Estatistica Aplicada - vol 2

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ESTATISTICA 
APLICADA 
Volume 2 
Elizabeth Reis 
Paulo Melo 
Rosa Andrade 
Teresa Calapez 
4ª EDIÇÃO - REVISTA 
~--, 
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É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer 
forma ou meio, nomeadamente fotocópia, esta obra. As transgressões 
serão passiveis das penalizações previstas na legislação em vigor. 
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Editor: Manuel Robalo 
FICHA TÉCNICA: 
Título: Estatística Aplicada - Volume 2 
Autores: Elizabeth Reis, Paulo Melo, Rosa Andrade, Teresa Calapez 
© Edições Silabo, Lda. 
4ª Edição - Revista - 3ª Reimpressão 
Lisboa, 2008. 
Impressão e acabamentos: Europress, Lda. 
Depósito Legal: 170314/01 
ISBN: 978-972-618-256-6 
EDIÇÕES SÍLABO, LDA. 
R. Cidade de Manchester, 2 
1170-100 LISBOA 
Telf.: 218130345 
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e-mail: silabo@silabo.pt 
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Índice 
.... ---··-------------- ------------· 
NOTA INTRODUTÓRIA À SEGUNDA EDIÇÃO 
PREFÁCIO ................... . 
Capítulo V - O processo de amostragem 
. 11 
13 
1. INTRODUÇÃO .......... . . ........ 17 
2. ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES NA TEORIA 
DA AMOSTRAGEM ................. . . 19 
3. QUESTÕES PRÉVIAS AO PROCESSO DE AMOSTRAGEM . 22 
4. AS FASES DO PROCESSO DE AMOSTRAGEM . . . . . . . 23 
4.1. A identificação da população alvo I população inquirida 
4.2. Os métodos de selecção da amostra . 
4.2.1. Métodos de amostragem aleatória . 
4.2.1.1. Amostragem aleatória simples 
4.2.1.2. Amostragem casual sistemática . 
4.2.1.3. Amostragem estratificada 
4.2.1.4. Amostragem por clusters 
4.2. 1.5. Amostragem multi-etapas 
4.2.1.6. Amostragem multi-fásica . 
4.2.2. Métodos de amostragem dirigida 
4.2.2.1. Amostragem por conveniência 
4.2.2.2. Amostragem intencional 
4.2.2.3. Amostragem snowball . 
4.2.2.4. Amostragem sequencial 
4.2.2.5. Amostragem por quotas 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..... 
Capítulo VI - Distribuições amostrais 
1. INTRODUÇÃO ........ . 
1 .1. Amostra aleatória-.-.-.--.- . 
1.2. Parâmetros e estatísticas . 
. 24 
. 26 
. 27 
. 28 
. 31 
. 32 
. 35 
. 36 
. 37 
. 39 
. 39 
. 40 
. 41 
. 41 
. 42 
. 45 
.. .. 49 
. -:·-.--:-so- ~ 
.... 53 
1.3. Lei dos grandes números ...... . 
1.4. Teorema do limite central ...... . 
2. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS TEÓRICAS 
2.1. Distribuição normal .. 
2.2. Outras distribuições . 
2.2.1. Distribuição do Qui-quadrado 
2.2.1.1. Principais características da distribuição do X2 . 
2.2.1.2. Alguns teoremas .... . 
2.2.2. Distribuição t de Student .. . 
2.2.2.1. Principais características 
da distribuição t de Student 
2.2.2.2. Alguns teoremas ..... . 
2.2.3. Distribuição F de Snedecor .. 
2.2.3.1. Principais características da distribuição F 
2.2.3.2. Alguns teoremas ............ . 
3. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS ESTATÍSTICAS 
. 55 
. 57 
. 59 
. 59 
. 62 
. 62 
. 63 
. 63 
. 64 
. 65 
. 65 
. 66 
. 67 
. 67 
MAIS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . 69 
3.1. Populações Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
3.1.1. Distribuição de uma proporção amostral . . . 71 
3.1.2. Distribuição da diferença entre duas proporções amostrais . 73 
3.2. Populações normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
3.2.1. Distribuição da média amostral (X) quando a variância ri 
é conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 
3.2.2. Distribuição da variância amostral (S 2) ............ 75 
3.2.3. Distribuição da média amostral (X) quando a variância cr2-
não é conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
3.2.4. Distribuição do quociente 
de variâncias amostrais ( S '~ / S '~) . . . . . . . . . . . . . . 77 
3.2.5. Distribuição da diferença 
entre médias amostrais (X1 - X2) . 78 
3.3. Distribuições amostrais dos extremos . . 80 
3.3.1. Distribuição do máximo da amostra . . 80 
3.3.2. Distribuição do mínimo da amostra . 81 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . 83 
Capítulo VII - Estimação de parâmetros 
1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . 
2. ESTIMAÇÃO PONTUAL- .. - ~ .- . 
2.1. Estimadores e estimativas .. 
2.2. Propriedades dos estimadores 
2.3. Métodos de estimação pontual . 
2.3.1. O método da máxima verosimilhança . 
3. ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .. 
Capítulo VIII - Ensaio de hipóteses 
1. A NECESSIDADE DOS ENSAIOS DE HIPÓTESES 
2. HIPÓTESES E ERROS ........... . 
3. COMO FAZER UM ENSAIO DE HIPÓTESES . 
4. ERROS NOS ENSAIOS DE HIPÓTESES . 
4.1. Análise de erros . 
4.1 .1. O erro tipo / . . . . . . 
4.1.2. O erro tipo li . . . . . . 
4.1.3. Minimização dos erros . 
4.2. Função potência do ensaio ..... 
5. ESCOLHA DA ESTATÍSTICA ADEQUADA AO ENSAIO 
5.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.2. Ensaios de hipóteses com uma amostra .. 
5.2.1. Ensaio para a média µ do universo ... 
5.2.1.1 . A população é normal e a variância 
do universo é conhecida . . . . . . . 
5.2.1.2. A população é normal e a variância 
do universo é desconhecida . 
5.2.1.3. A população é desconhecida 
5.2.2. Ensaio para a proporção ... . 
5.2.3. Ensaio para a variância .... . 
........ 89 
. 90 
. 90 
. 91 
103 
103 
111 
123 
131 
133 
135 
143 
145 
146 
149 
153 
159 
165 
165 
166 
166 
166 
166 
170 
171 
172 
5.3. Ensaios de hipóteses com duas amostras . . ........ 174 
------s:3:1~-Ensaio-para-a-·diferença-de-mêdias--.. -.- -:-·:---:--:-:--:-.--. -. -. 174 
5.3.1. 1. Populações normais e variâncias conhecidas 
5.3.1.2. Qualquer população, variâncias desconhecidas, 
mas amostras grandes . . . . . . . . . . 
5.3.1.3. Amostras pequenas, populações normais 
e variâncias desconhecidas mas iguais . 
5.3. 1.4. Amostras emparelhadas ......... . 
5.3.2. Ensaio para a diferença de proporções ... . 
5.3.3. Ensaio para comparação de duas variâncias . 
5.4. Ensaio de hipóteses para mais de duas amostras 
5.4. 1. Ensaio para a diferença de k médias -
- análise de variância simples . . . . . . 
5.4.2. Testes de comparação múltipla ..... . 
5.4.3. Ensaios para a diferença de k variâncias 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............ . 
Capítulo IX - Testes não-paramétricos 
1. INTRODUÇÃO ....... . 
175 
175 
178 
180 
184 
187 
191 
192 
198 
205 
208 
217 
2. TESTES DE AJUSTAMENTO 221 
2. 1. Teste de ajustamento do qui-quadrado 223 
2.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov . 232 
3. TABELAS DE CONTINGÊNCIA . . 238 
3. 1. Teste do Qui-quadrado de Independência 238 
3.2. Medidas de Associação . . . . . . . . . 245 
4. TESTES À IGUALDADE DE DUAS OU MAIS DISTRIBUIÇÕES 248 
4.1. Testes à igualdade de distribuições 
em duas amostras independentes . . . . . . . . . . . . 250 
4.1.1. Teste de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . 250 
4. 1.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras 259 
4.2. Teste à igualdade de distribuições em mais de duas 
amostras independentes - o teste de Kruskall-Wallis . 263 
5. COMPARAÇÕES ENTRE DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS 271 
5. 1. Teste de McNemar ou de mudança de opiniâo . 272 
5.2. Teste do sinal . . 277 
5.3. Teste de Wilcoxon . 280 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS . ' 286 
Apêndice - Tabelas de distribuição 
Distribuição do qui-quadrado . 
DistribuiÇãOde-fde Sfoâeri\ ·· 
Distribuição F de Snedcor . 
Valores críticos da distribuição do studentized 
range para comparações múltiplas .... 
291 
292 
293 
295 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra 299 
Quantis da estatística de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . 300 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov 
para duas amostras de igual dimensão . . . . . . . . . . . . . 304 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov 
para amostras de dimensões diferentes. 305 
Quantis da estatística de Kruskal-Wallis para pequenas amostras 307 
BIBLIOGRAFIA .......................... . 309 
Nota à segunda edição 
Esta nova edição de Estatística ApÍicada, para além de constituir uma nova 
versão revista e actualizada, apresenta-se agora dividida em dois volumes, 
para, tanto quanto possível, responder às solicitações de muitos dos nossos 
leitores, docentes e alunos, cujos programas de Estatística assim se encontram 
estruturados. 
O primeiro volume, para além do capítulo introdutório, inclui um segundo 
capítulo sobre Teoria das Probabilidades, um terceiro sobre Variáveis Aleató-
rias, sendo o quarto e último sobre as Distribuições Teóricas mais Importantes. 
Os restantes cinco capítulos da primeira edição fazem agora parte do 
segundo volume. Embora maioritariamente dedicado aos métodos de Inferên-
cia Estatística (capítulos VII, VIII e IX, Estimação de Parâmetros, Ensaios de 
Hipóteses e Testes não-Paramétricos), depois de uma breve introdução aos 
Processos de Amostragem (quinto capítulo), é também feita a apresentação 
das Distribuições Amostrais (capítulo VI). 
Acreditamos que esta solução dará também resposta às preferências de 
muitos outros leitores que, pelo carinho e interesse com que acompanharam 
a primeira edição, pelas sugestões e indicações de gralhas e erros, decidida-
mente contribuíram para a produção desta nova edição. A todos, os nossos 
agradecimentos. 
Conscientes de que é possível fazer melhor, esperamos que esta nova 
edição vos desperte tanta atenção como a anterior, deixando aqui a promessa 
de nos mantermos empenhados no seu aperfeiçoamento. 
Os autores 
Lisboa, Setembro de 1997 
Prefácio 
Este livro de Estatística Aplicada destina-se a profissionais licenciados ou 
não e a estudantes universitários que, na vida prática ou no processo de 
aprendizagem, têm necessidade de saber Estatística e de a aplicar aos pro-
blemas mais variados do dia-a-dia. Como objectivos finais, este livro pretende 
tornar compreensíveis a linguagem e notação estatísticas, bem como exempli-
ficar as suas potenciais utilizações, sem descurar os pressupostos subjacentes 
e o rigor teórico necessário. 
Deverá referir-se que a escolha do título não foi pacífica. De entre os vários 
alternativos - Probabilidades e Estatística, Inferência Estatística, etc. - a 
preferência por Estatística Aplicada justifica-se pela abordagem diferenciada 
de outras obras já publicadas sobre Inferência Estatística, e que resumidamen-
te pode ser assim descrita: mais do que «ensinar», pretende-se com este livro, 
a) despertar e estimular o interesse dos leitores pelo método estatístico de 
resolução dos problemas; b) utilizando uma linguagem simples e acessível, 
apresentar os conceitos e métodos de análise estatística de modo mais intuitivo 
e informal; c) acompanhar a apetência teórica com exemplos apropriados a 
cada situação. 
O livro encontra-se dividido em nove capítulos. No capítulo 1 {Introdução) 
são explicitadas várias razões para que um profissional, técnico, estudante ou 
mero cidadão adquira um nível mínimo de conhecimentos em Estatística. 
A Teoria das Probabilidades é objecto de estudo do capitulo li. Nele são 
apresentados os diferentes conceitos de probabilidade e a sua axiomática, 
dando especial relevo aos teoremas da probabilidade total e de Bayes. 
Os terceiro e quarto capítulos, tal como o segundo, são essenciais para a 
compreensão dos seguintes, relativos à Inferência Estatística. O capítulo Ili 
respeita às Variáveis Aleatórias, sua definição, características e propriedades. 
No quarto capítulo estudam-se em pormenor as distribuições de algumas 
variáveis aleatórias de importância maior nas áreas de aplicação das ciências 
sócio-económicas como sejam as distribuições de Bernoulli, binomial, Poisson, 
binomial negativa, hipergeométrica, multinomial, uniforme e normal. 
O capítulo V é dedicado ao estudo dos processos de amostragem, incluindo 
os diferentes métodos de recolha de uma amostra, enquanto que no capítulo 
VI s~ ªfir~serita111_A~ distribuiçQ§!J>_ªmostrai_$._JDais_importantes. _____ --
----
Os três últimos capítulos são dedicados à Inferência Estatística propriamen-
te dita. No capitulo VII apresentam-se métodos de estimação de parãmetros, 
com ênfase especial para o método de máxima verosimilhança. Inclui-se ainda 
a estimação por intervalos. Os capítulos VI 11 e IX destinam-se à apresentação, 
respectivamente, dos ensaios de hipóteses paramétricos e não-paramétricos. 
Com excepção do primeiro, todos os restantes capítulos são finalizados com 
um conjunto de exercícios não resolvidos, acompanhados geralmente das 
respectivas soluções. 
No Apêndice estão incluídas as Tabelas (das distribuições) necessárias à 
compreensão do texto e à resolução dos exemplos e dos exercícios propostos. 
Este livro é o resultado de alguns anos de experiência docente dos seus 
autores na equipa de Estatística do ISCTE e da tentativa de responder às 
necessidades sentidas por muitos - alunos e docentes de variadas licencia-
turas, docentes do ensino secundário, profissionais e técnicos de diferentes 
áreas cientificas (gestão, economia, sociologia, psicologia, medicina, enferma-
gem, engenharia, informática, etc.) - que, no decorrer destes anos, e na falta 
de uma obra que os ajudasse a encontrar as soluções estatísticas apropriadas 
aos seus problemas, procuraram ajuda junto dos autores. 
Sem dúvida que a responsabilidade desta obra é assumida pelos seus 
autores, mas a sua concretização só se tornou possivel com a ajuda, apoio e 
disponibilidade de muitos. Por isso, não deixando de agradecer a todos os que, 
directa ou indirectamente, contribuíram para a sua realização, gostaríamos de, 
nominalmente, dar uma palavra especial de agradecimento aos seguintes 
docentes de Estatística do ISCTE: Ana Cristina Ferreira, Ana Paula Marques, 
António Robalo, Fátima Ferrão, Fátima Salgueiro, Graça Trindade, Helena 
Carvalho, Helena Pestana, João Figueira, J.C. Castro Pinto, J.J. Dias Curto, 
Margarida Perestrelo e Paula Vicente. 
Finalmente, uma palavra de apreço a todos ::s alunos, quer das licenciatu-
ras do ISCTE, quer dos mestrados do INDEG/ISCTE, cujas sugestões, dúvidas 
e problemas certamente contribuíram para enriquecer este livro. 
Os autores 
'I 
.1 
Capítulo V 
O processo 
de amostragem 
Introdução 
A amostragem e em particular os processos de amostragem aplicam-se em 
variadíssimas áreas do conhecimento e constituem, muitas vezes, a única 
forma de obter informações sobre uma determinada realidade que importa 
conhecer. 
A teoria da amostragem é assim um dos instrumentos que possibilita esse 
conhecimento científico da realidade (sempre complexa), onde outros proces-
sos ou métodos alternativos, por razões diversas, não se mostram adequados 
ou até mesmo possíveis. 
Ainda que as pessoas não vejam esta temática, em particular os princípios 
da teoria da amostragem, como algo banalizado, a verdade é que eles supor-
tam (ou deviam suportar) muitas das mensagens que no seu quotidiano lhes 
são transmitidas nas mais variadas situações. Se não vejamos: 
«Neste último mês foi-me pedido para colaborar em dois inquéritos de rua e 
até num pelo telefone)>. 
«A telenovela e os programas desportivos continuam a ter as maiores audiên-
cias em todo o país>>. 
><Os valores Amizade e Liberdade alteraram-se substancialmente na última 
décadan. 
«O líder do partido A tem visto nos últimos meses aumentar o seu prestígio 
em detrimento dos lideres dos partidos B e e ... 
«A opinião dos consumidores sobre o nosso produto é bastante desfavorável, 
dadas as razões da sua preferência quanto às diferentes características dos que 
existem no mercado>>, 
«Nunca tinha pensado que as razões principais do divórcio tossem as que 
esse artigo refere>>. 
-- -----~-----··-··-- ----------- ----17 
EST ATÍSTJCA APLICADA 
18 
«o lote entregue pelo nosso fornecedor não satisfaz a qualidade a que se 
comprometeu, pelo que não deverá ser aceite>>. 
«Os nossos concorrentes têm como pontos fortes o cumprimento dos prazos 
de entrega e as condições de pagamento>>. 
<<O índice de preços no consumidor tem baixado substancialmente nos últimos 
anos». 
ccOe acordo com 0 interesse manifestado pelos utentes, a Carris vai proceder 
à reestruturação de algumas carreiras em várias zonas da cidade». 
cc o baixo clima social existente na empresa poderá ser bastante diminuído por 
uma comunicação mais cuidada, em particular no que respeita aos quadros 
superiores e intermédios)). 
<<Quando a estenose aórtica se manifesta por angina de peito, a média de 
sobrevida não ultrapassa os 5 anos». 
uma boa parte das mensagens atrás descritas aparecem como conclusões 
sobre determinada realidade em que se aplicou a Inferência Indutiva _:_ isfo é 
_ a partir dos resultados de experiências ou inquéritos que fornecem dados 
estatísticos sobre determinada investigação, formulam-se conclusões que ul-
trapassam 0 âmbito das experiências ou inquéritos efectuados. Ou seja, faz-se 
a extensão do particular para o geral. 
Mas, então, põe-se a questão: serão válidas as conclusões a que se chega? 
A Estatística Indutiva fornece as técnicas que permitem realizar as inferên-
cias indutivas e controlar e até medir o grau de incerteza que aquelas 
conclusões possam conter. 
---·-------·--
Alguns co.n_~f!it<?_~ __ _ 
importantes na teoria 
da amostragem 
O problema da Inferência Indutiva é, do ponto de vista da Estatística, 
encarado da seguinte forma: a finalidade da investigação é descobrir algo sobre 
determinada população ou universo. 
Importa assim que se definam alguns conceitos fundamentais na teoria da 
amostragem: 
• População ou universo 
Conjunto de unidades com características comuns. 
O conjunto dos utentes da Carris, das famílias moradoras em certos bairros, 
dos alunos do ISCTE, das peças produzidas por uma máquina em determinado 
período, dos resultados obtidos no lançamento de um dado, são exemplos de 
populações ou universos. 
Refira-se que os exemplos atrás mencionados referem-se a populações 
reais, com excepção para o conjunto de resultados obtidos com o lançamento 
de um dado em que tal universo ou população se diz hipotética. 
A unidade básica de uma população denomina-se elemento da população. 
•Amostra 
Sub-conjunto do universo ou população. 
A obtenção de informação sobre parte de uma população denomina-se 
amostragem. 
Em geral, o investigador está interessado em certa(s) característica(s) es-
pecífica(s) da população em estudo. Define-se então uma certa variável X que 
representará a característica que se pretende avaliar. 
A variável X poderá designar o número de filhos, o rendimento disponível 
ou o atributo de ser trabalhador por conta de outrém (X= 1) ou trabalhador por_ __ _ 
---conta: própria (x; 6) das famíliasinoradoras em cario bairro (população). 
19 
ESTATÍSTICAAPUCADA 
20 
A característica X poderá ser uma variável discreta ou contínua, mas, 
desde que o elemento tenha sido escolhido ao acaso da população, é uma 
variável a!eatória com uma certa distribuição de probabilidade. 
Embora a variável aleatória X designe uma característica de uma popula-
ção, é frequente utilizar no âmbito da teoria da amostragem a designação X 
para a própria população. 
No estudo das variáveis aleatórias e distribuições, parte-se sempre de 
determinado modelo probabilístico e a partir dele calculam-se probabilidades 
de çertos resultados e observações. 
Na Inferência Estatística, o processo é, como alguns autores afirmam, o 
inverso - isto é, parte. se de certos resultados ou observações fornecidas para 
uma amostra e procura-se chegar a um modelo probabilístico. 
Suponha-se que a população em estudo é constituída por 1 O mil familias 
residentes em determinada região. 
Aquelas familias utilizam diferentes marcas de óleo alimentar que se encon-
tram à disposição no mercado. 
A característica em estudo é o atributo utilizar o óleo A (X= 1) ou não utilizar 
o óleo A (X = 0). 
Seja p a proporção das familias que utilizam o óleo A. 
Escolhem-se ao acaso 100 familias e pretende-se determinar a probabilidade 
de, no conjunto das 100 familias, encontrar 30 que utilizem o óleo A (e as 
restantes 70 utilizarem um outro óleo). 
Convém aqui distinguir duas situações: 
•Situação 1 
A proporção das familias que utilizam o óleo A é conhecida, isto é, o p é 
conhecido, supondo-se igual a 0,4. 
Então, para determinar aquela probabilidade, bastaria aplicar o modelo proba-
bilístico adequado. 
Trata-se de uma distribuição hipergeométrica (ou binomial sem reposição), 
desde que as 100 familias tenham sido seleccionadas sem reposição - o que 
aliás é a situação que realisticamente tem mais sentido - já que se pressupõe 
que uma mesma família não pode ser seleccionada mais que uma vez. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Se por exemplo p = 0,4, isto é, se das 10000 familias, 4000 utilizam o óleo A, 
então a probabilidade pedida será dada por 1: 
•Situação 2 
A proporção das familias que utilizam o óleo A é desconhecida, isto é, p é 
desconhecido. 
Esta é a situação que, na prática, sucede na maioria das vezes e o objectivo 
é diferente do da situação anterior. 
Ao serem seleccionadas as 100 famílias, o objectivo consiste em tirar conclu-
sões sobre a verdadeira percentagem das familias que utilizam o óleo A, no total 
das 10000 familias. Ou seja, a partir dos resultados de uma amostra, pretende-se 
concluir para o universo ou população que neste caso é constituído pelas 10000 
familias residentes em determinada região. 
É óbvio que as conclusões a que se chega-conterão,- em maior ou menor grau, 
uma certa dose de incerteza - que, no entanto, respeitadas certas condições, 
pode ser medida e controlada. 
Não se pode dizer que tais conclusões são verdadeiras ou falsas, a não ser 
que fossem inquiridas as 10000 familias e depois se verificasse qual a proporção 
das que utilizam o óleo A. 
Na situação 2 está-se no âmbito da inferência indutiva onde se pretende -
utilizando toda a informação disponível a partir da amostra (do particular) -
concluir para o universo ou população em estudo (o geral). 
Ora, a observação de toda a população (as 10000 familias) teria um preço 
demasiado elevado para se obter uma resposta sem qualquer grau de incerteza. 
Quando a população é conceptualmente infinita, a sua enumeração torna-se 
até impossível. 
Noutros casos, o processo de amostragem é destrutivo - a numeração 
completa do Universo é possível, mas teria custos demasiado elevados2. 
• 
1 
Aquela probabilidade poderá ser dada de forma aproximada por c~ggoJ 0,430 0,67º dado 
~ue P se mantém quase fixo de prova para prova (de tiragem em tiragem), o que corresponderá 
~-aplicação da distribuição binomial. Poder-se-ia ainda fazer a aproximação à distribuição normal 
Ja que n é suficientemente grande e p tem um valor intermédio. 
---~-~-g~en~ralidadedOS-t8Stes de con.:.tr_o_lo-de_q_u-al-id-a-de_d_o_s_p.:.ro_d_u_to_s_ou--m-a-te-n-.a-is-q-ua_n_to-à 
res1stenc1a, durabilidade, etc., são exemplos disto. 
21 
li Questões prévias 
ao processo de amostragem 
22 
Uma definição clara dos objectivos do estudo a efectuar é fundamental e 
deve ser feita numa fase anterior ao início daquilo a que chamamos o processo 
de amostragem. 
Definidos os objectivos, nomeadamente as características da População 
que se pretende estudar, há que efectuar um levantamento e sistematização 
da informação disponível que no caso se torna relevante. 
A formulação e resposta àquelas questões prévias é por demais importante 
já que pode sugerir um quadro geral de alternativas cuja escolha acaba por 
condicionar alguma ou algumasfases de qualquer processo de amostragem. 
Exemplifique-se: 
i) Se a informação disponível sobre as variáveis (ou características) em 
estudo for bastante escassa, as alternativas que se põem na escolha da 
População, do método de amostragem e na dimensão da amostra serão 
em mais reduzido número. 
ii) Se a informação estatística obtida permitir concluir da existência de uma 
grande variabilidade na(s) característica(s) em estudo, dever-se-á utilizar 
uma amostra de maior dimensão. 
As fases _cl_º_!!_roct!_ssº--_~--~-11-­
de amostragem 
Depois de se identificar os dados que deverão ser recolhidos e o instru-
mento (questionário estruturado, por exemplo) a utilizar para essa recolha, 0 
passo seguinte consiste em definir um processo de amostragem adequado ao 
tipo de dados e ao instrumento de análise. 
No processo de recolha de dados é necessário desenvolver um processo 
sistemático que assegure a fiabilidade e comparabilidade dess_es dados. Mais 
especificamente, é necessário que se estabeleça à partida um plano de amos-
tragem de acordo com a população alvo, com a definição da população a 
inquirir e com um processo adequado de administração do inquérito. 
O plano de amostragem deverá começar por determinar qual o nível de 
extensão geográfica em que o processo de amostragem deverá ser conduzido 
(mundial, nacional, regional, urbano, rural, grupo de indivíduos, etc.). 
A construção da amostra propriamente dita envolve várias etapas igualmen-
te importantes e que são: 
1. A identificação da população alvo/população inquirida. 
2. O método de selecção da amostra. 
3. A dimensão da amostra. 
23 
ESTATiSTICAAPLICADA 
4. 1. A identificação da população 
alvo/ população inquirida 
24 
A identificação da população de uma forma clara e objectiva é imprescin-
dível, embora possa parecer demasiado óbvia em muitas circunstâncias. 
Designa-se por população alvo a totalidade dos elementos sobre os quais 
se deseja obter determinado tipo de informações. 
Suponha que o proprietário de um edíficio onde irá funcionar um centro 
comercial pretende avaliar qual o impacte nos utilizadores do centro da existência 
de uma livraria. 
Qual a população alvo? 
Na verdade a população alvo é constituída por todos os potenciais utilizadores 
do centro. 
No entanto, neste caso particular, esta definição não é operacional, já que a 
informação disponível não permite distinguir os potenciais utilizadores dos poten-
ciais não utilizadores do centro (numa fase anterior à conclusão do edíficio). 
Assim, várias alternativas na escolha da chamada população inquirida (aquela 
que será objecto de análise) se poderão pôr: 
a) Todos os residentes na cidade onde se situa o centro. 
b) Apenas aqueles de uma área circundante de raio inferior a 3 Km. 
e) Os moradores do bairro/freguesia onde se situa o centro. 
A escolha da alternativa - ou seja, qual a população inquirida - torna-se 
uma questão chave pois é a partir dela que se retirará a amostra. 
• 
Um estudo sobre as intenções de voto terá como população alvo todos 
aqueles que estão em idade e em condições de votar. No entanto, a população 
inquirida poderá incluir apenas aqueles que votaram nas últimas ele_iÇÕf:!S., 
• 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Num estudo efectuado sobre.o.grau-de-satisfação.dos clientes-utilizadores-de 
embalagens de cartão canelado relativamente aos vários fornecedores existentes 
no mercado, é possível, pelo menos de uma forma aproximada, conhecer a 
população alvo através das Estatísticas Industriais do INE (repartida até pelos 
var~os sectores de actividade), podendo haver assim coincidência entre a popu-
laçao alvo e a população inquirida naquele estudo. 
• 
Refira-se ainda que nos casos em que não há coincidências entre a popu-
lação alvo e a população inquirida, as inferências indutivas dizem respeito à 
população inquirida e que se torna abusivo inferir para a população alvo. 
Resumindo, a população alvo é constituída por todos os elementos sobre 
os quais se deseja obter um determinado conjunto de informações. No entanto, 
em muitas situações, não é operacional inquirir uma amostra retirada da 
população alvo, havendo necessidade de definir qual é a população a inquirir, 
não coincidente com a população alvo, e a partir da qual se retirará a amostra. 
Em seguida, os respondentes serão seleccionados de entre a população a 
inquirir, de acordo com a unidade de análise. Por exemplo, num inquérito sobre 
o consumo das famílias em produtos alimentares, a unidade de análise é a 
família e o respondente poderá ser o elemento feminino do casal. Por último, 
é necessário definir qual o processo de amostragem e o tamanho da amostra 
mais adequados. 
Estes passos estão apresentados na figura seguinte. 
ESTATfSTICAAPLICADA 
Desenvolvimento de um plano amostral 
População alvo 
Processo amostral 
Dimensão da amostra 
População 
a inquirir 
Amostra final 
Método de recolha 
de dados 
4.2. Os métodos de selecção da amostra 
26 
Qual o método que se deve adoptar quando se pretende seleccionar uma 
amostra? 
Existem dois grandes grupos de métodos para seleccionar amostras: os 
métodos probabilísticos, também chamados de amostragem casual e os mé-
todos não probabilísticos ou de amostragem dirigida. 
Será sobretudo analisado o primeiro daqueles grupos, pois a amostragem 
casual tem diversas vantagens sobre a amostragem dirigida, permitindo ao 
investigador: 
i) Demonstrar a representatividade da amostra. 
ii) Medir explicitamente (em termos probabilísticos) o grau de incerteza com 
que se extrapola para a população/universo, isto é, o erro cometido por 
se usar uma amostra em vez da população. 
iii) Identificar explicitamente os potenciais enviesamentos. 
Refira-se ainda que a precisão e o custo inerente ao processo de amostra-
gem são lactares determinantes na escolha do tipo de método a utilizar. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1. Métodos de amostragem aleatória 
Devido às suas bases teóricas;-apoiadas na teoria ·das· proba:biliC!Mes, a: 
amostragem aleatória tem sido adaptada pela pesquisa em muitas áreas cien-
tíficas. O grau de confiança associado aos resultados obtidos, quando se utiliza 
um processo de amostragem aleatório, pode ser medido e controlado. Do 
mesmo modo, pode ser evitado qualquer enviesamento provocado por uma 
escolha dirigida dos respondentes, uma vez que o processo de selecção é 
casual e mecânico a partir de uma listagem de todos os indivíduos. Estes 
factores podem ser considerados como as vantagens deste tipo de amostragem. 
No entanto, deverão ser também referidas as dificuldades em recolher uma 
amostra aleatória. E a principal dificuldade consiste na obtenção de uma 
listagem completa da população a inquirir. Estas listagens são, na maioria dos 
casos, difíceis de conseguir, de custo elevado, demoradas na sua obtenção e 
nem sempre de fiabilidade aceitável. 
O segundo tipo de dificuldades relaciona-se com as não-respostas. Depois 
de definidos os respondentes, não poderão haver substituições, pelo que as 
não-respostas constituem uma importante fonte de enviesamento e terá de ser 
feito tudo para que a sua taxa seja minimizada. Todas as novas tentativas (por 
entrevista pessoal, telefone ou correio) para obter respostas bem sucedidas 
implicam aumento de custos e demora na obtenção dos resultados. 
A amostragem aleatória é, sem dúvida, o processo mais caro, mas os custos 
tendem a tornar-se pouco importantes face à fiabilidade dos resultados obtidos. 
De uma forma genérica podemos dizer que nos métodos de amostragem 
casual a probabilidade de seleccionar determinado elemento da população é 
conhecida a priori e que tais métodos conduzem às chamadas amostras 
aleatórias. 
Importará caracterizar os métodos de amostragem casual mais frequente-
mente utilizados: 
1. amostragem aleatóriasimples 
2. amostragem sistemática 
3. amostragem estratificada 
4. amostragem por c/usters 
5. amostragem multi-etapas 
6. amostragem multi-fásica. 
--------------- -·-----·--·- -- --------------------~~-----·-------·--· -· 
27 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.1.1. Amostragem aleatória simples 
28 
Caracteriza-se por: 
i) Cada elemento da população ter a mesma probabilidade de ser selec-
cionado; 
ii) Cada amostra de dimensão n ter a mesma probabilidade de ser escolhida. 
Há duas formas de obter uma amostra daquele tipo: 
1 - a da lotaria; 
2 - a dos números aleatórios. 
Para ilustrar o chamado método da lotaria, suponhamos que Ana, Bernardo, 
Carlos e Dora constituem a população de um atelier. Os quatro pretendem ter 
férias no mês de Agosto, mas apenas dois deles podem ir nesse período. 
Decide-se então colocar numa caixa quatro papéis com as letras A, B, C e D 
e retirar (sem reposição) uma amostra de dois daqueles papéis. 
Existem diferentes amostras de dimensão dois que podem ser seleccionadas, 
mas cada amostra ($;) tem a mesma probabilidade de ser escolhida, isto é: 
1 1 P[S1]=(~)=5 
ou seja, há seis amostras diferentes de dois elementos que são: 
S1 - Ana, Bernardo 
S2 - Ana, Carlos 
S3 - Ana, Dora 
S4 - Bernardo, Carlos 
S5 - Bernardo, Dora 
S6 - Carlos, Dora 
Por outro lado, cada elemento da população tem idêntica probabilidade de ser 
seleccionado, ou seja: 
3 1 P[A] = P[B] = P[C] = P[O] = B = 2· 
Neste procedimento, constrói-se assim uma miniatura do universo ou popu-
lação e a partir dela são seleccionados aleatoriamente os elementos que cons~ 
tituirão a amostra. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Este método é no entanto extremamente moroso, dadas as dificuldades de 
construção de uma miniatura do universo, o que fez com que tivesse caído em 
desuso. 
• 
Numa fábrica de automóveis trabalham 200 operários em 10 linhas de mon-
tagem. Em cada uma dessas linhas trabalham 20 operários. 
Pretende-se obter uma amostra aleatória de 15 operários que semanalmente 
serão sujeitos a um teste de álcool, recorrendo à tabela de números aleatórios 
da página seguinte. 
Como obter aquela amostra? 
Inicie-se a leitura a partir, por exemplo, do terceiro grupo de colunas e obter-
-se-ão os seguintes números com 3 algarismos Oá que o número total de operá-
rios, N = 200): 
'660' que se rejeita, '083', ... '009', '140' 
'148', ... '154', ... '200' ... '165', '058', 
'191' ... '172' ... '100' ... '019' ... '111','116','011' quefarãopartedaamos-
tra. 
Assim escolher-se-á o 9º, 11º e 19º da 1ª linha de montagem, o 3º e o 202 da 
5' linha de montagem, o 11' e 16' da 6' linha de montagem e assim sucessiva-
mente. 
• 
As tabelas de números aleatórios são geradas por forma a garantir a 
natureza aleatória dos números que as compõem. 
Existem diferentes formas de obter números aleatórios, embora seja mais 
simples recorrer às tabelas já existentes. 
A grande dificuldade que os métodos de amostragem casual simples apre-
sentam é a morosidade, sobretudo quando as amostras são de grande dimen-
são, a não ser que o processo de obtenção dos elementos que constituirão a 
amostra seja totalmente computorizada e se disponha de uma listagem dos 
-elementos que constituem a população. 
29 
ESTATfSTICA APLICADA 
30 
82 41 73 
24 23 56 
79 72 36 
60 84 59 
09 51 98 
40 89 95 
94 24 54 
91 38 05 
36 84 99 
98 05 72 
19 07 80 
09 61 83 
40 95 11 
76 37 59 
52 06 48 
11 65 73 
07 87 96 
25 26 18 
17 76 94 
62 75 37 
EXTRATO DE UMA TABELA 
DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
89 96 97 
87 73 39 
90 09 87 
43 38 89 
94 42 16 
75 54 95 
83 33 06 
96 66 69 
14 42 24 
25 53 41 
38 82 86 
84 48 83 
40 02 02 
52 20 09 
62 21 50 
40 06 07 
03 31 06 
78 84 18 
60 06 35 
44 40 25 
66 04 74 
08 37 78 
50 19 93 
00 96 80 
14 09 96 
14 80 18 
35 44 14 
97 22 79 
15 40 53 
24 32 40 
54 68 21 
28 99 67 
28 12 57 
35 75 53 
20 05 50 
87 56 20 
16 57 59 
05 80 19 
19 10 27 
65 32 85 
43 43 05 
17 20 53 
38 78 21 
10 04 50 
64 94 59 
86 90 85 
42 86 90 
92 18 88 
36 08 45 
01 90 89 
29 97 47 
79 11 90 
72 25 36 
11 19 66 
11 60 93 
01 17 59 
93 66 78 
95 99 03 
78 14 34 
52 62 04 
36 22 20 
79 08 88 
42 29 97 
44 58 80 
13 75 59 
67 97 72 
47 74 40 
68 48 83 
61 6< 25 
65 63 31 
07 48 86 
81 00 02 
03 70 08 
22 97 72 
92 38 85 
72 23 33 
38 22 22 
89 77 74 
96 56 69 
67 66 66 
i 
i 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1.2. Amostragem casual sistemática 
Este método é também chamado quasi-aleatório por não dar a todas as 
amostras que se podem retirar de uma mesma população-a mesma protlacili=-
dade de ocorrência. Para aplicação deste método é necessário calcular o rácio 
K = _!j_. Em seguida, escolhe-se aleatoriamente um número, no intervalo n 
[1, K], que servirá como ponto de partida e primeiro elemento da amostra. 
Adicionando ao primeiro valor obtido o rácio K (arredondando o resultado por 
defeito), obtém-se o segundo elemento e a adição sucessiva do mesmo rácio 
permite encontrar os restantes elementos da amostra. Como se verifica, ape-
nas o primeiro elemento é escolhido aleatoriamente enquanto que os restantes 
são determinados de modo sistemático pelo rácio. 
Por exemplo, se K = 2, então a dimensão da amostra será constituída por 
metade {50%) da dimensão da População. Se K = 20, então a amostra será 
apenas 5% da População. 
Chama-se amostra sistemática a uma amostra obtida através deste proce-
dimento. 
Em geral, o primeiro elemento a fazer parte da amostra é seleccionado 
aleatóriamente por um processo que se escolhe à partida. 
Suponha-se que uma empresa industrial pretende fazer um inquérito por 
amostragem aos seus 1000 clientes. 
A partir da lista dos seus 1000 clientes, a empresa poderá retirar uma amostra 
cujo primeiro elemento é escolhido aleatoriamente e os seguintes de forma sis-
temática. No caso de a dimensão da amostra pretendida ser n = 100, então K 
seria igual a 1 O; isto é, após a escolha aleatória do primeiro cliente, os restantes 
clientes seriam retirados da lista de 1 O em 1 O a partir daquele. 
Embora este procedimento possa ser visto como uma aproximação mais 
prática da amostragem casual simples, pode no entanto revelar-se inadequado 
no caso em que existam determinadas «regularidades» na lista dos elementos da 
população, que prejudicarão a representatividade da amostra. Isto é, este método 
é de mais fácil execução permitindo mais informação por unidade de custo 
dispendida, desde que se salvaguarde a aleatoriedade da forma como a lista está 
ordenada, requisito que a amostragem casual sistemática exige. 
·-- -----·---------
31 
ESTATÍSTICA APLICADA 
No caso do exemplo anterior, poder-se-ia verificar a posteriori que os 100 
clientes incidiam apenas numa área geográfica muito restrita ou num conjunto 
de sectores económicos muito limitado e com pouca expressão no negócio da 
empresa. 
A situação limite é o caso em que de uma lista de utilizadores de um voo 
aéreo fretado para uma viagem oferecida a casais (em que o nome do homem 
aparece invariavelmente em 1 º lugar e o da respectiva mulher a seguir) se 
retira uma amostra casual sistemática. Este método de selecção conduziria a 
uma amostra formada só por mulheres ou só por homens no caso em que o 
Kfosse par. 
As empresas que executam estudos de mercado utilizam frequentemente 
o método denominado Random Route, que mais não é do que um processo 
de amostragem casual sistemática, já que partem de um ponto de partida 
escolhido aleatóriamente, seguindo depois um itinerário obtido com intervalos 
sistemáticos (inquéritos de porta em porta por exemplo). Um outro exemplo 
são os inquéritos por telefone sobre os níveis de audiência de certos progra-
mas televisivos. 
4_2. 1 _3_ Amostragem estratificada 
32Uma amostra estratificada obtém-se separando os elementos da população 
em grupos mutuamente exclusivos denominados estratos 1 e a partir destes a 
selecção de uma amostra aleatória simples dentro de cada estrato. 
Por mutuamente exclusivos pretende-se dizer que nenhum elemento da 
população pode estar simultaneamente presente em dois ou mais estratos. 
Este método permite, no caso de se conhecerem algumas características 
do universo ou população, obter resultados mais eficientes2 com uma amostra 
de menor dimensão e igual representatividade. 
1 Grupos homogéneos relativamente à característica ou características a estudar. 
2 Menor custo, menor tempo e menor possibilidade de erro. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Essa eficiência será ainda mais importante se a variável a ser estratificada 
se encontrar correlacionada com várias outras variáveis como por exemplo 
idade, sexo, rendimento, status, área geográfica;··etc:;·o-·que-petmititã-esttati-
ficar simultaneamente segundo várias variáveis, desde que se assegure uma 
adequada representatividade dos estratos existentes na população. 
Quando se utiliza um processo aleatório simples, o erro aleatório cometido 
resulta de dois erros diferentes: o erro dentro de cada estrato e o erro entre 
os diferentes estratos. Esta última componente é nula quando a amostra é 
estratificada, uma vez que se recolhem as opiniões dos diferentes estratos da 
população. A amostragem estratificada é ainda mais efectiva quando a diferen-
ça entre os vários estratos é mais acentuada, isto é, quando a dispersão dentro 
da população é elevada. 
Existem dois modos de obtenção de amostras estratificadas. No primeiro, 
cada estrato está representado na amostra proporcionalmente à sua importân-
cia (ou tamanho) na população total. No entanto, nos diferentes estratos, 
dimensões maiores poderão não estar associadas a uma maior dispersão ou 
variabilidade. Por essa razão, um modo de conseguir uma maior represen-
tatividade da amostra será representar os estratos na amostra tendo em conta 
a dispersão dentro de cada estrato da população. Este segundo modo de 
obtenção de uma amostra estratificada só pode ser aplicado nos casos em 
que se conhece a variabilidade dentro de cada estrato da população ou, no 
mínimo, quando existem estimativas dessa variabilidade retiradas de inquéritos 
feitos a populações semelhantes. 
Imagine que se quer construir uma amostra de empresas consumidoras de 
embalagens de cartão canelado em Portugal. 
A população em estudo é constituída pela totalidade das empresas portugue-
sas que utilizam aquele tipo de embalagem e cujo número, em termos aproxi-
mados, se pode obter a partir das Estatísticas Industriais (principais produtos 
consumidos por cada um dos subsectores da CAE). 
As variáveis de estratificação são: principais sectores de actividade e áreas 
geográficas mais importantes. 
Tendo em atenção a importância do consumo relativo de cada um dos sub-
i-----sectores-da-cAE- e ·o-número-de-empresas··existentes-em-ca:da-um-·daqaeles· 
subsectores, obtiveram-se os dados necessários para o preenchimento da última 
33 
ESTATÍSTICA APLICADA 
34 
coluna do quadro seguinte. Posteriormente e de acordo com a localização das 
empresas dos vários subsectores, foram preenchidas as restantes colunas. 
Obteve-se assim o quadro do universo estratificado seguinte: 
Áreas 
NORTE geográficas CENTRO SUL OUTROS 
TOTAL (Braga (Coimbra, (Lisboa, (Restantes Principais e Aveiro Setúbal 
sectores Porto) e Leiria) e Santarém) distritos) 
Alimentação 180 160 310 200 850 
Bebidas 150 70 230 50 500 
O. bens de consumo 1 260 550 700 190 2700 
B. intlb. equip. 1 070 610 600 170 2450 
. 
TOTAL 2660 1 390 1 840 610 6500 
Supondo igual variabilidade em todos os estratos poder-se-ia utilizar a afixa-
ção proporcional para constituir a amostra; no quadro abaixo exemplifica-se o 
caso de a dimensão da amostra ser de n = 650 (10% da população). 
NORTE CENTRO SUL OUTROS TOTAL 
Alimentação 18 16 31 20 85 
Bebidas 15 7 23 5 50 
O. bens de consumo 126 55 70 19 270 
B. inVb. equip. 107 61 60 17 245 
TOTAL 266 139 184 61 650 
• 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1.4. Amostragem por clusters 
Este tipo de amostragem torna-se particularmente-útil-quando-a-população--· 
se encontra dividida num reduzido número de grupos ou c/usters, caracteriza-
dos por terem uma dispersão idêntica à população total, isto é, os grupos 
/ deverão, tanto quanto possível, ser «microcosmos» da população a estudar. 
Primeiro, seleccionam-se aleatoriamente alguns dos grupos. Em seguida, in-
cluem-se na amostra todos os indivíduos pertencentes aos grupos selec-
cionados. Trata-se afinal de um processo de amostragem casual simples em 
que cada unidade é um c/uster. 
Selecção aleatória 
dos grupos B e D 
Amostra = 
C/usters Jm lff 0 
o o o o o o ª- o 
Suponha que se pretende conhecer as atitudes dos trabalhadores da área 
industrial do Barreiro sobre as suas condições de trabalho. É mais operacional 
compilar uma lista de fábricas daquela área do que uma outra onde constem os 
trabalhadores nominalmente (e até provavelmente impossível de elaborar). 
Neste caso, cada fábrica constitui um cluster de trabalhadores. Apenas uma 
parte destes c/usters (fábricas) participarão na amostra. 
Finalmente serão inquiridos todos os trabalhadores que fazem parte dos 
clusters (fábricas) considerados na amostra. 
Assinale-se que, neste tipo de amostragem, alguns c/usters serão ignorados. 
Se estes forem semelhantes aos incluídos na amostra estará assegurado um 
elevado nível de precisão. 
• 
Este tipo de amostragem é extremamente utilizado quando se torna impra-
ticável ou até impossível construir uma lista de todos os elementos que consti-
,___ __ tuem determin-ada população sendo, no entanto, muito mais fácil listar grupos 
desses mesmos elementos. 
35 
ESTATfSTJCA APLICADA 
4.2.1.5. Amostragem multi-etapas 
36 
O primeiro passo deste tipo de amostra é idêntico ao anterior. A população 
encontra-se dividida em vários grupos e seleccionam-se aleatoriamente alguns 
desses grupos. No passo seguinte, também os elementos de cada grupo são 
aleatoriamente escolhidos. Este processo pode multiplicar-se por mais de duas 
etapas se os grupos estiverem divididos em sub-grupos. 
Num estudo de mercados internacionais foram seleccionados dois países para 
se identificarem as lácticas de posicionamento a seguir para as pastas dentífricas. 
Em cada um dos países escolhidos foram seleccionados cinco centros urbanos 
e, dentro destes, catorze estabelecimentos comerciais. Em todas as etapas (paí-
ses, centros urbanos, estabelecimentos comerciais) as escolhas resultaram de 
um processo aleatório. 
Selecção aleatória 
2 Países 0 
5 Centros urbanos 
14 Estabelecimentos 
comerciais 
Amostragem multi-etapas 
Países 
1 2 3 4 123456 
mnn1ITTmm mnl ITTl 1mn 
• 
Imagine que se pretendia conhecer a aceitação de um novo produto de higiene 
pelas potenciais consumidoras (mulheres adultas) na área da grande Lisboa. 
Obviamente que, embora não sendo impossível construir uma lista onde·-·· 
constassem todas as mulheres adultas residentes naquela área, isso seria não 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
só extremamente dispendioso como a morosidade na sua obtenção a tornaria 
rapidamente desactualizada. 
Neste·caso, poder-se-á utilizar uma variante do método de amostragem·casuatl--------
por c/usters - a amostragem por áreas em etapas múltiplas: 
1' A área da Grande Lisboa seria dividida em concelhos (c/usters) e proce-
der-se-ia à selecção aleatória de algum destes concelhos. 
2' A partir dos concelhos escolhidos anteriormente proceder-se-ia à selecção 
aleatória de algumas freguesias (c/uslers). 
3º De igual modo, cada freguesia seleccionada seria dividida em quarteirões 
(clusters) procedendo-se à selecçãoaleatória de alguns destes. 
4º Ponderando cada quarteirão pelo número de fogos existentes, seleccionar-
·se-ia uma amostra sistemática dos fogos que fariam parte da amostra. 
5' Finalmente seriam inquiridas as mulheres adultas moradoras nestes fogos. 
Caso exista em determinado fogo mais do que uma mulher adulta, esco-
lher-se-ia aleatoriamente uma delas (amostra casual simples). 
Sublinhe-se que a probabilidade de seleccionar um determinado c/uster (con-
celho, freguesia, quarteirão) é sempre proporcional à sua população. 
• 
Como desvantagem deste método adiante-se o facto de que os possíveis 
erros de amostragem se poderem multiplicar, dado que ao longo deste proces-
so se vão utilizando várias sub-amostras com a possibilidade de erros de 
amostragem em cada uma delas. 
A preocupação com a dimensão e precisão da amostra é aqui uma cons-
tante a nível de cada uma das etapas deste método. 
4.2.1.6. Amostragem multi-fásica 
Não deverão ser confundidos estes dois processos de amostragem: multi-
·etapas e multi-fásicas. No primeiro processo as unidades amostrais variam de 
uma etapa para outra. No exemplo referido no ponto anterior, as unidades 
amostrais eram, sucessivamente, os países, os centros urbanos e os estabe-
lecimentos comerciais, enquanto na amostragem multi-fásica define-se sempre 
a mesma unidade amostral para todas as fases de extracção da amostra. 
i----Na-primeira-fase;·recolhem 0se-dados-sobre·-determinadas-características···-··--· 
dos respondentes - por exemplo, o seu comportamento e frequência quanto 
37 
ESTATÍSTICA APLfCADA 
38 
ao consumo de determinado produto, variáveis demográficas, tamanho das 
empresas, a sua disponibilidade para responder novamente a um inquérito. 
Esta informação pode ser usada para a definição de uma listagem dos possí-
veis respondentes à segunda fase do inquérito. É então retirada desta listagem 
uma segunda amostra que responderá a um questionário com um nível de 
profundidade mais elevado. 
Para avaliar o potencial do mercado internacional de micro-computadores, 
poderá ser aconselhável realizar primeiro um inquérito pelo telefone a nível inter-
nacional que permita determinar, para diferentes sectores de actividade e 
tamanhos das empresas, os grandes compradores destes produtos. Em seguida, 
proceder-se-ia à listagem dessas empresas com base nos resultados do inquérito. 
Desta listagem seria retirada uma amostra para a qual se estudaria, em maior 
profundidade, o seu comportamento consumidor, as suas características-chave 
em termos de escolha do vendedor, quem na empresa é responsável pela com-
pra, quais os principais utilizadores do produto, etc. Dependendo do orçamento 
de pesquisa, dentro de cada empresa poderiam ser entrevistados todos os parti-
cipantes-chave na decisão de compra, utilizadores e responsáveis pela compra, 
ou apenas alguns deles. 
• 
Antes de se tecerem algumas considerações sobre os métodos de amos-
tragem dirigida (não probabílisticos), importará esclarecer que os diferentes 
tipos de métodos de amostragem aleatória que acabámos de abordar não são 
m~tuamente exclusivos, podendo ser utilizados conjuntamente em fases dife-
rentes do processo de amostragem. 
Por outro lado, fique bem claro que uma amostra obtida por um método 
de amostragem do tipo aleatório não garante por si só uma resposta correcta 
(a verdadeira, a que se obteria se se utilizasse o universo). 
No entanto, garante, isso sim, a capacidade de medir a probabilidade de 
obter a resposta errada. 
Existem outros proce;ssos de extrair amostras, sendo muitos deles combina-
ções das técnicas anteriormente descrttas com outras técnicas de amostragem 
não aleatória ou dirigida, que se apresentarão em seguida com maior detalhe. 
! ) 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.2. Métodos de amostragem dirigida 
Aqui a selecção de cada elemento que fará parte da amostra é-baseada . ------
em maior ou menor grau em juízos de valor sobre a população alvo. 
Pretende-se que a amostra represente certas características que se conhe-
cem sobre a população, não sendo no entanto possível conhecer a proba-
bilidade de determinado elemento do universo ser seleccionado para constituir 
a amostra. 
Fazem parte deste grupo um grande número de métodos tais como: a 
amostragem por conveniência, o método intencional, a amostragem snowball, 
sequencial e ainda o método de amostragem por quotas. 
Uma amostra obtida através de um destes processos, e se não se pretende 
generalizar os resultados obtidos a toda a população, pode ser adequada nas 
seguintes condições: 
i) O estudo constitui apenas uma primeira experiência ou a primeira fase 
de um estudo mais alargado. 
ii) Existe uma maior preocupação em aperfeiçoar um questionário do que 
em recolher resultados fidedignos. 
iii) É impossível utilizar qualquer tipo de amostragem aleatória (casual). 
4.2.2.1. Amostragem por conveniência 
Este tipo de amostra baseia-se na premissa de que certo tipo de respon-
dentes apresentam uma maior disponibilidade ou se encontram mais aces-
síveis para responder ao inquérito. Dadas as dificuldades e os custos elevados 
da realização de um processo de amostragem aleatório, em muitas situações 
a amostragem por conveniência torna-se particularmente atractiva e, embora 
não se possa falar de representatividade, frequentemente é possível evitar um 
enviesamento sistemático. Este tipo de amostragem pode também ser utilizado 
na fase de pré-teste a um questionário. 
Neste método, selecciona-se a amostra em função da disponibilidade e 
acessibilidade dos elementos que constituem a população alvo. 
Uma das aplicações deste método é o caso de inquéritos sobre a aceitação 
de determinado produto que se encontra nos locais de venda, aproveitando 
assim a presença dos consumidores actuais ou potenciais, que são seleccio-
___ ,,_ ados-desde-que-se-mostrem-disponíveis-para-re·sponder. -- ·-------- ---• 
39 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.2.2. Amostragem intencional 
40 
Neste procedimento, a escolha dos elementos a constituirem a amostra 
baseia-se na opinião de uma ou mais pessoas que são fortemente conhece-
doras das características específicas da população em estudo que se pretende 
analisar. 
Se, por exemplo, a população forem os vendedores ambulantes, torna-se 
impossível obter uma lista daqueles e a ajuda para a selecção dos elementos 
da amostra poderia vir da Polícia de Segurança Pública ou das Associações 
de Comerciantes ... 
No caso da população em estudo serem os homossexuais, ou os consumi-
dores de drogas pesadas, a amostra, em ambos os casos, teria de consistir 
em volurtários dispostos a assumir as situações respectivas e a ajuda poderia 
vir de conhecedores dos habituais frequentadores de certo tipo de bares e de 
certos locais, ou de responsáveis de determinadas instituições de prevenção 
e combate à droga, por exemplo. 
41+1i@@r9 
Em países menos desenvolvidos um inquérito que se pretenda realizar para 
recolha de informação sobre o comportamento dos consumidores poderá ser 
aplicado no mercado, a uma amostra de consumidores que o frequentam nos 
vários dias da semana. Mas pode ainda ser adaptado um outro processo de 
recolha de informação, escolhendo para respondentes aqueles que se pensa 
conhecerem melhor a situação, isto é, os hábitos de consumo da população. 
Poderão ser os mais idosos, os chefes ou os dirigentes religiosos, autênticos 
«peritos>> cujo conhecimento advém de uma longa vivência dentro da comunidade . 
• 
Um outro exemplo diz respeito à força de vendas das empresas que, em certos 
ambientes e situações, pode constituir uma importante fonte de informação pelo 
seu conhecimento das necessidades e interesses dos consumidores. Deverá 
ter-se cuidado especial ao utilizar-se estimativas quantitativas derivadas desta 
fonte, sobretudo quando se referirem ao potencial de vendas daempresa, onde 
existe um risco de maior enviesamento devido a opiniões subjectivas,--- ··- ·--·-
• 
:i· 
1 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.2.3. Amostragem snowball 
Este processo de amostragem é partiC:úlarmentei a.conselnaao quariâo se-- ·--
pretende estimar características relativamente raras na população total. É uma 
forma de abordagem intencional que se utiliza frequentemente em estudos 
cujas populações são pequenas e muito específicas. 
Este tipo de método utiliza-se em certos estudos em que à partida é o 
próprio inquirido que sugere outros eventuais inquiridos (snowball) bem inse-
ridos na temática que se pretende estudar. 
O método consiste em escolher inicialmente os inquiridos de modo aleatório 
e, numa segunda fase, escolher respondentes adicionais a partir da informação 
obtida dos primeiros. 
Na maior parte dos casos, a população alvo é muito restrita e encontra-se 
muito dispersa por uma série de organismos diferenciados (ministérios, empre-
sas, laboratórios, centros de investigação universitários, etc). 
Num estudo a nível europeu sobre o software utilizado pelos técnicos de 
estudo de mercado, foram consultados os técnicos das empresas portuguesas a 
quem foi pedida a identificação de outras empresas nos paises da U.E. A amostra 
irá sendo aumentada à medida que os inquiridos vão sugerindo novos nomes. 
• 
4.2.2.4. Amostragem sequencia/ 
Outro tipo de amostragem dirigida que pode ser considerado como relati-
vamente semelhante ao método multi-fásico é a amostragem sequencial. 
Neste processo de amostragem, a realização da fase seguinte só é decidida 
depois de analisados os resultados da fase anterior. Com o desenvolvimento 
das respostas computorizadas aos inquéritos, este processo tenderá a tornar-
se cada vez mais popular. Os respondentes vão sendo entrevistados e os 
~ad_o_s_analisados simultan_Ei.<1mef!!_~ou em_certos momentos pré-defi11_idos, 
tomando-se, em seguida, a decisão de continuar ou não com as entrevistas . 
41 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.2.5. Amostragem por quotas 
42 
Este método não probabilístico pode ser representado como algo equiva-
lente à amostragem aleatória estratificada. 
Na amostragem por quotas, estabelece-se uma quota para cada estrato 
que seja proporcional à sua representação na população e assegura-se que 
um número mínimo de elementos faça parte da amostra, para cada estrato 
especificado. 
Pretende-se assim obter uma amostra que seja semelhante à população 
em certas características pré-especificadas, ditas características ou variáveis 
de «controlo>). 
Seja P a dimensão da população a inquirir e P1 o número de indivíduos 
dessa população no estrato 1. Se a dimensão da amostra for S, então 
S x ( ~ ) será o número de indivíduos na amostra pertencentes ao estrato 1. 
Por exemplo, se numa população de 10000 indivíduos, 2500 pertencem ao 
grupo etário dos 25 aos 35 anos, numa amostra de 400 indivíduos retirados 
desta população, 100 deverão ter idades dentro daquela faixa. 
Em resumo, na amostragem por quotas, as proporções dos vários sub-gru-
pos na amostra reflectem a sua distribuição dentro da população. A cada 
entrevistador são dadas as características que os entrevistados deverão satisfazer. 
As entrevistas terminarão quando se obtiverem as quotas pré-estabelecidas para 
cada sub-grupo. 
Existem dois modos de definição das quotas: independentes e interrelacio-
nadas. Com quotas independentes simplifica-se o trabalho dos entrevistadores 
uma vez que necessitam de obter respostas que satisfaçam cada uma das 
quotas separadamente. 
Suponha-se que se pretende estudar as características dos automóveis con-
sideradas mais importantes pelos consumidores. Neste caso, poder-se-ia formular 
a hipótese de tais características poderem ser diferenciadas em função-de.certas __ _ 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
variáveis da população ditas de «controlo» e que nesta situação particular seriam 
as seguintes: 
Idade: 2 categorias (menos de 40-anos-e··mais-deAO-anos) · - ·- ------- ----- -
Sexo: 2 categorias (1/4 mulheres e 3/4 homens) 
Educação: 4 categorias 
Rendimento/Status: 5 categorias 
Seriam assim, 2 x 2 x 4 x 5 = 80 estratos diferentes determinando-se de se-
guida os valores (quotas) para cada um deles. 
• 
Como alguns problemas e desvantagens deste método saliente-se que: 
- ainda que uma amostra por quotas e a população sejam coincidentes 
nas medidas para as quais conhecemos as características de ambas, 
podem diferir substancialmente noutras características para as quais 
temos apenas o valor da amostra; 
- daí que as variáveis de «Controlo» devam ser bem seleccionadas e a 
ausência de uma delas, importante no estudo em causa, poderá condu-
zir a incorrecções graves. Por outro lado, o próprio preenchimento de 
todos os estratos (células) nem sempre se torna de fácil execução. 
A amostragem por quotas foi largamente utilizada nos E.U.A. durante as 
décadas de 30 e 40 para recolha de informação a nível nacional, mas foi sendo 
posta de parte com o desenvolvimento de métodos de amostragem aleatória. 
Actualmente, é altamente criticada pelos estatísticos devido à sua fraqueza 
teórica e, simultaneamente, defendida pelos técnicos de pesquisa de mercados 
e de estudos de opinião pelo seu reduzido custo, facilidade de administração 
e ainda por ultrapassar certo tipo de problemas tais como a falta de uma 
listagem completa e actualizada da população a inquirir e a necessidade de 
informação urgente para tomada de decisão. 
As principais vantagens podem ser assim resumidas: rapidez, economia e 
simplicidade administrativa. 
--------------- -
43 
ESTATÍSTICA APLICADA 
44 
A grande desvantagem deste processo de amostragem é o enviesamento 
introduzido pelo entrevistador na selecção dos respondentes e que é de muito 
difícil medição e controlo. Conscientemente ou não, o entrevistador tem ten-
dência para: 
- escolher determinado tipo de inquiridos e evitar outros por deformação 
ou simpatia pessoal; 
- tentar rentabilizar ao máximo o seu trabalho, fazendo as entrevistas 
seguidas à mesma hora do dia e no mesmo local, quando deveriam ser 
mais espaçados no tempo e na localização. 
Algumas destas desvantagens podem ser minimizadas através de formação 
adequada dos entrevistadores e controlo de todo o processo de recolha de 
informação. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Exercícios propostos 
1. Defina os conceitos de população e amostra. 
2. Quais as etapas a seguir na construção de uma amostra? 
3. Uma empresa de estudos de mercado pretende realizar um inquérito sobre as 
preferências de consumo dos portugueses relativamente às fraldas descartáveis 
para bébé. Qual a população alvo e a população a inquirir? 
4. Quais as vantagens e desvantagens dos métodos probabilísticos de selecção 
de uma amostra? 
5. Quais as vantagens e desvantagens dos métodos dirigidos de selecção de 
uma amostra? 
6. Que técnicas se poderão utilizar para recolha de uma amostra aleatória sim-
ples? 
7. Quais as diferenças entre um processo amostral estratificado e um por quotas? 
8. Por que razão se designa a amostragem causal sistemática como quasi-alea-
tória? 
9. Em que situações é aconselhável utilizar um processo snowball de recolha de 
uma amostra? 
---------------------------- ------- ···-··· 
45 
Capítulo VI 
Distribuições amostrais 
' 
--·------------------·---- -~-------------~ 
" !' 
' 
1 
i 
r 
J 
Introdução D-
Quando se pretende estudar determinada população, interessa fazê-lo ana-
lisando certas características (ou variáveis) dessa população. 
Essas variáveis podem ser discretas ou contínuas e o seu «comportamen-
to., pode ser definido segundo uma função de probabilidade (se a variável é 
discreta) ou função de densidade de probabilidade (se a variável é contínua). 
Como se referiu anteriormente,embora uma variável X designe uma carac-
terística duma população, é frequente utilizar, no âmbito da teoria da amostra-
gem, a designação X para a própria RoPulaç1jo. 
Para que o comportamento de X seja conhecido, basta conhecer a sua 
distribuição e o valor dos parâmetros caracterizadores dessa distribuição. Por 
exemplo, tratando-se de uma população Bernoulli, terá de ser conhecido o valor 
de p; tratando-se de uma população normal há necessidade de conhecer os 
valores de µ e cr. 
Como se sabe, numa população Bernoulli, p representa a probabilidade de 
um elemento da população possuir o atributo em estudo; numa população 
normal, µ e cr representam, respectivamente, a média e o desvio-padrão da 
característica em estudo. 
Acontece, porém, que os parâmetros de uma população só serão conheci-
dos se for possível estudar todos os elementos que a ela pertencem, facto só 
possível em populações finitas e, regra geral, pouco numerosas. Os custos 
resultantes do estudo de toda uma população são, por vezes, tão elevados, 
que a melhor alternativa consiste em retirar uma amostra dessa população e 
estimar esses parâmetros a partir dos valores amostrais, inferindo assim da 
amostra para a população. Mas nem todas as amostras permitem que, a partir 
dos seus resultados, se faça uma generalização a toda a população. Os 
métodos de inferência estatística, apresentados nos capítulos seguintes, pres-
supõem que a amostra é casual ou aleatória. 
49 
ESTATÍSTICA APLICADA 
1. 1. Amostra aleatória 
50 
Considere-se uma população da qual interessa estudar a característica X, 
cuja função de probabilidade ou f.d.p. é dada por f (x) . 
Se for retirada dessa população uma amostra (A,) de dimensão n, obtém-se 
(x 1. x ~ • ... , x ~ ), onde o k-ésimo elemento x~ (k = 1, 2, ... n) é um valor do 
conjunto de valores que X pode assumir. 
Se for retirada uma outra amostra (A2) , de igual dimensão, obtém-se 
2 2 2 . d (x 1, x 2, ... , x n) . Podem, assim, retirar-se sucessivas amostras a mesma 
dimensão 
1 1 1 amostra A1 : (x 1, x 2 , ... , x n) 
A r r r amostra r: (x 1, x 2, ... , x n) 
Pode ser definida uma amostra «tipo» 
que, por gerar as várias amostras (A1, A2, ... , A,, ... ), pode ser entendida 
como uma variável aleatória n-dimensional com função de probabilidade ou 
f.d.p. conjunta l(x1, x2, ... , Xn). Facilmente se constata que as variáveis 
aleatórias X1, X2, ... , Xn assumem os mesmos valores de X, uma vez que 
são elementos de uma amostra, todos eles retirados de uma mesma popula-
ção, segundo, portanto, a mesma função de probabilidade ou f.d.p. da 
população: 
f(X1) = f(X2) = ... f(Xn) = f(x). 
Acrescente-se ainda que, porque (X1, X2, ... , Xn) é uma amostra reco-
lhida segundo um processo casual ou aleatório, os seus elementos ouva,riá.v!lis 
aleatórias X1, X2 , ... , Xn são independentes entre si. 
DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
Seja uma amostra aleatória de dimensão n = 3, (X1, X2. X3), retirada duma 
população Bernoulli. 
Que amostras diferentes podem ser recolhidas da população? 
Deduza a função de probabilidade conjunta daquela amostra. 
Qual a mais provável no caso de se ter p = O, 1? 
(X1, X2, X3) => Amostra aleatória 
Amostras concretas: 
(O, O, O) amostra em que não ocorre qualquer sucesso. 
(O, 1, O) } (0, o, 1) amostras em que ocorre apenas um sucesso 
(1, O, O) 
(0, 1, 
1) } (1, 1, 0) amostras em que ocorrem dois sucessos 
(1, o, 1) 
(1, 1, 1) amostra em que ocorrem apenas sucessos 
····--·······-··-----·---
51 
ESTATÍSTICA APLICADA 
52 
Distribuição de probabilidade conjunta da amostra aleatória (X1, X2, X3 ): 
l(x1) 
Assim, a probabilidade de ocorrer uma amostra (x1, x2, x, ) com p =·o, 1 é dada 
por: 
l(X1 ,X2,X3lp = 0,1) = 0,1X,+X,+",, 0,93-(x,+x,+x,) 
Concretizando: 
1(0, O, OI p = 0,1) = 0,1º . 0,93 = 0,729 
1(0, 1,0lp = 0,1)} 
1(0, O, 1 I p = 0,1) = 0,1 1 . 0,92 = 0,081 
1(1,0,0lp = 0,1) 
1 (O, 1, 1 I p = O, 1) \ 
1(1, O, 1 lp = 0,1) = 0,1 2 . 0,91 = 0,009 
1(1, 1,0lp = 0,1) 
1(1, 1, 1 lp = 0,1) = 0,1 3 . 0,9° = 0,001 
----------------·· 
Conclui-se que a amostra mais provável é aquela em que ocorrem três insu-
cessos (X1, X2, X3) = (0,0,0) o que aliás faz sentido pois é extremamente baixa 
a probabilidade de ocorrência dum sucesso (a verdadeira proporção de sucessos 
na população é p = O, 1 ). 
• 
DISTRIBUfÇóES AMOSTRAIS 
1.2. Parâmetros e estatísticas 
Um parâmetro é uma característica duma população, isto é, um valor carac-
terizador da população que, embora possa ser desconhecido, é fixo. 
Uma estatlstica é uma característica da amostra, melhor dizendo, é uma 
função da amostra e, portanto, assume valores diferentes para diferentes amostras 
(ou seja, é uma variável aleatória). Se, para cada uma das amostras 
A1, A2, .... A,, ... referidas no ponto anterior, se calcular, por exemplo, a res-
. 'd' b . - 1 - 2 - r pecllva me 1a, o ter-se-ia x , x , .. ., x , ... 
Poder-se-ia então dizer que a média (amostral) X é uma variável aleatória 
amostral, que assume um valor concreto ( x ') para cada amostra concreta 
(A,). 
Assim, a média µ e o desvio-padrão cr duma população normal ou a média 
p e o desvio-padrão ._/p (1 - p) duma população Bernoulli são parâmetros. 
A média duma amostra {chamada também média amostral) recolhida de 
determinada população é uma estatística e designa-se por X. 
O desvio-padrão duma amostra é também uma estatística e designa-se por S. 
Suponha que se pretende estudar a reacção despertada por um novo produto 
a lançar no mercado. Estamos interessados em conhecer a idade média e a 
proporção de interessados no novo produto. 
Uma resposta exacta àquelas questões só seria obtida se perguntássemos à 
totalidade da População em estudo ... 
Poderemos estimar aqueles parâmetros através de uma amostra? A resposta 
é afirmativa. 
É que, a partir duma amostra, podemos obter as estatísticas: idade média 
(idade amostral) e proporção de interessados no novo produto na amostra . 
• 
53 
ESTA TJST/CA APLICADA 
54 
Alguns exemplos de estatísticas: 
n 
- T1 = X = * 2, X; é a chamada média amostral 
i= 1 
n 
~ -2 4' (X;- X) 
- T2 = 52 = _,_·=_1 ___ _ 
n 
n 
~ -2 4' (X; - X) 
é a chamada variância amostral 
- T3 = 5•2 = ~'~·=~'---­
n - 1 é a chamada variância amostral corrigida 
n 
- T4 = 2, X'f 
i=t 
X1 + Xn 
-Ts = 2 
- T5 = + { min (X1, X2, ... , Xn) + max(X1, X,. ... , Xn) }. 
• 
Como facilmente se pode verificar, cada amostra aleatória retirada duma 
população X irá dar origem a estatísticas com valores diferentes. 
Daí que as estatísticas sejam variáveis aleatórias e portanto tenham uma 
certa distribuição de probabilidade. 
Chamam-se distribuições amostrais às distribuições de probabilidade das 
estatísticas. 
Como obter então a distribuição amostral de uma estatística? 
Há duas alternativas: uma teórica que se baseia na distribuição conjunta da 
amostra e outra empírica que consiste em retirar sucessivas amostras, calcular 
o valor concreto da estatística que se pretende e obter a respectiva distribuição 
de frequências. ·- ··--·-··- ··-···-··--
j. 
=i 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
Antes da apresentação das principais distribuições amostrais das estatísti-
cas mais importantes é necessário introduzir um parentesis e falar de duas leis 
muito importantes na inferência estatística: a lei dos grandes números e o 
teorema do limite central, dois conc~it~;-;e.1acionadoseiitresi e absolutamente 
fundamentais à compreensão dos métodos de inferência. 
1.3. Lei dos grandes números 
A Lei dos grandes números desenvolve-se a partir da desigualdade de 
Chebishev que convém aqui recordar: 
Se X for uma variável aleatória com µ = E [X], Var [X] = cf e E um 
qualquer valor real positivo (E > O), então 
P [ IX - µI 2 E ] :". Var [X] 
E2 
isto é, X difere deµ em mais de E com uma probabilidade nunca superior a 
Var [X]IE2 . 
Para o caso particular em que E = K cr a desigualdade prova que 
1 P [ IX - µI ;, K cr] :". - 2-K 
ou seja, a probabilidade de que a variável aleatória X se desvie da média mais 
do que K desvios-padrão é sempre inferior ou igual a --;- . 
K 
É possível agora definir, com base nesta desigualdade, a Lei dos grandes 
números. 
------------------------·-·--·-·----
55 
ESTATÍSTICA APLICADA DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
56 
Demonstração: 
Uma vez que X1, X2 , ... , Xn são elementos de uma amostra aleatória· 
retirados de uma mesma população, são independentes e têm todos a mesma 
distribuição, logo 
Var [ Sn] = n . Var (X) = n a2-
e 
Var[ ; ] = 
Var(Sn) n cr2 a2-
---
-
n2 n2 n 
Sabe-se ainda que 
Pela desigualdade de Chebishev, para qualquer E > O , 
Fixando E e fazendo n tender para =, obtém-se o limite dessa proba-
bilidade 
ou, complementarmente 
c.q.d. 
s Como poderá verificar, _n_ é a média amostral, razão porque esta lei é 
n 
também conhecida por «lei das médias». O seu significado é facilmente com-
preendido: à medida que n aumenta, a probabilidade de a média amostral se 
afastar da média da população em mais do que um valor E previamente fixado, 
tende para O; ou ainda, atendendo ao complementar deste acontecimento, à 
medida que n aumenta, a probabilidade de os desvios entre a média amostral 
e a média populacional se tornarem mais pequenos que um valor qualquer 
E > O tende para 1 . 
1.4. Teorema do limite central 
57 
ESTATÍSTICA APLICADA 
58 
A demonstração deste teorema, por requerer técnicas matemáticas avan-
çadas, não é aqui apresentada 1. A sua aplicação é deveras importante, como 
se verá nos pontos seguintes deste capítulo. Dividindo por n o numerador e o 
denominador da variável Yn , obtém-se 
n 
I 
Sn i= 1 
mas 
-
n n 
X; 
= X. 
Sn 
- µ 
n o n n (0,1) 
Logo, pelo teorema do limite central, conclui-se que, se X for uma variável 
aleatória com média µ e variância finita o2 , então a média amostral X, para 
amostras grandes, terá uma distribuição aproximadamente normal com média 
.. . a2 . d µ e vananc1a - , ou a1n a 
n 
X - µ º 
--'-'-----'-'-- n n (O, 1 ) . 
cr 
{{) 
Apresenta-se, em seguida, e mais detalhadamente a distribuição amostral 
de algumas estatísticas muito importantes no capítulo da Inferência Estatística. 
Para tal, é necessário que primeiro se definam algumas distribuições amostrais 
teóricas. 
1 p . 
ara os que pretendam seguir essa demonstração aconselha-se a consulta de Mooo, GAAYBILL e 
BOES (1974), pág. 235. 
'i 
!i 
'1 
!I 
1 
' 
Distribuições_ . 
amostrais teóricas 
2.1. Distribuição normal 
No âmbito do estudo da distribuição normal foi referido o teorema da 
aditividade da normal. Viu-se então que, dadas n variáveis aleatórias inde-
pendentes com distribuição normal de parãmetros µ e cr, 
n 
L X; n n(nµ; crin) 
i= 1 
ou seja, 
n 
L X; - nµ 
i= 1 --a-in~n~- n n(O, 1). 
Dividindo numerador e denominador por n vem: 
isto é 
X~µ í1 n(O, 1) 
{() 
Como uma amostra aleatória de dimensão n é uma variável aleatória n-dimen-
sional, em que todas as variáveis X; (i = 1, 2, 3, . . . n) têm a mesma distribuição 
do Universo e são independentes, os resultados anteriores podem aplicar-se. 
- L X; (" . 'd d 
___ C_onclubse.assim.que-~média_amostraL.X_~ n _ !S_to_e_a-1!l.ª-.J.lLJilJlª- -· 
amostra aleatória) retirada duma população normal, tem distribuição normal, 
59 
ESTATÍSTICA APLICADA 
60 
cujo desvio-padrão é função não só do desvio-padrão da população (a) como 
também da dimensão da amostra (n ). O valor esperado ou médio de X coincide 
com a média do Universo (µ). 
Facilmente se demonstra o que se acabou de dizer. De facto, se tivermos uma 
amostra aleatória de elementos X; , retirados de uma população normal, isto é, 
X; (1 n (µ, a). 
então, a média amostral, X, tem também distribuição normal uma vez que 
depende dos valores X; , com os seguintes parâmetros: 
1 
=-E[X1+X2+ ... +Xnl= 
n 
= -
1
-[E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)] = 
n 
1 
= n [ µ + µ + ... + µ l = 
1 
. n. µ = 
n 
= µ. 
VAR [ --!i- L X;] = n\ VAR [ L X; J = 
1 
= - 2- VAR [X; + X2 + . . . + Xn] = n 
1 
= - 2 [ VAR (Xi) + VAR (X2) + . . . + VAR (Xn)] = n 
1 
n2 
1 
n2 
= _1 a2 
n 
[a2+a2+ ... +a2] = 
n . cr2 
DJSTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
logo 
E se X, o Universo ou população, não tiver distribuição normal ou for 
desconhecida a sua distribuição? 
Suponha que X tem uma distribuição diferente da distribuição normal, com 
uma certa média µ e variância a2 , isto é, X n f (µ, a). 
Importa aqui distinguir duas situações: 
1. Se X tiver distribuição diferente da normal e se se tomar uma pequena 
amostra 1 então ter-se-á de determinar a distribuição assumida por X, 
que será como é óbvio, função da distribuição do universo, isto é, 
X n f( ... ). 
2. Se X tiver distribuição diferente da normal e se se tomar uma grande 
amostra então a distribuição de X será próxima da distribuição normal 
(fala-se em distribuição aproximada) e tanto mais próxima quanto maior 
for a dimensão da amostra, isto é 
- o ( Cí J X (1 n µ; -ln . 
Este resultado provém da aplicação do teorema do limite central já apre-
sentado no ponto anterior. 
-y---
Geralmente, fala-se em pequenas amostras quando n s 30 e em grandes amostras quando 
n > 30, onde n designa a dimensão da amostra. 
61 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2.2. Outras distribuições 
Além da distribuição normal que acabou de ser apresentada como distribui-
ção amostral, existem outras distribuições teóricas de uso bastante genera-
lizado sobretudo na área da inferência estatística e que são: 
- Distribuição do Qui-quadrado - x.2 
- Distribuição t de Student 
- Distribuição F de Snedecor 
2.2. 1. Distribuição do Qui-quadrado 
62 
+~ 
(w) = J xw-1 e-x d* 
o. 
A distribuição do Qui-quadrado é um caso particular da distribuição Gama 
(vd volume 1). É fácil notar que: 
X(nJ n G 2• 2 . 2 ( n 1 J 
,,. 
! 
! 
1 
.) 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
2.2. 1.1. Principais características da distribuição do x2 
1. É uma função positiva e não simétrica. 
2. Se X n xi\, J então demonstra-se que 
E [X] = n 
VAR [X] = 2n. 
3. O seu aspecto gráfico depende do n (parâmetro caracterizador da distri-
buição). Na figura abaixo, ilustram-se algumas distribuições do qui-qua-
drado. 
l(x) 
o 
' 
' 
' 
' 
' 
-~_10 
----- --
X 
4. É uma distribuição aditiva, isto é: se as variáveis aleatórias 
X;, (i = 1, 2, ... , n), são independentes e X; n xfn;J então 
n n 
I X;n 2 XcmJ onde m=L, ni. 
i= 1 i= 1 
2.2.1.2. Alguns teoremas 
1. O quadrado de uma variável aleatória normal standartizada tem distribui-
ção do qui-quadrado com 1 grau de liberdade, xfo. 
2 (X-µJ2 2 Z = n X(1J 
-···-.·-·--·-· -·· __ q ___ -·-·--··-··-·--·-·-··-·-·-··-··---··--·----·-··-· -· 
sendo Z n n (O, 1). 
63 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2. O somatório do quadrado de n variáveis aleatórias com distribuição 
normal padrão tem distribuição do x2 com n graus de liberdade, ou seja: 
n [ J2 X; - µ; 2 L a· ílX(n)· 
i= 1 I 
3. A distribuição do xfn l tende para a distribuição normal, à medida que n 
aumenta. Ou seja, quando n -? =, tem-se: 
xfn) n n(n,'Í2n) 
ou 
2 X(n) - n 
'12n 
o 
í1 n (O, 1) . 
por aplicação do teorema do Limite central. 
Uma melhor aproximação resulta ainda quando se utiliza: 
~ 2X~) - {2{) n n (O, 1) para valores de n > 30. 
2.2.2. Distribuição t de Student 
64 
DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
2.2.2. 1. Principais características 
da distribuição t de Student 
-··-------- ........ ------~i 
1. É simétrica em relação ao eixo x =O. 
2. Se X n trn l então demonstra-se que: