Provas_1_6

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1.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 25/03/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 10
2.a 10
3.a 40
4.a 10
5.a 10
6.a 20
Total 100.0
1a Questa˜o. Estima-se que daqui a t anos uma certa cidade tera´ uma populac¸a˜o de
P (t) = 20� 6
t+ 1
mil habitantes.
a) Qual sera´ a populac¸a˜o da cidade daqui a 9 anos?
b) Qual sera´ o aumento da populac¸a˜o durante o 9o ano?
c) O que acontece com P (t) para grandes valores de t? Interprete o resultado.
2a Questa˜o. Um cano rompido em uma plataforma petrol´ıfera do mar do Norte produz uma
mancha de o´leo circular que tem y metros de espessura a uma distaˆncia de x metros do local
do vazamento. A turbuleˆncia torna dif´ıcil medir diretamente a espessura da mancha no local do
vazamento (x = 0), mas, para x > 0, observa-se que
y =
0, 5(x2 + 3x)
x3 + x2 + 4x
Supondo que a distribuic¸a˜o de o´leo no mar seja cont´ınua, qual a espessura estimada da mancha
no local do vazamento?
3a Questa˜o. Calcule o limite(caso exista) das seguintes func¸o˜es:
a) lim
t!0
p
t2 + 9� 3
t2
b) lim
x!⇡
sin(x)
x� ⇡ c) limx!�6
2x+ 12
|x+ 6| d) limx!0+
p
x.2sin(
⇡
x )
4a Questa˜o. Determine K para que a func¸a˜o seja cont´ınua no ponto a = 2. Justifique
f(z) =
8<: x
3 � 8
x� 2 x 6= 2
K x = 2.
5a Questa˜o. Seja f(x) =
p
x.
a) Encontre uma equac¸a˜o da reta secante ao gra´fico da func¸a˜o f que passa pelos pontos
(3,
p
3) e (4, 2).
b) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y =
p
x no ponto (2,
p
2)
6a Questa˜o. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais da func¸a˜o
f(x) =
2x2 + x� 1
x2 + x� 2
Boa Prova!
2.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 6/05/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 20
2.a 10
3.a 10
4.a 15
5.a 30
6.a 15
Total 100.0
1a Questa˜o. Encontre a derivada da func¸a˜o
a) f(x) = 3x7 ln(x)
b) f(x) =
lnx
cosx
c) f(x) = (8x3 + 2x sinx)5
d) f(x) = cos(e4x)
2a Questa˜o. Diferenciando implicitamente x4 + y4 = 16, encontre y00.
3a Questa˜o. Calcule o limite(caso exista) das func¸o˜es abaixo
a) lim
x!0(
1
x
� 1
sinx
). b) lim
x!0+
xx.
4a Questa˜o. O raio r de uma esfera esta´ variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5m/s.
Com que taxa estara´ variando o volume da esfera no instante em que r = 2m?
5a Questa˜o. Considere a func¸a˜o f(x) =
1
x2 � 9:
a) Encontre o domı´nio da func¸a˜o.
b) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais da func¸a˜o.
c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o.
d) Determine os pontos e os valores de ma´ximo e mı´nimo locais.
e) Determine o intervalo onde a concavidade da func¸a˜o esta´ para cima e para baixo e ache
o ponto de inflexa˜o(caso exista).
f) Com as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores, esboce o gra´fico da func¸a˜o.
6a Questa˜o. Do ponto A, situado numa das margens de um rio, de 200m de largura, deve-se levar
energia ele´trica ao ponto C, situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na a´gua custa
R$4, 00 o metro, e o que sera´ utilizado fora da a`gua, R$2, 00 o metro. Como devera´ ser feita
a ligac¸a˜o para que o gasto com os fios seja o menor poss´ıvel? (suponha as margens retil´ıneas e
paralelas). (veja o desenho no quadro).
guido zoner
guido zoner
Texto
guido zoner
3.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 6/06/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 20
2.a 20
3.a 30
4.a 30
Total 100.0
1a Questa˜o. Calcule
a)
Z
x5
p
1 + x2dx
b)
Z
ex sin(x)dx
2a Questa˜o. Calcule utilizando o Teorema fundamental do Ca´lculo.
a)
Z ⇡
2
0
sin4(x)dx
b)
Z ⇡
0
sin(4x) cos(5x)dx
3a Questa˜o.
a)
Z
x+ 3
x2 � 3x+ 2
b)
Z
xp
3� 2x� x2dx.
4a Questa˜o.
a) Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas dadas e calcule a a´rea dessa regia˜o. As curvas
sa˜o y = x+ 1, y = 9� x2, x = �1 e x = 2.
b) Determine a a´rea acima da curva y = 2x� 2 e abaixo da curva y = x2 + 1 no intervalo
�1  x  2. Esboce as curvas e a regia˜o rachurada.
c) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = sin(x), y = cos(x), x = 0 e x = ⇡2 .
3.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 10/06/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 20
2.a 20
3.a 30
4.a 30
Total 100.0
1a Questa˜o. Calcule
a)
Z
x2exdx
b)
Z
tg(x)dx
2a Questa˜o. Calcule utilizando o Teorema fundamental do Ca´lculo.
a)
Z ⇡
2
0
sin5(x) cos2(x))dx
b)
Z ⇡
2
0
sin(4x) cos(5x)dx
3a Questa˜o.
a)
Z
x4 � 2x2 + 4x+ 1
x3 � x2 � x+ 1 dx
b)
Z
xp
3� 2x� x2dx.
4a Questa˜o.
a) Determine a a´rea da regia˜o limitada pela reta y = 4x e pela curva y = x3 +3x2. Esboce
as curvas e a regia˜o rachurada.
b) Calcule a a´rea do c´ırculo de raio r.
guido zoner
guido zoner
Prova Substitutiva - 18/07/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 10
2.a 10
3.a 10
4.a 10
5.a 10
6.a 15
7.a 15
8.a 20
Total 100.0
1a Questa˜o. Um fabricante pretende vender um certo produto por R$110, 00 a unidade. O custo
total e´ constitu´ıdo por um custo fixo de R$7.500, 00 e um custo de produc¸a˜o de R$60, 00 a
unidade.
a) Quantas unidades o fabricante deve vender para na˜o ter preju´ızo?
b) Qual e´ o lucro ou preju´ızo do fabricante quando 100 unidades sa˜o vendidas?
c) Quantas unidades o fabricante deve vender para ter um lucro de R$1.250, 00.
2a Questa˜o. Calcule o limite(caso exista) das func¸o˜es abaixo
a) lim
x!�6
2x+ 12
|x+ 6| b) limx!0+
p
x.ecos(
1
x )
3a Questa˜o. Encontre a derivada da func¸a˜o
a) f(x) = (4x3 + 2x sinx)5 b) f(x) = ln(e4x
2
)
4a Questa˜o. Calcule
a)
Z
x2exdx
b) Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas dadas e calcule a a´rea dessa regia˜o. As curvas
sa˜o y = x+ 1, y = 9� x2, x = �1 e x = 2.
5a Questa˜o. Determine uma reta que seja paralela a x + y = 1 e que seja tangente a` curva
x2 + xy + y2 = 3.
6a Questa˜o. A altura h e o raio r da base de um cone circular reto esta˜o variando a taxas
constantes de 0, 1m/s e 0, 3m/s, respectivamente. A que taxa estara´ variando o volume do cone
no instante em que h = 0, 5m e r = 0, 2m?
7a Questa˜o. Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x mais pro´ximo de (1, 4).
8a Questa˜o. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 � x2 � x+ 1:
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o.
b) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais.
c) Determine o intervalo onde a concavidade da func¸a˜o esta´ para cima e para baixo e ache
o ponto de inflexa˜o(caso exista).
d) Com as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores, esboce o gra´fico da func¸a˜o.
guido zoner
guido zoner
4.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 02/09/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 10
2.a 10
3.a 10
4.a 10
5.a 30
6.a 15
7.a 15
Total 100.0
1a Questa˜o. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Calcule aquelas que sa˜o
convergentes e justifique aquelas que sa˜o divergentes.
a)
Z 1
2⇡
sin(x)dx
b)
Z 3
�2
1
x4
dx
2a Questa˜o. Uma
part´ıcula se move a partir de uma posic¸a˜o inicial r(0) = (1, 0, 0) com velocidade
inicial v(0) = i�j+k. Sua acelerac¸a˜o e´ dada por a(t) = 4ti+6tj+k. Determine sua velocidade
e posic¸a˜o no instante t.
3a Questa˜o. Esboce o domı´nio o gra´fico e as curvas de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) =
p
9� x2 � y2.
4a Questa˜o. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
lim
(x,y)!(0,0)
y4
x4 + 3y4
5a Questa˜o.
a) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z). Encontre fxyz, fyzz
b) z =
p
x2 + y2, x = e2t, y = e�2t. Encontre dzdt
c) Determine a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = x2y3 � 4y no ponto (2,�1) na
direc¸a˜o do vetor v = 2i+ 5j.
6a Questa˜o. Suponha que em uma certa regia˜o do espac¸o, o potencial ele´trico V seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 � 3xy + xyz.
a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial em P = (3, 4, 5) na direc¸a˜o do vetor dado por
u = i+ j � k.
b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P?
7a Questa˜o. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absoluto da func¸a˜o f(x, y) = x2� 2xy+2y
no retaˆngulo D = {(x, y) 2 R2; 0  x  3, 0  y  2}
guido zoner
guido zoner
guido zoner
guido zoner
5.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 17/10/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 20
2.a 20
3.a 20
4.a 20
Total 80.0
1a Questa˜o. Determine o volume do so´lido dado por
a) Delimitado pelo parabolo´ide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0.
b) Esfera de raio R.
2a Questa˜o. Determine a massa e o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D = {(x, y) 2
R2|0  x  2,�1  y  1} e tem func¸a˜o densidade ⇢(x, y) = xy2.
3a Questa˜o. Um so´lido E esta´ contido no cilindro x2 + y2 = 1 e abaixo do plano z = 4 e acima
do parabolo´ide z = 1 � x2 � y2. A densidade em qualquer ponto e´ proporcional a` distaˆncia do
ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E.
4a Questa˜o. Calcule a
Z Z Z
E
xyzdV , onde E esta´ entre as esferas ⇢ = 2 e ⇢ = 4 e acima do
cone � = ⇡/3.
guido zoner
6.a Avaliac¸a˜o de Aprendizagem - 25/11/2013
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - 6631
Curso: Engenharia Ele´trica
Professor Responsa´vel: Eduardo de Amorim Neves
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 30
2.a 20
3.a 10
4.a 30
5.a 10
Total 10.0
1a Questa˜o.
a) Calcule a integral de linha
Z
C
ydx + zdy + xdz, onde C e´ o segmento de reta que une
(0, 0, 3) a (2, 2, 0).
b) Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a F (x, y) = (x2,�xy) ao mover uma
part´ıcula no sentido anti-hora´rio ao longo de um quarto de c´ırculo unita´rio centrado na
origem.
2a Questa˜o. Determine se F e´ ou na˜o um campo conservativo. Se for, determine uma func¸a˜o f
tal que F = rf .
a) F(x, y) = (2x� 3y)i+ (�3x+ 4y � 8)j.
b) F(x, y) = (x� y)i+ (x� 2)j.
c) F(x, y, z) = (xz)i+ (xyz)j� (y2)k
3a Questa˜o. Calcule a integral de superf´ıcie
Z Z
S
x2yzdS, onde, S e´ a parte do plano z =
1 + 2x+ 3y que esta´ acima do retaˆngulo [0, 3]⇥ [0, 2].
4a Questa˜o.
a) Utilize o Teorema de Stokes para calcular
Z
C
F · dr. A curva C e´ orientada no sentido
anti-hora´rio quando vista de cima. F(x, y, z) = (x+ y2, y + z2, z + x2), C e´ o triaˆngulo
com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
b) Utilize o Teorema do Divergente para determinar o fluxo do campo ele´trico definido por
F(x, y, z) = (z, y, x) sobre a esfera unita´ria.
5a Questa˜o. Diga se cada expressa˜o tem significado. Em caso de negativo explique por queˆ. Em
caso afirmativo, diga se e´ um campo vetorial ou escalar. Onde F e´ um campo vetorial e f e´ um
campo escalar(func¸a˜o).
a) div(rot(rf))
b) (rf)⇥ (rotf)
c) rot(r(divF)⇥ rotF)
d) rot(r(rotF))
guido zoner