxabzyxQ  ;;/,,
 
Consistindo em todos os 
pontos 
),,( zyx
em 3R . 
 
 
 
 
 
Teorema de Fubini para integrais triplas: Se 
),,( zyxf
 for contínua em 
     qpxdcxbaQ ,,,
 então existe a integral tripla e é igual à integral iterada: 
   
b
a
d
c
q
p
Q
dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(
 
Além disso, a integral iterada pode ser calculada em qualquer ordem. 
 
Observação: A notação 
dA
, usada anteriormente, sugere área e ocorre nas 
integrais duplas em domínios no plano. Analogamente, 
dV
 sugere volume e ocorre 
em integrais triplas em região de 3R . 
 
Exemplos: Calcule as integrais triplas. 
a) 
  
Q
dVyzxy 32
 
se 
  20;43;11/,,  zyxbzyxQ . 
    dxdyyzzxydxdydzyzxydxdydzyzxy        








 
1
1
4
3
2
0
4
2
1
1
4
3
2
0
32
1
1
4
3
2
0
32
4
 
          dxdyyxydxdyyxyyxy     
























1
1
4
3
2
1
1
4
3
4
2
4
2 42
4
0
0
4
2
2
 
            

































 
1
1
2
3
2
3
1
1
4
3
2
3
1
1
4
3
2 32
3
32
42
3
42
2
3
2
42 dx
xx
dxy
xy
dxdyyxy
 
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26 
1
1
2
1
1
1
1
14
6
74
14
3
74
18
3
54
32
3
128

 




























  x
x
dx
x
dx
xx 
        28141414
6
74
14
6
74
114
6
174
114
6
174
22














































 
 
 
b) 
dxdydzz
yx
yx  


3
0
2
0
53
 
   
dxdy
yxyx
dxdy
z
dxdydzzdxdydzz
yx
yx
yx
yx
yx
yx        




 


















3
0
2
0
22
3
0
2
0
53
2
3
0
2
0
533
0
2
0
53
22
53
2
      dxdyyxyxdxdyyxyxyxyx    


 




 



3
0
2
0
22
3
0
2
0
2222
12144
2
2
2
25309
 
                 dxxxxxdxyxyyx  
3
0
322322
2
0
3
0
322 040704242724474
 
     29496126723214
3
8
32288
3
0
2
3
3
0
2 





  xx
x
dxxx
 
 
c) 
dxdydz
x
y
  
2
2
4 4
02
 
    dxdyydxdyzdxdydzdxdydz
xx
y
x
y
x
y
       








 




2
2
42
2
4 4
0
2
2
4 4
0
2
2
4 4
0 2222
4
 
          dxxxdxxxdxyy
x
  











































2
2
4
2
2
2
22
2
2
2
2
4
2
2
4816
2
4
2
4
44
2
4
2
 


























 163
32
10
32
16
3
32
10
32
8
3
4
10
84
2
2
2
35
2
2
2
4
x
xx
dxx
x 
15
256
30
512
30
960640192
32
3
64
10
64









 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
Exercícios 
1) Calcule as integrais triplas. 
a) 
  dzdydxzyx   
3
0
0
1
2
1
42
 b) 
  dydxdzxyzx   
1
0
2
1
3
1
22 56
 
c) 
dxdzdyx
x
x
zx
z  
1
0
2
1
 d) 
dzdxdyz
z zx
zx  


2
1 0
3
 
e) 
  dxdydzyxx yx  
2
1 1 0
2
2
2
 f) 
  dydzdxzyx
y yz
   
3
2
3
0 1
2
 
g) 
dzdydx
z z
  
 1
1
2
0
4
0
2
 h) 
dxdydz
x
   
3
3
2
1
9
0
2
 
i) 
dxdzdy
x
x
z
  
1
0 0
2
3
2
 j) 
dxdzdy  
6
0
1
1
3
0
 
 
Gabarito 
a) 
2
39
; b) 
77
; c) 
12
1

; d) 
21
; e) 
8
513
; f) 
5
7561
; g) 
3
40
; h) 
108
; i) 
70
1
; j) 
36
.