01. Funcoes Vetoriais Parte II

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Funções Vetoriais
Parte II
Curso: Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Cálculo Vetorial
Prof. Kleyton Jânio Camelo
kleytoncamelo@hotmail.com
Interpretação Geométrica de 𝒓′(𝒕)
Informações Importantes:
✓ Representaremos Ԧ𝑟′(𝑡)
sempre por um vetor
com ponto inicial em P
sobre a curva C
✓ O vetor Ԧ𝑟′(𝑡) “aponta”
na direção determinada
pela orientação de C
✓ Por definição, a reta
tangente a C em P é a
reta que passa por P
paralela a Ԧ𝑟′(𝑡).
Exemplo 09. 
Seja Ԧ𝑟 𝑡 = 2𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑡2 − 4 Ƹ𝑗, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3.
(a) Trace a curva C determinada por Ԧ𝑟 𝑡 e indique a orientação;
(b) Determine Ԧ𝑟′(𝑡) e esboce Ԧ𝑟(1) e Ԧ𝑟′(1). 
Ilustração para o caso bidimensional
Vetor Unitário Tangente e Vetor Unitário Normal
𝑇 𝑡 =
Ԧ𝑟′(𝑡)
Ԧ𝑟′(𝑡)
Vetor Tangente Unitário
𝑁 𝑡 =
𝑇′(𝑡)
𝑇′(𝑡)
Vetor Normal Unitário Principal
Vetor Binormal
𝐵 𝑡 = 𝑇 𝑡 × 𝑁(𝑡)
Informações Importantes
✓ O conjunto de vetores ortogonais 𝑇, 𝑁 e 𝐵 formam o chamado referencial TNB
✓ O plano determinado pelos vetores normal 𝑁 e binormal 𝐵 é chamado de plano normal. 
✓ O plano determinado pelos vetores 𝑇 e 𝑁 é chamado de plano osculador. 
Exemplo 10. 
Determine os vetores normal e binormal da hélice circular dada pela seguinte equação vetorial
Ԧ𝑟 𝑡 = cos 𝑡 Ƹ𝑖 + sen 𝑡 Ƹ𝑗 + 𝑡 ෠𝑘
Exemplo 11. 
Seja C a curva plana definida por Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡2 Ƹ𝑖 + 𝑡 Ƹ𝑗
(a) Determine os unitário 𝑇(𝑡) e 𝑁 𝑡 ;
(b) Esboce C, 𝑇(1) e 𝑁(1)
Curvatura (K)
Curvatura – Parâmetro comprimento de arco (s)
Exemplo 12. 
Determine uma parametrização por comprimento de arco para o círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘2. 
Curvatura – Definição
𝐾 =
𝑑𝜃
𝑑𝑠
Exemplo 13. 
Prove que a curvatura de uma reta l é zero em qualquer 
ponto de l.
Exemplo 14. 
Prove que a curvatura em qualquer ponto de um círculo de raio  é 
1
𝜌
.
Teorema – Se uma curva suave C é gráfico de y = f(x), então a curvatura K em P(x, y) é dada por
𝐾 =
𝑦′′
[1 + (𝑦′)2]
3
2
Exemplo 15. 
Esboce o gráfico de 𝑦 = 1 − 𝑥2, e determine a curvatura nos pontos (0, 1), (1, 0), (2, -3).
Funções Vetoriais
Parte II
Curso: Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Cálculo Vetorial
Prof. Kleyton Jânio Camelo
kleytoncamelo@hotmail.com