Aula 3 - Matrizes II

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1
MATRIZES – II
- Produto de uma matriz por outra
- Comutatividade da multiplicação de duas matrizes
- Matriz inversa – definição
- Menor Complementar
- Cofatores
- Matriz Adjunta
- Cálculo da matriz inversa – métodos I e II
2
MATRIZES – II
- Produto de uma matriz por outra
- Comutatividade da multiplicação de duas matrizes
- Matriz inversa – definição
- Menor Complementar
- Cofatores
- Matriz Adjunta
- Cálculo da matriz inversa – métodos I e II
Prof. Antônio Luís Valente
ALGEBRA LINEAR – ENGENHARIA AGROINDUSTRIAL/FURG – AULA 3
Adaptado de “Álgebra Linear”
Alfredo Steinbruch & Paulo Winterle (2006)
3
1. INTRODUÇÃO
Como matrizes são somadas, somando-se as
entradas correspondentes e subtraídas,
subtraindo-se as entradas correspondentes,
pareceria natural definir a multiplicação de
matrizes multiplicando as entradas
correspondentes.




















232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa
Adição de matrizes
Anton & Rorres, 2008
4
Contudo, ocorre que tal definição não seria
muito útil na maioria dos problemas.
A experiência levou os matemáticos a uma
outra definição muito mais útil de multiplicação
de matrizes…
Anton & Rorres, 2008
5
Durante a primeira fase da COPA DO MUNDO (França,1998), o grupo A era formado
por quatro países: Brasil, Escócia, Marrocos e Noruega.
Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um,
registrados na tabela e a pontuação por cada vitória, empate ou derrota conforme o
regulamento da COPA:
Vitória Empate Derrota
Brasil 2 0 1
Escócia 0 1 2
Marrocos 1 1 1
Noruega 1 2 0
2. APLICAÇÃO
Fonte: Matemática - Contexto & aplicações, Dante (2001)
Resultados obtidos por cada país do Grupo A
Número 
de pontos
Vitória 3
Empate 1
Derrota 0
Pontuação dos resultados
50.02.11.3:Noruega
41.01.11.3:Marrocos
12.01.10.3:Escócia
61.00.12.3:Brasil




A classificação da 1ª. Fase
Total de pontos de cada país












5
4
1
6
Matriz coluna
6
Vitória Empate Derrota
Brasil 2 0 1
Escócia 0 1 2
Marrocos 1 1 1
Noruega 1 2 0
Resultados obtidos por cada país do Grupo A













021
111
210
102
A
Número 
de pontos
Vitória 3
Empate 1
Derrota 0
Pontuação dos resultados











0
1
3
B
Matriz coluna





































5
4
1
6
0
1
3
021
111
210
102
AB
Resultados obtidos 
por cada país
Pontuação
dos resultados
50.02.11.3:Noruega
41.01.11.3:Marrocos
12.01.10.3:Escócia
61.00.12.3:Brasil




Veja esse fato registrado em 
uma tabela e em uma matriz B, 
de ordem 3x1.
7
3. PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA
 5234A













3
5
4
6
B
1º. Elemento de A pelo 1º. Elemento de B – 4x6 = 24
2º. Elemento de A pelo 2º. Elemento de B – 3x4 = 12
3º. Elemento de A pelo 3º. Elemento de B – 2x5 = 10
4º. Elemento de A pelo 4º. Elemento de B – 5x3 = 15
TOTAL 61
“SOMA DOS PRODUTOS”:
 4,1A
 1,4
B
 BA 
 61C
C BA 
Matriz com apenas uma entrada
8
 5234A 












3
5
4
6
B
CONDIÇÃO PARA MULTIPLICAR AS MATRIZES:
Número de colunas de A = número de linhas de B
A ordem da matriz produto C é dada pelo número de linhas de A (=1) e pelo 
número de colunas de B (=1).
(1,1)(4,1) )4,1( CB A
INTERNO - É possível multiplicar!
EXTERNOS - Ordem de C – matriz produto
•2º e 3º números iguais (números internos) indicam que é possível a 
multiplicação
•1º e 4º números (externos) indicam a ordem da matriz produto C.
 61C
9
EXEMPLO 1
 5234A













43
75
24
16
B
•1º elemento de C (C11) é o produto da matriz linha A pela 1
a matriz coluna de B: 
C11=4x6+3x4+2x5+5x3=61
•2º elemento de C (C12) é o produto da matriz linha A pela 2ª matriz coluna de B: 
C12=4x1+3x2+2x7+5x4=44
:triz Bpor uma ma
 matriz Aplicar umaseja multi que se deSuponhamos
),(
),(
24
41
 4461C (1,2)
(1,2)(4,2) )4,1( CB A
INTERNO - É possível multiplicar!
EXTERNOS - Ordem de C – matriz produto
10
EXEMPLO 2
(2,4)(3,4) )3,2( CB A







352
624
A











6721
0132
1425
B
CALCULAR A MATRIZ C:
11











6721
0132
1425
B







352
624
A
EXEMPLO 2 – Solução:
(2,4)(3,4) )3,2( CB A







20342523
40602630
)4,2(C
Multiplicar a 1a linha de A pela 1a, 2a, 3a, e 4a colunas de B, obtém-se a 1a linha de C
Multiplicar a 2a linha de A pela 1a, 2a, 3a, e 4a colunas de B, obtém-se a 2a linha de C
12
EXERCÍCIO 1






















65
23
10
512
235
864
 BA
:A.B matriz a Determinar
)232333 ,(),() ,( C BA 
13






















65
23
10
512
235
864
 BA











3428
2319
6458
C
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 1
14
EXERCÍCIO 2

















7030
2101
1042
082
654
 BA
:A.B matriz a Determinar
)424332 ,(),() ,( C BA 
15






188812
5653413
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 2
16
EXERCÍCIO 3



















3415
7020
0631
1084
082
654
 BA
:A.B matriz a Determinar
17
determinar possivel é não ),() ,( BA 4432



















3415
7020
0631
1084
082
654
 BA
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 3
18
4. APLICAÇÃO
Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora
precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões,
com a seguinte especificação:
MODELO A MODELO B MODELO C
Modelos
Componentes
A B C
EIXOS 2 3 4
RODAS 4 6 8
Fonte: Matemática - Contexto & aplicações, Dante (2001)
19
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica
deverá seguir a tabela a seguir:
Meses
Modelo
Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
Quantos eixos e quantas rodas são necessárias em
cada um dos meses para que a montadora atinja a
produção planejada?
20
Modelos
Componentes
A B C
EIXOS 2 3 4
RODAS 4 6 8
Meses
Modelo
Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15







864
432
A











1520
1825
2030
B
























308430
154215
1520
1825
2030
864
432
AB
215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro
430 rodas para janeiro e 308 para fevereiro
Solução:
308158186204
154154182202
430208256304
215204253302
22
12
21
11




a
a
a
a
Eixos e rodas necessários para cada modelo
Produção totalde cada modelo por mês
eixos
21
5. COMUTATIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO
DE DUAS MATRIZES
3,6)6553 (),() ,( C BA 
 ),() ,( AB 5365
O número de colunas de B (1a. matriz) não coincide com o 
número de linhas de A (2a. matriz).
Em geral, a existência do produto AB não implica a
existência do produto BA.
22
Mesmo quando as multiplicações AB e BA
são possíveis , os dois produtos são, em
geral, diferentes.
)4,44334 (),() ,( C BA 
)3,33443 (),() ,( D AB 
O produto AB=C é uma matriz de ordem (4,4), enquanto o
produto BA=D é uma matriz de ordem (3,3).
23
CALCULAR
Ainda que A e B fossem matrizes quadradas
de ordem n, os produtos AB e BA seriam
também matrizes quadradas de ordem n, e
ainda assim, em geral, difeririam:







43
21
A
:AB e BA







86
75
B
24







43
21
A 






86
75
B



















5339
2317
86
75
43
21
AB Os produtos 
AB e BA são 
diferentes



















4430
3826
43
21
86
75
BA
SOLUÇÃO:
LOGO, A MULTIPLICAÇÃO DE DUAS
MATRIZES NÃO É COMUTATIVA.
25
Existem matrizes tais que 
AB=BA, 
porém esta não é a regra!
VEREMOS DOIS CASOS ESPECIAIS 
NOS QUAIS AB=BA:
26
CASO 1- matriz unidade







75
23
A 






10
01
I



















75
23
10
01
75
23
AI



















75
23
75
23
10
01
IA
AAI 







27
311
A 








117
32
B





















10
01
117
32
27
311
AB





















10
01
27
311
117
32
BA
CASO 2 – matriz inversa
Dadas duas matrizes A e I, de
mesma ordem n, a multiplicação
dessas matrizes é comutativa e a
matriz produto é igual a matriz A.
A matriz B que satisfaz a condição
AB=BA=I diz-se INVERSA DE A e
se representa por A-1 . O produto é
igual a matriz I.
AIA 
IAB 
IBA 
27
Na álgebra dos números reais, um número n é
chamado de inverso de um número m e é indicado
por m -1 se, e somente se, m · n = n · m = 1.
1m
m
1
m
1
m :que tal 
m
1
 número o existe sempre
 ou seja, ção,multiplica à
 relação em invertível é real número Todo
5
3
 pois ,
3
5
 de inverso é 
5
3
 Assim,

 1
15
15
3
5
REVISÃO
28
6. MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma
matriz quadrada B, da mesma ordem, que satisfaça a
condição:
Dizemos que A é inversível e que B é a inversa de A e se
representa B por A-1.
IAB 
IAA 1
Nem toda a matriz tem inversa.
Se uma matriz admite inversa, esta é única.
Uma matriz que não é inversível é chamada de matriz singular, e uma matriz
inversível , de matriz não-singular.
29
Assim, para saber se, dadas 2 matrizes
quadradas A e B, de mesma ordem, uma é
inversa de outra, basta multiplicar uma pela
outra e verificar se o produto é a matriz I.
IAB 
30







21
53
B









31
52
A
Verificar se a matriz B é inversa de A:
EXEMPLO 3
31
IAB 




















10
01
21
53
31
52
Solução - verificar:
Como AB=I, B é inversa de A, ou seja B=A-1.
IAB 
32
EXERCÍCIO 4







45
79
B 








95
74
F
IBF 
Condição a verificar:
Verificar se a matriz F é inversa de B:
33







45
79
B 








95
74
F
IBF 





















10
01
95
74
45
79
BF
Logo a matriz F é inversa de B, isto é: 








95
74
1 FB
Condição a verificar:
I
Portanto, a matriz B é inversível ou matriz não-singular.
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 4
34
zero. de diferente é tedeterminan seu severificar se-deve
 ,inversível ématriz uma sedeterminar Para
Observação:
  1)1).(5(3.2
31
52
det
31
52











 AA
No exercício anterior...
A matriz A é inversível, B é a inversa de A
 SINGULARNÃO é A inversível é AA existe 0,A det Se
 SINGULARé A inversível não é AA existe não 0,A det Se
1-
-1


35
inversa. tem não Amatriz a que Mostrar







10
20
A
.inversível não gular,matriz sin uma é A
10
20
00.21.0Adet 
EXERCÍCIO 5
36
7. DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA 
MÉTODO I
IAA condição a usando :I MÉTODO 1 







dc
ba
A definamos 1
37
IAA condição a usando
:I MÉTODOpelo A de inversamatriz a Determine
1 







411
26
A
EXERCÍCIO 6
38
IAA condição a usando
:I MÉTODOpelo A de inversamatriz a Determine
1 







dc
ba
A definamos 1







411
26
A


















10
01
411
26
dc
ba














10
01
4d11b4c11a
2d6b2c6a











14d11b
04c11a
02d6b
12c6a
3d
2
11
c
1b
2a














3
2
11
1-2
1A





















10
01
3
2
11
1-2
411
26
Verificando....
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 6
39











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
)..( 32233322
3332
2322
11
aaaaaa
aaMC  
)..( 31233321
3331
2321
12
aaaaaa
aaMC  
).. 31223221
3231
2221
13
aaaaaa
aaMC  
8. MENOR COMPLEMENTAR - MC
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma
matriz M, quadrada de ordem n>1 , o determinante MCij , de ordem n-1,
associado à matriz obtida de M, quando suprimimos a linha e a coluna que
passam por aij.











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
ij
a de menor o de chamado ambémt
40
).aa.a(aaa
aaMC 32133312
3332
1312
21  
).aa.a(aaa
aaMC 31313311
3331
3111
22  
).aa.aaaa
aaMC 31123211
3231
1211
23   (











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
41
).aa.a(aaa
aaMC 22132312
2322
1312
31  
).aa.a(aaa
aaMC 21132311
2321
1311
32  
).aa.aaaa
aaMC 21122211
2221
1211
33   (











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Menor complementar de um elemento de uma matriz é o determinante 
dela, eliminando a linha e a coluna que pertencer esse elemento. 
42











221
232
321
A
Determine o menor complementar de cada um dos 
elementos da matriz A.
EXERCÍCIO 7
43











221
232
321
A
22.22.3
22
23
MC11 
21.22.2
21
22
MC12 
11.32.2
21
32
MC13 
22.32.2
22
32
MC21 
11.32.1
21
31
MC22 
01.22.1
21
21
MC23 
53.32.2
23
32
MC31 
42.32.1
22
31
MC32 
12.23.1
32
21
MC33 
Determine o menor complementar de cada um dos 
elementos da matriz A.
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 7
44
ij
ji
ij .MC1)(α












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
).aa.a(a1)(
aa
aa
1)(α 33233322
2
3332
232211
11 

).aa.a(a1)(aa
aa1)(α 312333213
3331
232121
12 

).aa.a(a1)(aa
aa1)(α 312232214
3231
222131
13 

9. COFATORES
Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz nxn o número αij tal que 
ij
j i
M(-1) sinalde afetado menor o é* 

45
).aa.a(a(-1)aa
aa1)(α 321333123
3332
131212
21  

).aa.a(a(-1)aa
aa
31313311
4
3331
3111
22  
22)1(
).aa.aa(-1)aa
aa
31123211
5
3231
1211
23  

(
32)1(











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
46
).aa.a(a(-1)aa
aa
22132312
13
2322
1312
31 


13)1(
).aa.a(a(-1)aa
aa
21132311
5
2321
1311
32  
23)1(
).aa.aa(-1)aa
aa
21122211
6
2221
1211
33  

(
33)1(











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
47
Determine o cofator de cada um dos elementos da 
matriz A.
Escreva a matriz dos cofatores da matriz A.











221
232
321
A
EXERCÍCIO 8
48
  222.23.21
22
23
1)(α 1111 

  22.12.21
21
22
1)(α 2112 

  13.12.21
21
32
1)(α 3113 

  23.22.21
22
32
1)(α 1221 

  13.11.21
21
31
1)(α 2222 

  02.11.21
21
21
1)(α 3223 

  53.32.21
23
32
1)(α 1331 

  43.21.21
22
31
1)(α 2332 

Determine o cofator de cada um dos elementos da 
matriz A.
Escreva a matriz dos cofatores da matriz A. 










221
232
321
A
  12.21.31
32
21
1)(α 3333 















145
012
122
Cof(A)
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 8
49
10. MATRIZ ADJUNTA
Seja A uma matriz nxn (quadrada). Definimos a matriz adjunta de A, denotada 
por Adj(A), como a transposta da matriz dos cofatores de A.











221
232
321
A














145
012
122
Cof(A)
 














101
412
522
Cof(A)Adj(A)
T
Já determinada
no exercício n.8.
50
11. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA
MÉTODO II
A de adjuntamatriz a usando :II MÉTODO
 T(A) Cof
detA
1
A
Adj(A)
detA
1
A
1
1




51











221
232
321
A














101
412
522
Adj(A) 9
21
32
3
21
22
2
22
23
1 
221
232
321
A det
Adj(A)
detA
1
A 1 














101
412
522
9
1
A 1




















9
1
0
9
1
9
42
5
9
2
9
2
9
1
A 1
9
1
9
9
EXERCÍCIO 9
Determine a matriz inversa da matriz A (MÉTODO II):
52











2-12
231-
321
A
Adj(A)
detA
1
A 1 
Determine a matriz inverda da matriz A (MÉTODO II)
EXERCÍCIO 10
53
Determine a matriz inversa da matriz A:











2-12
231-
321
A
25
12
31
3
22
21
2
21
23
1 







2-12
231-
321
A det














555
387
728
cof(A)











537-
5-8-2
5-78-
Adj(A)














537
582
578
25-
1
A 1




















5
1
25
3
25
7
5
1
25
8
25
2
5
1
25
7
25
8
1A
Adj(A)
detA
1
A 1 
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 10
54
EXERCÍCIO 11
Determine a matriz inversa da matriz A (MÉTODO II)





 

03
21
A
Adj(A)
detA
1
A 1 
55
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 11
Determine a matriz inversa da matriz A (MÉTODO II)





 

03
21
A
Determinação da matriz dos co-fatores de A:





 

03
21
A





 

03
21
A
0.01)(.(0)1)( 21111 






 

03
21
A





 

03
21
A
3-.31)(.(3)1)( 2112 

2.(-2)1)(.(-2)1)( 1221 

11.12   .(1)1)( 222







12
3-0
 (A) Cof








13
)]A(Cof[)A(Adj T
20


















 
6
1
2
1
3
1
0
13
11 A
20
6
1
A
Adj(A)
detA
1
A 1 
56







dc
ba
A Seja
12. SIMPLIFICAÇÃO PARA UMA MATRIZ 2X2
Adj(A)
detA
1
A 1 










ac
bd
bcad
1
A 1-
57
EXERCÍCIO 12





 

03
21
A
Calcular a matriz inversa de A:










ac
bd
bcad
1
A 1-
A de inversa a existe062)3(1.0detA
03
21
detA 




















 
6
1
2
1
3
1
0
13
11 A
20
6
1
A
58
EXERCÍCIO 13
Calcular a matriz inversa de A:







65
3
A
4
59
SOLUÇÃO: EXERCÍCIO 13
Calcular a matriz inversa de A:







65
3
A
4
INVERSA EXISTE 03detA
65
3
detA  25.46.
4










ac
bd
bcad
1
A 1-


















2
3
-
2
5
23-
A
35
46
2
1
A 1-1-