Teste de Leibniz ou Teste da Série Alternada

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Teste de Leibniz ou Teste da Série Alternada 
 
Exemplo: 
Analise a convergência da série ∑
(−1)𝑛+1(𝑛+2)
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 
 
Utilizaremos a Formulação 1. 
(i) A série é alternada. 
 
(ii) Precisamos verificar se |𝑎𝑛+1| < |𝑎𝑛| ou equivalentemente; precisamos verificar se 
|𝑎𝑛+1|
|𝑎𝑛|
< 1 
𝑛 + 1 + 2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 1 + 1)
𝑛 + 2
𝑛(𝑛 + 1)
=
𝑛 + 3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝑛 + 2
𝑛(𝑛 + 1)
=
𝑛 + 3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
∙
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛 + 2
=
𝑛(𝑛 + 3)
(𝑛 + 2)(𝑛 + 2)
=
𝑛2 + 3𝑛
𝑛2 + 4𝑛 + 4
< 1 
 
(iii) lim
𝑛→∞
𝑛+2
𝑛(𝑛+1)
= lim
𝑛→∞
𝑛+2
𝑛2+𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛2
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0. 
 
Assim, pelo Teste de Leibniz, a série alternada ∑
(−1)𝑛+1(𝑛+2)
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 converge. 
 
Exemplo: 
 
Analise a convergência da série ∑ (−1)𝑛
1
𝑛𝛼
∞
𝑛=1 , 𝛼 ∈ 𝑅 
 
Se  ≤ 0 a série diverge porque o seu termo geral não tende para zero. 
Se  > 0 a série é convergente porque an = 
1
𝑛𝛼
 é uma sucessão decrescente, de temos 
positivo e lim
𝑛→∞
1
𝑛𝛼
= 0 
 
 
Exemplo: 
Analise a convergência da série ∑ (−1)𝑛+1 (
𝑛+3
𝑛(𝑛+2)
)∞𝑛=1 
 
(i) A série é alternada. 
 
(ii) Precisamos verificar se |𝑎𝑛+1| < |𝑎𝑛| ou equivalentemente, precisamos verificar se 
|𝑎𝑛+1|
|𝑎𝑛|
< 1 
 
 
 
 2 
𝑛 + 1 + 3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 1 + 2)
∙
𝑛(𝑛 + 2)
𝑛 + 3
=
𝑛 + 4
(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
∙
𝑛(𝑛 + 2)
𝑛 + 3
=
𝑛2 + 2𝑛
𝑛3 + 7𝑛2 + 15𝑛 + 9
< 1 
 
(iii) lim
𝑛→∞
𝑛+3
𝑛(𝑛+2)
= 0 
 
A série ∑ (−1)𝑛+1 (
𝑛+3
𝑛(𝑛+2)
)∞𝑛=1 alternada converge.