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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 115 4ª Unidade: Geometria Analítica no Espaço 1. Equações da reta no 3IR Sabemos que dois pontos definem uma reta r . Com apenas um dos pontos também é possível definir a posição de uma reta, desde que tenhamos a direção precisa da mesma. Se utilizarmos um vetor e um ponto teremos então como definir exatamente a posição de uma reta. Observe a figura 4.2, nela definimos os pontos ),,( 111 zyxA conhecido e pertencente a reta r e, ),,( zyxB um ponto qualquer pertencente a mesma reta r . O vetor ),,( cbav =r é um vetor paralelo a reta r e é o vetor diretor da reta. Figura 4.2: Reta r e vetor paralelo vr Como o vetor vr é paralelo a reta r , também é paralelo ao vetor AB , marcado sobre a reta r , temos que vr // AB e se m é uma constante, então vmAB r= e: vmABvmAB rr +=⇒=− A expressão vmAB r+= é chamada de equação vetorial da reta r . Substituindo os valores dos pontos ),,( 111 zyxA e ),,( zyxB , temos: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 116 ),,(),,( ),,(),,(),,( ),,(),,(),,( ),,(),,(),,( 111 111 111 111 zmcmbymaxzyx mcmbmazyxzyx cbamzyxzyx cbamzyxzyx +++= += += =− Podemos escrever que: += += += cmzz bmyy amxx 1 1 1 , que correspondem as equações paramétricas da reta r . Podemos continuar o processo, isolando o m em cada uma das sentenças, da seguinte forma: Da expressão a xx mxxmamaxx 111 − =⇒−=⇒+= . Da expressão b yy myymbmbyy 111 − =⇒−=⇒+= Da expressão c zz mzzmcmczz 111 − =⇒−=⇒+= , como todos o m ficaram isolados podemos compara-los, fazendo: c zz b yy a xx 111 − = − = − . Esta é a equação simétrica da reta r . É possível ainda uma outra representação. Na igualdade que podemos obter: b yy a xx 11 − = − e c zz a xx 11 − = − , vamos escrever o y como valor dependente de x . 11 1 1 )( yx a b x a by a xxb yy +−=⇒ − =− Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 117 Fazendo a b m =1 e 111 yx a b n +−= , teremos 11 nxmy += Vamos agora isolar z tendo como variável independente também o x : a xx c zz 11 − = − 11 1 1 )( zx a c x a c z a xxc zz +−=⇒ − =− Fazendo a cp =1 e 111 zx a cq +−= , teremos 11 qxpz += . O par de equações += += 11 11 qxpz nxmy , são chamadas de equações reduzidas da reta r . Estas equações também podem ter como variável independente o y ou o z , e poderíamos também escrever += += 22 22 qypz nymx e += += 33 33 qzpy nzmx . Exemplo1: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos )3,2,1(−A e )2,2,0( −B . Resolvendo: A equação paramétrica da reta é representada por += += += cmzz bmyy amxx 1 1 1 , basta acharmos o vetor diretor da reta que é indicado por ),,( cbav =r , e substituirmos na equação. Como temos dois pontos vamos construir o vetor: )5,0,1()3,2,1()2,2,0( −=−−−=−== ABABvr , logo substituindo vr e um dos pontos, escolhemos o ponto )3,2,1(−A , temos a equação −= = +−= ⇒ −= += +−= mz y mx mz my mx 53 2 1 53 02 11 . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 118 Exemplo2 Determinar as equações reduzidas da reta, com variável independente y, que passa pelo ponto )4,2,3( −A e tem a direção do vetor kji rrr 542 −+ . Resolução: Para determinar as equações reduzidas da reta precisamos montar a equação simétrica da reta c zz b yy a xx 111 − = − = − . Como já temos o vetor diretor e um ponto, escrevemos: 5 4 4 2 2 3 − − = + = − zyx Agora vamos separar as equações da seguinte forma 4 2 2 3 + = − yx e 4 2 5 4 + = − − yz , assim, isolando o x : 4 2 1)2(2)3(4 4 2 2 3 +=⇒+=−⇒ + = − yxyxyx Isolando y . 4 6 4 5)2(5)4(4 4 2 5 4 +−=⇒+−=−⇒ + = − − yzyzyz Logo, as equações reduzidas da reta são: +−= += 4 6 4 5 4 2 1 yz yx Exemplo 3 Citar um ponto e o vetor diretor das equações das retas: a) += −= 54 32 xz xy b) −= = += mz y mx 4 5 52 c) zyx == d) 5 4 4 23 4 2 − − = + = − zyx e) = = 5 4 y x f) − − = − = 5 4 3 2 4 zy x Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 119 Resolvendo: a) += −= 54 32 xz xy Para “citarmos” um ponto basta atribuirmos um valor aleatório para x , por exemplo 1=x e substituir na equação. =+=+= −=−=−= 95451.4 13231.2 z y Logo, um ponto da reta é )9,1,1( −A . Para acharmos o vetor diretor podemos proceder de duas maneiras: (i) Podemos achar outro ponto dando outro valor para x , calculamos outro ponto da reta e com estes determinamos o vetor diretor. Seja 2−=x : −=+−=+−= −=−−=−−= 3585)2.(4 7343)2.(2 z y Assim, outro ponto da reta é )3,7,2( −−−B . Calculando o vetor diretor: )12,6,3()9,1,1()3,7,2( −−−=−−−−−=−== ABABv . Logo )12,6,3( −−−=vr (ii) Podemos também determinar o vetor diretor partindo das equações dadas, que estão na forma reduzida, retornando para a forma simétrica. Como += −= 54 32 xz xy , isolamos o x nas duas equações, temos: 2 33232 +=⇒+=⇒−= yxyxxy 4 55454 −=⇒−=⇒+= zxzxxz Logo 4 5 2 3 − = + = zy x e como o vetor diretor está localizado no denominador da equação na forma simétrica, temos que )4,2,1(=vr . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 120 Observe que o vetor no primeiro modo é ( 3− ) vezes o vetor do segundo modo, o que não representa nenhum problema, pois estamos tratando com vetores diretores de retas. b) −= = += mz y mx 4 5 52 Agora temos as equações na forma paramétrica: += += += mczz mbyy maxx 1 1 1 , onde ),,( 111 zyxA e ),,( cbav = r . Comparando as equações concluímos que um ponto da reta é )0,5,2(A e o vetor diretor é )4,0,5( −=vr . c) zyx == Neste caso temos a equação na forma simétrica: c zz b yy a xx 111 − = − = − , onde ),,( 111 zyxA e ),,( cbav =r . Comparando as equações encontramos o ponto )0,0,0(A e o vetor )1,1,1(=vr . d) 5 4 4 23 4 2 − − = + = − zyx A forma da equação sugere a forma simétrica c zz b yy a xx 111 − = − = − , ),,( 111 zyxA e ),,( cbav = r , no entanto precisamos inicialmente arrumar a equação: 5 4 4 23 4 2 − − = + = − zyx Dividimos o membro da primeira parte por 1− e dasegunda por 3, temos: 5 4 3 4 3 2 4 2 5 4 3 4 3 23 1 4 1 2 − − = + = − − − − = + = − − − z y x z yx Agora comparando as equações, temos )4, 3 2 ,2( −A e o vetor )5, 3 4 ,4( −−=vr . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 121 e) = = 5 4 y x Note que neste caso trata-se de uma equação reduzida com variável independente z. Conforme visto no exemplo (a), temos duas maneiras de achar o ponto e o vetor diretor: (i) Atribuímos dois valores arbitrários ao z , sejam, 2=z e 5=z , e como x e y são constantes, os pontos serão )2,5,4(A e )5,5,4(B . O vetor diretor )3,0,0()25,55,44( =−−−=−== ABABvr ii) Pelo segundo modo, consideramos que as equações reduzidas da reta originaram das equações simétricas. Fazemos o procedimento inverso e transformamos a equações reduzidas em simétricas: Na equação = = 5 4 y x , isolando o z : 0 440044 −=⇒−=⇒+=⇒= xzxzzxx 0 550055 −=⇒−=⇒+=⇒= yzyzzyy Logo zyx =−=− 0 5 0 4 e no denominador temos o vetor diretor )1,0,0(=vr . Observe que o vetor encontrado no primeiro modo é (3) vezes o vetor do segundo modo, no entanto, eles têm a mesma direção e juntamente com o ponto definem a reta. f) − − = − = 5 4 3 2 4 zy x Neste caso, a primeira parte 4=x , esta na forma paramétrica, ou seja, mx 04 += , e a segunda 5 4 3 2 − − = − zy , esta na forma simétrica. Comparando então as duas formas, podemos escrever que o ponto é )4,2,4(A e o vetor diretor é )5,3,0( −=vr . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 122 Exemplo 4 Represente graficamente as seguintes retas: a) = += 2 4 y zx Resolvendo: Para que possamos traçar uma reta precisamos de dois pontos. Atribuindo-se dois valores arbitrários para z , que é a variável independente, temos: Se 0=z , então 404 =+=x e como 2=y é constante, um ponto da reta é )0,2,4(A . Se 2=z , então 624 =+=x e como 2=y é fixo o segundo é )2,2,6(B . Representando, na figura 4.3: b) += −−= += mz my mx 24 23 32 Como se trata de equações paramétricas da reta, podemos extrair um ponto da própria equação, ou seja, )4,3,2( −A . O outro ponto obtemos atribuindo um valor arbitrário para o parâmetro m . Assim, para 1=m , temos: =+=+= −=−−=−−= =+=+= 6241.24 5231.23 5321.32 z y x , logo )6,5,5( −B . Obtidos os pontos )4,3,2( −A e )6,5,5( −B , desenhamos a reta, como na figura 4.4 acima: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 123 Ângulo entre duas retas Duas retas podem ser comparadas através da inclinação de uma em relação a outra, ou seja, determinando o ângulo formado por elas. Na figura 4.5 esboçamos duas retas r e s , os vetores diretores ur e vr que as representam e o ângulo α formado por elas. Figura 4.5: Ângulo entre retas Considerando os vetores diretores das retas r e s , e aplicando a relação que determina o ângulo entre dois vetores, vu vu rr rr . cos • =α , com uma pequena adaptação, ou seja, acrescentando o módulo no numerador, uma vez que o ângulo entre duas retas não é superior a 090 , pois só medimos o menor ângulo entre elas, temos: vu vu rr rr . cos • =α , onde 0900 ≤≤ α . Exemplo 1 Calcular o ângulo entre a reta r que passa pelos pontos )3,2,5(−A e )5,4,0( −B , e a reta s que passa pelos pontos )4,3,1( −−C e )1,2,3( −−−D . Resolvendo: Como vu vu rr rr . cos • =α , vamos inicialmente encontrar os vetores diretores ur e vr : )2,6,5()3,2,5()5,4,0( −=−−−=−== ABABur )5,1,2()4,3,1()1,2,3( −−=−−−−−−=−== CDDCv rr Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 124 Calculando o produto escalar: 1066102.31).6()2.(5 −=+−−=+−+−=• vu rr Determinando também o módulo dos vetores ur e vr : 65436252)6(5 222 =++=+−+=ur 302514)5(1)2( 222 =++=−++−=vr E utilizando a expressão vu vu rr rr . cos • =α , temos que: ( ) 09,76 2264,0arccos2264,0cos 1950 10 cos 30.65 10 cos ≅ ≅⇒≅ =⇒ − = α αα αα Condição de paralelismo entre duas retas Quando as duas retas são paralelas, como na figura 4.6, podemos deduzir que o vetor diretor ur pertencente a reta r e o vetor diretor vr pertencente a reta sr , também são paralelos. Por isso, podemos usar a condição de paralelismo entre dois vetores, ou seja, se ),,( 111 cbau =r e ),,( 222 cbav =r , então 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == . Figura 4.6: Retas paralelas Exemplo1 Vamos verificar se as retas )4,3,1()4,3,2(),,(: −+−= mzyxr e +−= −−= +−= mz my mx s 82 65 24 : são paralelas. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 125 Resolvendo: Conforme definição, a reta r esta na forma vetorial, ou seja, ),,(),,(),,( 111 cbamzyxzyx += . Por comparação, o vetor diretor da reta r é )4,3,1( −=u r . A reta s esta na forma paramétrica, ou seja, na forma += += += cmzz bmyy amxx 1 1 1 . Comparando com a reta dada concluímos que )8,6,2( −=vr . Aplicando a condição de paralelismo 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == , verificamos que 8 4 6 3 2 1 = − − = é verdadeiro, simplificando todas as frações obtemos a constante 2 1 . Logo as retas r e s são paralelas. Condição de ortogonalidade ou perpendicularidade Se duas retas r e s são ortogonais, como na figura 4.7, os seus vetores diretores também são ortogonais. Para mostrarmos a ortogonalidade entre duas retas, basta aplicarmos a condição de ortogonalidade entre dois vetores, ou seja, 0=• vu rr . Figura 4.7: Retas ortogonais Exemplo1 Verificar se a reta − = + = 6 3 4 2 3 : zy x r é ortogonal a reta += −= zy x s 32 2 : . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 126 A reta r é apresentada na forma paramétrica e simétrica. Para encontrar o vetor diretor comparamos a parte do 3=x , com a forma paramétrica mxamxx 031 +=⇒+= , logo a componente 0=a . A segunda parte 6 3 4 2 − = + zy , e comparada a c zz b yy 11 − = − , onde identificamos as componentes 4=b e 6=c . Assim, o vetor diretor de r é )6,4,0(=vr . No caso da reta s , a equação está na forma reduzida com variável independente z , então vamos passá-la para a forma simétrica isolando o z , ou seja, 13 2 0 2 zyx = − = + , onde identificamos o vetor diretor de s como )1,3,0(=ur . Pela condição de ortogonalidade de dois vetores 0=• vu rr . Efetuando o produto, temos: 01861201.63.40.0)1,3,0()6,4,0( ≠=++=++=• , logo as retas r e s não são ortogonais. Condição para duas retas sejam coplanares Duas retas no espaço podem estar situadas num mesmo plano ou em planos diferentes. Observe as figuras 4.8(a) e4.8(b): Figura 4.8: Retas de um plano Na figura 4.8.(a), as retas são paralelas, ou seja, são coplanares. Na figura 4.8.(b), as retas são concorrentes, mas como garantir que estão situadas no mesmo plano? Para isso vamos trabalhar com três vetores. Dois vetores já conhecidos, os vetores diretores das retas r e s , e o terceiro obtido a partir de um ponto pertencente a reta r e de outro ponto pertencente a reta s . Se estes três vetores forem coplanares, as retas que os suportam também são coplanares. A verificação é feita através da condição de coplanariedade entre três vetores, ou seja , o produto misto 0)( =ו wvu rrr . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 127 Exemplo1 As retas 5 2 4 3 2 2 : + = − = + zyx r e += −= += mz my mx s 45 43 32 : são coplanares? Como a reta r está na forma simétrica, o vetor diretor está presente no denominador, assim, )5,4,2(=ur . A reta s está na forma paramétrica o vetor diretor é dado pelos coeficientes do parâmetro m , então )4,4,3( −=vr . Precisamos de um terceiro vetor que será formado pelos pontos pertencente a reta r e s . Na reta r o ponto pode ser )2,3,2( −−A e da reta s o ponto )5,3,2(B Se as retas são coplanares, 0)( =ו vuBA rrr . Assim: )7,0,4()25,33,22( =+−+=−= ABBA r , e calculando: 041401440808456064 443 542 704 )( ≠=−=++−−+= − =ו vuBA rr r , logo as retas não são coplanares. 2. Equação geral do plano Vamos partir do modelo representado na figura 4.9: um plano contendo um ponto ),,( 111 zyxA , ortogonal a um vetor kcjbian rrrr ++= , chamado de vetor normal ao plano. Figura 4.9: Plano com vetor ortogonal Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 128 O ponto ),,( zyxB representa qualquer ponto pertencente ao plano, enquanto que A representa um ponto conhecido. Com o ponto A e o ponto B , podemos montar um vetor ortogonal ao vetor nr . Pela condição de ortogonalidade entre dois vetores, o produto escalar entre eles é igual à zero, isto é: 0=• nBA r v . Então: 0 0 0)()()( 0),,(),,( 0)( 111 111 111 111 =−−−++ =−+−+− =−+−+− =•−−− =•− czbyaxczbyax czczbybyaxax zzcyybxxa cbazzyyxx nAB r Como ),,( 111 zyxA é um ponto conhecido podemos isolar e propor que: dczbyax =−−− 111 , e assim: 0=+++ dczbyax , que é a chamada equação geral do plano. Exemplo 1 Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto )4,3,2(−A e tem como vetor normal )5,2,3(−=nr . Resolvendo: Como 0=+++ dczbyax , substituindo o vetor nr na equação temos 0523 =+++− dzyx , para calcularmos o valor de d , basta substituirmos x, y e z pelas coordenadas do ponto A . 04.53.2)2.(3 =+++−− d 2066 −−−=d 32−=d Logo a equação geral do plano é 032523 =−++− zyx Exemplo 2 Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos )2,1,1(−A , )2,3,2(=B e )3,3,0( −C . Conforme figura 4.10.(a) representamos os três pontos. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 129 Figura 4.10: Pontos e vetores no plano Formamos os vetores BA r e CA r , conforme figura 4.10.(b), e com estes determinamos o vetor CABAn rrr ×= . (Produto vetorial resulta num vetor perpendicular) Assim: )0,2,3()22,13,12( =−−+=−= ABBA r e )1,4,1()23,13,10( −=−−−+=−= ACCA r Então o vetor 141 023 − = kji n rrr r . Resolvendo pela regra de Sarrus: kjinjikkjin rrrrrrrrrrr 14323.1.0.4.2.1.3.4.0.1.2.1 −−=⇒−+−−+= , Na equação geral do plano 0=+++ dczbyax , substituímos o vetor nr . Assim 01432 =+−− dzyx e, para acharmos o valor de d escolhemos qualquer um dos três pontos, neste exemplo escolhemos o ponto )2,1,1(−A . Substituindo, 330283202.141.3)1.(2 =⇒=+−−−⇒=+−−− ddd . Logo a equação geral do plano é 0331432 =+−− zyx . Observação: Poderíamos também determinar a equação do plano pela condição de coplanariedade de vetores. Considerando os três pontos conhecidos, A, B e C, representado um quarto ponto genérico ),,( zyxD e formamos três vetores coplanares, por exemplo, AB , AC e AD . Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 130 Como vimos na Unidade 2, para que três vetores sejam coplanares o produto misto destes tem que ser igual a zero, ou seja, o produto misto 0)( =ו CABADA rrr . Vamos verificar esta possibilidade no exemplo2. Exemplo 2 Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos )2,1,1(−A , )2,3,2(=B e )3,3,0( −C . Conforme a condição de coplanariedade 0)( =ו CABADA rrr , o ponto genérico D, é um ponto qualquer pertencente ao plano, que representamos por ),,( zyxD . Assim, )2,1,1( −−+=−= zyxADDA r , )0,2,3()22,13,12( =−−+=−= ABBA r e )1,4,1()23,13,10( −=−−−+=−= ACCA r . Calculando 0 141 023 211 )( = − −−+ =ו zyx CABADA rrr , temos pela regra de Sarrus: 0330422412022 0)1.(3.1)1.(0.4)2(2.1)2.(3.4)1.(0.1)1.(2.1 =+−++−+−++ =−−++−−−−−++ yzzx yxzzyx Logo 0331432 =−−− zyx Observação: a) No exemplo 2, poderíamos também ter escolhido como a origem dos vetores o ponto B ou ponto C. b) A equação do plano então pode ser obtida através do determinante: 0 131313 121212 111 = −−− −−− −−− zzyyxx zzyyxx zzyyxx Representação gráfica de planos Os planos podem facilmente ser representados graficamente. Esta representação pode ser manual, considerando um conjunto de pontos ),,( zyx ou com o auxílio de um software gerador de gráficos tridimensionais. O software Derive, cuja versão “Trial Edition”, válida por 30 dias, pode ser obtida na internet, é um bom exemplo destes. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 131 Exemplo 1 Representar graficamente os seguintes planos, citando o vetor normal ao plano: a) 04 =−x Esta é uma equação incompleta, apenas o x determinado. Seu gráfico é um plano paralelo ao plano coordenado yOz e intercepta apenas o eixo x . Figura 4.12: Gráfico do plano 04 =−x Comparando a equação 04 =−x com a equação 0=+++ dczbyax , temos 1=a , 0=b e 0=c , ou ainda podemos escrever 0400 =−++ zyx . Logo o vetor normal é )0,0,1(=nr . Com o software Derive, podemos ter um representação tal como: Figura 4.13: Gráfico de 04 =−x construído com o software Derive. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 132 b) 042 =−+ yx Nesta equação, incompleta, apenas o x e o y estão relacionados, logo o plano corta apenas o eixo x e o eixo y . Para sabermos onde o plano corta o eixo x fazemos 0=y , 4040.2 =⇒=−+ xx , Para sabermos onde o plano corta o eixo y fazemos 0=x , 20420 =⇒=−+ yy Figura 4.14: Gráfico do plano 042 =−+ yx Para acharmos o vetor normal ao plano temos que comparar 042 =−+ yx com a equação 0=+++ dczbyax , logo 1=a , 2=b e 0=c , ou seja, )0,2,1(=nr . Com o software Derive: Figura 4.13: Gráfico de 042 =−+ yx construído com o software Derive Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 133 c) 06323 =−++ zyx Esta equação apresenta as três variáveis, isto torna evidente que o planocortará os eixos x , y e z . Para sabermos onde o plano corta o eixo x , fazemos 0=y e 0=z , na equação 06323 =−++ zyx : 2060.30.23 =⇒=−++ xx Para sabermos onde o plano corta o eixo y , fazemos 0=x e 0=z , na equação 06323 =−++ zyx 3060.320.3 =⇒=−++ yy Para sabermos onde o plano corta o eixo z , fazemos 0=x e 0=y , na equação 06323 =−++ zyx 20630.20.3 =⇒=−++ zz , Desenhando o gráfico: Figura 4.14: Gráfico do plano 06323 =−++ zyx Para determinarmos o vetor normal ao plano temos que comparar 06323 =−++ zyx com a equação 0=+++ dczbyax , logo 3=a , 2=b e 3=c , )3,2,3(=nr . Figura 4.13: Gráfico de 06323 =−++ zyx construído com o software Derive. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 134 Observação: Neste exemplo podemos definir a equação segmentária do plano. Para isso isolamos o termo independente e dividimos todos os termos por esse número; no primeiro membro ajustamos as frações deixando os números com as variáveis positivas. Assim: 6323 06323 =++ =−++ zyx zyx Dividindo a equação por (6) 1 2 1 3 1 2 1 6 6 6 3 6 2 6 3 =++ =++ zyx zyx Ajustando os numeradores obtemos 1 232 =++ zyx , que é a equação do plano na forma segmentaria. Note que os elementos que estão dividindo as variáveis são exatamente os pontos de intersecção do plano com os eixos coordenados. Se m, n e o são os valores onde o plano intercepta os eixos coordenados, respectivamente, a equação segmentária pode ser expressa como 1=++ o z n y m x . Exercícios 1) Formar as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado AB do triângulo cujos vértices são )0,1,2(−A , )2,3,0( −B e )6,0,0( −C . 2)Verificar se as retas r e s são coplanares. a) += += −= mz my mx r 4 23 3 : e += += −= mz my mx s 31 62 35 : b) 1 6 3 4 2 3 : − − = + = − zyx r e −= −= += mz my mx s 4 5 24 : 3) Represente graficamente as seguintes retas e cite o vetor diretor: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 135 a) −= −= 54 42 : zy zx r b) = = 7 5 : y x s 4) Calcule o ângulo entre as retas r e s , onde r é determinada pelos pontos )1,4,2(−A e )2,0,1(B , e s é determinada pelos pontos )1,4,1(−C e )3,1,0( −D . 5) Determine o valor de k de modo que as retas 2 5 2 2 2 3 : − = + = − − zyx r e 2 4 1 3 : − = − − = zy k x s , sejam ortogonais. 6)Determinar a equação geral do plano: a) que possui o ponto )2,1,1( −A e é perpendicular ao vetor kjiv rrrr 232 +−−= . b) Que passa pelos pontos )1,2,1(−A , )5,4,0(B e )3,1,2( −−C . 7) Determinar a equação segmentária do plano que passa pelos pontos )1,1,2( −A , )2,1,3( −B e )1,2,1(−C . Respostas dos exercícios Exercício 1 Resolução: Observe a figura O ponto M é o ponto médio de AB, então a reta formada pelos pontos M e C é a reta mediana do lado AB. Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 136 ),,( 111 zyxM , onde 1 2 20 2 2 31 1 2 02 1 1 1 −= − = = + = −= +− = z y x , logo ponto )1,2,1( −−M . Para achar o vetor diretor vamos fazer )5,2,1()1,2,1()6,0,0( −−=−−−−=−= MCCM r As equações paramétricas são da forma += += += cmzz bmyy amxx 1 1 1 , então vamos substituir o vetor CM r e um dos pontos M ou C , logo −−= −= += mz my mx 56 20 0 , ou −−= −= = mz my mx 56 2 . As equações simétricas são da forma c zz b yy a xx 111 − = − = − , também substituindo o vetor e o ponto, temos 5 6 21 − + = − = zyx . Exercício 2 a) += += −= mz my mx r 4 23 3 : e += += −= mz my mx s 31 62 35 : Resolução: Vamos trabalhar com os vetores )1,2,1(−=ur , vetor diretor da reta r e o vetor )3,6,3(−=vr . Primeiro vamos verificar se os vetores ur e vr são paralelos, aplicando a condição de paralelismo entre dois vetores: 3 1 6 2 3 1 == − − , logo são paralelos pois existe uma constante de proporcionalidade igual 3 1 . Por serem paralelos os vetores diretores, as retas são paralelas e duas retas paralelas são coplanares. b) 1 6 3 4 2 3 : − − = + = − zyx r e −= −= += mz my mx s 4 5 24 : Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 137 Resolução: Vamos primeiro trabalhar com os vetores diretores de r e s : o vetor diretor de r é )1,3,2( −=ur e de s é )1,1,2( −−=vr , vamos verificar se os dois são paralelos com a proporção: 1 1 1 3 2 2 − − ≠ − ≠ . Não podemos estabelecer uma constante entre eles, logo não são paralelos. Agora então teremos que aplicar a condição de coplanariedade entre três vetores: temos que obter outro vetor, que pode ser obtido através de um ponto da reta r e outro de s , ou seja, )6,4,3( −A e )4,5,4(B . Fazemos )2,9,1()6,4,3()4,5,4( −=−−=−= ABBA r Aplicando a condição de coplanariedade entre três vetores temos: 012181124183 112 132 291 )( ≠=+−++−−= −− − − =ו vuBA rr r , logo os vetores não são paralelos, consequentemente as retas não são paralelas. Exercício 3 a) −= −= 54 42 : zy zx r Para termos o vetor podemos proceder de duas maneiras: A primeira é transformar a equação da reta na forma simétrica isolando o z nas duas expressões z yx = + = + 4 5 2 4 , logo o vetor diretor é )1,4,2(=vr . A outra forma é achar os dois pontos pertencentes a r, dando valores aleatórios para z. Seja 550.4440.20 −=−=⇒−=−=⇒= yxz Logo um fica definido como )50,4( −−A . Seja também 751253.424643.23 =−=−=⇒=−=−=⇒= zxz . Logo o ponto fica definido como sendo )3,7,2(B . Na seqüência fazemos )3,12,6()0,5,4()3,7,2( =−−−=−= ABBA r , que é um múltiplo de vr . Para traçarmos o gráfico utilizaremos os dois pontos: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 138 b) = = 7 5 : y x s Observamos que esta equação esta na forma reduzida com variável independente z , vamos então achar dois pontos pertencentes a reta como por exemplo se 752 =⇒=⇒= yxz , logo o ponto )2,7,5(A , se 750 =⇒=⇒= yxz , logo o ponto )0,7,5(B . Marcando a reta: Exercício 4 Resolução: Para calcularmos o ângulo entre duas retas precisamos trabalhar com seus vetores diretores: O vetor diretor da reta r é obtido fazendo )1,4,3()1,4,2()2,0,1( −=−−=−== ABBAu rr ; o vetor diretor de s é obtido fazendo )4,3,1()1,4,1()3,1,0( −−=−−−=−== CDDCv rr . Aplicando a relação: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 139 0 222 222 97,64 26 11 arccos 26 11 2626 11 cos 261691)4()3(12611691)4(3 11114123)4.(1)3).(4(1.3 cos ≅⇒= === =++=−+−+= =++=+−+= ==−+=−+−−+=• • = αα α α v u vu vu vu r r rr rr rr Exercício 5 Resolução: Devemos trabalhar com os vetores diretores das retas e aplicar a condição de ortogonalidade entre duas retas. Como as retas estão na forma simétrica os seus vetores diretores são respectivamente )2,2,2(−=ur e )2,1,( −= kvr A condição de ortogonalidade é 0=• vu rr . Assim: 2042202.2)1.(220 =⇒=+−−⇒=+−+−⇒=• kkkvu rr Logo o valor de 2=k . Exercício 6 Resolução: a) que possui o ponto )2,1,1( −A e é perpendicular ao vetor kjiv rrrr 232 +−−= . Como vr é perpendicular ao plano, podemos usar o vetor como vetor normal ao plano. Substituindo o vetor na equação geral do plano 0=+++ dczbyax , temos: 0232 =++−− dzyx Falta achar o número d substituindo o ponto A : 5043202.2)1.(31.2 −=⇒=+++−⇒=++−−− ddd Logo a equação geral da reta fica definida como 05232 =−+−− zyx . b) Que passa pelos pontos )1,2,1(−A , )5,4,0(B e )3,1,2( −−C . Resolução: Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial Prof. Mário Selhorst e-mail: mario.selhorst@unisul.br 140 Vamos ter que achar o vetor normal ao plano: CABAn rrr ×= kjijikkji kji CABAn ACCA ABBA rrrrrrrrr rrr rrr r r 92162122344 231 421 )2,3.1()1,2,1()3,1,2( )4,2,1()1,2,1()5,4,0( ++=−+−−+= − =×= −=−−−−=−= =−−=−= Substituindo na equação geral do plano 0=+++ dczbyax obtemos 09216 =+++ dzyx . Para achar o valor de d, substituímos qualquer um dos três pontos, seja o ponto )3,1,2( −−C : 727340272320)3.(9)1.(2)2.(16 =−=⇒=++−−⇒=++−+− ddd . Logo a equação é: 079216 =+++ zyx Exercício 7 Conforme a condição de coplanariedade 0)( =ו CABADA rrr , o ponto genérico D, é um ponto qualquer pertencente ao plano, que representamos por ),,( zyxD . Assim, )1,1,2( +−−=−= zyxADDA r , )3,2,1())1(2,11,23( −=−−−−−=−= ABBA r e )2,1,3())1(1,12,21( −=−−−−−=−= ACCA r . Calculando 0 213 321 112 )( = − − +−− =ו zyx CABADA rrr , temos pela regra de Sarrus: 022636619984 0)1.(1.2)2.(3.1)1)(2).(3()1.(1.1)1.(3).3()2).(2.(2 =+−+−−−+++−+− =−−−−+−−−++−−+−− yxzzyx yxzzyx Logo 0205117 =+−−− zyx Adequando a equação para a forma segmentária, igualamos a 1 e ajustamos os denominadores: 1 4 11 20 7 20 1 4 1 20 11 20 7 )20(:205117 =++ =++ −−=−−− zyx zx zyx
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