L2P1EL20181[186]

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAMAT - Departamento de Matemática
Cálculo I - Engenharia Elétrica (2018_1)
Prof. Leandro da Silva Pereira
Lista 2 (parte 1)
1) Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
a) f(x) = 1
x
b) f(x) = 1
x+1
c) f(x) = x+2
x2−4
d) f(x) = x+5
x−5
R : a)x = 0; b)x = −1; c)x = ±2; d)x = 5
2) Encontre os valores das constantes A e B para que a função abaixo
seja contínua para todos os valores de x.
f(x) =

Ax−B, se x ≤ −1
2x2 + 3Ax+B, se − 1 < x ≤ 1
4, se x > 1
R : A = 34 e B = −14 .
3) Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua
para todo x real.
f(x) =

x2+ax+3
x−1 , se x < 1
L, se x = 1
b x+ 4, se x > 1
R : a = −4; b = −6 e L = −2
4) A função f(x) =
{
2x− 1, se x ≤ 3
3x− 4, se x > 3 é contínua no ponto x = 3?
Justifique. Faça o gráfico da função f .
R : Sim
5) A função f(x) =
{
x2 + 3, se x 6= 2
10, se x = 2 é contínua no ponto x = 2?
Justifique. Faça o gráfico da função f .
R : Não
6) Verifique se a função f(x) = x2−1
x−1 é contínua para x = 1. R : Não.
7) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos x1 dados. Es-
boce também seus gráficos.
2
a) h(x) =
{
x2, se x ≤ 0
−x2, se x > 0 ; x1 = 0
b) g(x) = |x− 3| ; x1 = 3
c) f(x) =
{
x+ 1, se x < 2
1, se x ≥ 2 ; x1 = 2
d) u(x) =
{
x2 + x, se x > −1
0, se x ≤ −1 ; x1 = −1
8) Calcule f ′′(x) sendo f dada por:
a) f(x) = x100
b) f(x) = 1
x7
c) f(x) = x−3
d) f(x) = 3
√
x
e) f(x) = 6
√
x
f) f(x) = 23
√
x12
9) Seja f(x) = 3
√
x. Encontre f ′(p) para p 6= 0 e mostre que f ′(0) não
existe.
10) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 1
x2 no
ponto de abscissa 1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
11) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = tg(x) no
ponto de abscissa 0 e no ponto de abscissa pi4 .
12) Derive:
a) y = 3x6 + 9x− 3
b) y = x− 59
c) y = 10 7
√
x6 − 9√
x
d) y = x 7
√
x2 + 5(x)4√x
e) y = x3−x2+37x−52
f) y = 17x19 + 13
√
x
g) y = 5 + 3x−2
h) y = 4
x
+ 5√
x
i) y =
√
x
x+1
j) y = x+ 4
√
x
x2+3
k) y = 5x+ x
x−1
l) y = x sen(x)
m) y = cos(x)
x2+1
n) y = x+sen(x)
x−cos(x)
o) y = x2+1sec(x)
p) y = 3
√
x−1
x+1
q) y = x cotg(x)
r) y = cos(5x)
s) y = sen (cos(5x))
t) x = sen (t3)
u) y = sen (cos(x))
v) y = (sen(x) + cotg(x))2
w) y = (x3 +
√
x) cos sec(x)
x) y = tg
(
ln
(√
3x
))
13) Utilizando a regra de L’Hopital, determine os seguintes limites:
3
a) lim
x→1
x100−x2+x−1
x10−1
b) lim
x→+∞
e3x
x2
c) lim
x→0
ex−e−x
sen(x)
d) lim
x→+∞
log(x)
x3
e) lim
x→+∞x
2e−x
f) lim
x→0+
xe
1
x
14) Calcule a derivada das funções abaixo.
a) f(x) = 5x + log3x
b) y = 2x2 + 32x
c) g(x) = 32x+1 + log2(x2 + 1)
d) y = (2x+ 1)x
e) f(x) = xsen (3x)
f) g(x) = (3 + cos(x))x
g) y = xxsen(x)
h) y = xx2+1
i) y = (1 + i)−t, i constante
j) y = 10x − 10−x
k) y = (2 + sen(x))cos (3x)
l) y = ln(1 + xx)
m) y =
(
1 + 1
x
)x
n) y = xxx
o) y = xpi + pix
p) y = (1 + x)e−x