Estatística - Resumo teórico 2.1

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
2-Variáveis Aleatórias Unidimensionais 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
2.1 Variável Aleatória Unidimensional 
 Considere-se uma experiência aleatória 
ε
 de espaço amostral S. Denomina-se Variável 
Aleatória Unidimensional (ou Variável Aleatória Unidimensional Real) qualquer função 
que associa um número real x = X(s) a cada elemento 
s S.
 
 2.1.1 Variável Aleatória Unidimensional do Tipo Discreto 
 Diz-se que uma variável aleatória unidimensional é do tipo discreto (ou é discreta) se o 
 conjunto dos valores que ela pode assumir é finito ou infinito enumerável. 
 2.1.2 Variável Aleatória Unidimensional do Tipo Contínuo 
 Diz-se que uma variável aleatória unidimensional é do tipo contínuo (ou é contínua) se o 
 conjunto dos valores que ela pode assumir é um intervalo ou uma reunião finita de inter
 valos. 
2.2 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória Unidimensional 
 A toda variável aleatória unidimensional X corresponde uma função real 
 XF x ,
deno
 minada Função de Distribuição, definida por 
 
   XF x =P X x x    
 
 Uma função de distribuição também é denominada: Função de Distribuição Acumulada, 
 Função de Distribuição Acumulativa ou Função de Repartição. 
 2.2.1 Propriedades de 
 XF x
 
 (I) Propriedades Características: 
a) 
 X0 F x 1 
 
b) 
   X X
x
F lim F x 0

  
 
   X X
x
F lim F x 1

  
 
2 
 
c) 
 XF x
 é monótona não decrescente: 
0 1x x
 
   X 0 X 1F x F x 
 
d) 
 XF x
 é contínua à direita: 
 
0
X X 0
x x
lim F x F (x )

 
 para todo 
0 1x R
 
 (II) Utilização no Cálculo de Probabilidades 
a) 
     
0 0
0 X X
x x x x
P X=x lim F x lim F x
 
 
 para todo 
0 1x R
; o que corresponde ao 
salto de 
 XF x
 no ponto 
0x
. 
b) 
       X XP a < X b F b F a
 
2.3 Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta 
 A cada variável aleatória discreta X corresponde uma função 
 Xp x ,
dita Função de 
 Probabilidade, que associa a cada 
1x R
a probabilidade do evento 
 P X x :
 
 
   X 1p x P X x x R  
 
 2.3.1 Suporte de uma Variável Aleatória Discreta 
 Chama-se suporte de uma variável aleatória discreta X, e representa-se por
XS ,
ou por 
XR ,
o conjunto de números reais para os quais X possui probabilidade positiva: 
   X X 1S R x R |P X x 0    
 
 Convenção: Convenciona-se apresentar a expressão analítica de 
 Xp x
 apenas para os 
 valores 
Xx S .
 Assim, o suporte 
X XS R
 é o domínio da função de probabilidade.
 
 2.3.2 Propriedades de 
 Xp x
 
 (I) Propriedades Características: 
 a) 
 Xp x 0 
 b)  X
Xx S
p x 1


 
 
 (II) Utilização no Cálculo de Probabilidades 
 
     1 X X
Xx AS
Para todo A R , P X A P X AS p x

     
 
3 
 
Nota: 
 Para uma variável aleatória discreta X é usual denominar-se distribuição de probabilidade 
a conjugação do seu domínio,
XR
, e da sua função de probabilidade,
p(x)
 - ou seja, o par 
X(R ,p(x))
. 
 2.3.3 Função de Distribuição de Variáveis Aleatórias Discretas 
 Definam-se os conjuntos: 
 XxA y S | y x - x      
 
 Então, 
 
       X Xx
y Ax
F x P X x P X A p y

     
 
- x  
 
 Nota: 
 Para cada 
1x R
, a função de distribuição está expressa como uma soma de probabilida-
des positivas, as quais correspondem aos saltos de 
 XF x
 nesses pontos. Assim, a repre-
sentação gráfica de 
 XF x
 é a de uma função em escada (step function). 
2.4 Função de Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua 
 A cada variável aleatória contínua X corresponde uma função
 Xf x ,
dita Função de 
 Densidade de Probabilidade, com a seguinte definição: 
 
   X X
d
f x F x
dx

 
 2.4.1 Suporte de X 
 Chama-se suporte de uma variável aleatória continua X, e representa-se por 
XS
, ou por 
XR
, o conjunto dos números reais tais que a função de densidade de X é positiva: 
 
  X 1 XS x R |f x 0  
 
 Convenção: Convenciona-se apresentar a expressão das funções de densidade de X 
apenas para os valores pertencentes a 
X XS R
. Assim, o suporte 
X XS R
 é o domínio 
da função de densidade de probabilidade.
 
2.4.2 Propriedades de 
 Xf x
 
 (I) Propriedades Características 
4 
 
 a) 
 Xf x 0
 
 b) 
   
X
X X
x S
f x dx f x dx 1

 
  
 
 (II) Utilização no Cálculo de Probabilidades 
a) Para todo par de números reais
 a,b
tal que 
a b,
tem-se: 
 
       P a X b P a X b P a X b P a X b          
=
 
b
X
a
f x dx
 
 b) 
     
0
X
0
x
0 0 0 0 1
x
P X x P x X x f x dx 0 para todo x R      
 
Nota: 
 Para uma variável aleatória contínua X é usual denominar-se distribuição de probabilida-
de a conjugação do seu domínio,
XR
, e da sua função de densidade de probabilidade,
f(x)
 
- ou seja, o par 
X(R ,f(x))
. 
 
2.5 Função de Distribuição de Variáveis Aleatórias Contínuas 
 Em decorrência do Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se: 
 
   
x
X XF x f t dt

 
 
- < x < + 
 
 Nota 1: 
 Como 
 0 0 1P X x 0 para todo x R ,  
a função 
 XF x
não possui saltos. Logo, se X é 
 do tipo contínuo, 
 XF x
 é contínua por toda parte. 
Nota 2: 
 Para uma variável aleatória contínua X é frequentemente útil considerar a definição de 
sua função de densidade de forma estendida para todo o conjunto dos reais. Essa extensão 
é feita definindo-se essa função como sendo igual a f(x) para os valores de x que perten-
cem ao seu domínio (ou suporte) 
XR
e igual a zero para todos os outros valores reais. 
 
5 
 
2.6 Função de uma Variável Aleatória 
Seja X uma variável aleatória real e considere-se uma função real de variável real cuja 
forma funcional é h(.). Seja Y = h(X) uma função da variável aleatória X. Nessas condi-
ções, Y é também uma variável aleatória real. 
2.6.1 Suporte de Y 
 O suporte da variável aleatória Y é representado por
YS
, ou por 
YR
, e consiste no con-
junto dos números reais tais que a função de probabilidade – se Y for discreta – ou a fun-
ção de densidade de probabilidade – se Y for contínua – é positiva. O suporte de Y está 
relacionado ao suporte de X por meio da transformação definida pela função h(.). 
2.6.2 Determinação da Distribuição de Probabilidade de Y 
Nos casos de maior interesse, sob condições bastante gerais, conhecida a distribuição de 
probabilidade de X é possível determinar-se a distribuição de probabilidade de Y. A de-
terminação da distribuição de Y a partir da distribuição de X é feita com base no conceito 
de equivalência de eventos nos espaços 
XR
e
YR
. Com efeito, para todo evento 
YE R
tem-se que 
  -1P Y E P X h (E)    
 em que 
-1
Xh (E) R
 é a imagem inversa do 
evento E, conforme a relação de correspondência entre x e y = h(x). 
Há dois casos principais a considerar: 
i) X é discreta e Y é discreta; 
ii) X é contínua e Y é contínua. 
No primeiro caso, o emprego da equivalência de eventos permite facilmente a determina-
ção da função de probabilidade de Y a partir da função de probabilidade de X. 
No segundo caso, o problema pode ser de difícil solução. Entretanto,quando a função 
h(.) é contínua, monótona – estritamente crescente ou decrescente – e diferenciável, a so-
lução se torna bastante fácil e pode ser empregado o teorema apresentado a seguir. 
Teorema. Seja X uma variável aleatória real contínua com função de densidade de proba-
bilidade 
Xf (x)
 e função de distribuição acumulada 
XF (x)
. Seja Y = h(X) uma função de 
X. Se y = h(x) é uma função derivável (portanto contínua) e estritamente monótona (cres-
cente ou decrescente), então 
 
       
-1
-1 -1 -1Y
Y X X X
d F (y) d d h (y) d x
f y F h (y) f h (y) f h (y)
dy dy dy dy
   
 
 onde 
-1x h (y)