MATRIZES

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Universidade Federal de Pelotas – UFPEL 
Centro de Desenvolvimento Tecnológico – CDTec 
Curso de Engenharia de Petróleo 
Curso de Engenharia Geológica 
Vetores e Álgebra Linear (1410003) 
 
 
INTRODUÇÃO 
Matriz: Chama – se de matriz de ordem 𝑚 por 𝑛 a 
um quadro de 𝑚 × 𝑛 elementos dispostos em 𝑚 linhas e 
𝑛 colunas. 
Elementos: 
1. Números; 
2. Polinônios; 
3. Funções e etc ... 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
2 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3
 
⋮ ⋮
… 𝑎𝑚𝑛
 
REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS DA 
MATRIZ 
1. Cada elemento da matriz 𝐴 está afetado de dois 
índices 𝑎𝑖𝑗; 
2. O primeiro índice indica a linha e o segundo a 
coluna a que o elemento pertence. 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
3 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3
 
⋮ ⋮
… 𝑎𝑚𝑛
 
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ 
3. A matriz 𝐴 pode ser representada abreviadamente 
por 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ; 
4. i varia de 1 𝑎 𝑚 (𝑖 = 1,2,3,4 … 𝑚); 
5. j varia de 1 𝑎 𝑛 (𝑗 = 1,2,3,4 …𝑛). 
M
AT
R
IZ
ES
 
4 
ORDEM DA MATRIZ - NOTAÇÃO 
Se a matriz 𝐴 é de ordem 𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑛, costuma – se 
escrever simplesmente 𝐴(𝑚,𝑛). 
 
Exemplo: Se uma matriz 𝐴 tiver 3 linhas e 4 colunas, 
escreve – se simplesmente: 
𝐴(3,4) 
Diz – se que a ordem da matriz é 3 por 4. 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
5 
MATRIZ RETANGULAR 
Matriz em que 𝑚 ≠ 𝑛. 
M
AT
R
IZ
ES
 
6 
MATRIZ COLUNA (OU VETOR COLUNA) 
Matriz em que 𝑛 = 1. 𝑨 =
𝒂𝟏𝟏
𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟏
⋮
𝒂𝒎𝟏
=
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒂𝟑
⋮
𝒂𝒎
 
 
MATRIZ LINHA (OU VETOR LINHA) 
M
AT
R
IZ
ES
 
7 
Matriz em que m = 1. 
𝑨 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 … 𝒂𝟏𝒏 ∴ 𝐀 = 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 … 𝒂𝒏 
 MATRIZ QUADRADA 
O número de linhas é igual ao número de coluna, 
ou seja, 𝑚 = 𝑛. 
A ordem da matriz é 
𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑛 ou simplesmente 𝑛. 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3
 
⋮ ⋮
… 𝑎𝑛𝑛
 
DIAGONAL PRINCIPAL 
M
AT
R
IZ
ES
 
8 
1. A matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 de ordem 𝑛, os elementos 𝑎𝑖𝑗, em 
que 𝑖 = 𝑗. 
2. A diagonal é formada pelos elementos: 
𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝟐𝟐, 𝒂𝟑𝟑 … 𝒂𝒏𝒏 
Exemplo: Seja 𝐴 =
1 4 2
2 3 5
4 1 6
: 
 
O termo ordenado (1,3,6) constitui a diagonal 
principal da matriz 𝐴. 
 
 
TRAÇO DE UMA MATRIZ 
M
AT
R
IZ
ES
 
9 
Dada uma matriz quadrada 𝐴, de ordem 𝑛, o 
traço de uma matriz é a soma de todos os 
elementos da diagonal principal. 
 
Exemplo: Seja 𝐴 =
1 4 2
2 3 5
4 1 6
: 
𝑡𝑟𝑎ç𝑜 𝐴 = 1 + 3 + 6 = 10 
 
 
 
DIAGONAL SECUNDÁRIA 
M
AT
R
IZ
ES
 
10 
1. A matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 de ordem 𝑛 , os 
elementos 𝑎𝑖𝑗, em que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1. 
2. A diagonal é formada pelos elementos: 
𝒂𝟏𝒏, 𝒂𝟐 𝒏−𝟏, 𝒂𝟑 𝒏−𝟐 … 𝒂𝒏𝟏 
Exemplo: Seja 𝐴 =
1 4 2
2 3 5
4 1 6
 
𝑛 = 3 Os elementos da diagonal secundária 
 serão: 𝑎13, 𝑎22, 𝑎31 = (2,3,4) 
 
 
MATRIZ DIAGONAL 
M
AT
R
IZ
ES
 
11 
A matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 que tem os elementos 
𝑎𝑖𝑗 = 0, quando 𝑖 ≠ 𝑗. 
𝐴 =
𝑎11 0 0
0 𝑎22 0
0 0 𝑎33
 
… 0
… 0
… 0
 
⋮ ⋮ ⋮
0 0 0
 
⋮ ⋮
… 𝑎𝑛𝑛
 
EXEMPLO: 
𝐴 =
1 0 0
0 3 0
0 0 6
 
 
 
 
 
 
MATRIZ ESCALAR 
M
AT
R
IZ
ES
 
12 
A matriz diagonal que tem elementos 𝑎𝑖𝑗 iguais entre 
si para 𝑖 = 𝑗. 
EXEMPLO: 𝐴 =
5 0 0
0 5 0
0 0 5
 
 
 
 
 
MATRIZ IDENTIDADE 
A matriz escalar de qualquer ordem que tem os 
elementos 𝑎𝑖𝑗= 1 para 𝑖 = 𝑗. 
EXEMPLO: 𝐼 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
MATRIZ ZERO 
M
AT
R
IZ
ES
 
13 
Matriz cujos elementos 𝑎𝑖𝑗 são todos nulos. 
EXEMPLO: 0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
Duas matrizes A = 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 , de ordem 
(𝑚 × 𝑛), são iguais se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . 
EXEMPLO: 
2 4 6
3 1 0
0 2 2
=
2 4 6
3 1 0
0 2 2
 
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
ADIÇÃO DE MATRIZES 
M
AT
R
IZ
ES
 
14 
A soma de duas matrizes A = 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 , de 
ordem (𝑚 × 𝑛), é a matriz C = 𝑐𝑖𝑗 . 
𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
+
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
= 
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎13 + 𝑏13
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 𝑎23 + 𝑏23
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
15 
EXEMPLO: Sejam as matrizes: 
A =
5 −2 3
2 1 −4
1 0 2
3 −1 4
 e B =
−2 1 3
4 2 5
0 2 −2
−3 0 5
 
Determinar 𝐴 + 𝐵: 
5 −2 3
2 1 −4
1 0 2
3 −1 4
+
−2 1 3
4 2 5
0 2 −2
−3 0 5
=
3 −1 6
6 3 1
1 2 0
0 −1 9
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO DE MATRIZES 
M
AT
R
IZ
ES
 
16 
OBSERVAÇÃO: 
A diferença 𝐴 − 𝐵 de duas matrizes de ordem (𝑚, 𝑛) 
é uma matriz 𝐶: 𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋 
PROPRIEDADES: 
I. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
II. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 
III. −𝐴 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 0 
IV. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
 
 
 
ADIÇÃO DE MATRIZES 
PRODUTO DE MATRIZ POR UM ESCALAR 
M
AT
R
IZ
ES
 
17 
Se λ é um escalar, o produto da matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 
por esse escalar é a matriz B = 𝑏𝑖𝑗 . 
𝒃𝒊𝒋 = λ 𝒂𝒊𝒋 
EXEMPLO: Seja λ= 5 e a matriz 𝐴 = 
4 −2 1
3 −5 0
, 
determinar o valor para a nova matriz: 
𝐵 = λ𝐴 
𝐵 = 5 ×
4 −2 1
3 −5 0
=
20 −10 5
15 −25 0
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
18 
PROPRIEDADES: 
I. (λμ)𝐴 =λ(𝜇𝐴) 
II. (λ+𝜇)𝐴 = λ𝐴 + 𝜇𝐴 
III. λ(𝐴 + 𝐵) = λ𝐴 + λ𝐵 
IV. 1𝐴 = 𝐴 
 
 
 
 
PRODUTO DE MATRIZ POR UM ESCALAR 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA 
M
AT
R
IZ
ES
 
19 
Sejam as matrizes 𝐴(1,4) e 𝐵(4,1). 
𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 ; 𝐵 =
𝑏11
𝑏21
𝑏31
𝑏41
 
O produto 𝐴𝐵 é 𝐶(𝑚𝐴,𝑛𝐵), ou seja 𝐶(1,1). 
𝐶 = 𝑎11 × 𝑏11 + 𝑎12 × 𝑏21 + 𝑎13 × 𝑏31 + 𝑎14 × 𝑏41 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
20 
OBSERVAÇÕES: 
I. A condição necessária para que ocorra a 
multiplicação das matrizes é: 𝒏𝑨 = 𝒎𝑩 
II. A ordem da matriz produto 𝐶 é definida pelo 
número de linhas da matriz 𝐴 (𝑚𝐴) e pelo número 
de colunas da matriz 𝐵 (𝑚𝐵). 
EXEMPLO: Sejam as matrizes 𝐴 1,4 𝑒 𝐵(4,2), a matriz 
produto 𝐶: 𝐶(1,2) 
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA 
M
AT
R
IZ
ES
 
21 
EXEMPLO: Sejam as matrizes: 
𝐴 = 4 3 2 5 e 𝐵 =
6 1
4 2
5 7
3 4
 
Determinar a matriz produto 𝐶: 
A matriz 𝐴: 𝐴(1,4); A matriz 𝐵: 𝐵(4,2); 
A matriz produto 𝐶 será: 𝐶(1,2) 
𝐶 = 4 × 6 + 3 × 4 + 2 × 5 + 5 × 3 4 × 1 + 3 × 2 + 2 × 7 + 5 × 4 
𝐶 = 61 44 
 
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA 
M
AT
R
IZ
ES
 
22 
I. A existência da matriz produto 𝐴𝐵 não implica na 
existência do produto 𝐵𝐴. 
Exemplo: 𝐴(3,5) × 𝐵(5,6) = 𝐶(3,6) 
𝐵(5,6) × 𝐴(3,5) → 𝐼𝑀𝑃𝑂𝑆𝑆Í𝑉𝐸𝐿 𝑛𝐴 ≠ 𝑚𝐵 
II. Mesmo quando as multiplicações 𝐴 × 𝐵 e 𝐵 × 𝐴 são 
possíveis, os dois produtos, em geral, são diferentes. 
Exemplo: 𝐴(4,3) × 𝐵(3,4) = 𝐶(4,4) 
 𝐵(3,4) × 𝐴(4,3) = 𝐷(3,3) 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
23 
III. Ainda que as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵 fossem quadradas de 
ordem 𝑛, os produtos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 seriam também 
matrizes quadradas de ordem 𝑛, e ainda assim, em 
geral, difeririam. Logo, a multiplicaçãoentre duas 
matrizes não é comutativa. 
EXEMPLO: 
𝐴 =
1 2
3 4
 𝐵 =
5 7
6 8
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
24 
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 =
1 2
3 4
×
5 7
6 8
 
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 =
1 × 5 + 2 × 6 1 × 7 + 2 × 8
3 × 5 + 4 × 6 3 × 7 + 4 × 8
 
𝑨 × 𝑩 = 𝑨𝑩 =
𝟏𝟕 𝟐𝟑
𝟑𝟗 𝟓𝟑
 
 
𝐵 × 𝐴 = 𝐵𝐴 =
5 7
6 8
×
1 2
3 4
 
𝐵 × 𝐴 = 𝐵𝐴 =
5 × 1 + 7 × 3 5 × 2 + 7 × 4
6 × 1 + 8 × 3 6 × 2 + 8 × 4
 
𝑩 × 𝑨 = 𝑩𝑨 =
𝟐𝟔 𝟑𝟖
𝟑𝟎 𝟒𝟒
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
25 
Porém, existem matrizes 𝐴 e 𝐵, tal que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. 
1º CASO: Multiplicação de matrizes quadradas, sendo 
que uma delas é identidade. 
Exemplo: 𝐴 =
3 2
5 7
; 𝐼 =
1 0
0 1
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
26 
𝐴 × 𝐼 = 𝐴𝐼 =
3 2
5 7
×
1 0
0 1
 
𝐴 × 𝐼 = 𝐴𝐼 =
3 × 1 + 2 × 0 3 × 0 + 2 × 1
5 × 1 + 7 × 0 5 × 0 + 7 × 1
 
𝑨 × 𝑰 = 𝑨𝑰 =
𝟑 𝟐
𝟓 𝟕
 
 
𝐼 × 𝐴 = 𝐼𝐴 =
1 0
0 1
×
3 2
5 7
 
𝐼 × 𝐴 = 𝐼𝐴 =
1 × 3 + 0 × 5 1 × 2 + 0 × 7
0 × 3 + 1 × 5 0 × 2 + 1 × 7
 
𝑰 × 𝑨 = 𝑰𝑨 =
𝟑 𝟐
𝟓 𝟕
 
 
𝑨 × 𝑰 = 𝑰 × 𝑨 = 𝑨 
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
27 
2º CASO: Sejam matrizes 𝐴 e 𝐵, sendo que a matriz 
𝐵 é a inversa de 𝐴: 
Exemplo: 𝐴 =
11 3
7 2
 ; 𝐵 = 𝐴−1 =
2 −3
−7 11
 
 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
28 
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 =
11 3
7 2
×
2 −3
−7 11
 
𝐴𝐵 =
11 × 2 + 3 × (−7) 11 × −3 + 3 × 11
7 × 2 + 2 × (−7) 7 × (−3) + 2 × 11
 
𝑨𝑩 =
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
 
 
𝐵 × 𝐴 = 𝐵𝐴 =
2 −3
−7 11
×
11 3
7 2
 
𝐵𝐴 =
2 × 11 + (−3) × 7 2 × 11 + (−3) × 7
(−7) × 11 + 11 × 7 (−7) × 11 + 11 × 7
 
𝑩𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
 
 
𝑨 × 𝑨−𝟏 = 𝑰 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
OBSERVAÇÕES 
M
AT
R
IZ
ES
 
29 
I. Dadas as matrizes 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 de ordem 
𝑚,𝑛 , 𝑛, 𝑝 𝑒 (𝑝, 𝑟), respectivamente, tem – se: 
𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) 
II. Dadas as matrizes 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 de ordem 
𝑚,𝑛 , 𝑚, 𝑛 𝑒 (𝑛, 𝑝), respectivamente, tem – se: 
𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 
III. Dadas as matrizes 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 de ordem 
𝑛, 𝑝 , 𝑛, 𝑝 𝑒 𝑚, 𝑛 , respectivamente, tem – se: 
𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 
 
 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
PROPRIEDADES 
M
AT
R
IZ
ES
 
30 
IV. A matriz 𝐴(𝑚,𝑛), tem – se: 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴 
V. Dadas as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵 de ordem 𝑚, 𝑛 𝑒 𝑛, 𝑝 , 
respectivamente, tem – se para todo número λ: 
(λ𝐴)𝐵 = 𝐴(λ B)= λ(𝐴𝐵) 
VI. A multiplicação matricial é, em geral, não 
comutativa. 
 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
PROPRIEDADES 
M
AT
R
IZ
ES
 
31 
VII. Dadas as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵 , se o produto entre elas for 
a matriz zero 0 , não é necessário que 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 sejam 
matrizes zero. 
0 1
0 1
1 1
0 0
=
0 0
0 0
 
Entretanto, se 𝐴𝐵 = 0 qualquer que seja 𝐵, então 
𝐴 = 0. 
Do mesmo modo se 𝐴𝐵 = 0, qualquer que seja 𝐴, 
então 𝐵 = 0. 
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA - 
PROPRIEDADES 
MATRIZ TRANSPOSTA 
M
AT
R
IZ
ES
 
32 
A matriz transposta da matriz 𝐴, de ordem 𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑛, 
é a matriz 𝐴𝑇, de ordem 𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑚, que se obtém da 
matriz 𝐴 permutando as linhas pela colunas de mesmo 
índice. 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
 
 
 
 
𝐴𝑇 =
𝑎11 𝑎21
𝑎12 𝑎22
𝑎13 𝑎23
 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
33 
PROPRIEDADES: 
I. 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 
II. 𝛼𝐴 𝑇 = 𝛼𝐴𝑇 
III. 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴 
IV. 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 
 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
MATRIZ SIMÉTRICA 
M
AT
R
IZ
ES
 
34 
Uma matriz quadrada 𝑆 = 𝑎𝑖𝑗 é simétrica se 
𝑆 = 𝑆𝑇. 
EXEMPLO: 𝑆 = 𝑆𝑇 =
1 5 9
5 3 8
9 8 7
 
OBSERVAÇÕES: 
A. Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz simétrica, os elementos 
dispostos simetricamente em relação à diagonal 
principal são iguais, isto é, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
35 
2. O produto de uma matriz quadrada 𝐴 pela sua 
transposta 𝐴𝑇 é uma matriz simétrica. 
EXEMPLO: 𝐴 =
2 0 2
1 −1 2
0 3 0
∴ 𝐴𝑇 =
2 1 0
0 −1 3
2 2 0
 
𝑆 = 𝐴𝐴𝑇 =
2 0 2
1 −1 2
0 3 0
×
2 1 0
0 −1 3
2 2 0
 
𝑆 =
8 6 0
6 6 −3
0 −3 9
 ∴ 𝑆𝑇 =
8 6 0
6 6 −3
0 −3 9
 
𝑆 = 𝑆𝑇 
 
 
MATRIZ SIMÉTRICA - OBSERVAÇÕES 
MATRIZ ANTI - SIMÉTRICA 
M
AT
R
IZ
ES
 
36 
Uma matriz quadrada A = 𝑎𝑖𝑗 é anti - simétrica se 
𝐴𝑇 = −𝐴. 
EXEMPLO: 
A =
0 3 4
−3 0 −6
−4 6 0
∴ 𝐴𝑇 =
0 −3 −4
3 0 6
4 −6 0
 
 
Logo: 𝐴𝑇 = −𝐴 
OBSERVAÇÃO: Se A = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz anti – 
simétrica, os elementos dispostos simetricamente em 
relação à diagonal principal são opostos e os elementos 
da diagonal principal são nulos. 
 
 
MATRIZ ORTOGONAL 
M
AT
R
IZ
ES
 
37 
Uma matriz quadrada M = 𝑎𝑖𝑗 é ortogonal se 
𝑀−1 = 𝑀𝑇. 
Ou seja: 𝑴𝑴𝑻 = 𝑴𝑻𝑴 = 𝑰 
EXEMPLO: 𝑀 =
1
2 
3
2 
3
2 −
1
2 
∴ 𝑀𝑇 =
1
2 
3
2 
3
2 −
1
2 
 
𝑀𝑀𝑇 = 𝑀𝑇𝑀 =
1
2 
3
2
 
3
2
 −1 2 
×
1
2 
3
2
 
3
2
 −1 2 
 
𝑀𝑀𝑇 = 𝑀𝑇𝑀 =
1 0
0 1
 
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR - MTS 
M
AT
R
IZ
ES
 
38 
Uma matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma MTS se todos 
os elementos situados abaixo da diagonal principal são 
iguais a zero. 
𝑎𝑖𝑗 = 0 → 𝑖 > 𝑗 
 
EXEMPLO: 
𝐴 =
1 4 2
0 3 5
0 0 6
 
 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR - MTI 
M
AT
R
IZ
ES
 
39 
Uma matriz quadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma MTI se todos 
os elementos situados acima da diagonal principal são 
iguais a zero. 
𝑎𝑖𝑗 = 0 → 𝑖 < 𝑗 
 
EXEMPLO: 
𝐴 =
1 0 0
7 3 0
2 4 6
 
 
MATRIZES EQUIVALENTES 
M
AT
R
IZ
ES
 
40 
É a matriz obtida após uma sequência de operações 
elementares por linhas. 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRES LINHAS 
1. Troca entre si de duas linhas da matriz; 
2. Multiplicação de uma linha da matriz por um 
número escalar e; 
3. Substituição de uma linha da matriz pela soma com 
um múltiplo escalar de outra linha. 
MATRIZES EQUIVALENTES POR LINHAS 
M
AT
R
IZ
ES
 
41 
1. TROCA ENTRE SI DE DUAS LINHAS DA MATRIZ: 
𝐿𝐼 ↔ 𝐿𝐾 
𝐴 =
1 2 3
0 −3 4
0 −1 −3
𝐿2 ↔ 𝐿3
1 2 3
0 −1 −3
0 −3 4
 
 
2. MULTIPLICAÇÃO DE UMA LINHA DA MATRIZ POR 
UM NÚMERO ESCALAR: α𝐿𝐼 → 𝐿𝐼 
𝐴 =
1 2 3
0 −3 4
0 −1 −3
−
1
3
𝐿2→ 𝐿2
1 2 3
0 1 −4 3 
0 −1 −3
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
42 
3. SUBSTITUIÇÃO DE UMA LINHA DA MATRIZ PELA 
SOMA COM UM MÚLTIPLO ESCALAR DE OUTRA 
LINHA: 
𝐿𝐼 + α𝐿𝐾 → 𝐿𝐼 
𝐴 =
1 2 3
0 −3 4
0 1 −3
𝐿2 + 3𝐿3 → 𝐿3
1 2 3
0 −3 4
0 0 −5
 
MATRIZES EQUIVALENTES POR LINHAS 
MATRIZ ESCALONADA 
M
AT
R
IZ
ES
 
43 
I. Todas as linhas nulas estão abaixo das linhas não 
nulas. 
OBSERVAÇÃO: O primeiro elemento não nulo de 
uma matriz é chamado de PIVOT. 
II. Abaixo do PIVOT de uma linha todos os elementos 
são nulos. 
III. O PIVOT da linha 𝑖 + 1 está a direita do PIVOT da 
linha 𝑖. EXEMPLO: 𝐴 =
1 4 1
0 0 2
0 0 0
 
2 5
3 1
3 6
 
MATRIZ ESCALONADA REDUZIDA 
M
AT
R
IZ
ES
 
44 
Uma matriz escalonada está na forma reduzida 
quando: 
I. Os seus PIVOTs são iguais a 1; 
II. Os PIVOTs são os únicos elementos não nulos de sua 
coluna. 
EXEMPLO:𝐴 =
1 0 0
0 1 1
0 0 0
 
0 3
0 2
1 1
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 
45 
EXERCÍCIO: Transformar a matriz 𝐶 em matriz 
escalonada e escalonada reduzida: 
𝐶 =
1 2 3
2 1 3
1 1 3
 
1
−1
−2
 
I. Matriz Escalonada: 
Operações adotadas: 
𝐿2 − 2𝐿1 → 𝐿2 
𝐿1 − 𝐿3 → 𝐿3 
𝐿2 + 3𝐿3 → 𝐿3 
MATRIZ ESCALONADA REDUZIDA 
𝐶𝑒𝑠𝑐 =
1 2 3
0 −3 −3
0 0 −3
 
1
−3
6
 
M
AT
R
IZ
ES
 
46 
II. Matriz Escalonada Reduzida: 
Operações adotadas: Aplicadas na matriz escalonada 
 
−
1
3
𝐿2→ 𝐿2 
−
1
3
𝐿3 → 𝐿3 
𝐿1 − 2𝐿2 → 𝐿1 
𝐿1 − 𝐿3 → 𝐿1 
𝐿2 − 𝐿3 → 𝐿2 
 
 
 
𝐶𝑒𝑠𝑐,𝑟𝑒𝑑 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
1
3
−2
 
MATRIZ ESCALONADA REDUZIDA 
CARACTERÍSCTICA DE UMA MATRIZ 
M
AT
R
IZ
ES
 
47 
É o número de linhas não nulas da matriz 
escalonada reduzida. 
EXEMPLO: 
𝐴 = 
1 0 0
0 1 1
0 0 0
 
0 3
0 2
1 1
0 0 0 0 0
→ 𝐶𝐴𝑅 𝐴 = 3 
INVERSÃO DE MATRIZES – OPERAÇÕES 
SOBRE LINHAS 
a. Ao lado da matriz 𝐴 coloca – se a matriz 𝐼; 
b. Separa – se as matrizes por um traço vertical; 
c. Aplica – se as operações sobre linhas em ambas 
as matrizes até que a matriz 𝐴 se torne uma 
matriz 𝐼 e; 
d. A nova matriz 𝐼 será a inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
48 
EXEMPLO: Determinar a matriz inversa da matriz: 
𝐴 =
2 1 3
4 2 2
2 5 3
 
SOLUÇÃO: 
2 1 3
4 2 2
2 5 3
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
𝐿1 → 𝐿1 
1 1 2 
3
2 
4 2 2
2 5 3
 
1
2 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐿2 − 4𝐿1 → 𝐿2 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
49 
INVERSÃO DE MATRIZES – OPERAÇÕES 
SOBRE LINHAS 
1 1 2 
3
2 
0 0 −4
2 5 3
 
1
2 0 0
−2 1 0
0 0 1
𝐿3 − 2𝐿1 → 𝐿3 
1 1 2 
3
2 
0 0 −4
0 4 0
 
1
2 0 0
−2 1 0
−1 0 1
𝐿2 ↔ 𝐿3 
1 1 2 
3
2 
0 4 0
0 0 −4
 
1
2 0 0
−1 0 1
−2 1 0
1
4
𝐿2 → 𝐿2 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
50 
INVERSÃO DE MATRIZES – OPERAÇÕES 
SOBRE LINHAS 
1 1 2 
3
2 
0 1 0
0 0 −4
 
1
2 0 0
−1 4 0
1
4 
−2 1 0
−
1
4
𝐿3 → 𝐿3 
1 1 2 
3
2 
0 1 0
0 0 1
 
1
2 0 0
−1 4 0
1
4 
1
2 −
1
4 0
𝐿1 −
1
2
𝐿2 → 𝐿1 
1 0 3 2 
0 1 0
0 0 1
 
5
8 0 −
1
8 
−1 4 0
1
4 
1
2 −
1
4 0
𝐿1 −
3
2
𝐿3 → 𝐿1 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
51 
INVERSÃO DE MATRIZES – OPERAÇÕES 
SOBRE LINHAS 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
−1 8 
3
8 −
1
8 
−1 4 0
1
4 
1
2 −
1
4 0
 
 
Logo: 𝐴−1 =
− 1 8 
3
8 −
1
8 
− 1 4 0
1
4 
1
2 −
1
4 0
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
52 
INVERSÃO DE MATRIZES – OPERAÇÕES 
SOBRE LINHAS 
INVERSÃO DE MATRIZES – 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
Através da relação 𝐴 × 𝐴−1 = 𝐼 são construídos 
sistemas, em que as variáveis são os elementos da 
matriz inversa.. 
EXEMPLO: Determinar a matriz inversa da matriz: 
𝐴 =
2 1 3
4 2 2
2 5 3
 
SOLUÇÃO: 
2 1 3
4 2 2
2 5 3
×
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
53 
INVERSÃO DE MATRIZES – 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
SOLUÇÃO: 
2 1 3
4 2 2
2 5 3
×
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
2𝑎 + 𝑑 + 3𝑔 = 1
4𝑎 + 2𝑑 + 2𝑔 = 0
2𝑎 + 5𝑑 + 3𝑔 = 0
→
𝑎 = −1 8 
𝑑 = −1 4 
𝑔 = 1 2 
 
 
2𝑏 + 𝑒 + 3ℎ = 0
4𝑏 + 2𝑒 + 2ℎ = 1
2𝑏 + 5𝑒 + 3ℎ = 0
→ 
𝑏 = 3 8 
𝑒 = 0
ℎ = −1 4 
 
 
2𝑐 + 𝑓 + 3𝑖 = 0
4𝑐 + 2𝑓 + 2𝑖 = 0
2𝑐 + 5𝑓 + 3𝑖 = 1
→ 
𝑐 = −1 8 
𝑓 = 1 4 
𝑖 = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
M
AT
R
IZ
ES
 2
 
54