01retaepontonoplano

Prévia do material em texto

1. O SISTEMA LINEAR DE COORDENADAS 
 
 Este sistema é composto por uma única reta orientada. Adota-se um ponto fixo, o que será a 
origem do sistema. 
 
 Toma-se um conveniente comprimento “u” como unidade de medida e convenciona-se que a 
direita de 0, teremos orientação positiva, e a esquerda de 0, teremos orientação negativa. 
 
O ponto A está associado ao número real 
2
1
 que é a coordenada de A. 
 
 O ponto B está associado ao número real 2 que é a coordenada de B. 
 
O ponto C está associado ao número real –3 que é a coordenada de C. 
 
 
2. O SISTEMA PLANO DE COORDENADAS 
 
 A fim de entender a utilização do método analítico. Consideremos agora um sistema de 
coordenadas no qual um ponto pode-se mover livremente para todas as posições num plano. 
Este sistema é chamado sistema bidimensional ou plano de coordenadas. O sistema 
cartesiano ou de coordenadas retangulares e o sistema de coordenadas polares são exemplos de 
sistemas planos de coordenadas. 
 
Sistema de Coordenadas Polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: O Sistema Cartesiano é o sistema de coordenadas usado pela Geometria Analítica.
u 
A B C 
-3 0 
2
1
 
2 
x 
P y 
 yxP ,
 
O 
P 
r  rP ,
 

 
a 
P(a, b) 
b 
 O sistema Cartesiano é constituído por duas retas x e y, perpendiculares entre si. 
 
 
 A reta x é chamada de eixo das abscissas; 
 
 A reta y é chamada de eixo das ordenadas; 
 
 O ponto O, intersecção das retas x e y é chamado de origem. 
 
 
 
 
 
 
 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominados quadrantes, cuja identificação 
é feita no sentido anti-horário. 
Estabelecido o sistema, podemos localizar qualquer ponto do plano por meio de um par 
ordenado de números reais. Assim dado um ponto P do plano: 
 
 O número real a é chamado abscissa do 
ponto P; 
 
 O número real b é chamado ordenada do 
ponto P; 
 
 Os números a e b são chamados 
coordenadas do ponto P. 
 
 
 
 
 
Assim: 
 Todo par ordenado (a, b) de números reais fica associado a um único ponto P do plano. 
 
 Todo ponto P do plano fica determinado, quando sua abscissa a e sua ordenada b são dadas. 
 
 
3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
3.1. No Sistema Linear de Coordenadas 
 
 Seja o ponto A de coordenada 1 e o ponto B de coordenada 4. 
 
 
 
 
 A distância entre os pontos A e B ou a medida do comprimento do segmento 
AB
 é dada por: 
 
  34114, BAd
 
 
 Genericamente: 
 
  abbaBAd ,
 
 
 
A B 
0 1 4 
A B 
a b 
1
º
 Q 2
º
 Q 
3
º
 Q 4
º
 Q 
x 
y 
O 
 
 
3.2. No Sistema Cartesiano ou Sistema Plano de Coordenadas Retangulares 
 
 Dados dois pontos distintos 
 AA yxA ,
 e 
 BB yxB ,
, podemos deduzir a fórmula para calcular 
a distância entre eles da seguinte maneira: 
 
Ao localizar os pontos A e B no sistema plano de 
Coordenadas Cartesianas, observamos a formação do triângulo 
retângulo ABC. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 
     
     222
222
BCACAB ddd
catetocatetohipotenusa


 
a 
ABBC yyd 
 e 
ABAC xxd 
 
 
 
Logo: 
 
     
 
     
   22
222
222
222
ABABAB
ABABAB
ABABAB
BCACAB
yyxxd
yyxxd
yyxxd
ddd




 
 
E desta forma temos que a distância entre os pontos A e B é dada por: 
 
   22 ABABAB yyxxd 
 
 
4. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 
 
Afirmamos que três pontos diferentes estão alinhados ou então três pontos diferentes são 
colineares, quando podemos traçar uma reta por estes três pontos. 
 
 
 
 
 
Os pontos A, B e C são colineares (estão alinhados). Podemos verificar que dAC = dAB + dBC. 
Neste caso não formam um triângulo ABC. 
Já na figura abaixo constatamos que os três pontos A, B e C formam um triângulo, logo não 
são colineares (não estão alinhados), pois a medida de um lado é sempre menor que a soma das 
medidas dos outros dois lados. 
 Assim, dAB < dBC + dCA ou dBC < dCA + dAB ou dCA < dAB + dBC 
 
Faremos agora a demonstração para que possamos verificar algebricamente se três pontos 
são ou não colineares. 
 
A 
B 
yB 
yA 
xB xA 
C 
A 
B 
C 
C B 
A 
Na figura abaixo temos representados três pontos A, B e C colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o teorema de Tales, temos: 
AC
AB
11
11
xx
xx
AC
AB
 
CA
BA
AC
AB



 (I) 
AC
AB
22
22
yy
yy
AC
AB
 
CA
BA
AC
AB



 (II) 
 
Comparando as igualdades (I) e (II), obtemos: 
AC
AB
AC
AB
yy
yy
xx
xx





 Daqui resulta: 
       ABACACAB yyxxyyxx 
 
Aplicando a propriedade distributiva, 
AABAACBCAACAABCB yxyxyxyxyxyxyxyx 
 
Igualando a zero, 
0 AABAACBCAACAABCB yxyxyxyxyxyxyxyx
 
Agrupando os termos semelhantes, 
0 BAACBCCAABCB yxyxyxyxyxyx
 
Note que o primeiro membro da igualdade corresponde ao desenvolvimento do determinante 
0
1
1
1

CC
BB
AA
yx
yx
yx 
 
Onde: 
- os elementos da 1ª coluna são os valores das abscissas dos pontos A, B e C ; 
- os elementos da 2ª coluna são os valores das ordenadas dos pontos A, B e C. 
 
Logo podemos concluir que: 
Se 
0
1
1
1

CC
BB
AA
yx
yx
yx então os pontos A, B e C estão alinhados ou são pontos colineares. 
 
 
 
 
A 
B 
C 
x 
y 
A1 C1 
C2 
B1 
B2 
xA xB xC 
A2 
yC 
yB 
yA 
5. REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA DE UMA RETA 
 
O grande trabalho da Geometria Analítica é a representação dos entes geométricos de forma 
analítica. 
 Vimos que um ponto é representado analiticamente por suas coordenadas: 
 
 
Nos preocuparemos agora com a representação analítica da reta no plano. 
 Para isso devemos saber o que é necessário, para ter bem definido a posição de uma reta. no 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para traçar uma reta r que passe pelo ponto P, teríamos que conhecer outro ponto de r, ou a 
sua direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1. Inclinação de uma reta 
 
 O ângulo  que define a direção de uma reta r em relação ao eixo x é chamada de inclinação 
da reta. Ele será sempre medido do eixo para a reta 
 
5.1.1. Coeficiente angular ou declividade de uma reta. 
 
 Denomina-se coeficiente angular ou declividade de uma reta r, o número real m que expressa 
a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja: 
P0 x 
Em 
1
 a coordenada de P é x. 
P 
y 
x 
Em 
2
 as coordenadas 
de P são (x,y) 
P 
Coeficiente Angular 
Ou 
Declividade 
 
= m = tg  
Q 
P 
P 
60º 
Forma 60º com o eixo x. 
 
m 0 tg 0 0º 90º      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m 0 tg 0 90º 180º      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90º tg não existe m     
 
(reta perpendicular ao eixo x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0º tg 0 m 0      
 
(reta paralela ao eixo x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.2. Cálculo do coeficiente angular da reta, conhecidos dois pontos. 
 
Dados dois pontos distintos 
 AA yxA ,
 e 
 BB yxB ,
, pertencentes a uma reta r, com 
BA xx 
 
(de modo que a reta r não seja paralela ao eixo y), podemos calcular o coeficiente angular m da 
seguinte forma: 
AB
AB
xx
yy
m



 
 
Localizando os pontos A e B no sistema plano de coordenadas cartesianas podemos ter duas 
situações, e em ambas poderemos verificar que 
AB
AB
xx
yy
metgm



 
y 
x 
r 

 
y 
x 
r 
y 
x 
r 

 
y 
x 
r 

 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em (1),  é um ângulo agudo e do triângulo ABC temos: 
AB
AB
xx
yy
adjacente cateto
oposto cateto
tgm



 
 
Em (2),  é um ângulo obtuso. Da trigonometria temos 
 tgtg
, pois 
º180
. Logo: 
 tgtgm
 
Do triângulo ABC, temos 
AB
BA
xx
yy
adjacente cateto
oposto cateto
tg



 
E portanto: 
 
AB
AB
AB
BA
AB
BA
xx
yy
xx
yy
xx
yy
tgtgm









 
 
Exemplo: Determinar a inclinação e o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
   7,61,1 BeA
. 
 
 
5.2. Equação da reta 
 
 A representação analítica de uma reta é a sua equação. Veremos a seguir, raciocínios que 
nos conduzirão a equação de uma reta. 
 
 
5.2.1. Equação de uma reta dados um ponto e seu coeficiente angular 
 
 Seja 
 PP yxP ,
 um ponto pertencente a uma reta r e 
 m tg 0º 90º    
 o seu 
coeficiente angular. 
 
 
 
0º 90º  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
P 
r 
 
A 
B 
yB 
yA 
xB xA 
C 
 
 
r 
(1) 
0 90 º º
 
A 
B 
yB 
yA 
xB xA 
C 
 
r 
(2) 
90º 180º  
 
 
Para que um ponto 
 yxQ ,
 pertença a reta r dada é condição necessária e suficiente que: 
 
 
m
xx
yy
PQ
PQ



 
ou 
m
xx
yy
QP
QP



 
 
Sendo 
 Pp yxP ,
 e 
 yxQ ,
, teremos: 
m
xx
yy
PQ
PQ



 
m
xx
yy
P
P 


 
 PP xxmyy 
 equação de uma reta na forma ponto declividade 
 
Obs.: A equação para  obtuso, ou seja, 
90º 180º  
 será a mesma. 
 
 
5.2.2. Equação de uma reta dados dois pontos 
 
 Dados dois pontos distintos 
 AA yxA ,
 e 
 BB yxB ,
, pertencentes a uma reta r. Para que um 
ponto 
 yxP ,
 pertença a reta r é condição necessária e suficiente que os pontos A, B e P estejam 
alinhados ou sejam pontos colineares. 
 Sabemos que os pontos 
 AA yxA ,
 e 
 BB yxB ,
 e 
 yxP ,
 são colineares se e somente se: 
0
1
1
1

BB
AA
yx
yx
yx esta condição também é chamada de equação da reta na forma determinante. 
 
Obs. 1: Desenvolvendo a equação da reta na forma ponto declividade, obtemos uma 
equação na forma 
0 cbyax
, chamada de equação geral da reta. 
Exemplos: 
(1) Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos 
   3,02,1 BeA
. 
(2) Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto 
 3,2P
 e que tem inclinação de 45º. 
 
Obs. 2: Conhecida a equação geral de uma reta r, 
0 cbyax
 e, sendo 
0b
, podemos 
isolar a variável y e obter a equação reduzida da reta na forma 
qmxy 
. 
Exemplo: Determinar a equação reduzida da reta que passa pelo ponto 
 1,0A
 e tem coeficiente 
angular 
2
1
m
. 
 
5.2.3. Equações Paramétricas 
 
 Até o momento mostramos que as equações geral, reduzida e segmentária relacionam 
diretamente entre si as coordenadas x e y. 
 Porém, podemos escrever a equações de uma reta em função de uma terceira variável t, 
denominada parâmetro, da seguinte forma: 
1 1
1 2
1 2
x x tv
com t , v 0 e v 0
y y tv
 
  
 
 
Dependendo da 
posição de Q. 
 
Conforme indica a 
figura ao lado. 
y 
yP 
xP 
x  
Q 
P 
Q´ 
 
 A esse sistema damos o nome de representação paramétrica ou equações paramétricas 
da reta. 
 Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas, eliminamos 
o parâmetro t entre essas duas equações. 
 
Exemplo: Determinar a equação geral da reta definida pelas equações paramétricas: 
 
x 4 2t
com t 
y 1 t
 

 
 
 
Resolução: Eliminando o parâmetro t entre essas equações, obtemos: 
  
 
x 4 2t 2t x 4
x 4
 t 1
2
y 1 t t 1 y 2
    


    
 
 
 Igualando as equações (1) e (2), teremos: 
 
   
x 4
1 2 1 y
2
 x 4 2 2y
 x 2y 6 0

   
  
  
 
Resposta: 
x 2y 6 0  
. 
 
 
5.2.4. Equações de retas paralelas aos eixos coordenados. 
 
 
RETA PARALELA AO EIXO X. 
 
Seja A(xA, yA) um ponto pertencente a reta r. A 
equação da reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao 
eixo x é y = yA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETA PARALELA AO EIXO Y. 
 
Seja A(xA, yA) um ponto pertencente a reta r. A 
equação da reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo 
y é x = xA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q(0, yA) 
A(xA, yA) 
O 
y 
r 
x 
    AP x,y r y y
 
 P(xA, 0) 
A(xA, yA) 
O 
y 
r 
  AP x,y r x x  
 
6. POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS NO PLANO 
 
Consideremos as retas 
2211 :: nxmysenxmyr 
 de inclinações 1 e 2, 
respectivamente. Pode ocorrer: 
1º Caso: 1 = 2 
 Neste caso, r e s são paralelas, conforme podemos observar nas figuras seguintes. 
 
 
Se 1 = 2  tg 1 = tg 2  m1 = m2 
 
 
No caso particular de 1 = 2 = 90º, as retas r e s são retas verticais. 
 
 
 
 
 
 
1º Caso: 1  2 
 Neste caso, r e s não são, ou seja, r e s são concorrentes. 
 
 
Se 1  2  tg 1  tg 2  m1  m2 
 
 
Caso particular de retas concorrentes: 
 Consideremos as duas retas r e s concorrentes num ponto P, de tal forma que r seja 
perpendicular a s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo ABP, vem: 
1 = 2 + 90º  tg 1 = tg (2 + 90º) 
r s 
1 2 
x 
y 
x 
y 
s r 
1 2 
r s 
1 2 
x 
y 
0 
r 
s 
1 2 
x 
y 
x 
y 
s r 
1 
2 
r 
s 
1 2 x 
y 
A B 
P 
 
 
 
2
1
2
2
1
22
22
1
2
2
1
1
sen
cos
º90sensenº90coscos
º90sencosº90cossen
º90cos
º90sen











tg
 tg
 tg
 tg
 tg
 
 
Como tg 1 = m1 e tg 2 = m2, temos: 
 



2
1
1
tg
tg
2
1
1
m
m 
 
 
7. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
 
 A intersecção de duas retas concorrentes r e s é um ponto. Este ponto pertence às duas retas, 
ou seja, deverá satisfazer suas equações. Para obte-lo, basta resolver o sistema formado pelas 
equações das duas retas. 
 
Exemplo: Determinaro ponto de interseção das retas r e s, sabendo que a reta s passa pelos 
pontos 
   0,42,0 BeA
 e a reta r passa pelo ponto 
 3,3P
 e tem inclinação de 45º. Graficar. 
 
 
Créditos: Professora Simone Leal