Funções crescentes/decrescentes

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Funções Crescentes e 
 Decrescentes
Caderno de Exercícios
Produção: Profª Maria Cristina Kessler
 Profª Rosandra Lemos
 Prof. Claudio Gilberto de Paula
Nome
1
Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas. 
Note que isto só é possível no modo de apresentação.
Se o tamanho da caixa parecer pequeno para o que você pretende escrever, não se preocupe pois ela irá se adequar ao texto.
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DICAS PARA USAR ESTE CADERNO
Consulte também o material disponível no site do Ensino Propulsor.
Bom trabalho!
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Determinando os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente
De acordo com estudo elaborado pelo Ministério de Minas e Energia e pela Petrobrás, a economia de combustível de um carro comum como uma função de sua velocidade é descrita pelo gráfico ao lado. Observe que a economia de combustível f(x) em milhas por galão (mgp) melhora quando , a velocidade do veículo em milhas por hora (mph), aumenta de 0 a 40 mph e piora quando a velocidade aumenta além de 40 mph. Vamos usar os termos crescente e decrescente para descrever o comportamento de uma função quando nos movemos da esquerda para a direita ao longo de seu gráfico.
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Algumas definições.
 Dada uma função f: AB, e um intervalo I A, define-se:
 
Função crescente em I: Uma função é crescente em I, se e somente se, para quaisquer dois valores de x  I, x1 e x2, se x2  x1 então f(x2)  f(x1).
Mostre que a função f(x) = 2x - 1 é uma função crescente. 
Faça o gráfico da função com auxílio do winplot e cole-o no espaço abaixo.
Para colar o gráfico :
Clique em “esc” para sair do modo apresentação;
Cole o gráfico na caixa;
Clique em “shift + F5) para retornar ao modo apresentação.
x
f(x)
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Função decrescente em I: Uma função é decrescente em I, se e somente se, para quaisquer dois valores de x  I, x1 e x2, se x2  x1 então f(x2) < f(x1).
Mostre que a função f(x) = -x +2 é uma função decrescente.
x
f(x)
Faça o gráfico da função com auxílio do winplot e cole-o no espaço abaixo.
5
Concluindo...
Na função decrescente a declividade da reta
 apresenta sinal 
Na função crescente a declividade da reta
 apresenta sinal 
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Lembre-se da interpretação geométrica da derivada: A declividade da reta tangente a uma curva em qualquer de seus pontos pode ser encontrada pela derivada. 
Sendo assim, escreva no espaço abaixo uma regra para determinar se uma função é crescente e/ou decrescente utilizando o sinal da derivada.
A partir do gráfico abaixo determine:
 a
 x
y
Consulte material de apoio
O intervalo no qual a função é decrescente.
O intervalo no qual a função é crescente.
Explique como chegou a esta resposta:
O valor da derivada para x = a
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Se f ’(x) >0 para cada valor de x em um intervalo I então f é crescente em I.
Considerando o gráfico abaixo determine o(s) intervalo(s) onde a função é :
Se f ’(x)=0 para cada valor de x em um intervalo I então f é constante em I. 
Se f ’(x)<0 para cada valor de x em um intervalo I então f é decrescente em I.
crescente :
decrescente: 
-2,8
 2,8
Lembre:
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Etapas para a determinação dos intervalos onde a função é crescente/ decrescente.
 -
 + 
1) Determine o(s) intervalo(s) onde a função f(x) = x2 -5x + 6 é crescente e/ou decrescente.
Função decrescente (-∞, 5/2] ; 
Função crescente [5/2, +∞).
Determinar o(s) ponto(s) críticos da função. 
2) Verificar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico:
Se f ’(x) 0
 então 
f(x) é crescente. 
Se f ’(x)  0 
Então
f(x) é decrescente.
Veja ao lado um exemplo
Conclui-se que a função é decrescente à esquerda de 5/2 e crescente à direita, ou seja:
Passo1- Determinar o(s) ponto(s) críticos da função. 
f ‘(x) = 2x-5
2x-5=0 logo x= 5/2
Passo 2-Verificar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico (5/2). 
 Como f ’(0) = - e f’(3) = +
 5/2
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Se “c” é ponto crítico de f , “c” será um ponto de máximo se e somente se, antes de “c” a função é crescente e depois de “c”, decrescente.
Esses “pontos mais altos” e “pontos mais baixos” correspondem aos máximos relativos (locais) e mínimos relativos de uma função. Eles são assim denominados por serem os pontos mais altos e mais baixos de suas vizinhanças. 
Ou “c” será um ponto de mínimo se e somente se, antes de “c” a função é decrescente e depois crescente.
Em x = 0 temos um ponto de máximo.
Em x = 0 temos um ponto de mínimo.
EXTREMOS RELATIVOS
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1) Para cada uma das funções abaixo determine:
Agora é com você:	
c) O(s) intervalo(s) onde a função apresenta concavidade para cima/para baixo.
O(s) intervalo(s) onde a função é crescente e/ou decrescente;
Faça um esboço do gráfico e depois compare-o com o gráfico construído no winplot. Cole o gráfico no espaço abaixo.
b) Os pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos);
1.1) f(x) =
a
b
c
Para colar o gráfico :
Clique em “esc” para sair do modo apresentação;
Cole o gráfico na caixa;
Clique em “shift + F5) para retornar ao modo apresentação.
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3) Dada a função, explique como se pode mostrar que o ponto P (0,0) é um ponto máximo da função f(x) = x³-x² . 
2) f(x) = x³-3x²
a
b
c
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Um jardineiro tem 100m lineares de tela com os quais deseja cercar dois canteiros de flores: um quadrado e outro circular. Calcule a medida dos canteiros de modo a obter uma área mínima.
Identificar a grandeza que será máxima ou mínima. No caso do exemplo é a área dos canteiros.
Exemplo resolvido
1º passo:
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L
L
R
A= L² + pR²
Observação: A função área depende de duas variáveis, L e R. 
Precisamos escrever a Área apenas com uma variável. O problema nos dá meios para isto, basta que exploremos o enunciado destacando outras informações.
	Informação importante: 
100 m serão usados para cercar os terrenos, logo: 
100= 4L + 2 p R
Isolando L 
(poderia ser R):
Montar a função “área dos canteiros”
2º passo:
 L = (100 – 2 p R)/4
Esta é a nossa função. Como queremos que a área seja mínima vamos em busca do ponto mínimo da função Área.
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Encontrar o ponto mínimo.
Tomando p = 3,14 e isolando R...
-78,5 + 4,93 R + 6,28R = 0
11,21R = 78,5
R = 7 
Iguala-se a derivada a zero:
Deriva-se:
Teste agora se R= 7 é mesmo um ponto máximo verificando o sinal da derivada antes e depois de R = 7.
Resposta:
R = 7 m
L = 14 m
 
3º passo:
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Lembre-se:
Para salvar o que escreveu você deve:
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2 – Salvar.
Registre acima suas dificuldades. Explicite quais os conceitos que não compreendeu bem, exercícios que não conseguiu resolver, etc. 
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