Complementos de Álgebra LinearATUALIZADO Unidade III
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Complementos de Álgebra LinearATUALIZADO Unidade III

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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

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Unidade III
5 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

5.1 Definição

Sejam U e V espaços vetoriais e T: U → V uma função, T é uma transformação linear se satisfaz as
condições:

1) ∀ a, b ∈ U
 T (a + b) = T(a) + T(b)

2) ∀ a ∈ U, ∀a ∈ IR
 T (aa) = a T(a)

Também encontramos os termos aplicação linear ou função linear para indicar uma transformação
linear.

5.1.1 Operador linear

Toda transformação linear do espaço, nele mesmo, recebe o nome de operador linear.

 Observação

Todo operador linear é uma transformação linear, mas nem toda
transformação linear será um operador linear.

T linear e T: U → U então T é um operador linear

5.2 Algumas propriedades

Sendo T: U → V uma transformação linear temos:

1. T(0u) = 0v

(isto é, uma transformação linear leva zero de U em zero de V)
Note que: Se T(0u) ≠ 0v então T não é linear.

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Assim, para verificar se uma transformação é linear, devemos inicialmente calcular T(0u) daí:

- se T(0u) = 0v , nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição

- se T(0u) ≠ 0v concluímos que a transformação não é linear

2. ∀a, b ∈ U, ∀a, b ∈ IR
 T(aa + bb) = a T(a) + b T(b)

De modo geral temos:

3. ∀a1, a2, ... , an ∈ U, ∀a1, a2, ...,an ∈ IR

T n n(     1 1 2 a a a ) T(a ) T(a ) T(a )1 2 2 n 1 2 n      … …

Exemplos:

Verifique quais transformações são lineares:

a) F: IR2 → IR, F (x,y) = -x + 7y + 3

Calculando F(0,0) temos:

F(0,0) = 0 + 7 . 0 + 3 = 3 ≠ 0 (vetor nulo de IR) logo F não é linear.

b) T: IR2 → IR2, definida por T (x,y) = (x, 2x - y)

Calculando T (0,0) temos:

T(0,0) = (0, 2.0 - 0) = (0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição de
transformação linear.

(1) T (a + b) = T (a) + T (b), ∀ a, b ∈ IR2

Sejam a = (x, y) ∈ IR2, b= (r, s) ∈ IR2

T (a + b) = T (x + r, y + s) = ((x + r) , 2.(x + r) - (y + s)) =
= (x + r, 2x + 2r – y – s)

T(a) + T (b) = T (x, y) + T (r, s) = (x, 2x – y) + (r, 2r – s) =
= (x + r, 2x – y + 2r – s) = (x + r, 2x + 2r – y – s)

Logo T (a + b) = T (a) + T (b) e vale (1)

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(2) T (a a) = a T (a), ∀ a ∈ IR2 , ∀ a ∈ IR

Sejam a = (x, y) ∈ IR2, a ∈ IR
T(a . a) = T (a. (x, y)) = T (a x, a y) = (a x, 2 (a x) - (a y))
a . T(a) = a. T(x, y) = a. (x, 2x - y) = (a x, a (2x - y)) =
= (a x, 2(a x) - (a y))

Logo T (a . a) = a . T (a), e vale (2).

Portanto T é transformação linear.

c) T: IR3 → IR3, definida por T(x, y, z) = (x2, x + y, z)

Calculando T (0, 0, 0) temos:

T(0, 0, 0) = (02, 0 + 0, 0) = (0, 0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição
de transformação linear.

(1) T (a + b) = T (a) + T (b), ∀ a, b ∈ IR3

Sejam a = (x, y, z) ∈ IR3 e b = (r, s, t) ∈ IR3

T (a + b) = T (x + r, y + s, z + t) =
= ((x + r)2, x + r + y + s, z + t)
T (a) + T (b) = T (x, y, z) + T (r, s, t) =
= (x2, x + y, z) + (r2, r + s, t) =
= (x2 + r2, x + y + r + s, z + t)

Como (x + r)2 ≠ x2 + r2 (em geral), segue que
T (a + b) ≠ T (a) + T (b).

Logo, não vale a condição (1) e T não é transformação linear.

d) Seja T: IR3 → IR3 , linear dada por T (x, y, z) = (2x + z, y, 0) determinar a imagem dos vetores pela
transformação

i) (1, -1, 2) ii) (2, 0, 1) iii) (0, 2, -1)

Devemos substituir as coordenadas dos vetores na expressão de T, assim

i) T (1, -1, 2) = (2.1 + 2, -1, 0) = (4, -1, 0)
ii) T (2, 0, 1) = (2. 2 + 1, 0, 0) = (5, 0, 0)
iii) T (0, 2, -1) = (2 . 0 + (-1), 2, 0) = (-1, 2, 0)

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e) Sendo que T é uma transformação linear de IR3 em IR3, determine T(x,y,z), dados T(1,0,2) = (1,1,2),
T(0,1,1) = (0,-1,2) e T(0,0,1) = (0,0,1), e B base do IR3 B = {(1,0,2), (0,1,1), (0, 0,1)}.

Como B é base do espaço, podemos escrever qualquer vetor do IR3 como combinação linear dos
vetores de B, assim temos:

(x,y,z) = a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1)

multiplicando pelos escalares e somando os vetores vem:

(x,y,z) = (a, b, 2a + b + c)

daí temos o sistema

x a

y b

z a b c





  









 2

resolvendo o sistema encontramos a = x, b = y e c = z – 2x – y

Guardamos estes resultados para aplicar depois.

Em T(x,y,z) vamos substituir o vetor (x,y,z) pela combinação linear dos vetores de B, assim temos:

T(x,y,z) = T (a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1))

como a transformação é linear, utilizando a propriedade 3 do item 3.2 podemos escrever

T(x,y,z) = a . T (1, 0, 2) + b . T (0, 1, 1) + c . T (0, 0, 1)

Substituindo os dados do enunciado encontramos

T(x,y,z) = a . (1, 1, 2) + b . (0, -1, 2) + c . (0, 0, 1)

substituindo agora os resultados encontrados no sistema temos

T(x,y,z) = x . (1, 1, 2) + y . (0, -1, 2) + (z – 2x – y) . (0, 0, 1)

Multiplicando pelos escalares e somando os vetores temos

T(x,y,z) = (x, x – y , 2x + 2y + z – 2x - y), isto é,
T(x,y,z) = (x, x – y , y + z)

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 Saiba mais

Você pode encontrar mais exemplos de transformações lineares nos
livros indicados em nossa bibliografia.

5.3 Núcleo

5.3.1 Definição

Seja T: U → V uma transformação linear. Chamamos de núcleo da transformação linear T o conjunto
N(T), dado por

 N(T) = {a ∈ U | T(a) = 0}

Notação: N(T) = Ker(T), (abreviatura da palavra inglesa Kernel)

Exemplos:

Determinar o núcleo das transformações lineares

1) F: IR2 → IR2 definida por F (x,y) = (x - y, y)
N (F) = {(x, y) ∈ IR2 | F(x, y) = (0,0)}

F (x,y) = (x - y, y) = (0,0) 
 









x y

y

0

0

Resolvendo o sistema temos x = y = 0

Logo N (F) = {(0,0)}, (subespaço trivial ou nulo)

2) T: IR3 → IR3 dada por, T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
N(T) = {(x,y,z) ∈ IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0)}

T(x,y) = (0, y - x, x + z) = (0,0,0) ⇒
0 0

0

0



 

 











y x

x z

Resolvendo o sistema temos: y = x, z = -x e x qualquer (sistema possível e indeterminado)

Logo N (T) = {(x,y,z) ∈ IR3 | y = x e z = -x}, isto é,
N (T) = {(x, x,-x) | x ∈ IR}

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