AULA 10 INDEPENDÊCIA DO CAMINHO TEOREMA DE GREEN

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 10 – Independência de Caminho 
 Teorema de Green 
 
NOME DA AULA – AULA1 
NOME DA DISCIPLINA 
Conteúdo Programático desta aula 
 
 Independência de Caminho; 
 Teorema de Green; 
 Teorema de Green: Resultados; 
 Teorema de Green: Relação com 
integral dupla. 
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Independência de Caminho 
 Teorema. Sejam M e N funções escalares contínuas e com 
derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região 
simplesmente conexa D do espaço 2D. Então, F(x, y) = (M(x, y), N(x, 
y) é um campo conservativo em D se, e somente se, 
 
 
 em cada ponto de D. 
 
x
N
y
M





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Independência de Caminho: Exemplo 
 Exemplo. Verifique se F . dr é independente do caminho, para 
 
F(x, y) = (e3y – y2sen x, 3xe3y + 2y cos x) 
 
 Temos que 
 
 e 
 
 Logo, por teorema, temos que F é um campo conservativo e 
portanto a integral é independente do caminho. 
 
C
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 O teorema pode ser estendido para campos vetoriais no espaço 3D 
sendo que nas condições do teorema, 
 F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) ) 
 é um campo conservativo se, e somente se, 
 
 
 ou 
 
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 Como resultado imediato de 
 
 
 
 Temos 
 
 
 
 Isto é, 
 
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Teorema de Green 
 O Teorema de Green relaciona integral de linha de campos vetoriais 
com integrais duplas, o que pode facilitar o cálculo de integrais de 
um tipo usando a outra integral. 
 
Teorema. Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira 
é uma curva C suave por partes, fechada, simples e orientada no sentido 
anti-horário. Sejam M e N funções escalares de duas variáveis 
contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em 
uma região plana D contendo R. Então, 
 
  











C R
dA
y
M
x
N
dyyxNdxyxM ),(),(
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 Notas. 
 1. Uma região D é dita conexa quando quaisquer dois pontos de D são 
unidos por uma curva suave ou parcialmente suave, essa curva esta 
totalmente contida em D. 
 
 
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 2. Uma região D é simplesmente conexa quando nenhuma curva 
fechada contida em D envolve pontos não pertencentes à D. 
 
 
 
 
 
 
 3. Também se pode indicar a orientação da curva C através de flecha 
no círculo colocado sobre o sinal de integral. 
 
 
 
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 4. Costuma-se denotar integrais de linha ao longo de uma curva 
fechada simples sobrepondo um círculo ao sinal de integral. Assim, 
a integral do Teorema de Green pode ser escrita 
 
 
 
 
 5. Como o trabalho realizado por um campo vetorial F para deslocar 
uma partícula ao longo de uma curva C é dado por uma integral de 
linha de um campo vetorial, podemos usar o Teorema de Green para 
determinar esse trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6. Também podemos usar o Teorema de Green para determinar a área 
de uma região R do plano desde que satisfaça as condições do 
teorema. Lembramos que é possível obter a área de uma região 
usando integrais duplas , bastando tomar o integrando como a função 
constante 1. Daí, a área de R é dada por 
 
 
 
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7. O Teorema foi enunciado para regiões simplesmente conexas, mas 
pode ser aplicado para regiões multiplamente conexas. Para isso, unimos 
as curvas dos “buracos” na região entre si e com a fronteira dessa 
região de modo a obtê-la como a união de regiões simplesmente conexas 
(conforme figura), sempre cuidando para manter a orientação positiva 
(anti-horária). 
 
 
 
 
Atenção para a orientação das curvas C1 e C2 que são as fronteiras das 
regiões R1 e R2, respectivamente. 
 
 
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Teorema de Green: Exemplo 
 Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral 
de linha: 
 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no 
sentido anti-horário. 
 
 Solução: Temos que 
 
 Logo, 
 
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Teorema de Green: Exemplo 
 Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral 
de linha: 
 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, 
no 
sentido anti-horário. 
 
 Solução: (CONTINUAÇÃO) Então 
 
 
 
 
 onde D é a região de tipo I: 
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Teorema de Green: Exemplo 
 Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral 
de linha: 
 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, 
no 
sentido anti-horário. 
 
 Solução: (CONTINUAÇÃO) 
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Teorema de Green: Exemplo 
 Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral 
de linha: 
 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, 
no 
sentido anti-horário. 
 
 Solução: (CONTINUAÇÃO) 
 
 
 
 Logo, 
 
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