Aula 06 Números Binomiais e Triangulo....

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Aula 6- Números Binomiais E Triângulo De Pascal
Tema da Apresentação
Números Binomiais E Triângulo De Pascal – Aula 6
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Conteúdo Programático desta aula
. Número Binomial : Definição
 
. Binomiais Complementares:
 - Definição
 - Propriedades
 . Relação de Stiffel
. Triângulo de Pascal
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Números Binomiais E Triângulo De Pascal – Aula 6
ANÁLISE COMBINATÓRIA
 
NÚMERO BINOMIAL
DEFINIÇÃO
 Número binomial é todo número definido por
 
onde: e
 Note que, se n < p então, por definição: 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
BINOMIAIS COMPLEMENTARES 
DEFINIÇÃO
 Dois números binomiais são chamados complementares quando a soma dos denominadores é igual ao numerador.
 Assim, os números binomiais
 e 
são complementares, pois p + n – p = n. 
 Se n < p , então, por definição: 
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PROPRIEDADES
1ª) Dois números binomiais complementares são iguais.
Observação:
Se então (p+q=n ou p=q)
 
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2ª) RELAÇÃO DE STIFFEL
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TRIÂNGULO DE PASCAL
 Chamamos de Triângulo de Pascal o quadro apresentado 
no slide seguinte formado pelos números = 
chamados Números Binomiais,Coeficientes Binomiais ou ainda
Números Combinatórios. 
 
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TRIÂNGULO DE PASCAL
 
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 Note que:
. binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha;
. binomiais de mesmo denominador estão colocados na mesma coluna.
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1 , pois
O último elemento de cada linha é igual a 1 , pois 
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3.Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
 
1 5 10 10 5 1
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4. Cada binomial da linha n é igual à soma de dois 
 binomiais da linha (n—1): aquele que está na coluna p com
àquele que está na coluna (p-1) – Relação de Stiffel
+
+
+
+
+
+
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5. A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2 cujo expoente é a ordem da linha (dada pelo numerador). 
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EXERCÍCIOS:
1.Calcule p na equação .
SOLUÇÃO:
 Temos duas hipóteses a considerar:
 
 
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 2. Determine m na igualdade:
 SOLUÇÃO:
 Temos que:
 (não serve)
 
 
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3.Sabendo que , calcule n.
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4. Determine a condição para que seja o dobro de . 
 
 
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Na aula de hoje estudamos:
. Os Números Binomiais
. Os Binomiais Complementares e suas propriedades
. A Relação de Stiffel
. O Triângulo de Pascal
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