Exercícios Cálculo 2

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1ª lista de Ca´lculo Diferencial e Integral II
1. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1)
a) calcule f(1, 1)
b) calcule f(e, 1)
c) determine o domı´nio de f
d) determine a imagem de f .
2. Seja f(x, y) = x2e3xy
a) calcule f(2, 0)
b) determine o domı´nio de f
c) determine a imagem de f .
3. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Calcule
a) f(1,−1)
b) f(a, x)
c)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
d)
f(x, y + k)− f(x, y)
k
.
4. Seja g(x, y, z) = ln(25− x2 − y2 − z2)
a) calcule g(2,−2, 4)
b) determine o domı´nio de g
c) determine a imagem de g.
5. Seja f(x, y) =
x− y
x+ 2y
:
a) determine o domı´nio
b) calcule f(2u+ v, v − u).
6. Represente graficamente o domı´nio da func¸a˜o z = f(x, y) dada por
a) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≤ 0
b) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2
c) z =
√
y − x2 +√2x− y
d) z = ln(2x2 + y2 − 1)
e) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0
f) z =
√|x| − |y|
2
g) z =
x− y
sen x− sen y
h) f(x, y) =
√
x+ y
i) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
j) f(x, y) =
√
y − x2
1− x2
k) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2.
7. Seja f : R2 → R uma func¸a˜o linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule
f(x, y).
8. Verifique se a func¸a˜o e´ homogeˆnea. Em caso afirmativo, determine o grau de homo-
geneidade
a) f(x, y) =
x3 + 2xy2
x3 − y3
b) f(x, y) =
√
x4 + y4
c) f(x, y) = 5x3y + x4 + 3
d) f(x, y) =
2
x2 + y2
.
9. Suponha que f : R2 → R seja homogeˆnea de grau 2 e f(a, b) = a para todo (a, b),
com a2 + b2 = 1. Calcule
a) f(4
√
3, 4)
b) f(0, 3)
c) f(x, y), (x, y) 6= (0, 0).
10. Seja f : R2 → R homogeˆnea e suponha que f(a, b) = 0 para todo (a, b) com
a2 + b2 = 1. Mostre que f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
11. Desenhe as curvas de n´ıvel e esboce o gra´fico
a) f(x, y) = 1− x2 − y2
b) f(x, y) = x+ 3y
c) z = 4x2 + y2
d) f(x, y) = 1 + x2 + y2
e) g(x, y) =
√
1− x2 + y2
f) z =
√
x2 + y2.
12. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = 3.
13. Represente geometricamente o domı´nio da func¸a˜o f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2.
14. Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel correspondente a c = 1 da func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2.
3
15. Desenhe, usando o aplicativo Calculadora Gra´fica GeoGebra 3D, o gra´fico das
seguintes func¸o˜es
a) f(x, y) = |x|+ |y|
b) f(x, y) = |xy|
c) f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
d) f(x, y) = (x2 − y2)2
e) f(x, y) = (x− y)2
f) f(x, y) = sen(|x|+ |y|).
16. Calcule caso exista. Se na˜o existir exiba dois caminhos cujo os limites sejam distin-
tos
a) lim
(x,y)→(0,0)
xsen
(
1
x2 + y2
)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
f) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
h) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
i) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2)
j) lim
(x,y)→(6,3)
xycos(x− 2y)
k) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
l) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2 y
2x2 + y2
m) lim
(x,y)→(0,0)
xycos y
3x2 + y2
n) lim
(x,y)→(0,0)
6x3y
2x4 + y4
o) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
p) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
q) lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
r) lim
(x,y)→(0,0)
x2sen2 y
x2 + 2y2
4
s) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1
t) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y8
u) lim
(x,y,z)→(3,0,1)
e−xysen (
piz
2
)
v) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 + 2y2 + 3z2
x2 + y2 + z2
w) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4
x) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + zx
x2 + y2 + z2
y) lim
(x,y)→(0,0)
x4y4
(x2 + y4)3
z) lim
(x,y)→(0,0)
x9y
(x6 + y2)2
α) lim
(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x2 + y2
17. Considere o seguinte resultado: se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a
g(u) = L, com g na˜o
definida em a e Im f ⊂ Dg (se a ∈ Im f considerar apenas (Im f \ {a}) ⊂ Dg),
enta˜o
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a
g(u).
Utilize o resultado acima para calcular
lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
.