Construção de Séries de Potência

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Se´ries – 7. Se´ries de Taylor e de Maclaurin
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Se´ries de Poteˆncia: Construc¸a˜o
Construindo uma se´rie: Seja f uma func¸a˜o representada por uma se´rie de
poteˆncias:
f (x) = c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+ · · ·+cn(x−a)n+ · · · (1)
Tomando x = a, obtemos:
f (a) = c0 + c1(a− a) + c2(a− a)2 + · · · + cn(a− a)n + · · ·
f (a) = c0
(2)
Diferencia´vel: Como a func¸a˜o (1) e´ diferencia´vel, seja:
f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + · · · + ncn(x− a)n−1 + · · · (3)
Tomando x = a, obtemos:
f ′(a) = c1 + 2c2(a− a) + 3c3(a− a)2 + · · · + ncn(a− a)n−1 + · · ·
f ′(a) = c1
(4)
Se´rie de Taylor: mais derivadas ...
Diferenciac¸a˜o de 2a ordem: Derivando a equac¸a˜o (3):
f ′′(x) = 2c2+2·3c3(x−a)+3·4c4(x−a)2+· · ·+n·(n−1)cn(x−a)n−2+· · ·
(5)
Fazendo x = a em (5):
f ′′(a) = 2c2 (6)
Diferenciac¸a˜o de 3a ordem: Derivando a equac¸a˜o (5):
f ′′′(x) = 2·3c3+2·3·4c4(x−a)+· · ·+n·(n−1)·(n−2)cn(x−a)n−3+· · · (7)
Fazendo x = a em (7):
f ′′′(a) = 2 · 3c3 = 3!c3 (8)
Se´rie de Poteˆncia: Padra˜o nas derivadas!
n-e´sima derivada: Se continuarmos a diferenciar e substituir x = a, otemos:
f (n) = 2 · 3 · 4 · · · · · ncn = n!cn
Resolvendo essa equac¸a˜o para o n-e´simo coeficiente, obtemos:
cn =
f (n)
n!
Como 0! = 1 e f (0) = f , esta fo´rmula e´ va´lida para n = 0.
Teorema: Se f tiver uma representac¸a˜o (expansa˜o) em se´rie de poteˆncias em
a:
f (x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n, |x− a| < R
enta˜o seus coeficientes sa˜o dados pela fo´rmula:
cn =
f (n)
n!
(9)
Se´reis de Taylor e de Maclaurin: Definic¸a˜o
Definic¸a˜o: Substituindo o coeficiente cn, obtido por (9), na func¸a˜o f como em
(1), em a, temos:
f (x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
cn(x− a)n
= f (a) +
f ′(a)
1!
(x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + · · · + f
(n)(a)
n!
(x− a)n + · · ·
(10)
conhecida como se´rie de Taylor da func¸a˜o f em x = a (ou ao redor
de a ou ainda, centrada em a). Para o caso especial a = 0 a se´rie de
Taylor tem a forma:
f (x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn
= f (0) +
f ′(0)
1!
x +
f ′′(0)
2!
x2 + · · · + f
(n)(0)
n!
xn + · · ·
(11)
conhecida como se´rie de Maclaurin.
Exemplo
Exemplo (1): Encontre a se´rie de Maclaurin da func¸a˜o f (x) = ex e seu raio
de convergeˆncia.
Polinoˆmio de Taylor
Ide´ia: A Linearizac¸a˜o de uma func¸a˜o diferencia´vel em x = a e´:
P1(x) = f (a) + f
′(a)(x− a)
Se a func¸a˜o f (x) for diferencia´vel em a para ordens superiores, enta˜o pode-
mos ter aproximac¸o˜es de ordem mais elevada.
Definic¸a˜o: Seja f (x) uma func¸a˜o com derivada de ordem k para k =
1, 2, . . . , N , em algum intervalo contendo a. Enta˜o, para n ∈ [0, N ], o
Polinoˆmio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a e´ o polinoˆmio:
Pn(x) = f (a) + f
′(a)(x− a) + f
′′(a)
2
(x− a)2 + · · · + f
(n)(a)
n!
(x− a)n
Exemplo (2): Encontre o polinoˆmio de Taylor para f (x) = senx em a = 0.
Resto de um Polinoˆmio de Taylor
Conceito: f (x) = Pn(x) − Rn(x), onde f (x) e´ o valor real, Pn(x) o valor
aproximado e Rn(x) e´ chamado de erro.
Teorema: Se f for deriva´vel ate´ a ordem n + 1 num intervalo I com a ∈ I ,
enta˜o para cada x ∈ I , ∃c entre x e a tal que:
f (x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+ f
′′(a)
2!
(x−a)2+ · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x−a)n+Rn(x)
onde:
Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x− a)n+1
Teorema para estimativa de erro: Se existirem constantes positivas M e r
tais que:
|f (n+1)(t)| ≤Mrn+1, ∀t ∈ [a, x]
enta˜o
|Rn(x)| ≤M r
n+1|x− a|n+1
(n + 1)!
Exemplos
Exemplo (3): Estime o erro do polinoˆmio de Taylor para f (x) = senx em
a = 0.
Exemplo (4): Avalie lim
x→0
ex − 1− x
x2
.
Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Pa´ginas 72 a` 74;
Exerc´ıcios: 1 a` 56.