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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
 
 
SIMULAÇÃO DE PROCESSOS TECNOLÓGICOS 
 
 
Trabalho Condução Calor 
 
 
 
 ​Grupo 9: ​ Caio Leonard Falcão Monteiro 
Ítalo Lima Amaral 
 Marina Macêdo Paschoal 
 
 
 
 
Docentes: Abel D. Santos / Abílio de Jesus 
 
Março 2017 
 
 
 
Simulação de Processos Tecnológicos 
 
SUMÁRIO 
 
1. Problemas e Objetivos…………………………………………………………… 
2. Resultados, análises e discussão……………………………………………… 
 2.1 MDF……………………………………………………………………………… 
 2.2 MEF……………………………………………………………………………... 
3. Conclusões…………………………………………………………………………. 
4. Referências Bibliográficas………………………………….…………………… 
5. Anexos………………………………………………………………………………. 
 
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Simulação de Processos Tecnológicos 
 
1. Problemas e Objetivos 
 
 O problema que nos foi proposto no presente trabalho se trata de um 
problema térmico no qual uma placa metálica (figura 1) com dimensões 9x6 metros 
está submetida a uma transferência de calor em regime estacionário. O material 
desta placa é o aço inox e apresenta k=16 W/(mºC) . Dados estas informações, o 2 
grupo tem como objetivo: 
 a) Determinar a distribuição das temperaturas, usando quer o método das 
Diferenças Finitas (MDF - com auxílio do programa Matlab), quer o método do 
Elementos Finitos (MEF - utilizando o programa Abaqus); 
 b) Determinar o vetor de fluxo de calor em cada ponto, também pelos dois 
métodos (MDF e MEF). 
É pretendido também a comparação e análise dos resultados obtidos pelos dois 
métodos. 
 
 
Condições de Fronteira da placa: 
F1 = F6 => T=85 ºC 
F2=> T=185 ºC 
F3=> T=a.y2+b (*) 
F4=> T=c.x+d (*) 
F5=> T=135 ºC 
vértice F3 ⋂ F4 => T=290 ºC 
 
 ​Figura 1 
 
 
 
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Simulação de Processos Tecnológicos 
 
2. Resultados, Análises e Discussões 
 
 Assim como foi aprendido em sala de aula, fizemos uso de ferramentas 
computacionais de forma a entender e representar um problema de transferência de 
calor em uma placa 2D. Foram utilizados dois métodos para obtenção de 
resultados, os quais encontram-se definidos abaixo: 
 
2.1.​ ​MDF 
Sigla que significa Método das Diferenças Finitas, o MDF é um método de 
solução de equações diferenciais que é baseado na aproximação de derivadas por 
diferenças finitas. Juntamente com o método vem a fórmula que o define, sendo 
esta advinda da série de Taylor da função derivada. Considerando primeiramente a 
expansão de Taylor, temos: 
 
Dividindo os dois lados da equação por :xΔ 
 
E agora não levando em consideração os termos de ordem superior ao 
segundo grau (pois esses termos se referem a uma quantidade muito pequena), 
obtemos: 
 
 
Nota-se que o termo O( é o chamado erro de truncatura, presente na x)Δ 
equação pelo motivo já citado acima. 
 Temos então a definição de Derivada: 
 
 
 
 
 
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Simulação de Processos Tecnológicos 
 
 Com a definição de derivada, pode-se então introduzir o método das 
diferenças finitas, que consiste em 3 aspectos: diferença à frente (progressiva), 
diferença à atras (regressiva) e diferença central como mostra a figura 2 abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Graficamente falando já é possível entender as diferenças finitas, e 
matematicamente, para primeira ordem em um sistema unidemensional, o que 
temos é: 
 > À frente: 
 
 
 > Atrás: 
 
 
 > Central: 
 
 
 É importante notar que o presente método também pode ser utilizado em um 
espaço bidimensional, e para isso basta usar as derivadas parciais da maneira que 
segue abaixo: 
 
> À frente: 
 
 
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Simulação de Processos Tecnológicos 
 
 > Atrás: 
 
 
 
> Central: 
 
 
 
 Com as equações acima apresentadas então, vemos que é possível de 
maneira eficiente trabalhar com o Método das Diferenças Finitas. 
 
2.1.1 Resultados MDF 
 COLOCAR ALGUMAS IMAGENS E EXPLICAR A ANÁLISE DO MÉTODO 
 
 
 
 
2.2.​ ​MEF 
 O ​MEF ou Método dos Elementos Finitos foi o outro método utilizado na 
obtenção de resultados. Este método consiste em uma simulação computacional na 
qual a geometria submetida a carregamentos ou condições de fronteira ou 
restrições é subdividida em pequenas partes, chamadas de elementos, os quais 
passam a representar o domínio contínuo do problema. ​A divisão da geometria em 
pequenos elementos permite resolver um problema complexo, subdividindo-o em 
problemas mais simples, o que possibilita ao computador realizar com eficiência 
estas tarefas. 
 O método considera que um número de infinitas variáveis desconhecidas 
seja substituída por uma quantidade limitada de elementos com comportamento 
bem definido. Este fato é que dá nome ao método. 
 É importante notar também que todos os elementos finitos estão conectados 
através de pontos, e esses pontos são chamados de nós. O conjunto dos elementos 
com os nós é o que chamamos de malha, e juntamente com as equações inseridas 
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Simulação de Processos Tecnológicos 
 
no programa, é que serão resolvidos, aproximadamente, as questões propostas. 
 No problema proposto para este trabalho, o software utilizado é o Abaqus e 
sua análise segue abaixo. 
 2.2.1 Resultados MEF 
 Na análise realizada pelo grupo através no programa Abaqus, nós fizemos o 
refino para 3 malhas diferentes. Estes refinos vieram da dependência advinda da 
programação em Matlab e, devido a isto, o menor refino foi 0,75m, seguido das 
demais demais malhas que foram de 1,5m e 3m. 
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3. Conclusões 
 
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4. Referência Bibliográficas 
 
http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/elementos_finitos.pdf 
http://www.esss.com.br/blog/2016/01/metodo-dos-elementos-finitos-o-que-e/ 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_das_diferen%C3%A7as_finitas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Anexos 
 
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