Algebra linear - Lista II - INDEPENDÊNCIA LINEAR E BASES - Unid I

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UFRN - CCET – Dep. de Matemática – Álgebra linear Aplicada – Professor Neto 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS II - Unidade I 
 
1. Em cada plano cartesiano ao lado determine as coordenadas 
dos vetores , e alocados na origem, bem como esboce 
 e determine suas coordenadas também na origem: 
 a) 
 
b) 
 
 
2. Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em . 
(a) (
 
 
), (
 
 
) (b) (
 
 
), (
 
 
) (c) (
 
 
), (
 
 
), (
 
 
) (d) (
 
 
), (
 
 
), (
 
 
) (e) (
 
 
), (
 
 
) 
 
3. Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em . 
(a) (
 
 
 
), (
 
 
 
), (
 
 
 
) (b) (
 
 
 
), (
 
 
 
), (
 
 
 
), (
 
 
 
) (c) (
 
 
 
), (
 
 
 
), (
 
 
 
) (d) (
 
 
 
), (
 
 
 
), (
 
 
 
) (e) (
 
 
 
), (
 
 
 
) 
 
4. Considere os vetores: 
 [
 
 
], [
 
 
] e [
 
 
] 
 
(a) Mostre que e formam uma base para 
 . 
(b) Por que , e devem ser linearmente dependentes? 
 
5. Considere os vetores: 
 [
 
 
 
], [
 
 
 
] e [
 
 
 
] 
 
(a) Mostre que , e são linearmente dependentes. 
(b) Mostre que e são linearmente independentes. 
(c) Se e são linearmente independentes, então eles podem formar uma base para 
 ? 
 
6. Encontre uma base para o subespaço de , consistindo em todos os vetores da forma ( ) nos quais e são 
todos números reais. Qual a dimensão de ? 
 
7. Dados ( )
 e ( )
 : 
(a) e cobrem 
 ? Explique. 
(b) Seja um terceiro vetor em 
 e seja a matriz [ ]. Que condições a matriz deve satisfazer para que , e formem 
uma base para . 
(c) Encontre um terceiro vetor que estenderá o conjunto { } para uma base de 
 . 
 
8. Seja o subespaço de consistindo em todos os polinômios da forma ( ) 
 , encontre uma base para . 
 
9. Para cada um dos seguintes itens, encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de { } para { }. 
(a) ( )
 e ( )
 . (b) ( )
 e ( )
 (c) ( )
 e ( )
 
 
10. Para cada uma das bases ordenadas { } no problema acima, encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base { } 
para { }. 
 
11. Seja ( )
 e ( )
 . Para cada base ordenada { } dada no problema 9, ache a matriz de transição de { } para { } 
 
12. Seja {( ) ( ) } e sejam ( ) , ( ) e ( ) . Determine os valores de: 
(a) [ ] (b) [ ] (c) [ ] 
OBS: Dada uma base de vetores [ ], a notação [ ] significa “as coordenadas de na base ” 
 
13. Sejam ( )
 , ( )
 e ( )
 . 
(a) Encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de { } para { }. 
(b) Encontre as coordenadas dos seguintes vetores em relação { }. 
(i) ( ) (ii) ( ) (iii) ( ) 
 
14. Sejam ( )
 , ( )
 e ( )
 e sejam ( )
 , ( )
 e ( )
 . 
(a) Encontre a matriz de transição a matriz { } para { }. 
(b) Se , determine as coordenadas de em relação a { }. 
 
15. Dados 
 (
 
 
), (
 
 
), (
 
 
) 
encontre vetores e , tais que seja a matriz de transição de { } para { }. 
 
16. Dados 
 (
 
 
), (
 
 
), (
 
 
) 
encontre vetores e , tais que seja a matriz de transição de { } para { }. 
 
Divirtam-se!