Lista Tranformada de Fourier

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Me´todos Matema´cos Aplicados a´ Engenharia
Lista - 2018
Prof. Ariosvaldo
Transformada de Fourier
Definic¸a˜o 0.0.1. Seja F (t) = U(t) + iV (t) uma func¸a˜o da varia´vel real t num intervalo [a, b]
ou (−∞,∞). Definimos o limite:
lim
t−→±∞
F (t) = lim
t−→±∞
U(t) + i lim
t−→±∞
V (t)
b∫
a
F (t) dt =
b∫
a
U(t) dt+ i
b∫
a
V (t) dt
Utilizando a definic¸a˜o, ca´lcule
lim
t−→∞
e−w0t.
onde w0 = x0 + iy0 e x0 > 0
1. Utilizando a definic¸a˜o, mostre que
(a)
b∫
a
eit dt = i(eia − eib)
(b)
b∫
a
eist dt = i
s
(eisa − eisb) onde s e´ um nu´mero real na˜o-nulo.
2. Seja f uma func¸a˜o definida de (−∞,∞). Enta˜o a transformada de Fourier e´ dada por
F (w) = F{(f(t)} =
∞∫
−∞
f(t)e−iwt dt.
e
f(t) = F−1{(F (w)} = 1
2pi
∞∫
−∞
F (w)eiwt dw
func¸a˜o degrau unita´rio de Heaviside, definida por
µ(t) =
{
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
A partir da func¸a˜o degrau unita´rio, e´ poss´ıvel definir
µ(−t) =
{
0 se t ≥ 0
1 se t < 0
Seja h = h(t) a func¸a˜o definida por
h(t) = e−tµ(t) =
{
e−t se t ≥ 0
0 se t < 0
Vimos que F [(h(t)] = F [e−tµ(t)] = 1−iw
1+w2
1
3. Para A > 0 e α > 0, obter a transformada de Fourier de: f(t) =
{
Ae−αt se t ≥ 0
0 se t < 0
4. Seja h = h(t) a func¸a˜o definida por h(t) =
{
2e−t se t ≥ 0
5et se t < 0
Obter a transformada de
Fourier de h(t).
Dica: Escreva h = 2f + 5g e use linearidade.
Resp. 7+3iw
1+w2
5. A translac¸a˜o da func¸a˜o degrau unita´rio para a direita e´ definida por
µc(t) = µ(x− c)
{
1 se t ≥ c
0 se t < c
Definimos a func¸a˜o caracter´ıstica de um conjunto real I como
χI(t) =
{
1 se t ∈ I
0 se t 6∈ I
A func¸a˜o caracter´ıstica de um intervalo real I = [a, b] pode ser escrita em func¸a˜o de duas
translac¸o˜es da func¸a˜o degrau unita´rio como:
χ[a,b](t) = µ(t− a)− µ(t− b).
Calcule F [χ[a,b](t)].
6. (a) Ache a representac¸a˜o em integral de Fourier da func¸a˜o
f(t) =
{
1, se |t| < 1;
0, se |t| > 1.
Resp: f(t) = 2
pi
∞∫
0
cos(tw) sinw
w
dw.
(b) Aplicando o resultado do item (a), deduza que
∞∫
0
sinw
w
dw =
pi
2
.
7. Se F (w) = F{(f(t)}, mostre que
F [f(at)eiwot] = 1|a|F
(
w − wo
a
)
.
8. Se F (w) = F{(f(t)}, mostre que
F [f(t) sin(wot)] = 1
2i
[F (w − wo)− F (w + wo).
9. Mostre que
(a)
F [e−a|t|] = 2a
a2 + w2
.
(b) Calcule F ( 1
a2+t2
)
. (Sugesta˜o: Aplique a propriedade de simetria no item anterior)
2
10. Usando a Convoluc¸a˜o. ache f(t) = F−1
[
1
(1+iw)(2+iw))
]
.
Resp: (et − e−2t)µ(t).
11. Calcule usando frac¸o˜es parciais f(t) = F−1
[
1
(1+iw)(2+iw))
]
.
Sugesta˜o: 1
(1+iw)(2+iw))
= 1
1+iw
+ −1
2+iw
12. Determine as transformadas de Fourier das seguintes func¸o˜es:
(a) f(t) = 1− 3δ(t) + 2δ′(t− 2). Resp. 2piδ(w)− 3 + 3iwe−i2w
(b) f(t) = sin3(t). Resp. ipi
4
[δ(w − 3)− 3δ(w − 1) + 3δ(w + 1)− δ(w + 3)]
(c) f(t) = µ(t− 1) Resp. piδ(w)− e−iw
iw
(d) f(t) = cos(wot)µ(t). Resp.
pi
2
[δ(w − wo) + δ(w + wo)] + i ww2o−w2
(e) f(t) = sin(wot)µ(t). Resp.
w
w2o−w2 − i
pi
2
[δ(w − wo)− δ(w + wo)]
13. Se f(t) = e−atµ(t), mostre que F [f ′(t)] = iwF [f(t)].
[ Sugesta˜o: f ′(t) = δ(t)− ae−atµ(t)].
14. Mostre que F [tµ(t)] = ipiδ′(w)− 1
w2
.
[ Sugesta˜o: F [−itf(t)] = F ′(w) ].
15. Mostre que F [|t|] = − 2
w2
.
[ Sugesta˜o: mostre que |t| = 2tµ(t)− t, e use o item anterior.]
16. Ache a soluc¸a˜o particular para x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = µ(t), mediante a tranformada de
Fourier.
Resp. 1
2
[1− 2e−t + e−2t]µ(t)
Ache a soluc¸a˜o particular para x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = 3δ(t), mediante a tranformada de
Fourier.
Resp. 3(e−t − e−2t)µ(t)
17. Mostre que ∫ ∞
0
ω3
4 + ω4
sen(ωx)dω =
pi
2
e−x cos(x).(
Dica : escreva a integral de Fourier da funca˜o f(x) =
{
pi
2
e−x cos(x), se x > 0;
−pi
2
ex cos(x), se x < 0.
)
Conclua que ∫ ∞
0
ω3
4 + ω4
sen(ωx)dω =
∫ ∞
0
2 + ω2
8 + 2ω4
cos(ωx)dω
para x > 0.
18. Sejam α > 0 e
g(t) = e−αtµ(t).
Em virtude do resultado acima temos que
F (w) = F{g(t)} = 1
α + iw
.
Use o Teorema de Parseval para calcular
∞∫
−∞
1
α2 + x2
dx e
∞∫
−∞
1
1 + x2
dx
3
Tabela que Sera´ Utilizada na Prova
SE´RIE DE FOURIER DE f(t) de per´ıodo T
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cosnw0t+ bn sinnw0t.
onde an =
2
T
T
2∫
−T
2
f(t) cos(nw0t)dt e bn =
2
T
T
2∫
−T
2
f(t) sin(nw0t)dt e w0 =
2pi
T
.
Tipo de simetria condic¸o˜es Forma da se´rie de Fourier Fo´rmulas dos coeficientes
Par f(t) = f(−t) f(t) = a0
2
+
∞∑
n=1
an cosnw0t an =
4
T
T
2∫
0
f(t) cos(nw0t)dt
I´mpar f(t) = −f(−t) f(t) =
∞∑
n=1
bn sinnw0t bn =
4
T
T
2∫
0
f(t) sin(nw0t)dt
Seja f uma func¸a˜o definida de (−∞,∞). Enta˜o a transformada de Fourier e´ dada por
F (w) = F{(f(t)} =
∞∫
−∞
f(t)e−iwt dt.
e
f(t) = F−1{(F (w)} = 1
2pi
∞∫
−∞
F (w)eiwt dw
TABELA DA TRANSFORMADA:
a1f1(t) + a2f2(t) a1F1(w) + a2F2(w)
f(t) F (w)
f(at)
1
|a|F (
w
a
)
f(t− t0) F (w)e−iwt0
F (t) 2pif(−w)
e−a|t|
2a
a2 + w2
f(t)eiw0t F (w − w0)
f ′(t) iwF (w)
f(t) sin(w0t)
1
2i
F (w − w0)− 12iF (w + w0)
f(t) cos(w0t)
1
2
F (w − w0) + 12F (w + w0)
f1(t) ∗ f2(t) =
∞∫
−∞
f1(x) · f2(t− x) dx F1(w) · F2(w)
Teorema de Parserval:
∞∫
−∞
[f(t)]2 dt =
1
2pi
∞∫
−∞
|F (w)|2dw
|z| = √x2 + y2, para z = x+ iy.
4