Aula 1 lista 1

Prévia do material em texto

Questões de álgebra linear – Matrizes, determinantes e sistemas lineares. 
 
 
1) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 
ija
=2i+3j 
Resposta: A=






13107
1185
 
2) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 






jise,ji
jise,ji2
a ij
 
R. 









165
213
A
 
 
3) Dadas as matrizes A=






3a
21
 e 







3b
3x
B
, determinar a, b e x para que A= tB . 
 
R. a = 3, b = 2 e x = 1 
 
 
4) O conjunto solução de 
1x
11
1x
11
11
x1
 é: 
a)
 1x|Rx 
 b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 
 
R. e 
5) Calcular x na igualdade 
0
3x1
31x
101


 
R. x=1 ou x=-4 
 
6) Calcular x na igualdade 
0
9x6x4x
3x2x
111
22



 
R. x=2 ou x=5 
 
7) Determine para que valores de m e n o sistema 








nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
 seja: 
a-) Indeterminado 
b-) impossível 
 
 a-) m = 2 e n = 5 
 b-) m = 2 e n 

5 
8) Para que valores de k existe uma única matriz 






y
x
, tal que 
?
0
0
1
21




















y
x
k
k
 
a) k

-1 
b) k=-2 
c) k=-2 ou k=1 
c) k

-2 e k

1 
d) k

2 e k

-1 
 
R. e 
 
9) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (tabela I). Em 
cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção, de um único exemplar de cada produto. Faz-
se , também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II) 
 
Tabela I 
Custo de produção por item(em dólares) 
Categorias produto 
A B C 
Matéria prima 0,10 0,30 0,15 
Pessoal 0,30 0,40 0,25 
Despesas 
gerais 
0,10 0,20 0,15 
 
Tabela II 
Quantidade produzida por estação 
Categorias estação 
 verão outono inverno primavera 
A 4000 4500 4500 4000 
B 2000 2600 2400 2200 
C 5800 6200 6000 6000 
 
 
As tabelas I e II podem ser representadas, pelas matrizes M=










15,020,010,0
25,040,030,0
15,030,010,0
 e 
P= 










6000600062005800
2200240026002000
4000450045004000
. A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total 
por estação se cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. A partir das informações dadas, 
julgue os itens. 
0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz M.P de ordem 3x4 
1) os elementos da 1ª linha de M.P representam o custo total de matéria prima para cada uma das quatro estações 
2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares. 
3) Se V = , e a matriz dos valores de venda dos produtos A, B e C (A=$5, B$= 4, C=$ 6), o valor total 
produzido por estação é dado pela matriz 
 64800681007010062800
. 
 
 resp.0)v 1) v 2) Custo = 1900 dólares. 3) v 
 
10) Considerando-se o sistema de equações S : 








0
1
12
zykx
zyx
kzyx
 e as matrizes B = 










11
111
21
k
k
, C = 











0
1
1
 e X = 










z
y
x
, sendo k um número real, pode-se afirmar: 
(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 ) 
(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 = 













111
111
221
 
(04) S é um sistema determinado se k  1 e k  2 
(08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0 
(16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1. 
(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X = 










0
0
0
, para k = 1, é 
{( x , 0 , -x ) x R } 
 
Resp a soma das questões corretas é 44. 
 
12) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo. 
 
a) 
0
734
2108
154


 b) 
0
0134
015
0127


 c) 
0
241
402
531


 
 
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem: 
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha. 
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros. 
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.