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Gabarito da Primeira Prova de Ca´lculo I - 2014 Unifesp- 1o semestre - 24/05/2014 [01] Se f(x) = x2 − 2x + 3, calcule f(a+h)−f(a)h Resposta: 2a + h− 2. [02] Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui, afetando a velocidade do ar. Se r0 = 1 e´ o raio normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma: v(r) = 2r2(r0−r). O raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima e´: Resposta: 23 [03] Encontre o limite, se ele existir, de lim x→5 5− x |5− x| Resposta: O limite na˜o existe. [04] Encontre o limite abaixo: lim x→−∞ √ x2 − 9 2x− 6 Resposta: − 12 [05] Considere func¸a˜o f(x) = 43−x . A equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical e´: Resposta: x = 3 [06] Calcule y′ se y e´ dada implicitamente por: xy4 + x2y = x + 3y. Resposta: y′ = 1−y 4−2xy 4xy3+x2−3 [07] Se f(t) = √ 4t + 1 podemos dizer que f ′′(2) e´ Resposta: − 427 [08] Ache a derivada da func¸a˜o G(u) = ln (√ 5u + 6 5u− 6 ) Resposta: G′(u) = − 3025u2−36 [09] Encontre o valor ma´ximo absoluto de y = √ 36− x2 no intervalo de [−6, 6]. Resposta: 6 [10] Quantos pontos de inflexa˜o tem o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12x3 + 14x2 − 7x− 9 Resposta: 1 Questa˜o 11 Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo (a) (1,0 ponto) y = e 1 x x2 (b) (1,0 ponto) y = √ xcos √ x Soluc¸a˜o: (a) y′ = ( d dxe 1 x ) x2 − e 1x · 2x (x2)2 = e 1 x d dx 1 x · x2 − 2xe 1 x x4 = e 1 x (− 1x2 ) · x2 − 2xe 1x x4 = −e 1x (1 + 2x) x4 (b) y′ = ( d dx √ x ) cos √ x + √ x ( d dx cos √ x ) = 1 2 √ x cos( √ x) + √ x ( −sen(√x) d dx √ x ) = cos( √ x)−√xsen(√x) 2 √ x . Questa˜o 12 (3,0 pontos) Para a func¸a˜o f(x) = x3 − x2 − x + 1: (a) Determine ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem. (b) Determine a primeira derivada, os intervalos em que f(x) e´ crescente ou decrescente, e os ma´ximos e mı´nimos locais. (c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou para baixo. (d) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f(x). Soluc¸a˜o: 1 (a) Na˜o existem ass´ıntotas horizontais, nem verticais. O que podemos determinar sa˜o os limites nos extremos: lim n→∞x 3 − x2 − x + 1 = lim n→∞x 3 1− � � �� 0 1 x − � � �� 0 1 x2 + � � �� 0 1 x3 = lim n→∞x 3 = +∞ lim n→−∞x 3 − x2 − x + 1 = lim n→−∞x 3 1− � � �� 0 1 x − � � �� 0 1 x2 + � � �� 0 1 x3 = lim n→−∞x 3 = −∞ (b) A primeira derivada e´ dada por f ′(x) = 3x2 − 2x− 1 onde os pontos cr´ıticos sa˜o tais que 3x2 − 2x− 1 = 0⇒ x = 2± √ 4 + 12 6 ⇒ x = 1 ou x = −1 3 . A ana´lise do sinal da derivada nos permite dizer que os valores em que a func¸a˜o e´ crescente e´ x ∈ (−∞,− 13 )∪(1,+∞) e decrescente em x ∈ (− 13 , 1). O diagrama tambe´m nos permite dizer que em x = − 13 temos um ma´ximo local e em x = 1 um mı´nimo local, portanto a func¸a˜o tem seu valor mı´nimo f(1) = 0 e seu valor ma´ximo em f(− 13 ) = − 127− 19 + 13 +1 = −1−3+9+2727 = 32 27 . Esse fato tambe´m e´ confirmado pelo teste da derivada segunda, pois f ′′(x) = 6x− 2 Portanto f ′′(−1 3 ) < 0 f ′′(1) > 0. (c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou para baixo. A derivada segunda e´ dada por f ′′(x) = 6x− 2 e o ponto onde a derivada segunda e´ nula nos da´ o ponto de inflexa˜o, no caso x = 13 ( a func¸a˜o nos da´ f ( 1 3 ) = 1 33 − 132 − 13 + 1 = 1−3−9+2727 = 1627 ). A ana´lise da concavidade vem do sinal desta derivada segunda: Logo ela tem concavidade para baixo em x < 13 e para cima em x > 1 3 . (d) O esboc¸o do gra´fico e´ dado abaixo 2
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