algebra-7

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CAPÍTULO 7
BASE, DIMENSÃO
7.1 BASE E DIMENSÃO
	As noções de dimensão e estrutura no espaço n-dimensional tornam possível a visualização e interpretação de dados utilizando objetos geométricos conhecidos. Nesta seção discutiremos informalmente o conceito de base e dimensão.
INDEPENDÊNCIA LINEAR E SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS:
	Vejamos aqui como usar um sistema homogêneo de equações lineares para determinar se um conjunto S = {v1, v2, ..., vs} de vetores do Rn é linearmente independente (LI). Para isto, considere a matriz:
	A = [v1 v2 ... vs]
que tem os vetores de S como colunas. Então podemos escrever:
	[v1 v2 ... vs]
							(7-1)
que é um sistema linear homogêneo cuja matriz de coeficientes é A e cujas incógnitas são os escalares c1, c2, ..., cs. Assim, para determinar se v1, v2, ..., vs são linearmente independentes basta verificar se (7-1) tem somente a solução trivial, ou seja: c1 = 0, c2 = 0, ..., cs = 0.
Teorema 1: Um sistema linear homogêneo Ax = 0 tem somente a solução trivial se, e somente se, os vetores coluna de A são linearmente independentes.
Exemplo 1: Para o conjunto de vetores a seguir, determine se é linearmente independente.
v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 5, 0), v3 = (3, 3, 8)
v1 = (1, 2, –1), v2 = (6, 4, 2), v3 = (4, –1, 5)
v1 = (2, –4, 6), v2 = (0, 7, –5), v3 = (6, 9, 8), v4 = (5, 0, 1)
Solução (a): Montando o sistema linear homogêneo Ac = 0 temos:
Como det(A) ( 0, então o sistema só tem a solução trivial, logo os vetores são LI.
Solução (b): O sistema 
 tem solução não trivial, pois det(A) = 0. Portanto, 
os vetores desse conjunto são LD.
Solução (c): O sistema 
 tem mais incógnitas do que equações, logo 
tem soluções não triviais. Portanto, os vetores desse conjunto são LD.
Exercício 1: Mostre que o conjunto S = {(1, 0), (0, 1), (7, 4)} é LD.
BASES DE SUBESPAÇOS:
	Se V = ger{v1, v2, ..., vs} é um subespaço de Rn e se os vetores do conjunto S = {v1, v2, ..., vs) são LD, então pelo menos um dos vetores de S pode ser omitido e os demais vetores continuam gerando V. Essa discussão sugere que existe um conjunto especial de vetores geradores de V que são LI, por não conterem vetores supérfluos. Então temos:
Definição 1: Um conjunto de vetores de um subespaço V de Rn é denominado uma base de V se é linearmente independente e gera V. 
Exemplo 2: 
Se V é uma reta pela origem de Rn, então qualquer vetor não nulo da reta constitui uma base de V.
Se V é um plano pela origem de Rn, então quaisquer dois vetores não nulos do plano que não são múltiplos escalares um do outro constituem uma base de V.
Se V = {0} é o subespaço nulo de Rn, então V não possui base, por não conter quaisquer vetores LI.
Exemplo 3: Os vetores unitários canônicos e1, e2, ..., en são LI pois escrevendo 
	c1e1 + c2e2 + ... + cnen = 0
em forma de componentes, obtemos (c1, c2, ..., cn) = (0, 0, ..., 0). Além disso, esses vetores geram Rn, pois qualquer vetor x = (x1, x2, ..., xn) pode ser escrito como:
	x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.
Então, {e1, e2, ..., en} é a base canônica de Rn.
Exemplo 4: Seja V = R2, E = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 1), (0, 1)}. Então, E e B são bases de R2 pois:
E é a base canônica de R2.
B é LI, isto é, (1, 1) ( a(0, 1) (os vetores não são múltiplos um do outro).
V = ger(B), pois todo vetor v = (x, y) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de B. Vejamos como:
(x, y) = a(1, 1) + b(0, 1).
Então: 	a = x, a + b = y ou b = y – x.
Portanto, v = x(1, 1) + (y – x)(0, 1).
Exemplo 5: Usando as bases do exemplo 4. Escrever o vetor v = (3, 4) como uma combinação linear dessas bases.
Solução: Para a base E escrevemos:
	(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xax + yay = 3ax + 4ay.
Para a base B escrevemos:
	(x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1) = 3v1 + v2. Onde v1 = (1, 1) e v2 = (0, 1).
A interpretação geométrica desse exemplo é ilustrada na figura 7-1.
			 (a)					 (b)
Fig. 7-1. (a) Base (; (b) Base (.
Observe que a posição geométrica do vetor v independe da base que o criou. No entanto, as suas coordenadas dependem do referencial adotado.
Exercício 2: Mostre que o conjunto B = {(1, 2), (3, 5)} é uma base de R2.
Teorema 2: Se S = {v1, v2, ..., vk} é um conjunto de dois ou mais vetores não-nulos em Rn, então S é linearmente dependente (LD) se, e somente se, algum vetor de S é uma combinação linear de vetores que o antecedem na lista.
Exemplo 6: Os vetores-linha não-nulos de uma matriz escalonada por linhas são linearmente independentes. Para visualizar isso, considere as duas matrizes seguintes na forma escalonada por linha, onde os asteriscos denotam números reais arbitrários.
	
Listando os vetores-linha não-nulos dessas matrizes na ordem v1, v2, ..., começando na base e continuando para cima, nenhum vetor dessa lista pode ser expresso como uma combinação linear dos que o antecedem. Por exemplo, na primeira matriz temos o conjunto LI:
	S = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, *), (0, 1, *, *), (1, *, *, *)}
e na segunda matriz temos:
	S = {(0, 0, 1, *), (0, 1, *, *), (1, *, *, *)}.
APLICAÇÕES A MATRIZES E POSTO DE UMA MATRIZ:
	Seja A uma matriz m(n. Lembramos que as linhas de A podem ser vistas como vetores de Rn formando o espaço das linhas de A que é um subespaço de Rn. Temos então a seguinte definição:
Definição 2: O posto da matriz A, denotado por rank(A), é igual a quantidade máxima de linhas linearmente independentes.
Por outro lado, as colunas da matriz A podem ser consideradas como vetores de Rm e que o espaço das colunas de A é um subespaço de Rm. Embora m não deva ser igual a n, ou seja, as linhas e colunas podem pertencer a espaços diferentes temos o importante teorema:
Teorema 3: A quantidade máxima de linhas linearmente independentes de qualquer matriz A é igual à quantidade máxima de colunas linearmente independentes de A.
Então, a definição de posto dada anteriormente pode ser aplicada a colunas também.
PROBLEMAS DE DETERMINAÇÃO DE BASES:
	Vamos mostrar como a forma reduzida de uma matriz A pode nos dar soluções para certos problemas sobre a própria matriz. Sejam A e B as matrizes a seguir, onde B é a forma reduzida de A.
	
Vamos determinar:
Uma base do espaço das linhas de A.
Cada coluna de A que é uma combinação linear das colunas anteriores.
Uma base do espaço das colunas de B.
O posto de A.
Solução (a): Como B está na forma reduzida, suas linhas não-nulas são LI, então elas formam uma base do espaço das linhas de B e, por conseguinte, de A também já que A e B são equivalentes por linha.
Base do espaço das linhas de A = {(1, 2, 1, 3, 1, 2), (0, 1, 3, 1, 2, 1), (0, 0, 0, 1, 1, 2)}.
Solução (b): Seja Mk = [C1, C2, ..., Ck] a submatriz de A que consiste nas primeiras k colunas de A. Então, Mk-1 e Mk são, respectivamente, a matriz dos coeficientes e a matriz associada da equação vetorial:
	x1C1 + x2C2 + ... + xk-1Ck-1 = Ck.
Como visto no capítulo 4, esse sistema possui solução ou, de modo equivalente, que Ck é uma combinação linear das colunas anteriores de A, se e só se rank(Mk) = rank(Mk-1). Analisando a matriz B vemos que:
	rank(M2) = rank(M3) = 2 e rank(M4) = rank(M5) = rank(M6) = 3.
Assim, cada uma das colunas C3, C5 e C6 são combinações lineares das colunas anteriores de A.
Solução (c): De (b) tiramos que C1, C2 e C4 não são combinações lineares das colunas que as antecedem. Assim, elas formam uma base do espaço das colunas de A. Isto é:
Base do espaço das colunas de A = {(1, 2, 3, 1, 2), (2, 5, 7, 5, 6), (3, 6, 11, 8, 1)}.
Solução (d): O posto da matriz A pode ser dado pelo número de pivôs da matriz B, ou pelo número de linhas não-nulas de B que formam uma base do espaço das linhas de A, ou pelo número de colunas de B que formam uma base do espaço das colunas de A. Então temos que:
	rank(A) = 3.ALGORÍTMO PARA A DETERMINAÇÃO DE UMA BASE:
	Geralmente nos é dada uma lista de vetores S = {v1, v2, ..., vs} de Rn e precisamos determinar uma base do subespaço W de Rn gerado pelos vetores dados.
Algoritmo 1: (Algoritmo do espaço das linhas):
	Passo 1: Construa a matriz M cujas linhas são os vetores dados.
	Passo 2: Determine a forma reduzida de M.
	Passo 3: Dê como resposta as linhas não-nulas da matriz reduzida.
Às vezes precisamos determinar uma base que utiliza apenas os vetores dados originalmente. O próximo algoritmo faz essa tarefa.
Algoritmo 2: (Algoritmo de eliminação):
	Passo 1: Construa a matriz M cujas colunas são os vetores dados.
	Passo 2: Determine a forma reduzida de M.
	Passo 3: Para cada coluna Ck na forma reduzida sem pivô, exclua o vetor vk da lista S.
	Passo 4: Dê como resposta os vetores remanescentes em S (colunas com pivôs).
NOTA: Observe que no algoritmo 1 os vetores dados são as linhas da matriz enquanto que no algoritmo 2 eles são as colunas da matriz.
Exemplo 7: Seja W o subespaço de R5 gerado pelos vetores:
v1 = (1, 2, 1, 3, 2), v2 = (1, 3, 3, 5, 3), v3 = (3, 8, 7, 13, 8), v4 = ( 1, 4, 6, 9, 7), e v5 = ( 5, 13, 13, 25, 19).
Determine uma base de W composta por esses vetores.
Solução: Seguindo o algoritmo 2 construímos uma matriz M cujas colunas são os vetores dados e determinamos sua forma reduzida:
	
Os pivôs na matriz reduzida aparecem nas colunas C1, C2 e C4. Desta forma, eliminamos os vetores v3 e v5 da lista original. Logo, os vetores restantes v1, v2 e v4 formam uma base de W.
DIMENSÃO:
Teorema 4: Seja V um espaço vetorial tal que uma base possui m elementos e outra base possui n elementos. Então m = n.
Dizemos que um espaço vetorial possui dimensão finita n, denotada por dim V = n se V possui uma base com n elementos. Esse teorema nos diz que todas as bases de V possuem a mesma quantidade de vetores.
	Definimos que o espaço vetorial {0} possui dimensão 0.
	Se um espaço vetorial não possui uma base finita dizemos então que V é de dimensão infinita.
Teorema 5: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
Quaisquer n + 1 ou mais vetores de V são linearmente dependentes.
O conjunto S = {u1, u2, ..., un} linearmente independente, com n elementos é uma base de V
Qualquer conjunto gerador T = {v1, v2, ..., vn} de V com n elementos é uma base de V.
Exemplo 8: Sem fazer cálculos:
Mostre que v1 = (–3, 7) e v2 = (5, 5) formam uma base de R2.
Mostre que os vetores v1 = ( 2, 0, –1), v2 = (4, 0, 7) e v3 = (6, 1, –5) formam uma base de R3.
Solução (a): Como temos 2 vetores num espaço bidimensional, basta mostrar que eles são LI, e isso é mostrado verificando que nenhum dos vetores é um múltiplo escalar do outro.
Solução (b): Temos 3 vetores num espaço tridimensional, portanto basta mostrar que são LI. Assim, verifica-se facilmente que nenhum dos vetores é uma combinação linear dos vetores que o antecedem. Por exemplo, v2 não é um múltiplo escalar de v1 e o vetor v3 não é uma combinação linear de v1 e v2 porque qualquer combinação linear desses dois tem o segundo componente nulo, o que não ocorre com v3.
Exemplo 9: Usando um teste de determinante para a independência linear mostre que os vetores 
v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, –1, 3) e v3 = (1, 1, 4) formam uma base de R3. Expresse o vetor 
w = (4, 9, 8) como combinação linear desses três vetores.
Solução: Temos 3 vetores num espaço tridimensional, então basta mostrar que são LI. Para isso formamos a matriz A tendo os três vetores como colunas:
	
Então, como det(A) = –7 ( 0, implica que os vetores são LI. Esse resultado garante que o vetor w pode ser expresso de forma única como uma combinação linear de v1, v2 e v3. Para isso fazemos:
	
(4, 9, 8) = c1(1, 2, 1) + c2(1, –1, 3) + c3(1, 1, 4).
ou
	
Este sistema tem a solução única c1 = 3, c2 = –1 e c3 = 2. Portanto, w pode ser expresso de forma única por:
	w = 3v1 – v2 + 2v3.
Exemplo 10: Os quatro vetores de R4 dados abaixo determinam uma matriz na forma reduzida:
	(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1).
Assim, esses vetores são linearmente independentes e, como dim R4 = 4, estes vetores formam uma base de R4.
Exemplo 11: Considere quatro vetores quaisquer de R3; por exemplo:
	(257, –132, 58), (43, 0, –17), (521, –317, 94), (328, –512, –731).
Esses quatro vetores são obrigatoriamente LD, uma vez que são elementos do espaço vetorial R3.
DIMENSÃO E SUBESPAÇO:
Teorema 6: Seja W um subespaço do espaço vetorial V de dimensão n. Então dim W < n. Em particular, se dim W = dim V então W = V.
Exemplo 12: Seja W um subespaço do espaço real R3. Observe que dim R3 = 3. Então, este teorema nos diz que a dimensão de W pode ser apenas 0, 1, 2 ou 3. Temos então que:
Se dim W = 0, então W = {0}, um ponto.
Se dim W = 1, então W é uma reta passando na origem.
Se dim W = 2, então W é um plano passando na origem.
Se dim W = 3, então W é o espaço R3 inteiro.
DIMENSÃO DE UM ESPAÇO-SOLUÇÃO:
	A dimensão do espaço-solução de uma equação linear homogênea Ax = 0 é dada pelo número de variáveis livres quando aplicamos o processo de eliminação de Gauss. Lembremos que esse espaço-solução é o núcleo da transformação pela matriz A dos coeficientes.
Exemplo 13: Determine a dimensão e uma base do espaço-solução do sistema linear:
	 x + 2y + 3z + w = 0
	 x + 3y + 5z – 2w = 0
	 3x + 8y + 13z – 3w = 0.
Solução: Encontramos a matriz reduzida da matriz dos coeficientes:
	
Ou	x + 2y + 3z + w = 0
	 y + 2z – 3w = 0.
As variáveis livres são z e w. Logo dim ker(A) = 2.
Se fizermos z = 1 e w = 0 obtemos a solução (1, –2, 1, 0). E fazendo z = 0 e w = 1 obtemos 
(–7, 3, 0, 1).
Assim, os vetores (1, –2, 1, 0) e (–7, 3, 0, 1) formam uma base de Ker(A).
7.2 ESPAÇOS FUNDAMENTAIS DE UMA MATRIZ
	Nesta seção veremos como as propriedades algébricas das matrizes podem ser usadas para estudar as propriedades geométricas dos subespaços e inversamente como as propriedades geométricas dos subespaços podem ser usadas para estudar as propriedades algébricas das matrizes.
ESPAÇOS FUNDAMENTAIS DE UMA MATRIZ:
	Se A é uma matriz m(n, então existem três espaços importantes associados a ela:
O espaço-linha de A, denotado por lin(A), é o subespaço de Rn gerado pelos vetores-linha de A.
O espaço-coluna de A, denotado por col(A), é o subespaço de Rm gerados pelos vetores colunas de A.
O espaço-nulo de A, denotado por nuc(A), é o espaço-solução de Ax = 0. Esse é um subespaço de Rn.
Definição 3: A dimensão do espaço-linha ou do espaço-coluna de uma matriz A é denominada o posto de A; a dimensão do espaço nulo de A é denominada a nulidade de A e denotada por nul(A).
COMPLEMENTOS ORTOGONAIS:
Definição 4: Se S é um conjunto não-vazio em Rn, então o complemento ortogonal de S, denotado por S(, é o conjunto de todos vetores em Rn que são ortogonais a cada vetor de S.
Exemplo 14: Se L é uma reta pela origem de R3, então L( é o plano pela origem que é perpendicular a L, e se W é um plano pela origem, então W( é a reta pela origem que é perpendicular a W (Figura 7-2) .
Fig. 7-2.
Exemplo 15: Se S é o conjunto de vetores-linha de uma matriz A de tamanho m(n, então S( é o espaço-solução de Ax = 0. (Por quê?)
Exemplo 16: Encontre o complemento ortogonal num sistema de coordenadas xyz do conjunto 
S = {v1, v2}, onde v1 = (1, –2, 1) e v2 = (3, –7, 5).
Solução: Geometricamente S( é a reta pela origem perpendicular ao plano determinado por v1 e v2. Para encontrar essa reta use o resultado do exemplo 2. Assim:
	
Cuja solução geral é: x = 3t, y = 2t, z = t.
Uma alternativa seria encontrar o vetor diretor da reta fazendo:
	v1(v2 = –3ax – 2ay – az = (–3, –2, –1) que é também ortogonal ao plano.ALGUMAS PROPRIEDADES DOS COMPLEMENTOS ORTOGONAIS:
Se W é um subespaço de Rn, então W( ( W = {0}.
Se S é um subconjunto não-vazio de Rn, então S( = ger(S)(.
Se W é um subespaço de Rn,. então (W()( = W.
Se A é uma matriz m(n, então o espaço-linha de A e o espaço-nulo de A são complementos ortogonais.
Se A é uma matriz m(n, então o espaço-coluna de A e o espaço nulo de AT são complementos ortogonais.
As propriedades (d) e (e) podem ser resumidas nas fórmulas:
lin(A)( = nuc(A), nuc(A)( = lin(A), col(A)( = nuc(AT), nuc(AT)( = col(A).		(7-2)
O próximo teorema fornece uma ferramenta computacional importante para estudar as relações entre os espaços fundamentais de uma matriz.
Teorema 7:
As operações elementares sobre as linhas não mudam o espaço linha de uma matriz.
As operações elementares sobre as linhas não mudam o espaço-nulo de uma matriz.
Os vetores não-nulos de qualquer forma escalonada por linhas de uma matriz formam uma base do espaço-linha da matriz.
O próximo teorema é muito útil para tratar das relações entre os espaços fundamentais de duas matrizes.
Teorema 8: Se A e B são matrizes com o mesmo número de colunas, então as seguintes afirmações são equivalentes:
A e B têm o mesmo espaço-linha.
A e B têm o mesmo espaço-nulo.
Os vetores-linha de A são combinações lineares dos vetores-linha de B e reciprocamente.
Exemplo 17: Encontre uma base do subespaço W de R5 que é gerado pelos vetores
v1 = (1, 0, 0, 0, 2), v2 = (–2, 1, –3, –2, –4), v3 = (0, 5, –14, –9, 0) e 
v4 = (2, 10, –28, –18, 4).
Em seguida encontre uma base de W(.
Solução (a): O subespaço gerado por esses vetores é o espaço-linha da matriz:
	
Reduzindo essa matriz à forma escalonada por linha obtemos:
	
	
Extraindo os vetores não-nulos temos a base:
	w1 = (1, 0, 0, 0, 2), w2 = (0, 1, –3, –2, 0), w3 = (0, 0, 1, 1, 0).
Como temos 3 vetores na base, então dim W = 3.
Alternativamente podemos levar a matriz A até a forma canônica, ou seja:
	
Donde tiramos outra base de W:
	w1 = (1, 0, 0, 0, 2), w2 = (0, 1, 0, 1, 0), w3 = (0, 0, 1, 1, 0).
Solução (b): Como W( é o espaço-nulo de A que é também o espaço-solução de Ax = 0, encontramos:
	
Assim, a base de W( será:
	u1 = (–2, 0, 0, 0, 1) e u2 = (0, –1, –1, 1, 0).
7.3 MUDANÇA DE BASE
	Dadas duas bases A e B de um espaço vetorial V vamos estabelecer a relação entre as componentes de um vetor v representado na base A e as componentes desse mesmo vetor representado na base B. Para facilitar vamos supor que dim V = 2.
	Sejam as bases A = {v1, v2} e B = {w1, w2} de V. Então, um vetor qualquer v ( V pode ser representado da seguinte forma:
Na base A: v = x1v1 + x2v2 ou vA = (x1, x2) ou ainda vA = 
				(7-3)	
Na base B: v = y1w1 + y2w2 ou vB = (y1, y2) ou ainda vB = 
				(7-4)
Como os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
	v1 = a11w1 + a21w2								(7-5)
	v2 = a12w1 + a22w2								(7-6)
Então, substituindo-se (7-5) e (7-6) em (7-3) vem:
	v = x1(a11w1 + a21w2) + x2(a12w1 + a22w2)
ou
	v = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2						(7-7)
Comparando (7-7) com (7-3) vem:
	y1 = a11x1 + a12x2
	y2 = a21x1 + a22x2
ou na forma matricial:
	
Então, fazendo M = 
, podemos escrever:
vB = MvA									(7-8)
A matriz M é chamada de matriz de mudança de base ou matriz de transição. Ela serve para transformar as componentes de um vetor v na base A em componentes do mesmo vetor na base B.
Se quisermos fazer o processo inverso, ou seja, transformar vB em vA, a equação (7-8) permite escrever:
vA = M-1vB.
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE TRANSIÇÃO:
	As equações (7-5) e (7-6) permitem escrever:
	
							(7-9)
Fazendo:
v1 = (x11, x12), v2 = (x21, x22), w1 = (y11, y12) e w2 = (y21, y22).
a equação (7-8) fica:
Ou, abreviadamente:
	AT = MTBT.
E, pela propriedade da matriz transposta:
	A = BM
E, portanto:
	M = B-1A.									(7-10)
E, conforme a propriedade da matriz inversa, vem:
	M-1 = A-1B.									(7-11)
Observação: Se a base A for a canônica e, portanto A = I, tem-se:
	M = B-1 e M-1 = B.
Exemplo 14: Dadas as bases A = {(1, 3), (1, –2)} e B = {(3,5), (1, 2)}, do R2, determinar a matriz de transição de A para B.
Solução:
Logo:	
Exercício 3: No exemplo 14, determine a matriz de mudança de base de B para A.
Resposta: 
Exemplo 15: Sabendo que vA = (3, 2), use a matriz de transição do exemplo 14 para calcular vB.
Solução: vB = MvA = 
 
Exercício 4: Sabendo que vB = (5, –10) use a matriz de transição do exercício 3 para encontrar vA.
Resposta: vA = (3, 2).
Exemplo 16: Dadas as bases do R2, A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {v1 = (2, 1), v2 = (–1, 2)}, calcular vB sabendo-se que vA = (4, 7).
Solução: vB = MvA. Mas como A é a base canônica, então M = B-1. Logo:
	vB = B-1vA = 
A figura 7-3 dá uma interpretação gráfica para essa mudança de base.
Fig. 7-3 Interpretação gráfica da mudança de base.
�
PROBLEMÁTICA
1) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3.
2) Classificar os seguintes subconjuntos do R2 em Li ou LD:
	a) {(1, 3)}		b) {(1, 3), (2, 6)}
	c) {(2, –1), (3, 5)}	d) {(1, 0), (–1, 1), (3, 5)}
3) Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD:
	a) {(–2, 1, 3)}				b) {(1, –1, 1),( –1, 1, 1)}
	c) {(2, –1, 0), (–1, 3, 0), (3, –4, 0)}	d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}
4) Verificar quais dos seguintes conjuntos formam uma base do R2.
	a) {(1, 2), (–1, 3)}		b) {(3, –6), (–4, 8)}
	c) {(0, 0), (2, 3)}			d) {(3, –1), (2, 3)}
5) Exemplifique três bases do R3.
6) Os seguintes conjuntos são bases do R2:
	A = {(2, –1), (–1, 1)}, B = {(1, 0), (2, 1)}, C = {(1, 1), (1, –1)}, D = {(–1, –3), (3, 5)}.
	a) Calcular vB sabendo que vA = (4, 3).
	b) Calcular vA sabendo que vB = (7, –1).
	c) Calcular vD sabendo que vC = (2, 3).
7) Sabendo que vB = (3, –2, 0), calcular vA, sendo a matriz de mudança de base de A para B dada por:
	M =
 
8) Dados os subespaços do R4:
	S1 = {(a, b, c, d) | a + b + c = 0}
	Sj = {(a, b, c, d) | a – 2b = 0 e c = 3d}.
	a) Determinar dim S1 e uma base de S1.
	b) Determinar dim de S2 e uma base de S2. 
 
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