Energia cinética

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Teorema da Energia Cinética
e do Trabalho
Energia Cinética
• É a energia associada ao movimento da partícula
• [K] = kg.m2/s2 = Joule 
• De onde vem isso? Porque o fator ½? Qual a utilidade?
 Derivação do teorema no quadro
𝐾 =
1
2
𝑚𝐯2
O que é capaz de fazer 𝐾 mudar?
𝑑𝐾(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑚
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑥
2 𝑡 + 𝑣𝑦
2 𝑡 + 𝑣𝑧
2 𝑡
=
𝑚
2
2𝑣𝑥𝑎𝑥 + 2𝑣𝑦𝑎𝑦 + 2𝑣𝑧𝑎𝑧
= 𝑚𝐯(𝑡) ∙ 𝐚(𝑡)
= 𝐅𝑡𝑜𝑡(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡)
=
𝑑
𝑑𝑡
1
2
𝑚𝐯(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡)
= 𝐅𝑡𝑜𝑡(𝑡) ∙
𝑑𝐫
𝑑𝑡
Teorema da Energia Cinética e do Trabalho (KW)
(forma diferencial)
• A alteração da energia cinética da partícula é devida ao trabalho da 
força total
• Se há várias forças, 𝑑𝑊 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑑𝑊1 + 𝑑𝑊2 + 𝑑𝑊3
𝑑
1
2
𝑚𝐯2 = 𝐅𝑡𝑜𝑡 ∙ 𝑑𝐫
𝑑𝐾
𝑑𝑊
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2
𝑑𝐫
𝐾1 < 𝐾2
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2
𝑑𝐫
𝐾1 = 𝐾2
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2
𝑑𝐫
𝐾1 > 𝐾2
Somando os 𝑑𝑊´s …
Teorema KW (forma integral)
𝐅 𝑡𝑜𝑡𝐴
𝐵
𝑑𝐫
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 
𝐴
𝐵
𝐅𝑡𝑜𝑡(𝐫) ∙ 𝑑𝐫
O trabalho de uma 𝐅 constante
 Se apenas 𝐅 atua, quem é maior, 𝐾𝐴 ou 𝐾𝐵?
𝑊𝐴→𝐵
𝐅 = 
𝐴
𝐵
𝐅 ∙ 𝑑𝐫
= 𝐅 ∙ 
𝐴
𝐵
𝑑𝐫
= 𝐅 ∙ (𝐫𝐵 − 𝐫𝐴)
𝐫𝐵 − 𝐫𝐴𝑑𝐫
𝐅
𝐴
𝐵
O resultado anterior pode ser pensado como uma Eq. 
de Torricelli vetorial
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝐅 ∙ (𝐫𝐵 − 𝐫𝐴)
1
2
𝑚𝐯𝐵
2 −
1
2
𝑚𝐯𝐴
2 = 𝑚𝐚 ∙ (𝐫𝐵 − 𝐫𝐴)
𝐯𝐵
2 − 𝐯𝐴
2 = 2𝐚 ∙ Δ𝐫
 Válido apenas se 𝐚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Hipótese: 
apenas 𝐅 atua
O trabalho da força peso
𝑚𝐠
Δ𝐫
ℎ
𝐴
𝐵 𝑊𝐴→𝐵
𝑔
= 𝑚𝐠 ∙ Δ𝐫
 Há como saber quanto é 𝐾𝐵 − 𝐾𝐴?
= −𝑚𝑔ℎ
Usando o teorema KW
Algumas forças nunca trabalham
Força normal Força de tensão no pêndulo
𝐍
𝑑𝐫
𝐓
𝑑𝐫′
𝑑𝐫′
𝑑𝐫
Quando Δ𝐾 é informado podemos (às vezes) inferir
sobre o trabalho de uma força não constante
Levantando uma mala do chão à mesa
Levantando uma mala do chão e a lançando com 𝐯0
Queda livre do skydiver com 𝐯𝑡𝑒𝑟𝑚
𝑚𝐠
𝐅𝑐𝑎𝑏𝑜
1
2
80 kg 5 m/s 2 = 1.000 J
𝑊𝑔 = − 80 kg 9,8 ms
2 10 m = −7.840 J
𝑣 = 0
𝑣 = 5 m/s
(𝑎)
𝑣 = 5 m/s
(𝑏)
𝑣 = 0
(𝑐)
𝑊𝑐𝑎𝑏𝑜
(𝑎)
= +8.840 J 𝑊𝑐𝑎𝑏𝑜
(𝑏)
= +7.840 J
𝑊𝑐𝑎𝑏𝑜
(𝑐)
= +6.840 J
2 escorregas sem atrito
ℎ
𝑣𝐴 = 0 𝑣𝐴 = 0
Δ𝐫 Δ𝐫′
𝐯𝐵 𝐯𝐵
′
𝑚𝐠 𝑚𝐠
𝐯𝐵 = |𝐯𝐵
′ |  O tempo de queda é o mesmo?
Nota sobre aceleração centrípeta
𝐯
𝐚𝑐 =
𝐯2
𝑅
 𝐧
𝐚𝑡 =
𝑑|𝐯|
𝑑𝑡
 𝐭
𝐚′
𝐚′′
𝐚
 𝐭
 𝐧
 O MCU é um caso especial 
dessas expressões gerais
𝑅
Loop circular sem atrito
Qual é o valor mínimo de 
|𝐯𝐴| para que o bloco
execute o loop?
Teorema KW:
Eq. de Newton no topo:
𝐯𝐴
𝐯𝐵
𝑅
𝑚
2
𝐯𝐵
2 −
𝑚
2
𝐯𝐴
2 = −𝑚𝑔(2𝑅)
𝑚
𝐯𝐵
2
𝑅
= 𝑚𝑔 + 𝑁 ≥ 𝑚𝑔
𝑚𝐠
Δ𝐫
|𝐯𝐴| ≥ 5𝑔𝑅
Se |𝐯𝐴| < 5𝑔𝑅, onde o 
bloco descola do loop?
Teorema KW:
Componente normal da Eq. de 
Newton em 𝜃:
𝑅
𝑚𝐠
𝐯𝜃
𝜃
Δ𝐫
𝐯𝐴
𝑚
2
𝐯𝜃
2 −
𝑚
2
𝐯𝐴
2 = −𝑚𝑔(𝑅 + 𝑅 cos 𝜃)
𝑚
𝐯𝜃
2
𝑅
= 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑁
0
cos 𝜃 =
𝐯𝐴
2
3𝑔𝑅
−
2
3
≥ 0
→ cos 𝜃 ≥ 0
Resumo do Loop circular sem atrito
0 ≤ 𝑣𝐴 < 2𝑔𝑅
Sobe até cos 𝜃 =
𝑣𝐴
2
2𝑔𝑅
− 1 (entre 180o e 90o) e para sem descolar.
2𝑔𝑅 ≤ 𝑣𝐴 < 5𝑔𝑅
Descola em cos 𝜃 =
𝑣𝐴
2
3𝑔𝑅
−
2
3
(entre 90o e 0o). Não para.
5𝑔𝑅 < 𝑣𝐴
Executa o loop sem descolar.
Qual o ângulo 𝜃 onde o bloco descola do iglu ?
Problema do bloco no iglu
𝜃
𝑅
𝑣 = 0
𝜃
𝑅
𝑣 = 0
𝑚𝐠
Δ𝐫
𝐯𝜃
Teorema KW:
Componente normal da Eq. de Newton em 𝜃 :
𝑚
2
𝐯𝜃
2 = 𝑚𝑔(𝑅 − 𝑅 cos 𝜃)
𝑚
𝐯𝜃
2
𝑅
= 𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝑁
0 cos 𝜃 =
2
3
𝜃 = 48,189o