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Profa. Tereza Denyse de Araújo Abril / 2018 Roteiro de aula ▪ Princípio de Saint-Venant ▪ Deformação elástica com carga axial ▪ Princípio da superposição ▪ Elementos estaticamente indeterminados ▪ Método das forças (método da flexibilidade) ▪ Tensões térmicas ▪ Concentração de tensões ▪ Tensões residuais 2 Princípio de Saint-Venant 3 ▪ 𝜎 → 𝑚𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 ▪ 𝜀 → 𝑚𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 ▪ Lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀 (𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) Princípio de Saint-Venant 4 Princípio de Saint-Venant 5 Princípio de Saint-Venant 6 Princípio de Saint-Venant 7 Princípio de Saint-Venant - Enunciado ▪ As tensões e deformações produzidas em pontos do corpo suficientemente afastados da região de aplicação da carga serão as mesmas produzidas por quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e aplicadas ao corpo na mesma região. 8 Princípio de Saint-Venant 9 Princípio de Saint-Venant 10 Deformação elástica com carga axial 11 Deformação elástica com carga axial 12 EA PL Deformação elástica com carga axial 13 Exemplo 4.3 ▪ Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 14 Exemplo 4.4 ▪ Uma elemento é feito de um material com peso específico g e módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver a forma de um cone com as dimensões mostradas, determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade, quando suspenso na posição vertical. 15 Exemplo 4.10 ▪ A barra tem área de seção transversal de 1.800 mm2 e E = 250 GPa. Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído. 16 1,5 m N/m500 3 1 xw Exemplo 4.22 ▪ O poste é feito de abeto Douglas (E = 13,1 GPa) e tem diâmetro de 60 mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo dos seus lados, determine a força F na parte inferior do poste necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A, em relação à sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste. 17 Princípio da Superposição 18 Princípio da Superposição ▪ Condições que devem ser satisfeitas: ▪ Relação linear entre tensão (s) e carga (N), ou ▪ Relação linear entre carga (N) e deslocamento () ▪ Não deve haver alteração significativa na geometria (ou configuração) devido ao carregamento (pequenas deformações e deslocamentos) 19 Elementos estaticamente indeterminados 20 Exemplo 4.5 ▪ A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze as dimensões do colar em C. Considere Eaço = 200 GPa. 21 Exemplo 4.6 ▪ O poste de alumínio mostrado na figura é reforçado com um núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante de 45 kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere Eal = 70 GPa e Elat = 105 GPa. 22 Exemplo 4.6 23 Exemplo 4.6 24 Exemplo 4.7 ▪ As três barras de aço A-36 (Eaço = 200 GPa ) mostradas na figura estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm2, e a barra CD tem área de seção transversal de 15 mm2. 25 Método das Forças = Método da Flexibilidade 26 Método das Forças = Método da Flexibilidade 27 Exemplo 4.9 ▪ A haste de aço A-36 (Eaço = 200 GPa) mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm. Ela está presa à parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. 28 Exemplo 4.9 29 Exemplo ▪ A treliça mostrada na figura é feita com três elementos de aço A- 36 (Eaço = 200 GPa) com 400 mm 2 de área de seção transversal . Determine o deslocamento vertical do rolete C quando a treliça é submetida à carga P = 10 kN. 30 Exemplo 4.32 ▪ A coluna é construída de concreto de alta resistência (Econc = 29 GPa) e seis hastes de reforço de aço A-36 (Eaço = 200 GPa). Se for submetida a uma força axial de 150 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste, de modo que ¼ da carga seja suportada pelo concreto e ¾, pelo aço. 31 Exemplo 4.34 ▪ A coluna de concreto (Econc = 25 GPa) é reforçada com quatro hastes de aço (Eaço = 200 GPa), cada uma com diâmetro de 18 mm. Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800 kN. 32 Exemplo 4.48 ▪ Cada um dos três cabos de aço (Eaço = 200 GPa) tem diâmetro de 2 mm e comprimentos LAC = 1,60 m e LAB = LAD = 2,00 m quando não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A. 33 Exemplo 4.64 ▪ A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco (Eaço = 9,65 GPa) e uma mola. Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1 m e a área de seção transversal for 600 mm2 e a mola tiver rigidez k = 2 MN/m e comprimento de 1,02 m quando não deformada, determine o deslocamento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra. 34 Exemplo AP1 SC (21/06/2013) ▪ Uma barra circular de aço ABC (E = 200 GPa) tem área de seção transversal A1 de A até B e área de seção transversal A2 de B até C (ver figura). A barra é apoiada rigidamente na extremidade A e está sujeita à carga P = 40 kN na extremidade C. Um colar circular de aço BD tendo área de seção transversal A3 apoia a barra em B. O colar se encaixa perfeitamente em B e D quando não há carga. Determine o alongamento dAC da barra devido à carga P. Dados: L1 = 2L3 = 250 mm, L2 = 225 mm, A1 = 2 A3 = 960 mm 2 e A2 = 300 mm 2. 35 Exemplo AP1 (29/04/15) ▪ Uma barra rígida está apoiada por pino em B e por duas molas em A e D (ver figura). As molas em A e D têm coeficientes de rigidez k1 = 10 kN/m e k2 = 25 kN/m, respectivamente. As outras dimensões são mostradas na figura. Uma carga P atua no ponto C. Se a carga P é 1,8 kN, qual o ângulo de rotação da barra? 36 Exemplo AP1 SC (14/05/2015) ▪ A barra rígida AB é suportada por um pino em O. Quando dois cabos de aço (Eaço = 200 GPa) são unidos às extremidades da barra, há uma folga D entre a extremidade inferior do cabo à esquerda e o apoio C. Depois de unidos, a deformação no cabo à esquerda é 1,5 x 10-3. Qual é o tamanho da folga D? As áreas das seções transversais são 300 mm2 para o cabo AC e 250 mm2 para o cabo BD. 37 Exemplo AP1 (15/05/2017) ▪ Uma barra de liga de alumínio (Eal = 73,1 GPa) AC é reforçada com um tubo de aço (Eaço = 200 GPa) firmemente ligados em BC (ver figura). Quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, a folga entre C e o apoio rígido é 0,5 mm. Determine as reações de apoio quando a força axial de 400 kN é aplicada. Quais as tensões no aço e na liga de alumínio? 38 Tensões Térmicas 39 Tensões Térmicas 40 Exemplo 4.12 ▪ A barra rígida mostrada na figura está presa à parte superior por três postes feitos de aço A-36(Eaço = 200 GPa; aaço = 12 x 10 -6/°C) e alumínio 2014-T6 (Eal = 73,1 GPa; aal = 23 x 10 -6/°C). Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada poste se a barra for submetida a uma carga uniformemente distribuída de 150 kN/m e a temperatura aumentar para T2 = 80°C. 41 Exemplo 4.12 42 Exemplo ▪ Um sensor térmico consiste em uma placa AB de alumínio (Eal = 68,9 GPa; aal = 24 x 10 -6/°C) e outra CD de magnésio (Emag = 44,7 GPa; amag = 26 x 10 - 6/°C) cada uma com largura de 15 mm e apoiadas pelas extremidades em suportes fixos. Se a folga entre as placas é de 1,5 mm quando a temperatura é T1 = 25°C, determine temperatura necessária para eliminar a folga. Qual a força axial em cada placa quando a temperatura atingir o valor de T2 = 100°C? Admita que não ocorre flexão ou flambagem. 43 Concentração de Tensões 44 Concentração de Tensões 45 Concentração de Tensões 46 A dAP s A P med s Concentração de Tensões 47 A dAP s A P med s Concentração de Tensões (fator de intensidade de tensão) 48 med max s s K Concentração de Tensões 49 med max s s K Concentração de Tensões 50 Concentração de Tensões 51 Concentração de Tensões 52 Tensões Residuais 53 ▪ São tensões elásticas existentes em um corpo sem a atuação de cargas externas ou gradientes de temperatura ▪ São provenientes de: ▪ Deformações plásticas: forjamento, laminação, extrusão ▪ ocorre principalmente onde há deformação plástica não uniforme no material ▪ Processos de fabricação: usinagem, soldagem ▪ Tratamentos térmicos, termoquímicos ou ciclos térmicos: fundição, ▪ variação de temperatura não uniforme na peça durante um ciclo de aquecimento e resfriamento Tensões Residuais 54 Exemplo 4.40 ▪ A carga de 4 kN deve ser suportada pelos cabos verticais de aço para os quais se = 560 MPa. Se os comprimentos originais dos cabos AB e AC forem 1.250 mm e 1.252,5, respectivamente, determine a área da seção transversal de AB para que a carga seja compartilhada igualmente entre os dois cabos. O cabo AC tem área de seção transversal de 13 mm2. 55 Exemplo 4.42 ▪ Dois cabos de aço A-36 (E = 200 GPa) são usados para suportar o motor de 3,25 kN (≈ 325 kg). O comprimento original de AB é 800 mm e o de A’B’ é 800,2 mm. Determine a força suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por eles. Cada cabo tem área de seção transversal de 6,25 mm2. 56 Exemplo 4.68 ▪ A barra rígida suporta um carregamento distribuído uniforme de 90 kN/m. Determine a força em cada cabo se cada um tiver área de seção transversal de 36 mm2 e E = 200 GPa. 57 Exemplo 4.81 ▪ A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 = 30°C até T2 = 180°C por resistência elétrica. As duas hastes AB e EF situadas nas extremidades também são aquecidas de T1 = 30°C até T2 = 50°C. Na temperatura mais baixa, T1, a folga entre C e a barra rígida é 0,7 mm. Determine a força nas hastes AB e EF provocada pelo aumento na temperatura. As hastes AB e EF são feitas de aço (Eaço = 200 GPa; aaço = 12 x 10-6/°C) e cada uma tem área de seção transversal de 125 mm2. CD é feita de alumínio (Eal = 70 GPa; aal = 23 x 10 -6/°C) e tem área de seção transversal de 375 mm2. 58 Exemplo AP1 SC (30/05/2014) ▪ Uma barra de plástico ACB com duas secções transversais circulares sólidas diferentes é presa a um apoio elástico (k = 50 MN/m) em A e a um apoio rígido em B (ver figura abaixo). O diâmetro do trecho AC é 50 mm e do trecho CB é 75 mm. Os comprimentos correspondentes são 225 mm e 300 mm. Além disso, o módulo de elasticidade E é 6,0 GPa, e o coeficiente de expansão térmica a é 100 x 10-6/°C. A barra é submetida a um aumento uniforme de temperatura de 30°C. Calcule as seguintes quantidades: (a) a força normal na barra ACB; (b) a tensão normal máxima; e (c) o deslocamento do ponto C. 59 Exemplo AP1 SC (30/05/2014) ▪ Uma barra de plástico ACB com duas secções transversais circulares sólidas diferentes é presa a um apoio elástico (k = 50 MN/m) em A e a um apoio rígido em B (ver figura abaixo). O diâmetro do trecho AC é 50 mm e do trecho CB é 75 mm. Os comprimentos correspondentes são 225 mm e 300 mm. Além disso, o módulo de elasticidade E é 6,0 GPa, e o coeficiente de expansão térmica a é 100 x 10-6/°C. A barra é submetida a um aumento uniforme de temperatura de 30°C. Calcule as seguintes quantidades: (a) a força normal na barra ACB; (b) a tensão normal máxima; e (c) o deslocamento do ponto C. 60 Exemplo AP1 SC (17/06/2016) ▪ O poste de concreto (Ec = 25 GPa; ac = 9,9·10 -6/°C) é reforçado com 6 barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro (Es = 200 GPa; as = 11,7·10 -6/°C). Determine as tensões normais induzidas no concreto e no aço devido a um aumento de temperatura de 18°C. 61
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