doc_calculo__2111082497

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Cálculo 2
5ª Lista de Exercícios – Integral Definida
Integral Definida 
O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas.
	Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b].
	 A			 B			 A			 B
Se dividirmos o intervlo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos.
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada.
Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a (x e construímos os retângulos com base igual a (x e altura igual a f (x):
A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, isto é:
	A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x) ( 0 e também mostra que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas ordenadas x = a e x = b.
	Sendo f (xn)(x a área do retângulo de base (x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será (x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações.
Exemplo: 
n = 2 n = 4
n = 8 n = 40 
Definição: A integral definida de f, desde a até b é o 
 ,
 Símbolo :
	 
 
( Teorema Fundamental do Cálculo
	Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável nesse intervalo, tal que F’(x) = f(x), para todo x ( [a, b]. Então, temos:
, onde F é uma integral indefinida de f.
Exercício–Exemplo : Calcular 
Uma primitiva de f(x) = x2 é, como vimos, F(x) = 
. Assim: 
( Cálculo de áreas
Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelas considerações feitas anteriormente. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas :
A área está toda acima do eixo x ou seja f(x) ( 0 para todo x ( [a, b] , então 
A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x) ( 0 para todo x ( [a, b] , então 
Neste caso, a área assinalada será calculada por:
A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x) ( 0 e f(x) ( 0 para todo x ( [a, b]. Então se calcula a(s) raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo de integração teremos: 
 .
	 X1 é a raiz da f(x) neste exemplo. 
A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas. 
	 
 
Exercícios:
Calcule as integrais definidas abaixo:
		 R : 
		 R : 
		 R : 0
	 R : - 6,667
		 R : 8,667
		 R : 8
		 R : 
Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
 R: 
Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2. 
R: 
Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
 ; y = 0 e a reta x = 4 
R: 
Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. 
R: 23,2 u. a.
Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
R: 
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . 
R: 1,86 u.a.
Integral Definida: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcule a integral definida usando Geometria Elementar:
1. 2. 3. 4. 1. 
Use o TFC para calcular a integral definida
5. 6. 
 
7. dx 8. dx 
 
 9. dx 10. dx 
11. dx 12. dx 
 
13. dx 14. dx 
 
15. dx 16. dx 
Calcule a área sob o gráfico de f . 
17. y = -x2 + 10x - 24, 4 ≤ x ≤ 6 18. y = x2 - 3
19. y = -x2, 0 ≤ x ≤ 2 20. y = x4, - 2 ≤ x ≤ 1
21. y = 2x2 – 11x + 5, 0 ≤ x ≤ 5 22. y = (x(, - 2 ≤ x ≤ 2
f(x2)
f(x3)
y
 a (x x1 (x x2 (x x3 b X
f(x1)
f(x)
(x = (b-a) / n
�
�
�
�
1.º caso
 
 X
a b 
y
F : [a, b] ( R , e f(x) ( 0 ( x ( [a, b].
a b X
y
2.º caso
F : [a, b] ( R, e f(x) ( 0 ( x ( [a, b].
3.º caso
 a X
		 x1	 b
y
F : [a, b] ( R, e f(x) assume valores positivos, 
negativos e nulos para todo x ( [a, b].
4.º caso
 				X
 a b
 f(x)
 g(x)
y
Como se vê, f(x) ( g(x), ( x ( [a, b], logo f(x) – g(x) ( 0. 
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso: 
_1051620500.unknown
_1051621914.unknown
_1052059662.unknown
_1235135797.unknown
_1325687747.unknown
_1235135285.unknown
_1051903138.unknown
_1051903219.unknown
_1051964409.unknown
_1051621990.unknown
_1051622018.unknown
_1051621001.unknown
_1051621748.unknown
_1051621817.unknown
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_1051621128.unknown
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_1051614604.unknown
_1051617203.unknown
_1051620334.unknown
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_1051614578.unknown
_1051613842.unknown