Seção 16_2_S

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SEÇÃO 16.2 INTEGRAIS DE LINHA  3
 1. C x ds =
1
0 t
3 9t4 + 1dt = 154 9t
4 + 1 3 / 2
1
0
= 154 10
3 / 2 − 1
 2. C y ds =
1
0 t
2 9t4 + 4t2 dt = 10 t
3 9t2 + 4dt
= 10 3t
3 t2 + 23
2 dt
= 3 15 t
2 − 8135 t
2 + 49
3 / 2 1
0
= 1945
13
9
3 / 2 + 845
8
27
= 11215 19 (13)
3 / 2 + 64
 3. A reta é 3y − 2x = 5, então x= x, y = 13 (2x + 5),
−1 ≤ x ≤ 2. Então
C xy ds =
2
− 1
1
3 x (2x + 5) ·
13
3 dx
= 139
2
− 1 2x
2 + 5x dx = 139
46
3 −
11
6 =
3 13
2
 4. x = x , y = x 2 , −2 ≤ x ≤ 1. Então
C x − 2y
2 dy = 1− 2 x − 2x
4 2x dx
= 1− 2 2x
2 − 4x 5 dx = 23 x
3 − x 6 1− 2 = 48
 5. Escolhendo y como parâmetro, temos 
 
x = y4 , y = y , −1 ≤ y ≤ 1. Então
C sen x dx =
1
− 1 sen y
4 4y3 dy = − cos y4 1− 1 = 0.
 6. 
Sobre C1 : x = cos t ⇒ dx = − sen t dt , y = sen t ⇒
y = cos t dt , 0 ≤ t ≤ pi2 .
Sobre C2 : x = 4t ⇒ dx = 4 dt , y = 2t + 1⇒
dy = 2 dt , 0 ≤ t ≤ 1. Então
C x y dx + 2y x d y
= C 1 x y dx + 2y x dy + C 2 x y dx + 2y x dy
= pi/ 20 − cos t (sen t)
3 / 2 + 2sen t (cos t)3 / 2 dt
+ 10 16t 2t + 1+ 8(2t + 1) t dt
= − 25 (sen t)
5 / 2 − 45 (cos t)
5 / 2 pi/2
0
+ 163 t (2t + 1)
3 / 2 − 1615 (2t + 1)
5 / 2
+ 8 45 t
5 / 2 + 23 t
3 / 2
1
0
= 25 +
16
3 · 3 3 −
16
15 · 3
2 · 3+ 1615 + 8
4
5 +
2
3
= 32 3+ 665
 7. C xyz ds =
pi/2
0 (18t sen t cos t) 4+ 9 dt
= 18 13 pi/20 (t sen t cos t) dt
= 18 13 pi/20
1
2 t sen 2t dt
= 9 13 − 12 t cos 2t +
1
4 sen 2t
pi/ 2
0 =
9 13
4 pi
 8. C x
2z ds = pi/ 40 sen
2 2t cos 2t 4+ 9 dt
= 13 16 sen
3 2t pi/ 40 =
13
6
 9. x = −t + 1, y = 3t , z = 5t + 1, 0 ≤ t ≤ 1.
C xy
2 z ds = 10 (1 − t) 9t
2 (5t + 1) 1+ 9+ 25 dt
= 9 35 10 t
2 + 4t3 − 5t4 dt = 3 35
 10. (dx/dt)2 + (dy /dt)2 + (dz /dt)2
= 36 + 36 (2) t2 + 36t4 = 6 (t2 + 1)2 = 6 t2 + 1
Então
C xz ds =
1
0 72t
4 t2 + 1 dt = 72 17 t
7 + 15 t
5 1
0
= 72 1235 =
864
35
 11. C x
3y2 z dz = 10 (2t)
3 t2 2 t2 (2t) dt
= 10 8t
3 t4 t2 (2t) dt = 10 16t
10 dt
= 1611 t
11 1
0 =
16
11
 12. C yz dy + xy dz =
1
0 (t) t
2 dt + 10 t (t) 2t dt
= 10 t
3 + 2t5 / 2 dt = 14 t
4 + 47 t
7 / 2
1
0
= 2328
 13. 
Em C1 : x = 0 ⇒ dx = 0 dt , y = t ⇒ dy = dt ,
z = t ⇒ dz = dt , 0 ≤ t ≤ 1.
Em C2 : x = t ⇒ dx = dt , y = t + 1 ⇒ dy = dt ,
z = 2t + 1 ⇒ dz = 2 dt , 0 ≤ t ≤ 1.
Em C3 : x = 1 ⇒ dx = 0 dt , y = 2 ⇒ dy = 0 dt ,
z = t + 3 ⇒ dz = dt , 0 ≤ t ≤ 1.
Então
C z
2 dx − z dy + 2y dz
= 10 (0 − t + 2t) dt
+ 10 (2t + 1)
2 − (2t + 1)+ 2 (t + 1) ( 2) dt
+ 10 (0 + 0+ 4) dt
= 12 +
4
3 t
3 + 3t2 + 4t 10 + 4=
77
6
16.2 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 16.2 INTEGRAIS DE LINHA
 14. C1 : (0, 0, 0) a (2 , 0, 0): x = 2t , y = z = 0, 0 ≤ t ≤ 1.
C2 : (2 , 0, 0) a (1 , 3,−1): x = −t + 2, y = 3t , z = −t ,
0 ≤ t ≤ 1.
C3 : (1 , 3,−1) a (1, 3, 0): x = 1, y = 3 , z = t − 1,
0 ≤ t ≤ 1.
Então
C yz dx + xz dy + xy dz
= 0 + 10 3t
2 + 3 t2 − 2t − 3 2t − t2 dt + 10 3 dt
= 3t3 − 6t2 10 + 3 = 0
 15. F (r (t)) = t10 i − t7 j, r (t) = 3t2 i + 4t3 j.
C F · dr =
1
0 3t
12 − 4t10 dt = 313 −
4
11 = −
19
143
 16. C F · dr =
1
0 t
2 + t4 ,−t2 ,−4t4 · 1, 2t, 4t3 dt
= 10 t
2 + t4 − 2t3 − 16t7 dt
= 13 +
1
5 −
1
2 − 2 = −
59
30
 
 17. C F · dr
= pi/ 20 sen
2 t, sen t cos t, t4 cos t, − sen t, 2t dt
= pi/ 20 sen
2 t cos t − sen2 t cos t + 2t5 dt
= 13 t
6 pi/ 2
0 =
pi6
192
 18. Uma calculadora ou SCA fornece
 
C x sen y ds =
2
1 ln t sen e
− t (1/t )2 + (−e− t )2 dt
≈ 0,052
 19. Uma calculadora ou SCA fornece
 
C z
2 ln 1+ x 2 + y2 ds
= 10 t
6 ln 1+ t2 + t4 1+ (2t)2 + (3t2 )2 dt ≈ 0,396
 20. W = C F · dr =
1
0 t
6 ,−t5 ,−t7 · 2t, −3t2 , 4t3 dt
= 10 5t
7 − 4t10 dt = 58 −
4
11 =
23
88