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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 11
142. Prove que, para a e b positivos, se tem a+b2 ≥
√
ab, estudando a func¸a˜o f(x) = a+x√
ax
.
143. Mostre que entre os rectaˆngulos com base no eixo dos XX e dois ve´rtices na curva de equac¸a˜o y = e−x2 ,
o que tem a´rea ma´xima tem esses ve´rtices situados nos pontos de inflexa˜o dessa curva.
144. Uma lata cil´ındrica e´ feita para receber um litro de o´leo. Encontre as dimenso˜es que minimizara˜o o
custo do metal para produzir a lata.
145. Sejam g(x) = cos
√
x, x ∈]0,+∞[ e h(x) = cosh√−x, x ∈]−∞, 0[. Seja f a func¸a˜o definida em R por:
f(x) =

g(x), x ∈]0,+∞[
1, x = 0
h(x), x ∈]−∞, 0[
Mostre que f e´ duas vezes deriva´vel e que as suas derivadas verificam a relac¸a˜o:
4xf
′′
(x) + 2f
′
(x) + f(x) = 0.
146. Determine os coeficientes nume´ricos a, b, c, d, sabendo que, num referencial ortonormado do plano
XOY , o gra´fico Γ da func¸a˜o f , real de varia´vel real, definida por
f(x) =
x2 + ax+ b
cx2 + dx− 2
satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(a) Γ tem a recta de equac¸a˜o x = 2 como ass´ıntota;
(b) Γ na˜o tem ass´ıntotas horizontais;
(c) Γ passa no ponto de coordenadas (1,−2) e a sua tangente, neste ponto, tem coeficiente angular
−5.
147. (a) Mostre que a restric¸a˜o da func¸a˜o seno ao intervalo [−pi2 , pi2 ] admite uma func¸a˜o inversa ( designada
por arcsin) que e´ cont´ınua e estritamente crescente de [−1, 1] em [−pi2 , pi2 ].
(b) Mostre que a restric¸a˜o da func¸a˜o cosseno ao intervalo [0, pi] admite uma func¸a˜o inversa ( designada
por arccos) que e´ cont´ınua e estritamente decrescente de [−1, 1] em [0, pi] .
(c) Mostre que a restric¸a˜o da func¸a˜o tangente ao intervalo ]− pi2 , pi2 [ admite uma func¸a˜o inversa definida
em R ( designada por arctan).
(d) Fac¸a o estudo completo das func¸o˜es anteriores.
148. (a) Determine as expresso˜es anal´ıticas das func¸o˜es inversas das func¸o˜es hiperbo´licas.
(b) Determine o domı´nio, os extremos locais, os intervalos de monotonia, as ass´ıntotas e os pontos
de inflexa˜o, discuta a convexidade e esboce o gra´fico das func¸o˜es
(a) g(x) = argsinh(x); (b) g(x) = argcosh(x) ; (c) g(x) = argtanh(x).
1
149. Fac¸a o estudo completo das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 2; (b) f(x) = x4 − 8x2 + 16;
(c) f(x) = 1
x2+1
; (d) f(x) = 4(x−1)
x2
;
(e) f(x) =
√|x|; (f) f(x) = √4− x2;
(g) f(x) = x
2−2x+2
x−1 ; (h) f(x) =

e− 1x+1 se − 1 < x < 0,
0 se x = 0,
1−x
ex se x > 0;
(i) f(x) =
{
2− 14 log x se x > 1,√
5− x se x ≤ 1; (j) f(x) =
4x
x2+9
.
150. Deˆ exemplos de func¸o˜es polinomiais de grau 4 com dois pontos de inflexa˜o ou sem pontos de inflexa˜o.
Sera´ poss´ıvel encontrar alguma com exactamente um ponto de inflexa˜o?
151. Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar:
(a) dydx se 5y
2 + sin y = x2;
(b) dydx se (y
2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2;
(c) d
2y
dx2
se x4 + 4x2y2 = 0 ;
(d) dydx se y = x
r, com r nu´mero racional;
(e) o coeficiente angular das rectas tangentes a` curva y2 − x+ 1 = 0 nos pontos (2,−1) e (2, 1).
152. Use as diferenciac¸o˜es impl´ıcita e logar´ıtmica para provar que ddx(x
α) = αxα−1 para qualquer nu´mero
real α.
153. A equac¸a˜o y
2
b2
− x2
a2
= 1 representa uma hipe´rbole. Use derivac¸a˜o impl´ıcita para provar que y′′ = b
4
a2y3
e discuta a sua concavidade.
154. Use derivac¸a˜o para mostrar que:
(a) arcsin x√
1+x2
= arctanx, para todo o x ∈ R;
(b) arctan x√
1−x2 = arcsinx, para todo o x ∈ ]− 1, 1[.
155. Desafio 5: Prove a Regra de L
′
Hoˆpital-Cauchy:
1. Sejam f, g : [a, b] → R cont´ınuas em [a, b] e deriva´veis em ]a, b[\{c}, com c ∈]a, b[. Se g′ na˜o se
anula em ]a, b[\{c}, se lim
x→c f(x) = limx→c g(x) = 0 e se existe limx→c
f
′
(x)
g′ (x)
enta˜o
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f
′
(x)
g′(x)
.
2. Sejam f, g :]a, b[\{c} → R deriva´veis em ]a, b[\{c}, com c ∈]a, b[. Se g′ na˜o se anula em ]a, b[\{c},
se lim
x→c f(x) = limx→c g(x) =∞ e se existe limx→c
f
′
(x)
g′ (x)
enta˜o
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f
′
(x)
g′(x)
.
3. Se f, g : I → R sa˜o deriva´veis no intervalo I ilimitado superiormente, se g′ na˜o se anula em I, se
lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞ g(x) = 0 (ou +∞) e se existe limx→+∞
f
′
(x)
g′ (x)
enta˜o
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= lim
x→+∞
f
′
(x)
g′(x)
.
(Analogamente para I ilimitado inferiormente)
2