Cálculo - Lista com Gabarito

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Professor: Laurent Prouve´e Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
5a Lista - Regra da Cadeia, Ma´x. e mı´n., Esboc¸o de Gra´ficos - 2016.2
1) Usando a Regra da Cadeia, calcule f ′(x) sendo:
a) f(x) =
1
x3 + 3x2 − 6x + 4 h) f(x) = ln
(
x
x + 1
)
b) f(x) = (x2 + 1)2(x3 − 2x)2 i) f(x) = ex sen(ln(x))
c) f(x) = sec2((x3 − 6)3) j) f(x) =
√
1− tg2(x)
d) f(x) =
(3x− 6)−1
(x + 3)−2
k) f(x) =
(
1− cos5
(x
3
))2
e) f(x) =
(
3x− 2
2x− 1
)8
l) f(x) = tg(
√
1− x2)
f) f(x) =
1
x(x + 1)
m) f(x) = ( cossec(2x)− cotg(x))2
g) f(x) =
(x−2 + 3x−4 + 7x−5)−8
(x2 + x−2)(x−1)
n) f(x) = tg(sec(x2))
2) Seja f uma func¸a˜o deriva´vel e g(x) = f(e2x). Calcule g′(0), se f ′(1) = 2.
3) Seja F (x) = f(g(x)) em que f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis. Se g(3) = 6, g′(3) = 4
e f ′(6) = 7, determine F ′(3).
4) Calcule f ′(x) nos itens abaixo:
a) f(x) = ( arcsen(x))2 d) f(x) = e3x arcsen(2x)
b) f(x) = arccotg
(
1
x
)
e) f(x) = x2e arctg(2x)
c) f(x) = arctg
(
x− 1
x + 1
)
f) f(x) = e−3x + ln( arctg(x))
1
2
5) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada e classifique-os (a classificac¸a˜o refere-
se a ponto de ma´ximo local ou ponto de mı´nimo local)
a) f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 c) f(x) = 1
x4 + 2x3 + x2 + 1
b) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 d) f(x) = x2e−5x
6) Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 6x4 − 20x3 − 6x2 + 72x + 12 e) f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)
b) f(x) = ex − x f) f(x) = sen(x) + x
2
c) f(x) = ln(x2 + 1) g) f(x) =
x2
x− 1
d) f(x) =
1√
x2 + 1
7) Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a` concavidade e pontos de inflexa˜o:
a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x d) f(x) = ln(x)
x
b) f(x) = x2 +
1
x
e) f(x) = xe
1
x
c) f(x) =
x2
x2 − 2
3
RESPOSTAS (Questo˜es de 1 ate´ 7)
1)
a)
−3x2 − 6x + 6
(x3 + 3x2 − 6x + 4)2
b) 4x(x2 + 1)(x3 − 2x)2 + 2(x2 + 1)2(x3 − 2x)(3x2 − 2)
c) 18 sec2((x3 − 6)3) tg((x3 − 6)3)(x3 − 6)2x2
d)
2(x + 3)(3x− 6)− 3(x + 3)2
(3x− 6)2 ou
3(3x− 6)−2(x + 3)−2 + 2(3x− 6)−1(x + 3)−3
(x + 3)−4
e)
8
(2x− 1)2 ·
(
3x− 2
2x− 1
)7
f) − (2x + 1)
(x2 + x)2
g)
−8(x−2 + 3x−4 + 7x−5)−3(−2x−3 − 12x−5 − 35x−6)− (x−2 + 3x−4 + 7x−5)−8(1− 3x−4)
(x + x−3)2
h)
1
x + x2
i) ex
(
sen(ln(x)) +
cos(ln(x))
x
)
j)
− sen(x)
cos3(x)
√
1− tg2(x)
k)
10
3
(
−1 + cos5
(x
3
))
cos4
(x
3
)
sen
(x
3
)
l) −x sec
2(
√
1− x2)√
1− x2
m) 2(2 cossec(2x) cotg(2x)− cossec2(x)) · (− cossec(2x) + cotg(x))
n) 2x sec2(sec(x2)) sec(x2) tg(x2)
2) g′(0) = 4
3) F ′(3) = 28
4
4)
a)
2 arcsen(x)√
1− x2 ; d) e
3x
(
3 arcsen(2x) +
2√
1− 4x2
)
;
b) − 1
x2 + 1
; e) 2xe arctg(2x)
(
1 +
x
1 + 4x2
)
;
c) − 1
x2 + 1
; f) −3e−3x + 1
(1 + x2) arctg(x)
5)
a) -1 e 4 pontos de mı´nimo local, 0 ponto de ma´ximo local;
b) 1 ponto de mı´n. local;
c) -1 e 0 pontos de ma´x. local, −1
2
ponto de mı´n. local;
d) 0 ponto de mı´n. local,
2
5
ponto de mı´n. local.
6)
a) Crescente em (−1, 3
2
) ∪ (2,+∞), decrescente em (−∞,−1) ∪ (3
2
, 2);
b) Crescente em (0,+∞), decrescente em (−∞, 0);
c) Crescente em (0,+∞), decrescente em (−∞, 0);
d) Crescente em (−∞, 0), decrescente em (0,+∞);
e) Crescente em (−∞,−
√
7
3
) ∪ (
√
7
3
,+∞), decrescente em (−
√
7
3
,+
√
7
3
);
f) Crescente em (−2pi
3
, 2pi
3
), decrescente em (−∞,−2pi
3
) ∪ (2pi
3
,+∞);
g) Crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞), decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2);
7)
a) Concavidade para cima em (1,+∞), concavidade para baixo em (−∞, 1), 1 e´
ponto de inflexa˜o;
b) Concavidade para cima em (−∞,−1) e (0,+∞), concavidade para baixo em
(−1, 0), -1 e´ ponto de inflexa˜o;
c) Concavidade para cima em (−∞,−√2) e (√2,+∞), concavidade para baixo
em (−√2,√2), na˜o ha´ ponto de inflexa˜o;
d) Concavidade para cima em (e2,+∞), concavidade para baixo em (0, e2), e2 e´
ponto de inflexa˜o;
e) Concavidade para cima em (0,+∞), concavidade para baixo em (−∞, 0), na˜o
ha´ ponto de inflexa˜o;
5
Esboc¸o de Gra´ficos:
Nos exerc´ıcios de 1 a 6, esboce o gra´fico da func¸a˜o f e deˆ explicitamente o que
se pede:
• Domı´nio D de f ;
• Paridade de f ;
• Ass´ıntotas verticais e horizontais;
• Intervalos de D onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
• Extremos relativos (locais) e absolutos (globais) de f ;
• Intervalos onde a concavidade do gra´fico e´ para cima, onde e´ para baixo e os
seus pontos de inflexa˜o;
• Imagem de f .
1) f(x) =
x3 − 2
x
4) f(x) =
3x + 1√
x2 − 2x− 3
2) f(x) =
16− x2
(x− 2)2 5) f(x) =
3x2
4− 4x + x2
3) f(x) = (x− 1)x2/3 6) f(x) = −1− 1
x
+
1
x2
s{t lIt6J \
' 
j '---
RE§POSTAS
D = (-x,0) U (0, oc): nonr par', ucm írnpar: contínua ern D; assíutota I'crtical:
r = [J, não teur assíutota horizoiltal: não ter[ r'eta tangente vertical; cre§cente eul(-1,0) u (0. rc), clecreseeute em (-rc, -i); Iríninro relativo : .I(-1) : iJ' uão terrt
1nruximo rclltivo: coucavirlaclc para cima em (-cc. 0) U ( í2, 
"c) . paur baixo cm (0. /r) '
ponro rle inílexão = (W, J (Vr)) = (W,0); não tenr mínirno absoluto lrui* 
.!1,, / (o) =
-oc, não tem máximo absoluto puit .[T_ f(lr) = oc ; imagem = (-cc, rc).
D 
- {-g( .2) U (2. oo): nelir par: netu ítnpar; contíntta ell D; assíntota vertical:
.r: : 2, rtssíl1totz1 hot'izont,al: lJ : 
-1 não tetn retâ tangellte vertictrl: ci'escetrte ettl(-o,2) U (8,cc): decrescente em (2.8); nríuimo relativo = ./(8) : -4/:3, níio tetn
nráximo relati'r'o: coucavidade 1;ara cima em (-oc,2) U (2' ll), para baixo ern (ll, co).
pouto de irrflexão: (11./(11)) : (ll.-:til2?); míuimo absoluto = ,f(8) : -{/3. não
tem náxiuro ahsohtto lois },rrt1 "f(r'): oc; ituageur: l-'l/3,m).
D = (-x.cc)l nem par. netu írulrar: contírura em D; não tem assíntota vertical, uão tem
assírrtota horizontal; reta tangelúe vertical: :r,' : 0; cre§cente ern (-rc,0) U (2/il;.cc):
declescerrte e»t 12,2/5); uríuinro relativo : Í(215): (-;l IZO) 1zS, uráxitto relativo
: /(0) : 0: concavidade para cinta erln (-I/it.0) U (0,oo), para baixo etr: (-cc. -l/11).
ptrrrto de iní'lexào = (-115. -6Yí125); ttàu tetn uríuimo al:soltittr pri. ,,Iy- I (r') = -o..
uáo tern urárimo absolrtto pois 
,.Ut .f (er) = oc : iurageul - (-*, *)'
D : (-€,-1) U (il,cc); rreltl par. nern ímpar: contíuutr em D: assíutotas velticais:
;r'= 
-1 ec. = lJ. assítrtotztshorizontais: y = -:l eU: lJ; trãotemretatallgellte
vertical: crescente eur (-rc. 
-2); rleci'escelltê er] (-2, -1) U (i3. oc,); trão tem urítrirno
relatir.o, nráxiuro relativo : Í\-2): -y'5; coucavidacle para cinia enr (-:c, -3)u(3, oc).
lrara baixo em (-il.-1), ponto cle inflexão: (-3,-4v/3/i1)i não teur mÍuitno absoltrto
poi. 
,lli_.f (,r;) : -rc. rriio tcur ruáxiruo ahsohtto pois lirrr /(r;) : )c i itrtagcttt
: (*oo, 
-rl5] u (3, *).
, : (-oc,2) U (z.oc): nent pal', nem ítnpar; contímra ern D: a.ssíntota vertical:
:z: = 2. assíntota horizoltal: U = 3; não terrt reta tangente vertical: cresceute em (0.2);
decrosceute enr (-rc.0) U (2. cc'); nríuimo relativo : .f(0) : 0, ttiio teur uráxittto relativo;
concaliclarle para cima ern (-1.2) U (2,oc), 1:ara baixo em (-cc.-l).ponto cle inflexão
: (-1, 1/i3): nríuiuro absoluto = í(0) :0, não tenr máximo nbsoluto pois 1im l(.') = rc
; imagenr : [0.:c).
p : (-m,0) U (0,oo): neur par, nern ímpar; contínua ern D; assítrtota vertical:
ru = 0: assíutota horizotrtal: '!! : -7t Itão tem reta tangertte vertical; clesr:ente enr(-o,0) U (2,.:c): rlecLcsceutc eur (0,2)l rriírriruo rclativo = .f(2) = -51J, rrâo tcur
ruáximo t'ela.tivo: concavidade para cirua eur (-oc.0) U (0,:l). para baixo eru (3,"o).
porrto cle iuflexão = (3,-11/S); nríniuro absolnto : .f(2) = -i14, não teru máxinro
al;soluto pois liur,,f (.r') = oo : ituagc111 = [-5/.1. oc).
O : (-e. oc); é ím1>ar;contínua enr D: niio tem â.§síntotâ vertical, não tent assíutotar
horizontal: uão teur reta taltgettte vertictri: crescente eur D: ntio tern rníriinro reltrtivo.
rrão tcnr nráxinro rclativor concavidadc para t:iura cm (n * 2kir.2-,r *2kr), k e Z. para
l-»aixoem(2ktr.r*2À'r), À'€Z.pontosdeinflexão(;n.g):(2lcn..f(2À:r)) :(2An.2kr) e
(r',y) 
-(n*2À:a', f6+2l.'r)):(zif2Á:r.r*2A:r). À'€2, niroteururíuiurorrbsoiutopois
lirrr /(r) - -x, tràotcmuráxintoab-*oltrtopois iim l(x):,:c: iruagcnr = (-:c.rc).
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