Equações Diferenciais e suas Aplicações

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INTRODUÇÃO: 
Este trabalho consiste de um estudo de equações diferenciais ordinárias e de seus métodos de determinação de suas soluções. É bem conhecido que muitos fenômenos que interessam às Engenharias e outras ciências podem ser estudadas através de modelos matemáticos nos quais aparecem de modo importante equações ordinárias. Processos contínuos que envolvam a análise de taxa de variação, são geralmente descritos por meio da noção da derivada. Entende- se também que o estudo de modelos matemáticos simples, porém significativos, permite ao iniciante na matéria compreender melhor o poder e o limite dos métodos matemáticos utilizados, além disso tais modelos podem servir como um primeiro passo na busca de formação matemática necessária para que se possa desenvolver uma confiança na formulação e exploração de novos modelos.
OBJETIVO
Atividades proposta com o objetivo de estudar, analisar criticamente, modelar e desenvolver a solução de uma aplicação das equações s Diferenciais Ordinárias com origem em alguma área de conhecimento, como por exemplo, na mecânica, química, biologia, etc. 
 
O desenvolvimento das equações diferenciais está diretamente ligado com o desenvolvimento da matemática. A fim de se ter uma certa perspectiva histórica, vamos traçar algumas tendências principais na história do problema e identificar as personalidades contribuidoras mais eminentes.
O estudo das EDO's inaugurou-se no início do cálculo, com Isaac Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), no século XVII. Embora Newton tenha trabalhado relativamente pouco no campo das equações diferenciais, o desenvolvimento que proporcionou ao cálculo e à elucidação dos princípios básicos da mecânica construíram a base para as aplicações que se fizeram no século XVIII, por Euler. Newton classificou as equações diferenciais de primeira ordem de acordo como as formas dy/dx = f(x), dy/dx = f(y) e dy/dx = f(x,y).
Leibniz chegou aos resultados fundamentais do cálculo por via independente, embora um pouco posterior a Newton, mas foi o primeiro a publicá-los, em 1684. Leibniz tinha plena consciência do poder de uma boa notação matemática e a notação que usamos para a derivada (dy/dx), e para a integração, foram introduzidas por ele. Descobriu o método de separação das variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas e equações separáveis, e o procedimento de resolução de equações lineares de primeira ordem em 1694.
Os irmãos Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli, contribuíram muito para o desenvolvimento de métodos de resolução de equações diferenciais e para ampliar o campo de aplicação destas equações. Com o auxílio do cálculo formularam como equações diferenciais muitos problemas de mecânica e os resolveram. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial y’ = [a³/(b²y
a³)]½ em 1690 e, no mesmo artigo usou pela primeira vez o termo "integral" no sentido moderno. Em 1694, Johann Bernoulli resolveu a equação dy/dx = y/ax, embora não se soubesse na época, que d(ln x) = dx/x.
Euler teve especial interesse na formulação de problemas de mecânica em linguagem matemática e o desenvolvimento de métodos de resolução destes problemas matemáticos, identificou a condição de exatidão das equações diferenciais de primeira ordem em 1734-1735, desenvolveu a teoria dos fatores de
integração e apresentou a solução geral das equações lineares com os coeficientes constantes em 1743.
No que se refere às equações diferenciais elementares, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) mostrou em 1762-1765 que a solução de uma equação diferencial homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes. Depois, em 1774-1775, publicou o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu tratamento fundamental nas equações diferenciais parciais e no cálculo das variações.
A equação de Laplace é fundamental em muitos ramos da física matemática, e Pierre-Simon de Laplace estudou-a profundamente em suas investigações da atração gravitacional. A transformada de Laplace também recebeu o nome em sua homenagem, embora sua utilidade para a solução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito mais tarde.
As diversas equações diferenciais que resistiram à resolução por meios analíticos levaram à investigação de métodos numéricos de aproximação. Na altura de 1900, métodos de integração numérica, muito eficientes, já tinham sido elaborados, mas a implementação destes métodos estava severamente restringida pela necessidade de execução de cálculos manuais ou com equipamento de computação muito primitivo. Nos últimos cinqüenta anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versáteis ampliou a gama de problemas que podem ser investigados com eficiência por meio de métodos numéricos. Durante o mesmo período, desenvolveram-se integradores numéricos muito refinados e robustos, que se encontram em todos os centros de computação científica.
Uma outra característica das equações diferenciais no século XX foi a criação de métodos geométricos ou topológicos, especialmente para as equações não-lineares. Assim, embora as equações diferenciais sejam um tema antigo, a respeito do qual seja grande o conhecimento, tornou-se no final do século XX uma fonte de problemas fascinantes e importantes, ainda não resolvidos.
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Equações Lineares
Se a função da equação dy/dt = f(t,y) depende linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma:
dy + p(t ) y = g (t ) ,	e	é	chamada	de	equação	diferencial	linear	de
dt
primeira ordem. Vamos admitir que p e g são funções conhecidas e contínuas no intervalo α < x < β. Por exemplo, a equação diferencial:
	
	dy
	+
	
	1
	y =
	3
	, é uma equação linear particularmente simples, com as
	
	
	
	2
	
	
	
	
	dt
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	funções p(x) = 1
	2
	e g(x) = 3
	2
	, ambas constantes.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Temos
	como
	exemplo a resolução da equação
	dy
	+
	1
	y =
	3
	e
	
	
	
	
	
	2
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dt
	
	
	
	
determinar como as soluções se comportam para grandes valores de x. Para resolver esta equação, observamos que se y ≠ 3 podemos rescrever a equação na
	
	
	
	dy
	
	
	
	y − 3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dy
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	forma
	
	= −
	
	, daí então
	
	
	dt
	= −
	
	.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	y − 3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dt
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dy
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Uma vez que o primeiro membro da equação
	
	dt
	
	= −
	
	, é a derivada
	
	
	
	
	
	
	
	
	y − 3
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	de ln
	
	y − 3
	
	, temos
	d
	ln
	
	y − 3
	
	= −
	1
	. Segue-se então que se:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dt
	
	
	t
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	ln
	
	y − 3
	
	= −
	
	+ c ,
	onde c é uma constante de
	integração
	arbitrária.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Portanto, com a forma exponencial de ambos os membros,obtemos:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	y − 3 = ± exp(c) exp(− t
	2) , onde c = ± exp(c) também
	é
	uma
	constante
	arbitrária não nula.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Fator integrante
Inicialmente, escrevemos y = − K + exp(rt ) (I) na forma
r
	8
	
	
	K
	
	
	
	
	
	ye − rt = −
	
	exp(−rt ) + c (II), e depois derivando os dois membros em
	
	
	
	
	
	
	
	
	r
	
	
	
	relação a t, vem:
	
	
	
	
	
	( y'−ry) exp(−rt ) = K exp(−rt )
	(III), que é equivalente a equação
	
	dy
	= ry + K (IV).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dt
	
	
	
Observe que agora podemos resolver a equação (IV) invertendo os passos precedentes. Transpondo o termo ry para o lado esquerdo da equação e multiplicando por e-rt, obtemos a equação (III). Note que o lado esquerdo de (III) é a derivada de ye-rt, de modo que a equação se torna:
( y exp(−rt ))' = K exp(−rt )
Finalmente integrando os dois membros da equação (II) e portanto a solução (I).
Lidando agora com a questão da equação dy
dt
(V)
equação (V), obtemos a
 p(t ) y  g (t )	(VI). Nosso
objetivo é multiplicar a equação diferencial (VI) por um fator integrante apropriado e assim colocá-la em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante primeiro multiplicamos a Eq.(VI) por uma função (t), ainda indeterminada. Temos agora:
(t)y’ + (t)p(t)y = (t)g(t) (VII) Devemos agora reconhecer o lado esquerdo da Eq.(VII) como a
derivada de alguma função. O fato é que existem dois termos e um dos termos é (t)y’ sugere que o lado esquerdo da equação (VII) pode ser a derivada do produto (t)y. Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(VII), (t)p(t)y, deve ser igual a ’(t)y. Isto significa que (t) deve satisfazer a equação
diferencial:
’(t) = p(t)(t)	(VIII)
Se admitirmos que (t) é positiva, podemos escrever a equação (VIII)
como:
' (t ) = p(t ) , ou d ln  (t ) = p(t ) , então integrando ambos os termos,
(t )dt
ln  (t ) = ∫ p(t )dt + K .
Pela escolha da constante K arbitrária como zero, temos a função u mais simples possível, ou seja  (t )  exp ∫ p(t )dt (IX).
De forma que µ(t) é positiva para todos os t conforme admitimos. Depois de determinar-mos o fator integrante u(t), voltamos a equação
dy  p(t ) y  g (t )	e multiplicamos por µ(t), obtendo assim a equação (VII). Como µ
dt
	satisfaz à Eq.(VIII), a Eq.(VII) se reduz a
	
	
	
	
	[µ(t)y]’ = µ(t)g(t)
	
	
	
	
	(X)
	Integrando ambos os membros da equação (X) obtemos:
	
	 (t ) y  ∫ (t )g (t )dt  c
	, ou
	y =
	∫ (t )g (t )dt + c
	(XI)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 (t )
	
	
	
	
	
	
Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(VI), concluímos que toda solução da Eq.(VI) está incluída no segundo membro da Eq.(XI). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(VI). Observe que para encontrar a solução dada pela Eq.(XI) são necessárias duas integrações, uma para ter µ(t) pela Eq.(IX) e outra para determinar y pela Eq.(XI).
Para se determinar o fator integrante µ(t), é necessário ter certeza que a equação diferencial tem exatamente a forma (VI).
Interpretando geometricamente a Eq.(XI) nota-se que ela é de uma família infinita de curvas, uma para cada valor de c. Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um membro particular da família de curvas integrais, o que se faz pela identificação de u ponto particular (t0, y0) por onde deve passar uma das curvas da solução. Isto se escreve como y(t0) = y0, e é conhecida como uma condição inicial.
Exemplo
Determinar o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial permaneça finita quando t → ∞. Dado:
y’ –y = 1 + 3sent, y(0) = y0
Inicialmente determinamos o fator integrante:
 (t ) = exp(∫ − dt ) ,  (t ) = exp(−t )
Agora multiplicando todos os termos da equação pelo fator integrante
temos:
exp(−t ) y' (t ) − exp(−t ) y = exp(−t ) + exp(−t )3 sen t
Identificando o lado esquerdo da equação como sendo a derivada do produto e integrando ambos os lados temos:
d (exp(−t ) y(t )) = − exp(−t ) + 3∫exp(−t ) sen t + c , sendo c uma constante. dt
Dividindo ambos os lados por exp(-t), temos:
y(t ) = −1 − 23 (cos t + sen t ) + c exp(t )
Como nossa condição inicial é y(0) = y0, substituindo t por zero na
	equação acima temos:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	y(0) = −1 −
	3
	+ c
	, portanto y0
	= −
	5
	+ c
	
	e logo c = y0
	+
	5
	
	
	2
	
	
	
	2
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Com isso,
	y(t ) = −1 −
	3
	(cos t + sen t ) + ( y0
	+
	
	5
	) exp(t ) , e como queremos
	
	
	2
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
que a solução do problema permaneça finita, devemos igualar o termo multiplicativo da exponencial a zero, tendo assim:
	y0
	+
	5
	= 0 , o que nos leva a y0
	= −
	5
	.
	
	
	2
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
Aplicações das equações lineares de primeira ordem
Exemplo 1
A pessoa A abre uma conta remunerada com 25 anos, deposita R$2000,00 por ano durante 10 anos e depois disso não faz mais nenhum depósito. A pessoa B espera até os 35 anos para abrir a sua conta remunerada, mas deposita R$2000,00 por ano durante 30 anos. Nos dois casos não há nenhum investimento inicial.
Supondo uma taxa de juros de 8% ao ano, qual será o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos?
Para uma taxa de juros constante mas não especificada r, determine o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos em função de r.
Resolução: (a)
Pessoa A: 0 ≤ t ≤ 10
	
	8
	
	
	
	
	
	
	(t )  100 S a (t )  2000 , queremos saber Sa(10) = ?
	S 'a
	
	
	S a (0)  0
	
	
Resolvendo a equação através do fator integrante, obtemos:
S a (t ) = 2000 (exp(rt ) − 1) , agora substituindo em t o tempo de 10 anos, r
temos:	S	(10) = 2000 (exp(10r ) − 1) = R$30638,52 ,	portanto,	passados	10	anos	a
a
r
pessoa A possuirá este valor.
Agora temos: 10 < t ≤ 30
S 'a (t )  Sa(t )r , achando a solução desta equação obtemos:
a (t )  K exp(rt ) , sendo K uma constante, que em nosso caso, é
exatamente Sa (10) = R$ 30638,52. Substituindo temos:
a (30)  30638,52 exp(30t )  R$337733,81
Pessoa B:
	
	
	8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	S b ' (t ) = 100 Sb(t ) + 2000
	
	
	
	
	
	
	S b (30) = ?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Como já havíamos encontrado a solução desta equação para a pessoa
	A, temos:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	S
	
	(t ) =
	2000
	
	(exp(rt ) − 1) =
	2000
	(exp(
	8
	t ) − 1) = R$250579,4 .
	
	b
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	r
	8 100
	100
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(b)
Expressando em função de r, temos:
Pessoa A: 2000 exp(30r )(exp(10r ) − 1)
r
Pessoa B: 2000 (exp(30r ) − 1)
r
Uma forma de analisarmos melhor esse problema seria utilizando o
Matlab, e plotarmos as curvas para ambas pessoas:
r=0.001:0.001:0.08;
Sa=(2000./r).*(exp(10*r)-1).*exp(30*r);
Sb=(2000./r).*(exp(30*r)-1);
plot(r,Sb,r,Sa,'r') % 'r' dá cor vermelha a segunda curva grid on
Exemplo 2
Um estudante universitário faz um empréstimo de R$8000,00 para comprar um carro. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 10% ao ano. Supondo que os juros sejam capitalizados continuamente e que o estudante amortize a dívida continuamente a uma taxa anual constante K para que o empréstimo seja pago em três anos. Determine também o total de juros pagos durante esses três anos.
	Resolução:
	
	
	
	
	
	K
	
	
	S (t ) = S 0
	exp(rt ) −
	
	(exp(rt ) − 1)
	, onde K é a constanteque queremos
	
	
	r
	
	
	
	
	
	
	
	
	S (3) = 0
	
	
	
	
	
	
determinar.
S (3) = 8000 exp(3r ) − K (exp(3r ) − 1) = 0 , resolvendo esta equação r
obtemos:
10798,87 = 3,5K ⇒ K = R$3085,39
Determinando agora os juros, temos:
J(t) = Kt – S0, onde S0 é o empréstimo.
J (3) = 3085,84.3 − 8000 = 1256,17
Portanto os juros foram de R$ 1256,17.
Exemplo 3
O comprador de uma casa não pode pagar mais do que R$800,00 por mês de prestação. Suponha que a taxa de juros seja 9% ao ano e que o prazo de pagamento seja de 20 anos. Suponha também que os juros sejam capitalizados continuamente e que os pagamentos também sejam feitos continuamente.
Determine o preço máximo que este comprador pode pagar pela
casa.
Determine o total de juros pagos pelo comprador se ele comprar a casa nas condições do item (a)
Resolução: (a)
Partindo da mesma equação do exemplo anterior:
	
	
	K
	
	
	S (t ) = S 0
	exp(rt ) −
	
	
	(exp(rt ) − 1)
	, onde K é a quantia que o comprador
	
	
	r
	
	
	
	
	
	
	
	
	S (20) = 0
	
	
	
	
	
	
pagará por ano.
Então: 800.12 = 9600 = K
9600
S (t ) = S 0 exp(20r ) −	(exp(20r ) − 1) = 0 , resolvendo:
538629,06
S 0	=	exp(1,8)	= 89034,7
Portanto o máximo que o comprador poderá pagar pela casa será R$
89034,78.
(b)
J(t) = Kt – S0 = 9600t – S0
J(20) = 192000 – 89034,78
J(20) = 102965,22
Portanto, o total de juros pagos pelo comprador é de R$ 102965,22.
Equações de Variáveis Separáveis
Podemos usar x em vez de t para designar a variável independente de uma equação diferencial, isto para ser mais conveniente. Neste caso, a equação geral de primeira ordem assume a forma
dy = f (x, y)
dx
Se esta equação é não-linear, ou seja, se f não é uma função linear de variável dependente y, não existe um método geral para resolver a equação.
Primeiramente, reescrevemos a equação dy = f (x, y) na forma
dx
M (x, y) + N (x, y) dy = 0 ,	podemos conseguir isso fazendo M(x,y) = -
dx
f(x,y) e N(x,y) = 1. Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y, a equação M (x, y) + N (x, y) dy = 0 se torna
dx
M (x) + N ( y) dy = 0 ,	essa equação é dita separável pois pode ser
dx
escrita na forma diferencial simétrica e tende diminuir independentes.
M (x)dx + N ( y)dy = 0 . Esta forma também é mais as diferenças entre as variáveis dependentes e
Exemplo: Resolver o problema de valor inicial
	dy
	=
	3x
	2 + 4x + 2
	,
	y(0) = −1
	dx
	
	
	2( y − 1)
	
	
	
	
	
	
	
	
Inicialmente escrevemos a equação na forma
+ 4x + 2)dx , agora integrando o primeiro membro em
relação a y e o segundo membro em relação a x, temos:
y 2 − 2 y = x 3 + 2x 2 + 2x + c , de forma que c é uma constante arbitrária. Fazendo x = 0 e y = -1, isto para satisfazer a condição inicial, temos que a constante c = 3. Deste modo, uma solução para o problema de valor inicial é dado por
y 2 − 2 y = x 3 + 2x 2 + 2x + 3
 Aplicações de Equações Separaveis
1 PROBLEMA
Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses: 1) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração S= (1-x) não a tem. 2) Os membros desta população podem encontra-se livremente (ao acaso). 3) A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. Em conseqüência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação
dx  rx( 1  x) ,
dt
onde r é uma constante positiva. Esta é uma equação diferencial ordinária separável, resolvendo-se a equação:
dx  rx(1  x) dt
 	1	rt  	dx
x1  x
rt   1   1 dx
x	1 x
rt  log x  log1  x c
rt  log x   c
 1 x 
ert 
	
x ec
1 x
x1  x  kert , k  ec
x 		1	. 1/ k ert  1	
Aplicando a condição inicial x(0)=xo, obtemos
x 	
1	,
1  rt
1  1 	e
	xo 
que apresenta x 1 , quando t  . Isto quer dizer que mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a doença, não uimportando quantas pessoas estavam infectadas inicilamente, a menos que a condição inicial xo seja igual a 0 (zero), pois neste caso teríamos x=0 para todo t. Felizmente, este modelo é deveras simplificado, e não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas infectadas possam ser isoladas ou que se recuperem da doença ficando sadias.
2 - PROBLEMA
Na resolução do problema proposto utilizaremos dados os dados obtidos.
Comprimento do vão (distância entre os postes) = 100 m
Coeficiente de dilatação linear do aço = 1,1x10-5 °C-1.
Folga do fio (flecha) = 1% do comprimento do fio esticado.
Em um dia de inverno, um condutor da rede elétrica com comprimento de 101 m foi aquecido pelo sol durante o dia até uma temperatura de 55º C. Durante noite a temperatura ambiente era de -5º C, a partir das 20 horas. Às 22 horas mediu-se a temperatura no condutor, ela passou a ser 20ºC. Supõe-se que o condutor voltará a ser aquecido pelo sol às 6 horas da manhã seguinte. Busca-se calcular a dilatação térmica causada pela variação de temperatura no condutor durante a noite (20 horas - 6 horas). (Utilizar o coeficiente de dilatação linear do aço sendo 1,1x10-5°°C-1).
Obtendo do problema as condições de contorno, que são restrições adicionais de um sistema de equações diferenciais:
	
	20horas  T (0)  55
22horas  T (2)  20
Da modelagem de Newton do resfriamento, temos: dTdt k(T  Tm)
Separando os termos na equação separável e integrando:
T dTTn kdt
ln T Tm kt  c
T Ta  ekt c
5  C  ekt
Utilizando a condição de contorno (8):
T (0) 5  c  ek 
55 5  c
c  60
Utilizando a condição de contorno (9):
T (2) 5  60  ek 2
5  60  ek 2 k  12  ln 6025
 0,4377
Da equação da temperatura, podemos obter:
T (t) 5  60  e0,4377t
Temperatura final:
T (10) 5  60  e0,4377t
T (10) 4,2462
Dilatação:
	T  Tfinal Tinicial
	T 4,2462  55
	T 59,2462
Agora se calcula a variação no comprimento do fio mediante a variação térmica ocorrida sobre ele:
	L    L T
	L  1,1105 101.59,2462
	L  65,9226mm
Com base na função descrita em (23), podemos levantar o Gráfico 1 de temperatura em relação ao tempo:
Gráfico 1 - Temperatura
Fonte - Os Autores, 2013
Bibliografia
Willian E. Boyce and Richard C. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1998.
Rodney Carlos Bassanezi and Wilson Castro Ferreira, Equações Diferenciais com Aplicações, HARBRA, 1998.