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26/07/2018 1 Professor: Fernando Braga AULA 1 � Proporcionar ao aluno as ferramentas necessárias para a determinação de tensões criticas em elementos estruturais, e fornecer os fundamentos teóricos necessários para o dimensionamento de estruturas de aço, madeira e concreto. 26/07/2018 2 � Revisão do Conceito de Tensão Normal/Cisalhamento e Carregamento Axial � Propriedades Geométricas de Superfícies Planas � Torção � Flexão Pura, Composta e Obliqua � Cisalhamento na Flexão � Colunas � Hibbeler, R. C. – Resistência dos Materiais, 7 edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. � Riley, W.F.; Sturges, L.D.; Morris, D. H. Mecânica dos Materiais 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. � Beer, F.P.; Johnston Jr.,R. Resistência dos Materiais, 3 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. 26/07/2018 3 � Nota: Média 6,0 � Provas AV1, AV2 e AV3 � Faltas: 7 faltas (5 Limite Estácio + 2 critério do professor). Acima desse valor será avaliado caso a caso. Em resistência dos materiais I, aprendemos: � Conceito de tensão como um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo; � Conceito de deformação como um meio para medir a deformação geométrica de um corpo; � E que a relação matemática entre tensão e deformação depende do tipo de material do qual o corpo é feito. 26/07/2018 4 � Representa a ação de um corpo sobre o outro. � São grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade. � São classificadas como forças de superfície ou de campo. As forças podem ser classificadas: Externas: ação do meio exterior sobre o corpo. � Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro. Ex: força distribuída na área de contato entre os corpos. � Forças de corpo: Um corpo exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Ex: efeitos causados pela gravidade da terra. Internas: ação de uma parte do corpo sobre a outra. 26/07/2018 5 � Representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto provocado por uma força. O F d M=F x d � O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças, para impedir a translação ou um movimento acelerado de um corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. 26/07/2018 6 � A aplicação correta de todas as equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças conhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. � Melhor maneira para determinar estas forças e através do diagrama de corpo livre. � Uma estrutura especial possui seis graus de liberdade: três translações e três rotações segundo três eixos ortogonais. � Para evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade precisam ser restringidos. Isto ocorre por meio da utilização de apoios. 26/07/2018 7 � Apoio móvel ou de 1º gênero � Apoio fixo ou de 2º gênero ou rótula 26/07/2018 8 � Engaste ou de 3º gênero Primeiramente vamos rever o conceito de esforços internos. Para o cálculo das tensões e dimensionamento de um corpo, é necessário que sejam determinadas as forças internas que atuam no interior de um corpo, para um dado carregamento externo. Estas forças estão relacionadas a integridade do corpo quando submetido a esforços externos. 26/07/2018 9 Dado um corpo genérico em equilíbrio: As forças F1 a F4 representam cargas aplicadas e reações de apoio. Passando uma seção AA pelo corpo temos a seguinte configuração. F4 F1 F3 F2 A A Examinando o diagrama de corpo livre de uma das partes: As forças ao longo da seção são distribuídas de maneira desconhecida. Podemos substituir este sistema de forças por uma força resultante Fr e um momento resultante Mr. Isto é feito utilizando as equações de equilíbrio. F3 F2 26/07/2018 10 Força resultante Fr e Momento resultante Mr: Sempre aplicar Fr e Mr no centroide da seção. (ponto O). A força Fr e o momento Mr podem ser decompostos da seguinte maneira. F3 F2 Mr Fr O Decomposição de Fr e Mr: F3 F2 Mr Fr O V N T M Força de Cisalhamento Força Normal Momento de Torção Momento Fletor 26/07/2018 11 Definições: � Força Normal: Essa força age perpendicularmente a área e se desenvolve sempre que as cargas externas tendem a puxar ou empurrar dois segmentos de corpos. � Força de Cisalhamento: Encontra-se no plano da área e é desenvolvida quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento de um dos segmentos sobre o outro. Definições: � Momento de Torção ou Torque: Este efeito é desenvolvido quando um carga externa tende a torcer um segmento do corpo em relação ao outro. � Momento Fletor: É causado pelas cargas externas que tendem a flexionar o corpo em torno de um eixo que se encontra no plano da área. 26/07/2018 12 Exercício: Uma viga está sujeita às forças concentradas mostradas na figura abaixo. Determine as reações de apoio e o sistema de forças internas localizado a 6ft do apoio A. Na revisão do conceito de iremos adotar duas hipóteses sobre o comportamento do material: 1)Material é contínuo: Possui distribuição uniforme de matéria, sem vazio. 2)Material é coeso:Todas as suas partes estão bem interligadas sem trincas ou separações. 26/07/2018 13 � Considere que a seção está subdividida em pequena áreas , com uma força pequena : x z y � A medida que tende a zero o mesmo a acontece com a força , porém a razão (quociente) entre força e a área tende a um limite finito. � A esta razão denominamos de tensão (ou tensão atuante), que descreve a intensidade a intensidade da força interna passando por um plano específico que passa por um ponto. 26/07/2018 14 � É a força por unidade de área que age perpendicularmente à , é definido pelo símbolo (sigma). � Se a força normal tracionar o componente, será chamada de tensão de tração, se comprimir de tensão se compressão. � É a força por unidade de área que age tangente à , é definido pelo símbolo (tau). 26/07/2018 15 � As tensões se apresentam da seguinte forma: x y z � O índice z mostrado em é usado para indicar a direção da reta normal dirigida para fora que especifica a orientação da área. � Para a tensão de cisalhamento são usados dois índices para suas componentes, o eixo z representa a orientação da área, e os eixos x e y referem-se as retas que indicam as direções das tensões. 26/07/2018 16 � Se no corpo mostrado for retirado um elemento cúbico teremos a seguinte situação: yx z � A tensão atuante em um elemento depende dos esforços aplicados com também da geometria do componente (área de seção transversal a ser analisada). � Na fase de projeto de um componente muitas das vezes o carregamento imposto não pode ser alterado sendo necessária a determinação de uma geometria que minimize as tensões atuantes de modo que as mesmas fiquem abaixo da tensão admissível do material. 26/07/2018 17 � Unidades: - MegaPascal (mais utilizada) - Pascal � Dada a barra prismática carregada axialmente por uma força P: P P P P Seção AA yx z 26/07/2018 18 � Antes de determinarmos a distribuição de tensões vamos estabelecer as seguintes hipóteses: 1)A barra deve se deformar de maneira uniforme e constante. 2)A carga deve ser aplicada ao longo do eixo centroide da seção transversal, para que a deformação seja uniforme. 3) O material deve ser isotrópico e homogêneo. � Contanto que a barra tenha deformação uniforme e constante, estará sujeita a uma tensão constante, e a soma de todas as forças atuantes na seção deve ser igual a força interna P, logo temos: 26/07/201819 � Vamos considerar uma barra retangular se deforma elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo de seu centroide. � A barra está mostrada na figura ao lado. Devido ao carregamento na extremidade da barra temos: � Pontos A e B: Carregamento distorce as linhas localizadas perto da carga. � Ponto C :Linhas localizadas longe da carga e do apoio permanecem retas (efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais distante das extremidades). � Região Próximo do Apoio: Carregamento distorce as linhas localizadas perto do apoio. 26/07/2018 20 � Podemos perceber que a tensão será distribuída mais uniformemente por toda a área da seção transversal se um corte for feito em um ponto distante de onde a carga externa é aplicada. � Neste ponto a tensão quase alcança um valor uniforme na seção, que está suficientemente afastada da extremidade. Em outras palavras, a seção está longe o suficiente do ponto de aplicação de P, de tal modo que a deformação localizada provocada por P seja desprezível. � A distância mínima em relação à extremidade da barra onde isso ocorre pode ser determinada por meio de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade. � Como regra geral que se aplica a muitos outros casos de carregamento e geometria de elementos estruturais, podemos considerar que essa distância é, no mínimo, igual à maior dimensão da seção transversal carregada. 26/07/2018 21 � Podemos notar também, como o apoio impede a redução da largura da barra, o que deveria ocorrer devido ao alongamento lateral da barra. � Contudo, por esse mesmo argumento, poderíamos demonstrar que a distribuição de tensão no apoio também se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção transversal a uma curta distância do apoio, e a amplitude da força resultante criada por essa distribuição de tensão deve ser também igual a P. � Afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. 26/07/2018 22 � Ao aplicarmos uma força, o corpo se deforma e a reta AB passa a ter comprimento final de L. A mudança de comprimento da reta é dada por L-Lo. Corpo não deformado A B Lo A B L Corpo deformado � A deformação normal média é uma quantidade adimensional, pois é a razão entre dois comprimentos. Apesar disso é comum ser expressada em termos de uma razão de unidades de comprimento. � No sistema internacional (SI) é o m/m, porém na disciplina usaremos mm/mm. � Para a maioria das aplicações de engenharia as deformações são consideradas pequenas . 26/07/2018 23 � É a mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que eram perpendiculares um ao outro. (distorção) � Para demonstrar isso vamos analisar o quadrado ABCD onde atua uma força de cisalhamento P, que será mostrado no próximo slide. x y L P � A deformação por cisalhamento é dada por: � Na maioria das aplicações de engenharia a razão mostra da acima é muito pequena: � Para estes casos e a deformação por cisalhamento é dada por: 26/07/2018 24 � A deformação por cisalhamento pode então ser rescrita como : � Onde é medido em radianos. Uma outra maneira de escrever a deformação é mostrada abaixo: � De uma maneira geral o diagrama é disposto da seguinte forma. 26/07/2018 25 � Este fato foi descoberto por Robert Hooke, e pode ser expresso matematicamente da seguinte forma: � Onde E, é o módulo de elasticidade ou módulo de Young. Esta fórmula mostrada é para o caso unidimensional. � Na realidade a lei de Hooke, representa a equação da porção inicial em linha reta do diagrama tensão-deformação. O módulo de elasticidade E representa a inclinação desta reta. � As unidades do módulo de elasticidade são o Pascal, MPa e GPa. � O módulo de elasticidade é uma propriedade mecânica que indica a rigidez de um material. Materiais muito rígidos tem alto valor de E (200 GPa – aço), a borracha tem E (0,70MPa) muito baixo. 26/07/2018 26 � Vamos considerar uma barra de área de seção transversal que varia gradativamente ao longo de seu comprimento L. � A barra está sujeita a cargas concentradas em suas extremidades e a uma carga externa variável distribuída ao longo de seu comprimento (por exemplo forças de atrito que agem na superfície da barra.) � Usando o método da seções: � As tensões e deformações no elemento são: � � �������� � � � 26/07/2018 27 � Utilizando a lei de Hooke e integrando para o comprimento total da barra L, temos: � � � � � �� � � � � Para uma barra de seção transversal constante: � � ��� � Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes, ou se a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudar repentinamente de uma região da barra para outra, para seção constante poderá ser aplicada a cada segmento da barra onde todas essas quantidades são constantes. � Então, o deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra é determinado pela adição algébrica dos deslocamentos das extremidades de cada segmento e é dado por: � ����� � � 26/07/2018 28 � Exercício 1: � Dada a estrutura mostrada abaixo, determine: � O diâmetro da barra BC, sabendo que o material é aço, com limite de escoamento de 320MPa e que a deformação máxima da barra BC deve ser de 0,1%. Eaço = 200 GPa. Use um F.S =2 � Os diâmetros os pinos A e C, sabendo que a tensão admissível dos mesmos é de 80MPa.