Exercicios de Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta

Prévia do material em texto

Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 
Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 
 
Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta 
 
1. Quais das funções de 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} em 𝐹 = {0,1,2,3,4,5} são injetoras? 
i. 𝑓1 = { 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 3 , 𝑑, 4 , 𝑒, 5 } 
ii. 𝑓2 = 𝑎, 5 , 𝑏, 4 , 𝑐, 2 , 𝑑, 1 , 𝑒, 0 
iii. 𝑓3 = 𝑎, 0 , 𝑏, 1 , 𝑐, 2 , 𝑑, 0 , 𝑒, 3 
iv. 𝑓4 = { 𝑎, 5 , 𝑏, 5 , 𝑐, 5 , 𝑑, 5 , 𝑒, 5 } 
 
2. Quais das funções de 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} em 𝐹 = {1,2,3,4} são injetoras? 
i. 𝑓1 = { 𝑎, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 3 , 𝑑, 1 , 𝑒, 3 } 
ii. 𝑓2 = 𝑎, 2 , 𝑏, 1 , 𝑐, 3 , 𝑑, 3 , 𝑒, 4 
iii. 𝑓3 = 𝑎, 3 , 𝑏, 3 , 𝑐, 1 , 𝑑, 2 , 𝑒, 1 
iv. 𝑓4 = { 𝑎, 4 , 𝑏, 4 , 𝑐, 2 , 𝑑, 3 , 𝑒, 1 } 
 
3. Quais das funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras? 
 
 
4. Quais das funções de ℝ em ℝ abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras? 
 
 
 
5. Qual deve ser o conjunto 𝐵, para que a função 𝑓: ℝ → 𝐵 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 
seja sobrejetora? 
 
6. Sejam os conjuntos 𝐴 = −3, −2, −1,0,1 , 𝐵 = −5, −3, −1,1,3 , 𝐶 =
 1,2,4,10 𝑒 𝐷 = {−1,0,1,2,3,4,5,6}. Classifique as funções abaixo como injetora, 
sobrejetora ou bijetora. 
 
 
Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 
Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 
 
Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta 
 
i. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = 2. 𝑥 + 1 
ii. 𝑓: 𝐴 → 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 
iii. 𝑓: 𝐴 → 𝐷 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3 
 
7. Seja a função 𝑓: ℕ → ℕ definida por 𝑓 𝑛 = 2. 𝑛. Responda: 
i. 𝑓 é injetora ? Por que? 
ii. 𝑓 é sobrejetora? Por que? 
iii. 𝑓 é bijetora ? Por que? 
iv. 𝑓 é inversível ? Por que? 
 
8. Considere as funções abaixo de ℝ em ℝ, diga quais são injetoras e quais são 
sobrejetoras. 
i. 𝑦 = 3 
ii. 𝑦 = 𝑥 + 2 
iii. 𝑦 = 𝑥2 
iv. 𝑦 = 𝑥 
v. 𝑦 = 2𝑥 
 
9. Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1. Determine: 
i. A função inversa de 𝑓. 
ii. 𝑓−1(2) 
 
10. Se 𝑔−1 é a função inversa de 𝑔: ℝ → ℝ definida por 𝑔 𝑥 = 3𝑥 − 4, calcule 
𝑔−1 8 . 
 
11. Se 𝑓−1 é a função inversa de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
2𝑥−2
, calcule 𝑓−1 1 . 
 
12. Descreva uma a uma todas as funções injetoras de E={a,b} em F={1,2,3}. 
 
13. Descreva uma a uma todas as funções sobrejetoras de E={a,b} em F={1,2}. 
 
14. Sejam os conjuntos A = {-2, - 1, 1, 2, 3} e B = {2, 5, 10}, e a relação r de A em 
B definida por 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑦 = 𝑥2 + 1}. 
i. Enumere os elementos de 𝑅−1, a relação inversa de 𝑅. 
ii. A relação R é uma função? Se sim, ela é inversível? Porque? 
 
15. Determine a inversa das funções abaixo: 
 
i. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5 
ii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 =
4𝑥−5
3
 
iii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥
3
 
iv. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 
v. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2 
vi. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
3
 
 
 
Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 
Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 
 
Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta 
 
vii. 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1
3
 
viii. 𝑓: ℝ − 4 → ℝ − {1} tal que 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−4
 
ix. 𝑓: ℝ − 2 → ℝ − {1} tal que 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−2
 
 
16. Sejam 𝐴 = {1,2,3}, 𝐵 = {4,5,6,7} e 𝐶 = {8,9,0}, sejam as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 
𝑔: 𝐵 → 𝐶 definidas por 
𝑓(1) = 4 , 𝑓(2) = 5 𝑒 𝑓(3) = 6 
e 
𝑔(4) = 𝑔(5) = 8, 𝑔(6) = 9 𝑒 𝑔(7) = 0 
 
i. Descreva os pares ordenados da função 𝑔○𝑓. 
ii. A função é injetora? Porque. 
iii. A função é sobrejetora? Porque. 
 
17. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 5. 𝑥. Calcule: 
 
i. 𝑓○𝑔(0) 
ii. 𝑓○𝑔(2) 
iii. 𝑓○𝑔(-1) 
iv. 𝑔○𝑓(0) 
v. 𝑔○𝑓(-2) 
vi. 𝑔○𝑓(1) 
vii. 𝑓○𝑓(1) 
viii. 𝑔○𝑔(-2) 
 
18. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 3. 𝑥2. Obter as 
expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔. 
 
19. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3. Obter as 
expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔. 
 
20. Sejam 𝑓, 𝑔 e 𝑕 funções definidas de ℝ em ℝ tais que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2, 𝑔 𝑥 = 𝑥2 −
1 e 𝑕 𝑥 = 3. 𝑥. Forneça as expressões para: 
 
i. 𝑔○𝑓 
ii. 𝑓○𝑔 
iii. 𝑓○𝑕 
iv. 𝑕○𝑓 
v. 𝑔○𝑕 
vi. 𝑕○𝑔 
 
21. Sejam 𝑓, 𝑔 e 𝑕 funções definidas de ℝ em ℝ tais que 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥2 e 
𝑕 𝑥 = 3. 𝑥 + 1. Forneça as expressões para: 
 
 
Exercícios – Disciplina Mátemática Lista 05 
Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 
 
Tema: – Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras, função Inversa e Função composta 
 
 
i. 𝑔○𝑓 
ii. 𝑓○𝑔 
iii. 𝑓○𝑕 
iv. 𝑕○𝑓 
v. 𝑔○𝑕 
vi. 𝑕○𝑔 
 
22. Sejam as funções definidas de ℝ em ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥3 e 𝑔 𝑥 =
1
𝑥
. Determine: 
i. As expressões que definem 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔. 
ii. Os domínios de 𝑔○𝑓 e 𝑓○𝑔 
iii. 𝑔○𝑓(1) 
iv. 𝑔○𝑓(−1) 
v. 𝑔○𝑓(2)