Vetores LD e LI

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Aula 03 
 
Dependência e Independência Linear 
 de vetores 
Vetores colineares 
 Dois vetores são colineares se tiverem 
a mesma direção. 
 
U
V
V
Vetores Linearmente 
Dependentes 
 Isso acontece se, e somente se, existe 
um número real tal que ou 
 
 Diremos, então, que um vetor é escrito 
como combinação linear do outro, e neste 
caso, os vetores são ditos linearmente 
dependentes. 
 U V
.V U
Vetores Linearmente 
Independentes 
 
 
 
 
 
 
 Quando tomamos dois vetores nos quais não 
é possível escrever um vetor como combinação 
linear do outro, dizemos que os vetores são 
linearmente independentes. 
 
 Neste caso os dois vetores não são 
colineares, mas são coplanares, isto é, possuem 
representantes pertencentes a um mesmo plano. 
 

U
V
Vetores Linearmente 
Independentes 
 Se e são linearmente independentes, 
então, todos os vetores da forma 
 podem ser representados sobre um mesmo 
plano, e reciprocamente. 
 

U
V
W U V  
U
V
U V
U V 
Vetores L.I. 
 
 Toda combinação linear de dois vetores 
LI pode ser representada sobre o plano . 
 
 Por essa razão, se os dois vetores são 
linearmente independentes, diremos que 
eles geram um plano. 
 
Componentes de um vetor 
 Se um vetor se escreve como uma 
combinação linear , diremos que 
os vetores e são componentes do 
vetor na direção dos vetores e . 
 
 Os escalares e são as coordenadas 
de em termos aos vetores e . 
W
U V 
U V
W U V
 
W U V
Vetores coplanares 
 Se os vetores , e possuem 
representantes pertencentes a um mesmo 
plano , então dizemos que eles são 
coplanares. 
 
WU V

U
V
W
Observação 
 Dois vetores quaisquer são sempre 
coplanares, pois sempre podemos tomar 
um ponto do espaço e, com origem nele, 
imaginar os dois representantes 
pertencendo a um plano que passa por 
esse ponto. 
 Três vetores podem ser ou não 
coplanares. 
 
Observação 

U
V
W
1
V
W
3 vetores LDs3 vetores LIs
Base 
 Se três vetores do espaço são 
linearmente independentes, então eles 
geram o espaço. 
 Um conjunto de três vetores 
linearmente independentes chama-se 
uma base para o espaço dos vetores. 
 A base que consiste dos vetores , e 
, nessa ordem, será indicada por . 
 
WU V
{ , , }U V W
Base ortonormal 
 Uma base chama-se ortogonal 
se os seus vetores são dois a dois 
ortogonais, isto é, se 
 
 
 Se, além disso, os vetores são 
unitários, a base chama-se ortonormal. 
{ , , }U V W
0.U V U W V W     
Base canônica 
 A base canônica do espaço tridimensional 
é formada pelos vetores 
e , ou seja, é uma 
base ortonormal. 
 Todo vetor pode ser escrito 
como uma combinação linear de e . 
 
 
 
(1,0,0),i  (0,1,0)j 
{ , , }B i j k
,i j k
(0,0,1)k 
Exemplo 
Dados e 
determine: 
a) b) c) d) 
Solução: 
 
 
(1,2, 2)U   6 2 3V i j k  
|| ||U || ||V U V Vproj U
2 2 2|| || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3U         
2 2 2|| || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7V         
(1,2, 2).(6, 2,3) 6 4 6 4U V         
2 2
4 24 8 12
(6, 2,3) , ,
|| || 7 49 49 49
V
U V
proj U V
V
    
     
 
Resultado 
Exemplo 4 
Exemplo 
Exemplo 4