Exercicios_1_ao_7_com_resolucao

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Exercícios sobre circunferência
Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (2, -3) e raio igual a 4.
Equação reduzida: (x - a)2 + (y - b)2 = r2
Então, (x – 2)2 + (y + 3)2 = 42
Ou, (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
No gráfico, a circunferência é:
Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 + 2x – 3y - 12 = 0.
x2 + y2 + 2x – 3y - 12 = 0.
Centro: são as coordenadas a e b que forma o ponto C (centro).
Comparando com a genérica:
2x = -2ax
1 = -a
a = -1
-3y = -2by
-1,5 = -b
b =1,5 ou 3/2
O raio é encontrado por a2 + b2 – r2 = -12
Assim, (-1)2 + (3/2)2 + 12 = r2
Ou seja, 1 + 9/4 + 12 = r2
13 + 9/4 = r2
13 + 2,25 = r2
15,25 = r2
r = 3,9 aprox.
Assim, temos o centro C (-1, 3/2) e o raio (3,9)
Observe o gráfico e analise onde estão o centro e o raio:
Verifique se a equação x2 + y2 + 16x – 12y - 36 = 0 é ou não equação de uma circunferência.
x2 + y2 + 16x – 12y - 36 = 0
Comparando a equação dada com a genérica temos:
16x = -2ax
a = -8
-12y = -2by
b = 6
E o raio é dado por a2 + b2 – r2 = -36
(-8)2 + 62 + 36 = r2
64 + 36 + 36 = r2
136 = r2
r = 11,66 aprox.
Tendo um centro (a,b) e um raio, e sendo o raio um valor pertencente ao R (reais), existe circunferência.
Veja a circunferência:
Determine as posições dos pontos A (3, -6); B (-1, -1) e C (-10, 7) em relação à circunferência cuja equação é x2 + y2 + x + 3y – 14 = 0.
Para determinar as posições dos pontos, substitua os valores das coordenadas na equação da circunferência x2 + y2 + x + 3y – 14 = 0. Para comparar, observe o gráfico também (não precisa desenhar na prova)!
A (3,-6)
32 + (-6)2 + 3 + 3.(-6) – 14 = 0
9 + 36 + 3 – 18 – 14 = 0
16 > 0, assim, o ponto é externo à circunferência. Olhe a circunferência e veja que realmente o ponto A, se traçado, estaria fora da circunferência (externamente).
B (-1,-1)
(-1)2 + (-1)2 + (-1) + 3.(-1) – 14 = 0
1 + 1 - 1 – 3 – 14 = 0
-16 < 0, assim, o ponto é interno à circunferência. Olhe a circunferência e veja que realmente o ponto B, se traçado, estaria interno á circunferência.
C (-10, 7)
(-10)2 + (7)2 + (-10) + 3.(7) – 14 = 0
100 + 49 – 10 + 21 – 14 = 0
146 > 0 este ponto C também é externo à circunferência, pois se traçado, estaria fora da circunferência (externamente).
Determine a posição do ponto P (-1, 5) em relação à circunferência
 x2 + y2 – 16x + 5y - 6 = 0.
Neste caso, faz-se o mesmo que na questão anterior, para determinar a posição do ponto P (-1, 5), substitua os valores das coordenadas na equação da circunferência x2 + y2 – 16x + 5y - 6 = 0. Para comparar, observe o gráfico também (não precisa desenhar na prova)!
P (-1, 5) 
(-1)2 + (5)2 – 16.(-1) + 5.(5) - 6 = 0
1 + 25 + 16 + 25 – 6 = 0
61 > 0 este ponto P é externo à circunferência, pois se traçado, estaria fora da circunferência (externamente).
Qual é a posição da reta 6x + y = 0 em relação à circunferência 
x2 + y2 + 5x – 6y - 4 = 0 ?
Para determinar a posição da reta em relação á circunferência, é necessário montar um sistema de equações. Neste caso, podemos obter a equação reduzida da reta 6x + y = 0, e dizer que y = -6x. Assim, basta substituir y por -6x, na equação da circunferência.
x2 + y2 + 5x – 6y - 4 = 0
x2 + (-6x)2 + 5x – 6.(-6x) - 4 = 0
x2 + 36x2 + 5x + 36x - 4 = 0
37x2 + 41x – 4 = 0
Aplicando Bhaskara temos:
Substituindo os valores de x na equação temos:
y = -6x
y’ = 6.(-1,20)
y’ = -7,2
y’’ = 6.(0,09)
y’’ = 0,54
Os dois pontos em que a reta corta a circunferência, sendo secante, são:
A (-1,2;-7,2) e B (0,09;0,54), aproximadamente.
Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência 
x2 + y2 + x + y – 9 = 0 intercepta a reta cuja equação é x + y + 3 = 0.
Para determinar a posição da reta em relação á circunferência, é necessário montar um sistema de equações. Neste caso, podemos obter a equação reduzida da reta x + y + 3 = 0, e dizer que y = -x - 3. Assim, basta substituir y por -x - 3, na equação da circunferência.
x2 + y2 + x + y – 9 = 0 
x2 + (-x - 3)2 + x + (-x - 3) - 9 = 0
x2 + (x2 + 6x + 9) + x - x - 3 - 9 = 0
2x2 + 6x – 3 = 0 ou
x2 + 3x – 1,5
Aplicando Bhaskara temos:
Substituindo os valores de x na equação temos:
y = -x – 3
y’ = -(0,435) - 3
y’ = -3,435
y’’ = -(-3,435) - 3
y’’ = 0,435
Os dois pontos em que a reta corta a circunferência, sendo secante, são:
A (0,435;-3,435) e B (-3,435;0,435), aproximadamente.
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