Lista_IV_-_Funcoes_vetoriais

Prévia do material em texto

LISTA IV – Funções vetoriais 
 
Nos exercícios de 1 a 8 determine os vetores tangente �⃗� (𝑡) e normal �⃗⃗� (𝑡) unitários no ponto indicado. 
1) 𝑟 (𝑡) = (𝑡2 − 1)𝑖 + 𝑡 𝑗 ; 𝑡 = 1 
2) 𝑟 (𝑡) = (
1
2
𝑡2) 𝑖 + (
1
3
𝑡3) 𝑗 ; 𝑡 = 1 
3) 𝑟 (𝑡) = (5cos (𝑡)) 𝑖 + (5𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) 𝑗 ; 𝑡 =
𝜋
3
 
4) 𝑟 (𝑡) = (ln (𝑡)) 𝑖 + 𝑡 𝑗 ; 𝑡 = 𝑒 
5) 𝑟 (𝑡) = (4cos(𝑡)) 𝑖 + (4𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 𝑗 + 𝑡�⃗� ; 𝑡 =
𝜋
2
 
6) 𝑟 (𝑡) = 𝑡 𝑖 (
1
2
𝑡2) 𝑗 + (
1
3
𝑡3) �⃗� ; 𝑡 = 0 
7) 𝑟 (𝑡) = 𝑒𝑡 cos(𝑡) 𝑖 + 𝑒𝑡 sin(𝑡) 𝑗 + 𝑒𝑡 �⃗� ; 𝑡 = 0 
8) 𝑟 (𝑡) = cosh(𝑡) 𝑖 + sinh(𝑡) 𝑗 + 𝑡 �⃗� ; 𝑡 = ln 2 
9) Faça um esboço que mostre a elipse 𝑟 (𝑡) = (3cos (𝑡)) 𝑖 + (2𝑠𝑒𝑛 (𝑡)) 𝑗 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 e os vetores tangente 
e normal unitários nos pontos 𝑡 = 0, 𝑡 =
𝜋
4
, 𝑡 =
𝜋
2
, 𝑡 = 𝜋. 
10) Determine o comprimento do arco traçado pelo ponto final do representante de posição 𝑟 (𝑡) quanto 𝑡 cresce 
de 𝑡 = 1 até 𝑡 = 4, sendo 𝑟 (𝑡) = 𝑒𝑡 sen(𝑡) 𝑖 + 𝑒𝑡 cos(𝑡) 𝑗 . 
11) Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação 𝑟 (𝑡) = cos(𝑡) 𝑖 + sen(𝑡) 𝑗 + 𝑡�⃗� do ponto 
𝑃1(1,0,0) até o ponto 𝑃2(1,0,2𝜋). 
12) Seja 𝐶 a curva parametrizada por 𝑟 (𝑡) =< 𝑡2,
𝑡3
3
> , 𝑡 ≥ 0. Determine as equações paramétricas para 𝐶 
tendo 𝑆 como parâmetro, onde 𝑆 é o comprimento da curva desde o ponto correspondente a 𝑡 = 0. 
13) Encontre as equações paramétricas da curva descrita por 𝑟 (𝑡) = (2 + cos(𝑡))𝑖 + (3 + sen(𝑡))𝑗 que tem como 
parâmetro o comprimento do arco 𝑆, sendo 𝑆 a medida desde o ponto 𝑃(3,3). 
14) Reparametrize pelo comprimento do arco a curva dada por 𝑟 (𝑡) = 𝑒𝑡 cos(𝑡) 𝑖 + 𝑒𝑡 sen(𝑡) 𝑗 , 𝑡 ≥ 0. 
 
Sabe-se que o vetor binormal pode ser obtido através da expressão �⃗� (𝑡) = �⃗� (𝑡) × �⃗⃗� (𝑡). Porém, tal vetor também 
pode ser obtido diretamente da função 𝑟 (𝑡) e da função reparametrizada em termos de comprimento do arco 𝑟 (𝑠) 
através das expressões abaixo. 
�⃗� (𝑡) =
𝑟 ′(𝑡) × 𝑟 ′′(𝑡)
‖𝑟 ′(𝑡) × 𝑟 ′′(𝑡)‖
 ; �⃗� (𝑠) =
𝑟 ′(𝑠) × 𝑟 ′′(𝑠)
‖𝑟 ′′(𝑠)‖
 
Sendo assim, determine o vetor binormal das funções abaixo. Escolha outra das expressões para confirmar o resultado 
obtido. 
15) 𝑟 (𝑡) = [3 sen(𝑡)]𝑖 + [3 cos(𝑡)]𝑗 + (4𝑡)�⃗� 
16) 𝑟 (𝑡) = [𝑒𝑡 sen(𝑡)]𝑖 + [𝑒𝑡 cos(𝑡)]𝑗 + 3�⃗� 
17) 𝑟 (𝑡) = [sen(𝑡) − 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]𝑖 + [cos(𝑡) + 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡)]𝑗 
18) 𝑟 (𝑡) = [𝑎 cos(𝑡)]𝑖 + [𝑎 sen(𝑡)]𝑗 + (𝑐𝑡)�⃗� (𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0) 
19) Em cada figura, esboce os vetores tangente e normal unitários nos pontos indicados. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
Questões 1 a 8: 
 
 
 
 Questão 9: 
 
 
 
Questão 10: 
𝑆~71,71 𝑢. 𝑐. 
Questão 11: 
𝑆~2√2 𝜋 𝑢. 𝑐 
Questão 12: 
𝑟 (𝑠) = (√(3𝑠 + 8)²
3
− 4) 𝑖 +
1
3
(√(√(3𝑠 + 8)²
3
− 4)
3
) 𝑗 
Questão 13: 
𝑟 (𝑠) = (2 + cos(𝑠))𝑖 + (3 + sen(𝑠))𝑗 
Questão 14: 
𝑟 (𝑠) = [(
𝑠
√2
+ 1) cos(ln (
𝑠
√2
+ 1))] 𝑖 + [(
𝑠
√2
+ 1) sen(ln (
𝑠
√2
+ 1))] 𝑗 
Questões 15 a 18: