Estatistica Aplicada vol.2

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ESTATISTICA 
APLICADA 
Volume 2 
Elizabeth Reis 
Paulo Melo 
Rosa Andrade 
Teresa Calapez 
4ª EDIÇÃO - REVISTA 
~--, 
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É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer 
forma ou meio, nomeadamente fotocópia, esta obra. As transgressões 
serão passiveis das penalizações previstas na legislação em vigor. 
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Editor: Manuel Robalo 
FICHA TÉCNICA: 
Título: Estatística Aplicada - Volume 2 
Autores: Elizabeth Reis, Paulo Melo, Rosa Andrade, Teresa Calapez 
© Edições Silabo, Lda. 
4ª Edição - Revista - 3ª Reimpressão 
Lisboa, 2008. 
Impressão e acabamentos: Europress, Lda. 
Depósito Legal: 170314/01 
ISBN: 978-972-618-256-6 
EDIÇÕES SÍLABO, LDA. 
R. Cidade de Manchester, 2 
1170-100 LISBOA 
Telf.: 218130345 
Fax: 218166719 
e-mail: silabo@silabo.pt 
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Índice 
.... ---··-------------- ------------· 
NOTA INTRODUTÓRIA À SEGUNDA EDIÇÃO 
PREFÁCIO ................... . 
Capítulo V - O processo de amostragem 
. 11 
13 
1. INTRODUÇÃO .......... . . ........ 17 
2. ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES NA TEORIA 
DA AMOSTRAGEM ................. . . 19 
3. QUESTÕES PRÉVIAS AO PROCESSO DE AMOSTRAGEM . 22 
4. AS FASES DO PROCESSO DE AMOSTRAGEM . . . . . . . 23 
4.1. A identificação da população alvo I população inquirida 
4.2. Os métodos de selecção da amostra . 
4.2.1. Métodos de amostragem aleatória . 
4.2.1.1. Amostragem aleatória simples 
4.2.1.2. Amostragem casual sistemática . 
4.2.1.3. Amostragem estratificada 
4.2.1.4. Amostragem por clusters 
4.2. 1.5. Amostragem multi-etapas 
4.2.1.6. Amostragem multi-fásica . 
4.2.2. Métodos de amostragem dirigida 
4.2.2.1. Amostragem por conveniência 
4.2.2.2. Amostragem intencional 
4.2.2.3. Amostragem snowball . 
4.2.2.4. Amostragem sequencial 
4.2.2.5. Amostragem por quotas 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..... 
Capítulo VI - Distribuições amostrais 
1. INTRODUÇÃO ........ . 
1 .1. Amostra aleatória-.-.-.--.- . 
1.2. Parâmetros e estatísticas . 
. 24 
. 26 
. 27 
. 28 
. 31 
. 32 
. 35 
. 36 
. 37 
. 39 
. 39 
. 40 
. 41 
. 41 
. 42 
. 45 
.. .. 49 
. -:·-.--:-so- ~ 
.... 53 
1.3. Lei dos grandes números ...... . 
1.4. Teorema do limite central ...... . 
2. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS TEÓRICAS 
2.1. Distribuição normal .. 
2.2. Outras distribuições . 
2.2.1. Distribuição do Qui-quadrado 
2.2.1.1. Principais características da distribuição do X2 . 
2.2.1.2. Alguns teoremas .... . 
2.2.2. Distribuição t de Student .. . 
2.2.2.1. Principais características 
da distribuição t de Student 
2.2.2.2. Alguns teoremas ..... . 
2.2.3. Distribuição F de Snedecor .. 
2.2.3.1. Principais características da distribuição F 
2.2.3.2. Alguns teoremas ............ . 
3. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS ESTATÍSTICAS 
. 55 
. 57 
. 59 
. 59 
. 62 
. 62 
. 63 
. 63 
. 64 
. 65 
. 65 
. 66 
. 67 
. 67 
MAIS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . 69 
3.1. Populações Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
3.1.1. Distribuição de uma proporção amostral . . . 71 
3.1.2. Distribuição da diferença entre duas proporções amostrais . 73 
3.2. Populações normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
3.2.1. Distribuição da média amostral (X) quando a variância ri 
é conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 
3.2.2. Distribuição da variância amostral (S 2) ............ 75 
3.2.3. Distribuição da média amostral (X) quando a variância cr2-
não é conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
3.2.4. Distribuição do quociente 
de variâncias amostrais ( S '~ / S '~) . . . . . . . . . . . . . . 77 
3.2.5. Distribuição da diferença 
entre médias amostrais (X1 - X2) . 78 
3.3. Distribuições amostrais dos extremos . . 80 
3.3.1. Distribuição do máximo da amostra . . 80 
3.3.2. Distribuição do mínimo da amostra . 81 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . 83 
Capítulo VII - Estimação de parâmetros 
1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . 
2. ESTIMAÇÃO PONTUAL- .. - ~ .- . 
2.1. Estimadores e estimativas .. 
2.2. Propriedades dos estimadores 
2.3. Métodos de estimação pontual . 
2.3.1. O método da máxima verosimilhança . 
3. ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .. 
Capítulo VIII - Ensaio de hipóteses 
1. A NECESSIDADE DOS ENSAIOS DE HIPÓTESES 
2. HIPÓTESES E ERROS ........... . 
3. COMO FAZER UM ENSAIO DE HIPÓTESES . 
4. ERROS NOS ENSAIOS DE HIPÓTESES . 
4.1. Análise de erros . 
4.1 .1. O erro tipo / . . . . . . 
4.1.2. O erro tipo li . . . . . . 
4.1.3. Minimização dos erros . 
4.2. Função potência do ensaio ..... 
5. ESCOLHA DA ESTATÍSTICA ADEQUADA AO ENSAIO 
5.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.2. Ensaios de hipóteses com uma amostra .. 
5.2.1. Ensaio para a média µ do universo ... 
5.2.1.1 . A população é normal e a variância 
do universo é conhecida . . . . . . . 
5.2.1.2. A população é normal e a variância 
do universo é desconhecida . 
5.2.1.3. A população é desconhecida 
5.2.2. Ensaio para a proporção ... . 
5.2.3. Ensaio para a variância .... . 
........ 89 
. 90 
. 90 
. 91 
103 
103 
111 
123 
131 
133 
135 
143 
145 
146 
149 
153 
159 
165 
165 
166 
166 
166 
166 
170 
171 
172 
5.3. Ensaios de hipóteses com duas amostras . . ........ 174 
------s:3:1~-Ensaio-para-a-·diferença-de-mêdias--.. -.- -:-·:---:--:-:--:-.--. -. -. 174 
5.3.1. 1. Populações normais e variâncias conhecidas 
5.3.1.2. Qualquer população, variâncias desconhecidas, 
mas amostras grandes . . . . . . . . . . 
5.3.1.3. Amostras pequenas, populações normais 
e variâncias desconhecidas mas iguais . 
5.3. 1.4. Amostras emparelhadas ......... . 
5.3.2. Ensaio para a diferença de proporções ... . 
5.3.3. Ensaio para comparação de duas variâncias . 
5.4. Ensaio de hipóteses para mais de duas amostras 
5.4. 1. Ensaio para a diferença de k médias -
- análise de variância simples . . . . . . 
5.4.2. Testes de comparação múltipla ..... . 
5.4.3. Ensaios para a diferença de k variâncias 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............ . 
Capítulo IX - Testes não-paramétricos 
1. INTRODUÇÃO ....... . 
175 
175 
178 
180 
184 
187 
191 
192 
198 
205 
208 
217 
2. TESTES DE AJUSTAMENTO 221 
2. 1. Teste de ajustamento do qui-quadrado 223 
2.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov . 232 
3. TABELAS DE CONTINGÊNCIA . . 238 
3. 1. Teste do Qui-quadrado de Independência 238 
3.2. Medidas de Associação . . . . . . . . . 245 
4. TESTES À IGUALDADE DE DUAS OU MAIS DISTRIBUIÇÕES 248 
4.1. Testes à igualdade de distribuições 
em duas amostras independentes . . . . . . . . . . . . 250 
4.1.1. Teste de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . 250 
4. 1.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras 259 
4.2. Teste à igualdade de distribuições em mais de duas 
amostras independentes - o teste de Kruskall-Wallis . 263 
5. COMPARAÇÕES ENTRE DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS 271 
5. 1. Teste de McNemar ou de mudança de opiniâo . 272 
5.2. Teste do sinal . . 277 
5.3. Teste de Wilcoxon . 280 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS . ' 286 
Apêndice - Tabelas de distribuição 
Distribuição do qui-quadrado . 
DistribuiÇãOde-fde Sfoâeri\ ·· 
Distribuição F de Snedcor . 
Valores críticos da distribuição do studentized 
range para comparações múltiplas .... 
291 
292 
293 
295 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra 299 
Quantis da estatística de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . 300 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov 
para duas amostras de igual dimensão . . . . . . . . . . . . . 304 
Quantis da estatística de Kolmogorov-Smirnov 
para amostras de dimensões diferentes. 305 
Quantis da estatística de Kruskal-Wallis para pequenas amostras 307 
BIBLIOGRAFIA .......................... . 309 
Nota à segunda edição 
Esta nova edição de Estatística ApÍicada, para além de constituir uma nova 
versão revista e actualizada, apresenta-se agora dividida em dois volumes, 
para, tanto quanto possível, responder às solicitações de muitos dos nossos 
leitores, docentes e alunos, cujos programas de Estatística assim se encontram 
estruturados. 
O primeiro volume, para além do capítulo introdutório, inclui um segundo 
capítulo sobre Teoria das Probabilidades, um terceiro sobre Variáveis Aleató-
rias, sendo o quarto e último sobre as Distribuições Teóricas mais Importantes. 
Os restantes cinco capítulos da primeira edição fazem agora parte do 
segundo volume. Embora maioritariamente dedicado aos métodos de Inferên-
cia Estatística (capítulos VII, VIII e IX, Estimação de Parâmetros, Ensaios de 
Hipóteses e Testes não-Paramétricos), depois de uma breve introdução aos 
Processos de Amostragem (quinto capítulo), é também feita a apresentação 
das Distribuições Amostrais (capítulo VI). 
Acreditamos que esta solução dará também resposta às preferências de 
muitos outros leitores que, pelo carinho e interesse com que acompanharam 
a primeira edição, pelas sugestões e indicações de gralhas e erros, decidida-
mente contribuíram para a produção desta nova edição. A todos, os nossos 
agradecimentos. 
Conscientes de que é possível fazer melhor, esperamos que esta nova 
edição vos desperte tanta atenção como a anterior, deixando aqui a promessa 
de nos mantermos empenhados no seu aperfeiçoamento. 
Os autores 
Lisboa, Setembro de 1997 
Prefácio 
Este livro de Estatística Aplicada destina-se a profissionais licenciados ou 
não e a estudantes universitários que, na vida prática ou no processo de 
aprendizagem, têm necessidade de saber Estatística e de a aplicar aos pro-
blemas mais variados do dia-a-dia. Como objectivos finais, este livro pretende 
tornar compreensíveis a linguagem e notação estatísticas, bem como exempli-
ficar as suas potenciais utilizações, sem descurar os pressupostos subjacentes 
e o rigor teórico necessário. 
Deverá referir-se que a escolha do título não foi pacífica. De entre os vários 
alternativos - Probabilidades e Estatística, Inferência Estatística, etc. - a 
preferência por Estatística Aplicada justifica-se pela abordagem diferenciada 
de outras obras já publicadas sobre Inferência Estatística, e que resumidamen-
te pode ser assim descrita: mais do que «ensinar», pretende-se com este livro, 
a) despertar e estimular o interesse dos leitores pelo método estatístico de 
resolução dos problemas; b) utilizando uma linguagem simples e acessível, 
apresentar os conceitos e métodos de análise estatística de modo mais intuitivo 
e informal; c) acompanhar a apetência teórica com exemplos apropriados a 
cada situação. 
O livro encontra-se dividido em nove capítulos. No capítulo 1 {Introdução) 
são explicitadas várias razões para que um profissional, técnico, estudante ou 
mero cidadão adquira um nível mínimo de conhecimentos em Estatística. 
A Teoria das Probabilidades é objecto de estudo do capitulo li. Nele são 
apresentados os diferentes conceitos de probabilidade e a sua axiomática, 
dando especial relevo aos teoremas da probabilidade total e de Bayes. 
Os terceiro e quarto capítulos, tal como o segundo, são essenciais para a 
compreensão dos seguintes, relativos à Inferência Estatística. O capítulo Ili 
respeita às Variáveis Aleatórias, sua definição, características e propriedades. 
No quarto capítulo estudam-se em pormenor as distribuições de algumas 
variáveis aleatórias de importância maior nas áreas de aplicação das ciências 
sócio-económicas como sejam as distribuições de Bernoulli, binomial, Poisson, 
binomial negativa, hipergeométrica, multinomial, uniforme e normal. 
O capítulo V é dedicado ao estudo dos processos de amostragem, incluindo 
os diferentes métodos de recolha de uma amostra, enquanto que no capítulo 
VI s~ ªfir~serita111_A~ distribuiçQ§!J>_ªmostrai_$._JDais_importantes. _____ --
----
Os três últimos capítulos são dedicados à Inferência Estatística propriamen-
te dita. No capitulo VII apresentam-se métodos de estimação de parãmetros, 
com ênfase especial para o método de máxima verosimilhança. Inclui-se ainda 
a estimação por intervalos. Os capítulos VI 11 e IX destinam-se à apresentação, 
respectivamente, dos ensaios de hipóteses paramétricos e não-paramétricos. 
Com excepção do primeiro, todos os restantes capítulos são finalizados com 
um conjunto de exercícios não resolvidos, acompanhados geralmente das 
respectivas soluções. 
No Apêndice estão incluídas as Tabelas (das distribuições) necessárias à 
compreensão do texto e à resolução dos exemplos e dos exercícios propostos. 
Este livro é o resultado de alguns anos de experiência docente dos seus 
autores na equipa de Estatística do ISCTE e da tentativa de responder às 
necessidades sentidas por muitos - alunos e docentes de variadas licencia-
turas, docentes do ensino secundário, profissionais e técnicos de diferentes 
áreas cientificas (gestão, economia, sociologia, psicologia, medicina, enferma-
gem, engenharia, informática, etc.) - que, no decorrer destes anos, e na falta 
de uma obra que os ajudasse a encontrar as soluções estatísticas apropriadas 
aos seus problemas, procuraram ajuda junto dos autores. 
Sem dúvida que a responsabilidade desta obra é assumida pelos seus 
autores, mas a sua concretização só se tornou possivel com a ajuda, apoio e 
disponibilidade de muitos. Por isso, não deixando de agradecer a todos os que, 
directa ou indirectamente, contribuíram para a sua realização, gostaríamos de, 
nominalmente, dar uma palavra especial de agradecimento aos seguintes 
docentes de Estatística do ISCTE: Ana Cristina Ferreira, Ana Paula Marques, 
António Robalo, Fátima Ferrão, Fátima Salgueiro, Graça Trindade, Helena 
Carvalho, Helena Pestana, João Figueira, J.C. Castro Pinto, J.J. Dias Curto, 
Margarida Perestrelo e Paula Vicente. 
Finalmente, uma palavra de apreço a todos ::s alunos, quer das licenciatu-
ras do ISCTE, quer dos mestrados do INDEG/ISCTE, cujas sugestões, dúvidas 
e problemas certamente contribuíram para enriquecer este livro. 
Os autores 
'I 
.1 
Capítulo V 
O processo 
de amostragem 
Introdução 
A amostragem e em particular os processos de amostragem aplicam-se em 
variadíssimas áreas do conhecimento e constituem, muitas vezes, a única 
forma de obter informações sobre uma determinada realidade que importa 
conhecer. 
A teoria da amostragem é assim um dos instrumentos que possibilita esse 
conhecimento científico da realidade (sempre complexa), onde outros proces-
sos ou métodos alternativos, por razões diversas, não se mostram adequados 
ou até mesmo possíveis. 
Ainda que as pessoas não vejam esta temática, em particular os princípios 
da teoria da amostragem, como algo banalizado, a verdade é que eles supor-
tam (ou deviam suportar) muitas das mensagens que no seu quotidiano lhes 
são transmitidas nas mais variadas situações. Se não vejamos: 
«Neste último mês foi-me pedido para colaborar em dois inquéritos de rua e 
até num pelo telefone)>. 
«A telenovela e os programas desportivos continuam a ter as maiores audiên-
cias em todo o país>>. 
><Os valores Amizade e Liberdade alteraram-se substancialmente na última 
décadan. 
«O líder do partido A tem visto nos últimos meses aumentar o seu prestígio 
em detrimento dos lideres dos partidos B e e ... 
«A opinião dos consumidores sobre o nosso produto é bastante desfavorável, 
dadas as razões da sua preferência quanto às diferentes características dos que 
existem no mercado>>, 
«Nunca tinha pensado que as razões principais do divórcio tossem as que 
esse artigo refere>>. 
-- -----~-----··-··-- ----------- ----17 
EST ATÍSTJCA APLICADA 
18 
«o lote entregue pelo nosso fornecedor não satisfaz a qualidade a que se 
comprometeu, pelo que não deverá ser aceite>>. 
«Os nossos concorrentes têm como pontos fortes o cumprimento dos prazos 
de entrega e as condições de pagamento>>. 
<<O índice de preços no consumidor tem baixado substancialmente nos últimos 
anos». 
ccOe acordo com 0 interesse manifestado pelos utentes, a Carris vai proceder 
à reestruturação de algumas carreiras em várias zonas da cidade». 
cc o baixo clima social existente na empresa poderá ser bastante diminuído por 
uma comunicação mais cuidada, em particular no que respeita aos quadros 
superiores e intermédios)). 
<<Quando a estenose aórtica se manifesta por angina de peito, a média de 
sobrevida não ultrapassa os 5 anos». 
uma boa parte das mensagens atrás descritas aparecem como conclusões 
sobre determinada realidade em que se aplicou a Inferência Indutiva _:_ isfo é 
_ a partir dos resultados de experiências ou inquéritos que fornecem dados 
estatísticos sobre determinada investigação, formulam-se conclusões que ul-
trapassam 0 âmbito das experiências ou inquéritos efectuados. Ou seja, faz-se 
a extensão do particular para o geral. 
Mas, então, põe-se a questão: serão válidas as conclusões a que se chega? 
A Estatística Indutiva fornece as técnicas que permitem realizar as inferên-
cias indutivas e controlar e até medir o grau de incerteza que aquelas 
conclusões possam conter. 
---·-------·--
Alguns co.n_~f!it<?_~ __ _ 
importantes na teoria 
da amostragem 
O problema da Inferência Indutiva é, do ponto de vista da Estatística, 
encarado da seguinte forma: a finalidade da investigação é descobrir algo sobre 
determinada população ou universo. 
Importa assim que se definam alguns conceitos fundamentais na teoria da 
amostragem: 
• População ou universo 
Conjunto de unidades com características comuns. 
O conjunto dos utentes da Carris, das famílias moradoras em certos bairros, 
dos alunos do ISCTE, das peças produzidas por uma máquina em determinado 
período, dos resultados obtidos no lançamento de um dado, são exemplos de 
populações ou universos. 
Refira-se que os exemplos atrás mencionados referem-se a populações 
reais, com excepção para o conjunto de resultados obtidos com o lançamento 
de um dado em que tal universo ou população se diz hipotética. 
A unidade básica de uma população denomina-se elemento da população. 
•Amostra 
Sub-conjunto do universo ou população. 
A obtenção de informação sobre parte de uma população denomina-se 
amostragem. 
Em geral, o investigador está interessado em certa(s) característica(s) es-
pecífica(s) da população em estudo. Define-se então uma certa variável X que 
representará a característica que se pretende avaliar. 
A variável X poderá designar o número de filhos, o rendimento disponível 
ou o atributo de ser trabalhador por conta de outrém (X= 1) ou trabalhador por_ __ _ 
---conta: própria (x; 6) das famíliasinoradoras em cario bairro (população). 
19 
ESTATÍSTICAAPUCADA 
20 
A característica X poderá ser uma variável discreta ou contínua, mas, 
desde que o elemento tenha sido escolhido ao acaso da população, é uma 
variável a!eatória com uma certa distribuição de probabilidade. 
Embora a variável aleatória X designe uma característica de uma popula-
ção, é frequente utilizar no âmbito da teoria da amostragem a designação X 
para a própria população. 
No estudo das variáveis aleatórias e distribuições, parte-se sempre de 
determinado modelo probabilístico e a partir dele calculam-se probabilidades 
de çertos resultados e observações. 
Na Inferência Estatística, o processo é, como alguns autores afirmam, o 
inverso - isto é, parte. se de certos resultados ou observações fornecidas para 
uma amostra e procura-se chegar a um modelo probabilístico. 
Suponha-se que a população em estudo é constituída por 1 O mil familias 
residentes em determinada região. 
Aquelas familias utilizam diferentes marcas de óleo alimentar que se encon-
tram à disposição no mercado. 
A característica em estudo é o atributo utilizar o óleo A (X= 1) ou não utilizar 
o óleo A (X = 0). 
Seja p a proporção das familias que utilizam o óleo A. 
Escolhem-se ao acaso 100 familias e pretende-se determinar a probabilidade 
de, no conjunto das 100 familias, encontrar 30 que utilizem o óleo A (e as 
restantes 70 utilizarem um outro óleo). 
Convém aqui distinguir duas situações: 
•Situação 1 
A proporção das familias que utilizam o óleo A é conhecida, isto é, o p é 
conhecido, supondo-se igual a 0,4. 
Então, para determinar aquela probabilidade, bastaria aplicar o modelo proba-
bilístico adequado. 
Trata-se de uma distribuição hipergeométrica (ou binomial sem reposição), 
desde que as 100 familias tenham sido seleccionadas sem reposição - o que 
aliás é a situação que realisticamente tem mais sentido - já que se pressupõe 
que uma mesma família não pode ser seleccionada mais que uma vez. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Se por exemplo p = 0,4, isto é, se das 10000 familias, 4000 utilizam o óleo A, 
então a probabilidade pedida será dada por 1: 
•Situação 2 
A proporção das familias que utilizam o óleo A é desconhecida, isto é, p é 
desconhecido. 
Esta é a situação que, na prática, sucede na maioria das vezes e o objectivo 
é diferente do da situação anterior. 
Ao serem seleccionadas as 100 famílias, o objectivo consiste em tirar conclu-
sões sobre a verdadeira percentagem das familias que utilizam o óleo A, no total 
das 10000 familias. Ou seja, a partir dos resultados de uma amostra, pretende-se 
concluir para o universo ou população que neste caso é constituído pelas 10000 
familias residentes em determinada região. 
É óbvio que as conclusões a que se chega-conterão,- em maior ou menor grau, 
uma certa dose de incerteza - que, no entanto, respeitadas certas condições, 
pode ser medida e controlada. 
Não se pode dizer que tais conclusões são verdadeiras ou falsas, a não ser 
que fossem inquiridas as 10000 familias e depois se verificasse qual a proporção 
das que utilizam o óleo A. 
Na situação 2 está-se no âmbito da inferência indutiva onde se pretende -
utilizando toda a informação disponível a partir da amostra (do particular) -
concluir para o universo ou população em estudo (o geral). 
Ora, a observação de toda a população (as 10000 familias) teria um preço 
demasiado elevado para se obter uma resposta sem qualquer grau de incerteza. 
Quando a população é conceptualmente infinita, a sua enumeração torna-se 
até impossível. 
Noutros casos, o processo de amostragem é destrutivo - a numeração 
completa do Universo é possível, mas teria custos demasiado elevados2. 
• 
1 
Aquela probabilidade poderá ser dada de forma aproximada por c~ggoJ 0,430 0,67º dado 
~ue P se mantém quase fixo de prova para prova (de tiragem em tiragem), o que corresponderá 
~-aplicação da distribuição binomial. Poder-se-ia ainda fazer a aproximação à distribuição normal 
Ja que n é suficientemente grande e p tem um valor intermédio. 
---~-~-g~en~ralidadedOS-t8Stes de con.:.tr_o_lo-de_q_u-al-id-a-de_d_o_s_p.:.ro_d_u_to_s_ou--m-a-te-n-.a-is-q-ua_n_to-à 
res1stenc1a, durabilidade, etc., são exemplos disto. 
21 
li Questões prévias 
ao processo de amostragem 
22 
Uma definição clara dos objectivos do estudo a efectuar é fundamental e 
deve ser feita numa fase anterior ao início daquilo a que chamamos o processo 
de amostragem. 
Definidos os objectivos, nomeadamente as características da População 
que se pretende estudar, há que efectuar um levantamento e sistematização 
da informação disponível que no caso se torna relevante. 
A formulação e resposta àquelas questões prévias é por demais importante 
já que pode sugerir um quadro geral de alternativas cuja escolha acaba por 
condicionar alguma ou algumasfases de qualquer processo de amostragem. 
Exemplifique-se: 
i) Se a informação disponível sobre as variáveis (ou características) em 
estudo for bastante escassa, as alternativas que se põem na escolha da 
População, do método de amostragem e na dimensão da amostra serão 
em mais reduzido número. 
ii) Se a informação estatística obtida permitir concluir da existência de uma 
grande variabilidade na(s) característica(s) em estudo, dever-se-á utilizar 
uma amostra de maior dimensão. 
As fases _cl_º_!!_roct!_ssº--_~--~-11-­
de amostragem 
Depois de se identificar os dados que deverão ser recolhidos e o instru-
mento (questionário estruturado, por exemplo) a utilizar para essa recolha, 0 
passo seguinte consiste em definir um processo de amostragem adequado ao 
tipo de dados e ao instrumento de análise. 
No processo de recolha de dados é necessário desenvolver um processo 
sistemático que assegure a fiabilidade e comparabilidade dess_es dados. Mais 
especificamente, é necessário que se estabeleça à partida um plano de amos-
tragem de acordo com a população alvo, com a definição da população a 
inquirir e com um processo adequado de administração do inquérito. 
O plano de amostragem deverá começar por determinar qual o nível de 
extensão geográfica em que o processo de amostragem deverá ser conduzido 
(mundial, nacional, regional, urbano, rural, grupo de indivíduos, etc.). 
A construção da amostra propriamente dita envolve várias etapas igualmen-
te importantes e que são: 
1. A identificação da população alvo/população inquirida. 
2. O método de selecção da amostra. 
3. A dimensão da amostra. 
23 
ESTATiSTICAAPLICADA 
4. 1. A identificação da população 
alvo/ população inquirida 
24 
A identificação da população de uma forma clara e objectiva é imprescin-
dível, embora possa parecer demasiado óbvia em muitas circunstâncias. 
Designa-se por população alvo a totalidade dos elementos sobre os quais 
se deseja obter determinado tipo de informações. 
Suponha que o proprietário de um edíficio onde irá funcionar um centro 
comercial pretende avaliar qual o impacte nos utilizadores do centro da existência 
de uma livraria. 
Qual a população alvo? 
Na verdade a população alvo é constituída por todos os potenciais utilizadores 
do centro. 
No entanto, neste caso particular, esta definição não é operacional, já que a 
informação disponível não permite distinguir os potenciais utilizadores dos poten-
ciais não utilizadores do centro (numa fase anterior à conclusão do edíficio). 
Assim, várias alternativas na escolha da chamada população inquirida (aquela 
que será objecto de análise) se poderão pôr: 
a) Todos os residentes na cidade onde se situa o centro. 
b) Apenas aqueles de uma área circundante de raio inferior a 3 Km. 
e) Os moradores do bairro/freguesia onde se situa o centro. 
A escolha da alternativa - ou seja, qual a população inquirida - torna-se 
uma questão chave pois é a partir dela que se retirará a amostra. 
• 
Um estudo sobre as intenções de voto terá como população alvo todos 
aqueles que estão em idade e em condições de votar. No entanto, a população 
inquirida poderá incluir apenas aqueles que votaram nas últimas ele_iÇÕf:!S., 
• 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Num estudo efectuado sobre.o.grau-de-satisfação.dos clientes-utilizadores-de 
embalagens de cartão canelado relativamente aos vários fornecedores existentes 
no mercado, é possível, pelo menos de uma forma aproximada, conhecer a 
população alvo através das Estatísticas Industriais do INE (repartida até pelos 
var~os sectores de actividade), podendo haver assim coincidência entre a popu-
laçao alvo e a população inquirida naquele estudo. 
• 
Refira-se ainda que nos casos em que não há coincidências entre a popu-
lação alvo e a população inquirida, as inferências indutivas dizem respeito à 
população inquirida e que se torna abusivo inferir para a população alvo. 
Resumindo, a população alvo é constituída por todos os elementos sobre 
os quais se deseja obter um determinado conjunto de informações. No entanto, 
em muitas situações, não é operacional inquirir uma amostra retirada da 
população alvo, havendo necessidade de definir qual é a população a inquirir, 
não coincidente com a população alvo, e a partir da qual se retirará a amostra. 
Em seguida, os respondentes serão seleccionados de entre a população a 
inquirir, de acordo com a unidade de análise. Por exemplo, num inquérito sobre 
o consumo das famílias em produtos alimentares, a unidade de análise é a 
família e o respondente poderá ser o elemento feminino do casal. Por último, 
é necessário definir qual o processo de amostragem e o tamanho da amostra 
mais adequados. 
Estes passos estão apresentados na figura seguinte. 
ESTATfSTICAAPLICADA 
Desenvolvimento de um plano amostral 
População alvo 
Processo amostral 
Dimensão da amostra 
População 
a inquirir 
Amostra final 
Método de recolha 
de dados 
4.2. Os métodos de selecção da amostra 
26 
Qual o método que se deve adoptar quando se pretende seleccionar uma 
amostra? 
Existem dois grandes grupos de métodos para seleccionar amostras: os 
métodos probabilísticos, também chamados de amostragem casual e os mé-
todos não probabilísticos ou de amostragem dirigida. 
Será sobretudo analisado o primeiro daqueles grupos, pois a amostragem 
casual tem diversas vantagens sobre a amostragem dirigida, permitindo ao 
investigador: 
i) Demonstrar a representatividade da amostra. 
ii) Medir explicitamente (em termos probabilísticos) o grau de incerteza com 
que se extrapola para a população/universo, isto é, o erro cometido por 
se usar uma amostra em vez da população. 
iii) Identificar explicitamente os potenciais enviesamentos. 
Refira-se ainda que a precisão e o custo inerente ao processo de amostra-
gem são lactares determinantes na escolha do tipo de método a utilizar. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1. Métodos de amostragem aleatória 
Devido às suas bases teóricas;-apoiadas na teoria ·das· proba:biliC!Mes, a: 
amostragem aleatória tem sido adaptada pela pesquisa em muitas áreas cien-
tíficas. O grau de confiança associado aos resultados obtidos, quando se utiliza 
um processo de amostragem aleatório, pode ser medido e controlado. Do 
mesmo modo, pode ser evitado qualquer enviesamento provocado por uma 
escolha dirigida dos respondentes, uma vez que o processo de selecção é 
casual e mecânico a partir de uma listagem de todos os indivíduos. Estes 
factores podem ser considerados como as vantagens deste tipo de amostragem. 
No entanto, deverão ser também referidas as dificuldades em recolher uma 
amostra aleatória. E a principal dificuldade consiste na obtenção de uma 
listagem completa da população a inquirir. Estas listagens são, na maioria dos 
casos, difíceis de conseguir, de custo elevado, demoradas na sua obtenção e 
nem sempre de fiabilidade aceitável. 
O segundo tipo de dificuldades relaciona-se com as não-respostas. Depois 
de definidos os respondentes, não poderão haver substituições, pelo que as 
não-respostas constituem uma importante fonte de enviesamento e terá de ser 
feito tudo para que a sua taxa seja minimizada. Todas as novas tentativas (por 
entrevista pessoal, telefone ou correio) para obter respostas bem sucedidas 
implicam aumento de custos e demora na obtenção dos resultados. 
A amostragem aleatória é, sem dúvida, o processo mais caro, mas os custos 
tendem a tornar-se pouco importantes face à fiabilidade dos resultados obtidos. 
De uma forma genérica podemos dizer que nos métodos de amostragem 
casual a probabilidade de seleccionar determinado elemento da população é 
conhecida a priori e que tais métodos conduzem às chamadas amostras 
aleatórias. 
Importará caracterizar os métodos de amostragem casual mais frequente-
mente utilizados: 
1. amostragem aleatóriasimples 
2. amostragem sistemática 
3. amostragem estratificada 
4. amostragem por c/usters 
5. amostragem multi-etapas 
6. amostragem multi-fásica. 
--------------- -·-----·--·- -- --------------------~~-----·-------·--· -· 
27 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.1.1. Amostragem aleatória simples 
28 
Caracteriza-se por: 
i) Cada elemento da população ter a mesma probabilidade de ser selec-
cionado; 
ii) Cada amostra de dimensão n ter a mesma probabilidade de ser escolhida. 
Há duas formas de obter uma amostra daquele tipo: 
1 - a da lotaria; 
2 - a dos números aleatórios. 
Para ilustrar o chamado método da lotaria, suponhamos que Ana, Bernardo, 
Carlos e Dora constituem a população de um atelier. Os quatro pretendem ter 
férias no mês de Agosto, mas apenas dois deles podem ir nesse período. 
Decide-se então colocar numa caixa quatro papéis com as letras A, B, C e D 
e retirar (sem reposição) uma amostra de dois daqueles papéis. 
Existem diferentes amostras de dimensão dois que podem ser seleccionadas, 
mas cada amostra ($;) tem a mesma probabilidade de ser escolhida, isto é: 
1 1 P[S1]=(~)=5 
ou seja, há seis amostras diferentes de dois elementos que são: 
S1 - Ana, Bernardo 
S2 - Ana, Carlos 
S3 - Ana, Dora 
S4 - Bernardo, Carlos 
S5 - Bernardo, Dora 
S6 - Carlos, Dora 
Por outro lado, cada elemento da população tem idêntica probabilidade de ser 
seleccionado, ou seja: 
3 1 P[A] = P[B] = P[C] = P[O] = B = 2· 
Neste procedimento, constrói-se assim uma miniatura do universo ou popu-
lação e a partir dela são seleccionados aleatoriamente os elementos que cons~ 
tituirão a amostra. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Este método é no entanto extremamente moroso, dadas as dificuldades de 
construção de uma miniatura do universo, o que fez com que tivesse caído em 
desuso. 
• 
Numa fábrica de automóveis trabalham 200 operários em 10 linhas de mon-
tagem. Em cada uma dessas linhas trabalham 20 operários. 
Pretende-se obter uma amostra aleatória de 15 operários que semanalmente 
serão sujeitos a um teste de álcool, recorrendo à tabela de números aleatórios 
da página seguinte. 
Como obter aquela amostra? 
Inicie-se a leitura a partir, por exemplo, do terceiro grupo de colunas e obter-
-se-ão os seguintes números com 3 algarismos Oá que o número total de operá-
rios, N = 200): 
'660' que se rejeita, '083', ... '009', '140' 
'148', ... '154', ... '200' ... '165', '058', 
'191' ... '172' ... '100' ... '019' ... '111','116','011' quefarãopartedaamos-
tra. 
Assim escolher-se-á o 9º, 11º e 19º da 1ª linha de montagem, o 3º e o 202 da 
5' linha de montagem, o 11' e 16' da 6' linha de montagem e assim sucessiva-
mente. 
• 
As tabelas de números aleatórios são geradas por forma a garantir a 
natureza aleatória dos números que as compõem. 
Existem diferentes formas de obter números aleatórios, embora seja mais 
simples recorrer às tabelas já existentes. 
A grande dificuldade que os métodos de amostragem casual simples apre-
sentam é a morosidade, sobretudo quando as amostras são de grande dimen-
são, a não ser que o processo de obtenção dos elementos que constituirão a 
amostra seja totalmente computorizada e se disponha de uma listagem dos 
-elementos que constituem a população. 
29 
ESTATfSTICA APLICADA 
30 
82 41 73 
24 23 56 
79 72 36 
60 84 59 
09 51 98 
40 89 95 
94 24 54 
91 38 05 
36 84 99 
98 05 72 
19 07 80 
09 61 83 
40 95 11 
76 37 59 
52 06 48 
11 65 73 
07 87 96 
25 26 18 
17 76 94 
62 75 37 
EXTRATO DE UMA TABELA 
DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
89 96 97 
87 73 39 
90 09 87 
43 38 89 
94 42 16 
75 54 95 
83 33 06 
96 66 69 
14 42 24 
25 53 41 
38 82 86 
84 48 83 
40 02 02 
52 20 09 
62 21 50 
40 06 07 
03 31 06 
78 84 18 
60 06 35 
44 40 25 
66 04 74 
08 37 78 
50 19 93 
00 96 80 
14 09 96 
14 80 18 
35 44 14 
97 22 79 
15 40 53 
24 32 40 
54 68 21 
28 99 67 
28 12 57 
35 75 53 
20 05 50 
87 56 20 
16 57 59 
05 80 19 
19 10 27 
65 32 85 
43 43 05 
17 20 53 
38 78 21 
10 04 50 
64 94 59 
86 90 85 
42 86 90 
92 18 88 
36 08 45 
01 90 89 
29 97 47 
79 11 90 
72 25 36 
11 19 66 
11 60 93 
01 17 59 
93 66 78 
95 99 03 
78 14 34 
52 62 04 
36 22 20 
79 08 88 
42 29 97 
44 58 80 
13 75 59 
67 97 72 
47 74 40 
68 48 83 
61 6< 25 
65 63 31 
07 48 86 
81 00 02 
03 70 08 
22 97 72 
92 38 85 
72 23 33 
38 22 22 
89 77 74 
96 56 69 
67 66 66 
i 
i 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1.2. Amostragem casual sistemática 
Este método é também chamado quasi-aleatório por não dar a todas as 
amostras que se podem retirar de uma mesma população-a mesma protlacili=-
dade de ocorrência. Para aplicação deste método é necessário calcular o rácio 
K = _!j_. Em seguida, escolhe-se aleatoriamente um número, no intervalo n 
[1, K], que servirá como ponto de partida e primeiro elemento da amostra. 
Adicionando ao primeiro valor obtido o rácio K (arredondando o resultado por 
defeito), obtém-se o segundo elemento e a adição sucessiva do mesmo rácio 
permite encontrar os restantes elementos da amostra. Como se verifica, ape-
nas o primeiro elemento é escolhido aleatoriamente enquanto que os restantes 
são determinados de modo sistemático pelo rácio. 
Por exemplo, se K = 2, então a dimensão da amostra será constituída por 
metade {50%) da dimensão da População. Se K = 20, então a amostra será 
apenas 5% da População. 
Chama-se amostra sistemática a uma amostra obtida através deste proce-
dimento. 
Em geral, o primeiro elemento a fazer parte da amostra é seleccionado 
aleatóriamente por um processo que se escolhe à partida. 
Suponha-se que uma empresa industrial pretende fazer um inquérito por 
amostragem aos seus 1000 clientes. 
A partir da lista dos seus 1000 clientes, a empresa poderá retirar uma amostra 
cujo primeiro elemento é escolhido aleatoriamente e os seguintes de forma sis-
temática. No caso de a dimensão da amostra pretendida ser n = 100, então K 
seria igual a 1 O; isto é, após a escolha aleatória do primeiro cliente, os restantes 
clientes seriam retirados da lista de 1 O em 1 O a partir daquele. 
Embora este procedimento possa ser visto como uma aproximação mais 
prática da amostragem casual simples, pode no entanto revelar-se inadequado 
no caso em que existam determinadas «regularidades» na lista dos elementos da 
população, que prejudicarão a representatividade da amostra. Isto é, este método 
é de mais fácil execução permitindo mais informação por unidade de custo 
dispendida, desde que se salvaguarde a aleatoriedade da forma como a lista está 
ordenada, requisito que a amostragem casual sistemática exige. 
·-- -----·---------
31 
ESTATÍSTICA APLICADA 
No caso do exemplo anterior, poder-se-ia verificar a posteriori que os 100 
clientes incidiam apenas numa área geográfica muito restrita ou num conjunto 
de sectores económicos muito limitado e com pouca expressão no negócio da 
empresa. 
A situação limite é o caso em que de uma lista de utilizadores de um voo 
aéreo fretado para uma viagem oferecida a casais (em que o nome do homem 
aparece invariavelmente em 1 º lugar e o da respectiva mulher a seguir) se 
retira uma amostra casual sistemática. Este método de selecção conduziria a 
uma amostra formada só por mulheres ou só por homens no caso em que o 
Kfosse par. 
As empresas que executam estudos de mercado utilizam frequentemente 
o método denominado Random Route, que mais não é do que um processo 
de amostragem casual sistemática, já que partem de um ponto de partida 
escolhido aleatóriamente, seguindo depois um itinerário obtido com intervalos 
sistemáticos (inquéritos de porta em porta por exemplo). Um outro exemplo 
são os inquéritos por telefone sobre os níveis de audiência de certos progra-
mas televisivos. 
4_2. 1 _3_ Amostragem estratificada 
32Uma amostra estratificada obtém-se separando os elementos da população 
em grupos mutuamente exclusivos denominados estratos 1 e a partir destes a 
selecção de uma amostra aleatória simples dentro de cada estrato. 
Por mutuamente exclusivos pretende-se dizer que nenhum elemento da 
população pode estar simultaneamente presente em dois ou mais estratos. 
Este método permite, no caso de se conhecerem algumas características 
do universo ou população, obter resultados mais eficientes2 com uma amostra 
de menor dimensão e igual representatividade. 
1 Grupos homogéneos relativamente à característica ou características a estudar. 
2 Menor custo, menor tempo e menor possibilidade de erro. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Essa eficiência será ainda mais importante se a variável a ser estratificada 
se encontrar correlacionada com várias outras variáveis como por exemplo 
idade, sexo, rendimento, status, área geográfica;··etc:;·o-·que-petmititã-esttati-
ficar simultaneamente segundo várias variáveis, desde que se assegure uma 
adequada representatividade dos estratos existentes na população. 
Quando se utiliza um processo aleatório simples, o erro aleatório cometido 
resulta de dois erros diferentes: o erro dentro de cada estrato e o erro entre 
os diferentes estratos. Esta última componente é nula quando a amostra é 
estratificada, uma vez que se recolhem as opiniões dos diferentes estratos da 
população. A amostragem estratificada é ainda mais efectiva quando a diferen-
ça entre os vários estratos é mais acentuada, isto é, quando a dispersão dentro 
da população é elevada. 
Existem dois modos de obtenção de amostras estratificadas. No primeiro, 
cada estrato está representado na amostra proporcionalmente à sua importân-
cia (ou tamanho) na população total. No entanto, nos diferentes estratos, 
dimensões maiores poderão não estar associadas a uma maior dispersão ou 
variabilidade. Por essa razão, um modo de conseguir uma maior represen-
tatividade da amostra será representar os estratos na amostra tendo em conta 
a dispersão dentro de cada estrato da população. Este segundo modo de 
obtenção de uma amostra estratificada só pode ser aplicado nos casos em 
que se conhece a variabilidade dentro de cada estrato da população ou, no 
mínimo, quando existem estimativas dessa variabilidade retiradas de inquéritos 
feitos a populações semelhantes. 
Imagine que se quer construir uma amostra de empresas consumidoras de 
embalagens de cartão canelado em Portugal. 
A população em estudo é constituída pela totalidade das empresas portugue-
sas que utilizam aquele tipo de embalagem e cujo número, em termos aproxi-
mados, se pode obter a partir das Estatísticas Industriais (principais produtos 
consumidos por cada um dos subsectores da CAE). 
As variáveis de estratificação são: principais sectores de actividade e áreas 
geográficas mais importantes. 
Tendo em atenção a importância do consumo relativo de cada um dos sub-
i-----sectores-da-cAE- e ·o-número-de-empresas··existentes-em-ca:da-um-·daqaeles· 
subsectores, obtiveram-se os dados necessários para o preenchimento da última 
33 
ESTATÍSTICA APLICADA 
34 
coluna do quadro seguinte. Posteriormente e de acordo com a localização das 
empresas dos vários subsectores, foram preenchidas as restantes colunas. 
Obteve-se assim o quadro do universo estratificado seguinte: 
Áreas 
NORTE geográficas CENTRO SUL OUTROS 
TOTAL (Braga (Coimbra, (Lisboa, (Restantes Principais e Aveiro Setúbal 
sectores Porto) e Leiria) e Santarém) distritos) 
Alimentação 180 160 310 200 850 
Bebidas 150 70 230 50 500 
O. bens de consumo 1 260 550 700 190 2700 
B. intlb. equip. 1 070 610 600 170 2450 
. 
TOTAL 2660 1 390 1 840 610 6500 
Supondo igual variabilidade em todos os estratos poder-se-ia utilizar a afixa-
ção proporcional para constituir a amostra; no quadro abaixo exemplifica-se o 
caso de a dimensão da amostra ser de n = 650 (10% da população). 
NORTE CENTRO SUL OUTROS TOTAL 
Alimentação 18 16 31 20 85 
Bebidas 15 7 23 5 50 
O. bens de consumo 126 55 70 19 270 
B. inVb. equip. 107 61 60 17 245 
TOTAL 266 139 184 61 650 
• 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.1.4. Amostragem por clusters 
Este tipo de amostragem torna-se particularmente-útil-quando-a-população--· 
se encontra dividida num reduzido número de grupos ou c/usters, caracteriza-
dos por terem uma dispersão idêntica à população total, isto é, os grupos 
/ deverão, tanto quanto possível, ser «microcosmos» da população a estudar. 
Primeiro, seleccionam-se aleatoriamente alguns dos grupos. Em seguida, in-
cluem-se na amostra todos os indivíduos pertencentes aos grupos selec-
cionados. Trata-se afinal de um processo de amostragem casual simples em 
que cada unidade é um c/uster. 
Selecção aleatória 
dos grupos B e D 
Amostra = 
C/usters Jm lff 0 
o o o o o o ª- o 
Suponha que se pretende conhecer as atitudes dos trabalhadores da área 
industrial do Barreiro sobre as suas condições de trabalho. É mais operacional 
compilar uma lista de fábricas daquela área do que uma outra onde constem os 
trabalhadores nominalmente (e até provavelmente impossível de elaborar). 
Neste caso, cada fábrica constitui um cluster de trabalhadores. Apenas uma 
parte destes c/usters (fábricas) participarão na amostra. 
Finalmente serão inquiridos todos os trabalhadores que fazem parte dos 
clusters (fábricas) considerados na amostra. 
Assinale-se que, neste tipo de amostragem, alguns c/usters serão ignorados. 
Se estes forem semelhantes aos incluídos na amostra estará assegurado um 
elevado nível de precisão. 
• 
Este tipo de amostragem é extremamente utilizado quando se torna impra-
ticável ou até impossível construir uma lista de todos os elementos que consti-
,___ __ tuem determin-ada população sendo, no entanto, muito mais fácil listar grupos 
desses mesmos elementos. 
35 
ESTATfSTJCA APLICADA 
4.2.1.5. Amostragem multi-etapas 
36 
O primeiro passo deste tipo de amostra é idêntico ao anterior. A população 
encontra-se dividida em vários grupos e seleccionam-se aleatoriamente alguns 
desses grupos. No passo seguinte, também os elementos de cada grupo são 
aleatoriamente escolhidos. Este processo pode multiplicar-se por mais de duas 
etapas se os grupos estiverem divididos em sub-grupos. 
Num estudo de mercados internacionais foram seleccionados dois países para 
se identificarem as lácticas de posicionamento a seguir para as pastas dentífricas. 
Em cada um dos países escolhidos foram seleccionados cinco centros urbanos 
e, dentro destes, catorze estabelecimentos comerciais. Em todas as etapas (paí-
ses, centros urbanos, estabelecimentos comerciais) as escolhas resultaram de 
um processo aleatório. 
Selecção aleatória 
2 Países 0 
5 Centros urbanos 
14 Estabelecimentos 
comerciais 
Amostragem multi-etapas 
Países 
1 2 3 4 123456 
mnn1ITTmm mnl ITTl 1mn 
• 
Imagine que se pretendia conhecer a aceitação de um novo produto de higiene 
pelas potenciais consumidoras (mulheres adultas) na área da grande Lisboa. 
Obviamente que, embora não sendo impossível construir uma lista onde·-·· 
constassem todas as mulheres adultas residentes naquela área, isso seria não 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
só extremamente dispendioso como a morosidade na sua obtenção a tornaria 
rapidamente desactualizada. 
Neste·caso, poder-se-á utilizar uma variante do método de amostragem·casuatl--------
por c/usters - a amostragem por áreas em etapas múltiplas: 
1' A área da Grande Lisboa seria dividida em concelhos (c/usters) e proce-
der-se-ia à selecção aleatória de algum destes concelhos. 
2' A partir dos concelhos escolhidos anteriormente proceder-se-ia à selecção 
aleatória de algumas freguesias (c/uslers). 
3º De igual modo, cada freguesia seleccionada seria dividida em quarteirões 
(clusters) procedendo-se à selecçãoaleatória de alguns destes. 
4º Ponderando cada quarteirão pelo número de fogos existentes, seleccionar-
·se-ia uma amostra sistemática dos fogos que fariam parte da amostra. 
5' Finalmente seriam inquiridas as mulheres adultas moradoras nestes fogos. 
Caso exista em determinado fogo mais do que uma mulher adulta, esco-
lher-se-ia aleatoriamente uma delas (amostra casual simples). 
Sublinhe-se que a probabilidade de seleccionar um determinado c/uster (con-
celho, freguesia, quarteirão) é sempre proporcional à sua população. 
• 
Como desvantagem deste método adiante-se o facto de que os possíveis 
erros de amostragem se poderem multiplicar, dado que ao longo deste proces-
so se vão utilizando várias sub-amostras com a possibilidade de erros de 
amostragem em cada uma delas. 
A preocupação com a dimensão e precisão da amostra é aqui uma cons-
tante a nível de cada uma das etapas deste método. 
4.2.1.6. Amostragem multi-fásica 
Não deverão ser confundidos estes dois processos de amostragem: multi-
·etapas e multi-fásicas. No primeiro processo as unidades amostrais variam de 
uma etapa para outra. No exemplo referido no ponto anterior, as unidades 
amostrais eram, sucessivamente, os países, os centros urbanos e os estabe-
lecimentos comerciais, enquanto na amostragem multi-fásica define-se sempre 
a mesma unidade amostral para todas as fases de extracção da amostra. 
i----Na-primeira-fase;·recolhem 0se-dados-sobre·-determinadas-características···-··--· 
dos respondentes - por exemplo, o seu comportamento e frequência quanto 
37 
ESTATÍSTICA APLfCADA 
38 
ao consumo de determinado produto, variáveis demográficas, tamanho das 
empresas, a sua disponibilidade para responder novamente a um inquérito. 
Esta informação pode ser usada para a definição de uma listagem dos possí-
veis respondentes à segunda fase do inquérito. É então retirada desta listagem 
uma segunda amostra que responderá a um questionário com um nível de 
profundidade mais elevado. 
Para avaliar o potencial do mercado internacional de micro-computadores, 
poderá ser aconselhável realizar primeiro um inquérito pelo telefone a nível inter-
nacional que permita determinar, para diferentes sectores de actividade e 
tamanhos das empresas, os grandes compradores destes produtos. Em seguida, 
proceder-se-ia à listagem dessas empresas com base nos resultados do inquérito. 
Desta listagem seria retirada uma amostra para a qual se estudaria, em maior 
profundidade, o seu comportamento consumidor, as suas características-chave 
em termos de escolha do vendedor, quem na empresa é responsável pela com-
pra, quais os principais utilizadores do produto, etc. Dependendo do orçamento 
de pesquisa, dentro de cada empresa poderiam ser entrevistados todos os parti-
cipantes-chave na decisão de compra, utilizadores e responsáveis pela compra, 
ou apenas alguns deles. 
• 
Antes de se tecerem algumas considerações sobre os métodos de amos-
tragem dirigida (não probabílisticos), importará esclarecer que os diferentes 
tipos de métodos de amostragem aleatória que acabámos de abordar não são 
m~tuamente exclusivos, podendo ser utilizados conjuntamente em fases dife-
rentes do processo de amostragem. 
Por outro lado, fique bem claro que uma amostra obtida por um método 
de amostragem do tipo aleatório não garante por si só uma resposta correcta 
(a verdadeira, a que se obteria se se utilizasse o universo). 
No entanto, garante, isso sim, a capacidade de medir a probabilidade de 
obter a resposta errada. 
Existem outros proce;ssos de extrair amostras, sendo muitos deles combina-
ções das técnicas anteriormente descrttas com outras técnicas de amostragem 
não aleatória ou dirigida, que se apresentarão em seguida com maior detalhe. 
! ) 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.2. Métodos de amostragem dirigida 
Aqui a selecção de cada elemento que fará parte da amostra é-baseada . ------
em maior ou menor grau em juízos de valor sobre a população alvo. 
Pretende-se que a amostra represente certas características que se conhe-
cem sobre a população, não sendo no entanto possível conhecer a proba-
bilidade de determinado elemento do universo ser seleccionado para constituir 
a amostra. 
Fazem parte deste grupo um grande número de métodos tais como: a 
amostragem por conveniência, o método intencional, a amostragem snowball, 
sequencial e ainda o método de amostragem por quotas. 
Uma amostra obtida através de um destes processos, e se não se pretende 
generalizar os resultados obtidos a toda a população, pode ser adequada nas 
seguintes condições: 
i) O estudo constitui apenas uma primeira experiência ou a primeira fase 
de um estudo mais alargado. 
ii) Existe uma maior preocupação em aperfeiçoar um questionário do que 
em recolher resultados fidedignos. 
iii) É impossível utilizar qualquer tipo de amostragem aleatória (casual). 
4.2.2.1. Amostragem por conveniência 
Este tipo de amostra baseia-se na premissa de que certo tipo de respon-
dentes apresentam uma maior disponibilidade ou se encontram mais aces-
síveis para responder ao inquérito. Dadas as dificuldades e os custos elevados 
da realização de um processo de amostragem aleatório, em muitas situações 
a amostragem por conveniência torna-se particularmente atractiva e, embora 
não se possa falar de representatividade, frequentemente é possível evitar um 
enviesamento sistemático. Este tipo de amostragem pode também ser utilizado 
na fase de pré-teste a um questionário. 
Neste método, selecciona-se a amostra em função da disponibilidade e 
acessibilidade dos elementos que constituem a população alvo. 
Uma das aplicações deste método é o caso de inquéritos sobre a aceitação 
de determinado produto que se encontra nos locais de venda, aproveitando 
assim a presença dos consumidores actuais ou potenciais, que são seleccio-
___ ,,_ ados-desde-que-se-mostrem-disponíveis-para-re·sponder. -- ·-------- ---• 
39 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.2.2. Amostragem intencional 
40 
Neste procedimento, a escolha dos elementos a constituirem a amostra 
baseia-se na opinião de uma ou mais pessoas que são fortemente conhece-
doras das características específicas da população em estudo que se pretende 
analisar. 
Se, por exemplo, a população forem os vendedores ambulantes, torna-se 
impossível obter uma lista daqueles e a ajuda para a selecção dos elementos 
da amostra poderia vir da Polícia de Segurança Pública ou das Associações 
de Comerciantes ... 
No caso da população em estudo serem os homossexuais, ou os consumi-
dores de drogas pesadas, a amostra, em ambos os casos, teria de consistir 
em volurtários dispostos a assumir as situações respectivas e a ajuda poderia 
vir de conhecedores dos habituais frequentadores de certo tipo de bares e de 
certos locais, ou de responsáveis de determinadas instituições de prevenção 
e combate à droga, por exemplo. 
41+1i@@r9 
Em países menos desenvolvidos um inquérito que se pretenda realizar para 
recolha de informação sobre o comportamento dos consumidores poderá ser 
aplicado no mercado, a uma amostra de consumidores que o frequentam nos 
vários dias da semana. Mas pode ainda ser adaptado um outro processo de 
recolha de informação, escolhendo para respondentes aqueles que se pensa 
conhecerem melhor a situação, isto é, os hábitos de consumo da população. 
Poderão ser os mais idosos, os chefes ou os dirigentes religiosos, autênticos 
«peritos>> cujo conhecimento advém de uma longa vivência dentro da comunidade . 
• 
Um outro exemplo diz respeito à força de vendas das empresas que, em certos 
ambientes e situações, pode constituir uma importante fonte de informação pelo 
seu conhecimento das necessidades e interesses dos consumidores. Deverá 
ter-se cuidado especial ao utilizar-se estimativas quantitativas derivadas desta 
fonte, sobretudo quando se referirem ao potencial de vendas daempresa, onde 
existe um risco de maior enviesamento devido a opiniões subjectivas,--- ··- ·--·-
• 
:i· 
1 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
4.2.2.3. Amostragem snowball 
Este processo de amostragem é partiC:úlarmentei a.conselnaao quariâo se-- ·--
pretende estimar características relativamente raras na população total. É uma 
forma de abordagem intencional que se utiliza frequentemente em estudos 
cujas populações são pequenas e muito específicas. 
Este tipo de método utiliza-se em certos estudos em que à partida é o 
próprio inquirido que sugere outros eventuais inquiridos (snowball) bem inse-
ridos na temática que se pretende estudar. 
O método consiste em escolher inicialmente os inquiridos de modo aleatório 
e, numa segunda fase, escolher respondentes adicionais a partir da informação 
obtida dos primeiros. 
Na maior parte dos casos, a população alvo é muito restrita e encontra-se 
muito dispersa por uma série de organismos diferenciados (ministérios, empre-
sas, laboratórios, centros de investigação universitários, etc). 
Num estudo a nível europeu sobre o software utilizado pelos técnicos de 
estudo de mercado, foram consultados os técnicos das empresas portuguesas a 
quem foi pedida a identificação de outras empresas nos paises da U.E. A amostra 
irá sendo aumentada à medida que os inquiridos vão sugerindo novos nomes. 
• 
4.2.2.4. Amostragem sequencia/ 
Outro tipo de amostragem dirigida que pode ser considerado como relati-
vamente semelhante ao método multi-fásico é a amostragem sequencial. 
Neste processo de amostragem, a realização da fase seguinte só é decidida 
depois de analisados os resultados da fase anterior. Com o desenvolvimento 
das respostas computorizadas aos inquéritos, este processo tenderá a tornar-
se cada vez mais popular. Os respondentes vão sendo entrevistados e os 
~ad_o_s_analisados simultan_Ei.<1mef!!_~ou em_certos momentos pré-defi11_idos, 
tomando-se, em seguida, a decisão de continuar ou não com as entrevistas . 
41 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4.2.2.5. Amostragem por quotas 
42 
Este método não probabilístico pode ser representado como algo equiva-
lente à amostragem aleatória estratificada. 
Na amostragem por quotas, estabelece-se uma quota para cada estrato 
que seja proporcional à sua representação na população e assegura-se que 
um número mínimo de elementos faça parte da amostra, para cada estrato 
especificado. 
Pretende-se assim obter uma amostra que seja semelhante à população 
em certas características pré-especificadas, ditas características ou variáveis 
de «controlo>). 
Seja P a dimensão da população a inquirir e P1 o número de indivíduos 
dessa população no estrato 1. Se a dimensão da amostra for S, então 
S x ( ~ ) será o número de indivíduos na amostra pertencentes ao estrato 1. 
Por exemplo, se numa população de 10000 indivíduos, 2500 pertencem ao 
grupo etário dos 25 aos 35 anos, numa amostra de 400 indivíduos retirados 
desta população, 100 deverão ter idades dentro daquela faixa. 
Em resumo, na amostragem por quotas, as proporções dos vários sub-gru-
pos na amostra reflectem a sua distribuição dentro da população. A cada 
entrevistador são dadas as características que os entrevistados deverão satisfazer. 
As entrevistas terminarão quando se obtiverem as quotas pré-estabelecidas para 
cada sub-grupo. 
Existem dois modos de definição das quotas: independentes e interrelacio-
nadas. Com quotas independentes simplifica-se o trabalho dos entrevistadores 
uma vez que necessitam de obter respostas que satisfaçam cada uma das 
quotas separadamente. 
Suponha-se que se pretende estudar as características dos automóveis con-
sideradas mais importantes pelos consumidores. Neste caso, poder-se-ia formular 
a hipótese de tais características poderem ser diferenciadas em função-de.certas __ _ 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
variáveis da população ditas de «controlo» e que nesta situação particular seriam 
as seguintes: 
Idade: 2 categorias (menos de 40-anos-e··mais-deAO-anos) · - ·- ------- ----- -
Sexo: 2 categorias (1/4 mulheres e 3/4 homens) 
Educação: 4 categorias 
Rendimento/Status: 5 categorias 
Seriam assim, 2 x 2 x 4 x 5 = 80 estratos diferentes determinando-se de se-
guida os valores (quotas) para cada um deles. 
• 
Como alguns problemas e desvantagens deste método saliente-se que: 
- ainda que uma amostra por quotas e a população sejam coincidentes 
nas medidas para as quais conhecemos as características de ambas, 
podem diferir substancialmente noutras características para as quais 
temos apenas o valor da amostra; 
- daí que as variáveis de «Controlo» devam ser bem seleccionadas e a 
ausência de uma delas, importante no estudo em causa, poderá condu-
zir a incorrecções graves. Por outro lado, o próprio preenchimento de 
todos os estratos (células) nem sempre se torna de fácil execução. 
A amostragem por quotas foi largamente utilizada nos E.U.A. durante as 
décadas de 30 e 40 para recolha de informação a nível nacional, mas foi sendo 
posta de parte com o desenvolvimento de métodos de amostragem aleatória. 
Actualmente, é altamente criticada pelos estatísticos devido à sua fraqueza 
teórica e, simultaneamente, defendida pelos técnicos de pesquisa de mercados 
e de estudos de opinião pelo seu reduzido custo, facilidade de administração 
e ainda por ultrapassar certo tipo de problemas tais como a falta de uma 
listagem completa e actualizada da população a inquirir e a necessidade de 
informação urgente para tomada de decisão. 
As principais vantagens podem ser assim resumidas: rapidez, economia e 
simplicidade administrativa. 
--------------- -
43 
ESTATÍSTICA APLICADA 
44 
A grande desvantagem deste processo de amostragem é o enviesamento 
introduzido pelo entrevistador na selecção dos respondentes e que é de muito 
difícil medição e controlo. Conscientemente ou não, o entrevistador tem ten-
dência para: 
- escolher determinado tipo de inquiridos e evitar outros por deformação 
ou simpatia pessoal; 
- tentar rentabilizar ao máximo o seu trabalho, fazendo as entrevistas 
seguidas à mesma hora do dia e no mesmo local, quando deveriam ser 
mais espaçados no tempo e na localização. 
Algumas destas desvantagens podem ser minimizadas através de formação 
adequada dos entrevistadores e controlo de todo o processo de recolha de 
informação. 
O PROCESSO DE AMOSTRAGEM 
Exercícios propostos 
1. Defina os conceitos de população e amostra. 
2. Quais as etapas a seguir na construção de uma amostra? 
3. Uma empresa de estudos de mercado pretende realizar um inquérito sobre as 
preferências de consumo dos portugueses relativamente às fraldas descartáveis 
para bébé. Qual a população alvo e a população a inquirir? 
4. Quais as vantagens e desvantagens dos métodos probabilísticos de selecção 
de uma amostra? 
5. Quais as vantagens e desvantagens dos métodos dirigidos de selecção de 
uma amostra? 
6. Que técnicas se poderão utilizar para recolha de uma amostra aleatória sim-
ples? 
7. Quais as diferenças entre um processo amostral estratificado e um por quotas? 
8. Por que razão se designa a amostragem causal sistemática como quasi-alea-
tória? 
9. Em que situações é aconselhável utilizar um processo snowball de recolha de 
uma amostra? 
---------------------------- ------- ···-··· 
45 
Capítulo VI 
Distribuições amostrais 
' 
--·------------------·---- -~-------------~ 
" !' 
' 
1 
i 
r 
J 
Introdução D-
Quando se pretende estudar determinada população, interessa fazê-lo ana-
lisando certas características (ou variáveis) dessa população. 
Essas variáveis podem ser discretas ou contínuas e o seu «comportamen-
to., pode ser definido segundo uma função de probabilidade (se a variável é 
discreta) ou função de densidade de probabilidade (se a variável é contínua). 
Como se referiu anteriormente,embora uma variável X designe uma carac-
terística duma população, é frequente utilizar, no âmbito da teoria da amostra-
gem, a designação X para a própria RoPulaç1jo. 
Para que o comportamento de X seja conhecido, basta conhecer a sua 
distribuição e o valor dos parâmetros caracterizadores dessa distribuição. Por 
exemplo, tratando-se de uma população Bernoulli, terá de ser conhecido o valor 
de p; tratando-se de uma população normal há necessidade de conhecer os 
valores de µ e cr. 
Como se sabe, numa população Bernoulli, p representa a probabilidade de 
um elemento da população possuir o atributo em estudo; numa população 
normal, µ e cr representam, respectivamente, a média e o desvio-padrão da 
característica em estudo. 
Acontece, porém, que os parâmetros de uma população só serão conheci-
dos se for possível estudar todos os elementos que a ela pertencem, facto só 
possível em populações finitas e, regra geral, pouco numerosas. Os custos 
resultantes do estudo de toda uma população são, por vezes, tão elevados, 
que a melhor alternativa consiste em retirar uma amostra dessa população e 
estimar esses parâmetros a partir dos valores amostrais, inferindo assim da 
amostra para a população. Mas nem todas as amostras permitem que, a partir 
dos seus resultados, se faça uma generalização a toda a população. Os 
métodos de inferência estatística, apresentados nos capítulos seguintes, pres-
supõem que a amostra é casual ou aleatória. 
49 
ESTATÍSTICA APLICADA 
1. 1. Amostra aleatória 
50 
Considere-se uma população da qual interessa estudar a característica X, 
cuja função de probabilidade ou f.d.p. é dada por f (x) . 
Se for retirada dessa população uma amostra (A,) de dimensão n, obtém-se 
(x 1. x ~ • ... , x ~ ), onde o k-ésimo elemento x~ (k = 1, 2, ... n) é um valor do 
conjunto de valores que X pode assumir. 
Se for retirada uma outra amostra (A2) , de igual dimensão, obtém-se 
2 2 2 . d (x 1, x 2, ... , x n) . Podem, assim, retirar-se sucessivas amostras a mesma 
dimensão 
1 1 1 amostra A1 : (x 1, x 2 , ... , x n) 
A r r r amostra r: (x 1, x 2, ... , x n) 
Pode ser definida uma amostra «tipo» 
que, por gerar as várias amostras (A1, A2, ... , A,, ... ), pode ser entendida 
como uma variável aleatória n-dimensional com função de probabilidade ou 
f.d.p. conjunta l(x1, x2, ... , Xn). Facilmente se constata que as variáveis 
aleatórias X1, X2, ... , Xn assumem os mesmos valores de X, uma vez que 
são elementos de uma amostra, todos eles retirados de uma mesma popula-
ção, segundo, portanto, a mesma função de probabilidade ou f.d.p. da 
população: 
f(X1) = f(X2) = ... f(Xn) = f(x). 
Acrescente-se ainda que, porque (X1, X2, ... , Xn) é uma amostra reco-
lhida segundo um processo casual ou aleatório, os seus elementos ouva,riá.v!lis 
aleatórias X1, X2 , ... , Xn são independentes entre si. 
DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
Seja uma amostra aleatória de dimensão n = 3, (X1, X2. X3), retirada duma 
população Bernoulli. 
Que amostras diferentes podem ser recolhidas da população? 
Deduza a função de probabilidade conjunta daquela amostra. 
Qual a mais provável no caso de se ter p = O, 1? 
(X1, X2, X3) => Amostra aleatória 
Amostras concretas: 
(O, O, O) amostra em que não ocorre qualquer sucesso. 
(O, 1, O) } (0, o, 1) amostras em que ocorre apenas um sucesso 
(1, O, O) 
(0, 1, 
1) } (1, 1, 0) amostras em que ocorrem dois sucessos 
(1, o, 1) 
(1, 1, 1) amostra em que ocorrem apenas sucessos 
····--·······-··-----·---
51 
ESTATÍSTICA APLICADA 
52 
Distribuição de probabilidade conjunta da amostra aleatória (X1, X2, X3 ): 
l(x1) 
Assim, a probabilidade de ocorrer uma amostra (x1, x2, x, ) com p =·o, 1 é dada 
por: 
l(X1 ,X2,X3lp = 0,1) = 0,1X,+X,+",, 0,93-(x,+x,+x,) 
Concretizando: 
1(0, O, OI p = 0,1) = 0,1º . 0,93 = 0,729 
1(0, 1,0lp = 0,1)} 
1(0, O, 1 I p = 0,1) = 0,1 1 . 0,92 = 0,081 
1(1,0,0lp = 0,1) 
1 (O, 1, 1 I p = O, 1) \ 
1(1, O, 1 lp = 0,1) = 0,1 2 . 0,91 = 0,009 
1(1, 1,0lp = 0,1) 
1(1, 1, 1 lp = 0,1) = 0,1 3 . 0,9° = 0,001 
----------------·· 
Conclui-se que a amostra mais provável é aquela em que ocorrem três insu-
cessos (X1, X2, X3) = (0,0,0) o que aliás faz sentido pois é extremamente baixa 
a probabilidade de ocorrência dum sucesso (a verdadeira proporção de sucessos 
na população é p = O, 1 ). 
• 
DISTRIBUfÇóES AMOSTRAIS 
1.2. Parâmetros e estatísticas 
Um parâmetro é uma característica duma população, isto é, um valor carac-
terizador da população que, embora possa ser desconhecido, é fixo. 
Uma estatlstica é uma característica da amostra, melhor dizendo, é uma 
função da amostra e, portanto, assume valores diferentes para diferentes amostras 
(ou seja, é uma variável aleatória). Se, para cada uma das amostras 
A1, A2, .... A,, ... referidas no ponto anterior, se calcular, por exemplo, a res-
. 'd' b . - 1 - 2 - r pecllva me 1a, o ter-se-ia x , x , .. ., x , ... 
Poder-se-ia então dizer que a média (amostral) X é uma variável aleatória 
amostral, que assume um valor concreto ( x ') para cada amostra concreta 
(A,). 
Assim, a média µ e o desvio-padrão cr duma população normal ou a média 
p e o desvio-padrão ._/p (1 - p) duma população Bernoulli são parâmetros. 
A média duma amostra {chamada também média amostral) recolhida de 
determinada população é uma estatística e designa-se por X. 
O desvio-padrão duma amostra é também uma estatística e designa-se por S. 
Suponha que se pretende estudar a reacção despertada por um novo produto 
a lançar no mercado. Estamos interessados em conhecer a idade média e a 
proporção de interessados no novo produto. 
Uma resposta exacta àquelas questões só seria obtida se perguntássemos à 
totalidade da População em estudo ... 
Poderemos estimar aqueles parâmetros através de uma amostra? A resposta 
é afirmativa. 
É que, a partir duma amostra, podemos obter as estatísticas: idade média 
(idade amostral) e proporção de interessados no novo produto na amostra . 
• 
53 
ESTA TJST/CA APLICADA 
54 
Alguns exemplos de estatísticas: 
n 
- T1 = X = * 2, X; é a chamada média amostral 
i= 1 
n 
~ -2 4' (X;- X) 
- T2 = 52 = _,_·=_1 ___ _ 
n 
n 
~ -2 4' (X; - X) 
é a chamada variância amostral 
- T3 = 5•2 = ~'~·=~'---­
n - 1 é a chamada variância amostral corrigida 
n 
- T4 = 2, X'f 
i=t 
X1 + Xn 
-Ts = 2 
- T5 = + { min (X1, X2, ... , Xn) + max(X1, X,. ... , Xn) }. 
• 
Como facilmente se pode verificar, cada amostra aleatória retirada duma 
população X irá dar origem a estatísticas com valores diferentes. 
Daí que as estatísticas sejam variáveis aleatórias e portanto tenham uma 
certa distribuição de probabilidade. 
Chamam-se distribuições amostrais às distribuições de probabilidade das 
estatísticas. 
Como obter então a distribuição amostral de uma estatística? 
Há duas alternativas: uma teórica que se baseia na distribuição conjunta da 
amostra e outra empírica que consiste em retirar sucessivas amostras, calcular 
o valor concreto da estatística que se pretende e obter a respectiva distribuição 
de frequências. ·- ··--·-··- ··-···-··--
j. 
=i 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
Antes da apresentação das principais distribuições amostrais das estatísti-
cas mais importantes é necessário introduzir um parentesis e falar de duas leis 
muito importantes na inferência estatística: a lei dos grandes números e o 
teorema do limite central, dois conc~it~;-;e.1acionadoseiitresi e absolutamente 
fundamentais à compreensão dos métodos de inferência. 
1.3. Lei dos grandes números 
A Lei dos grandes números desenvolve-se a partir da desigualdade de 
Chebishev que convém aqui recordar: 
Se X for uma variável aleatória com µ = E [X], Var [X] = cf e E um 
qualquer valor real positivo (E > O), então 
P [ IX - µI 2 E ] :". Var [X] 
E2 
isto é, X difere deµ em mais de E com uma probabilidade nunca superior a 
Var [X]IE2 . 
Para o caso particular em que E = K cr a desigualdade prova que 
1 P [ IX - µI ;, K cr] :". - 2-K 
ou seja, a probabilidade de que a variável aleatória X se desvie da média mais 
do que K desvios-padrão é sempre inferior ou igual a --;- . 
K 
É possível agora definir, com base nesta desigualdade, a Lei dos grandes 
números. 
------------------------·-·--·-·----
55 
ESTATÍSTICA APLICADA DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
56 
Demonstração: 
Uma vez que X1, X2 , ... , Xn são elementos de uma amostra aleatória· 
retirados de uma mesma população, são independentes e têm todos a mesma 
distribuição, logo 
Var [ Sn] = n . Var (X) = n a2-
e 
Var[ ; ] = 
Var(Sn) n cr2 a2-
---
-
n2 n2 n 
Sabe-se ainda que 
Pela desigualdade de Chebishev, para qualquer E > O , 
Fixando E e fazendo n tender para =, obtém-se o limite dessa proba-
bilidade 
ou, complementarmente 
c.q.d. 
s Como poderá verificar, _n_ é a média amostral, razão porque esta lei é 
n 
também conhecida por «lei das médias». O seu significado é facilmente com-
preendido: à medida que n aumenta, a probabilidade de a média amostral se 
afastar da média da população em mais do que um valor E previamente fixado, 
tende para O; ou ainda, atendendo ao complementar deste acontecimento, à 
medida que n aumenta, a probabilidade de os desvios entre a média amostral 
e a média populacional se tornarem mais pequenos que um valor qualquer 
E > O tende para 1 . 
1.4. Teorema do limite central 
57 
ESTATÍSTICA APLICADA 
58 
A demonstração deste teorema, por requerer técnicas matemáticas avan-
çadas, não é aqui apresentada 1. A sua aplicação é deveras importante, como 
se verá nos pontos seguintes deste capítulo. Dividindo por n o numerador e o 
denominador da variável Yn , obtém-se 
n 
I 
Sn i= 1 
mas 
-
n n 
X; 
= X. 
Sn 
- µ 
n o n n (0,1) 
Logo, pelo teorema do limite central, conclui-se que, se X for uma variável 
aleatória com média µ e variância finita o2 , então a média amostral X, para 
amostras grandes, terá uma distribuição aproximadamente normal com média 
.. . a2 . d µ e vananc1a - , ou a1n a 
n 
X - µ º 
--'-'-----'-'-- n n (O, 1 ) . 
cr 
{{) 
Apresenta-se, em seguida, e mais detalhadamente a distribuição amostral 
de algumas estatísticas muito importantes no capítulo da Inferência Estatística. 
Para tal, é necessário que primeiro se definam algumas distribuições amostrais 
teóricas. 
1 p . 
ara os que pretendam seguir essa demonstração aconselha-se a consulta de Mooo, GAAYBILL e 
BOES (1974), pág. 235. 
'i 
!i 
'1 
!I 
1 
' 
Distribuições_ . 
amostrais teóricas 
2.1. Distribuição normal 
No âmbito do estudo da distribuição normal foi referido o teorema da 
aditividade da normal. Viu-se então que, dadas n variáveis aleatórias inde-
pendentes com distribuição normal de parãmetros µ e cr, 
n 
L X; n n(nµ; crin) 
i= 1 
ou seja, 
n 
L X; - nµ 
i= 1 --a-in~n~- n n(O, 1). 
Dividindo numerador e denominador por n vem: 
isto é 
X~µ í1 n(O, 1) 
{() 
Como uma amostra aleatória de dimensão n é uma variável aleatória n-dimen-
sional, em que todas as variáveis X; (i = 1, 2, 3, . . . n) têm a mesma distribuição 
do Universo e são independentes, os resultados anteriores podem aplicar-se. 
- L X; (" . 'd d 
___ C_onclubse.assim.que-~média_amostraL.X_~ n _ !S_to_e_a-1!l.ª-.J.lLJilJlª- -· 
amostra aleatória) retirada duma população normal, tem distribuição normal, 
59 
ESTATÍSTICA APLICADA 
60 
cujo desvio-padrão é função não só do desvio-padrão da população (a) como 
também da dimensão da amostra (n ). O valor esperado ou médio de X coincide 
com a média do Universo (µ). 
Facilmente se demonstra o que se acabou de dizer. De facto, se tivermos uma 
amostra aleatória de elementos X; , retirados de uma população normal, isto é, 
X; (1 n (µ, a). 
então, a média amostral, X, tem também distribuição normal uma vez que 
depende dos valores X; , com os seguintes parâmetros: 
1 
=-E[X1+X2+ ... +Xnl= 
n 
= -
1
-[E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)] = 
n 
1 
= n [ µ + µ + ... + µ l = 
1 
. n. µ = 
n 
= µ. 
VAR [ --!i- L X;] = n\ VAR [ L X; J = 
1 
= - 2- VAR [X; + X2 + . . . + Xn] = n 
1 
= - 2 [ VAR (Xi) + VAR (X2) + . . . + VAR (Xn)] = n 
1 
n2 
1 
n2 
= _1 a2 
n 
[a2+a2+ ... +a2] = 
n . cr2 
DJSTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
logo 
E se X, o Universo ou população, não tiver distribuição normal ou for 
desconhecida a sua distribuição? 
Suponha que X tem uma distribuição diferente da distribuição normal, com 
uma certa média µ e variância a2 , isto é, X n f (µ, a). 
Importa aqui distinguir duas situações: 
1. Se X tiver distribuição diferente da normal e se se tomar uma pequena 
amostra 1 então ter-se-á de determinar a distribuição assumida por X, 
que será como é óbvio, função da distribuição do universo, isto é, 
X n f( ... ). 
2. Se X tiver distribuição diferente da normal e se se tomar uma grande 
amostra então a distribuição de X será próxima da distribuição normal 
(fala-se em distribuição aproximada) e tanto mais próxima quanto maior 
for a dimensão da amostra, isto é 
- o ( Cí J X (1 n µ; -ln . 
Este resultado provém da aplicação do teorema do limite central já apre-
sentado no ponto anterior. 
-y---
Geralmente, fala-se em pequenas amostras quando n s 30 e em grandes amostras quando 
n > 30, onde n designa a dimensão da amostra. 
61 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2.2. Outras distribuições 
Além da distribuição normal que acabou de ser apresentada como distribui-
ção amostral, existem outras distribuições teóricas de uso bastante genera-
lizado sobretudo na área da inferência estatística e que são: 
- Distribuição do Qui-quadrado - x.2 
- Distribuição t de Student 
- Distribuição F de Snedecor 
2.2. 1. Distribuição do Qui-quadrado 
62 
+~ 
(w) = J xw-1 e-x d* 
o. 
A distribuição do Qui-quadrado é um caso particular da distribuição Gama 
(vd volume 1). É fácil notar que: 
X(nJ n G 2• 2 . 2 ( n 1 J 
,,. 
! 
! 
1 
.) 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
2.2. 1.1. Principais características da distribuição do x2 
1. É uma função positiva e não simétrica. 
2. Se X n xi\, J então demonstra-se que 
E [X] = n 
VAR [X] = 2n. 
3. O seu aspecto gráfico depende do n (parâmetro caracterizador da distri-
buição). Na figura abaixo, ilustram-se algumas distribuições do qui-qua-
drado. 
l(x) 
o 
' 
' 
' 
' 
' 
-~_10 
----- --
X 
4. É uma distribuição aditiva, isto é: se as variáveis aleatórias 
X;, (i = 1, 2, ... , n), são independentes e X; n xfn;J então 
n n 
I X;n 2 XcmJ onde m=L, ni. 
i= 1 i= 1 
2.2.1.2. Alguns teoremas 
1. O quadrado de uma variável aleatória normal standartizada tem distribui-
ção do qui-quadrado com 1 grau de liberdade, xfo. 
2 (X-µJ2 2 Z = n X(1J 
-···-.·-·--·-· -·· __ q ___ -·-·--··-··-·--·-·-··-·-·-··-··---··--·----·-··-· -· 
sendo Z n n (O, 1). 
63 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2. O somatório do quadrado de n variáveis aleatórias com distribuição 
normal padrão tem distribuição do x2 com n graus de liberdade, ou seja: 
n [ J2 X; - µ; 2 L a· ílX(n)· 
i= 1 I 
3. A distribuição do xfn l tende para a distribuição normal, à medida que n 
aumenta. Ou seja, quando n -? =, tem-se: 
xfn) n n(n,'Í2n) 
ou 
2 X(n) - n 
'12n 
o 
í1 n (O, 1) . 
por aplicação do teorema do Limite central. 
Uma melhor aproximação resulta ainda quando se utiliza: 
~ 2X~) - {2{) n n (O, 1) para valores de n > 30. 
2.2.2. Distribuição t de Student 
64 
DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
2.2.2. 1. Principais características 
da distribuição t de Student 
-··-------- ........ ------~i 
1. É simétrica em relação ao eixo x =O. 
2. Se X n trn l então demonstra-se que:E [X] = O 
n VAR [X]= n _ 2 se n > 2 
3. O seu aspecto gráfico depende do parâmetro n (números de graus de 
liberdade) como se vê na figura; assinale-se ainda a semelhança entre 
a distribuição t de Student para n = 1 O e a normal standartizada. 
n (O, 1) 
X 
2.2.2.2. Alguns teoremas 
1. Se as variáveis aleatórias X e Y forem independentes e se 
X Y 2 -íl n (O, 1) e n X(n )• entao 
X 
T = --- íl l(n) 
Ou seja: o quociente entre uma normal reduzida e a raiz quadrada de 
uma qui-quadrado dividida pelo respectivo número de graus de liberdade 
é uma variável aleatória com distribuição t de Student com os mesmos 
n graus de liberdade. 
65 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2. A distribuição t de Student tende para a distribuição normal, à medida 
que n aumenta. Ou seja, se X n l(n l• quando n -7 ~. então 
ou 
X o n n(O, 1) 
ou simplesmente X n n (O, 1 ). Este resultado advém da aplicação do 
teorema do Limite central. 
2.2.3. Distribuição F de Snedecor 
66 
'I 
'i' 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
2.2.3.1. Principais características da distribuição F 
1. É uma distribuição posllivaenão simétrica. 
2. Se X n F(m, n l então demonstra-se que: 
n 
E [X] = n - 2 se n > 2 
VAR [X] = 2n 2 (m + n - 2) 
m (n - 2)2 (n - 4) 
se n > 4 
3. O seu aspecto gráfico depende dos parâmetros m e n. A sua repre-
sentação gráfica é a seguinte: 
f(x) 
o 
,-, 
' ' 
' ' 
' ' 
' ' l \ F(30,3_0) 
' ' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' ' 
' 
' 
' 
' 
\, ____ F(4.12) 
X 
2.2.3.2. Alguns teoremas 
1. Se a variável aleatória X n F(m, n l então ~ n F(n, m J· 
2. Se as variáveis aleatórias X e Y forem independentes e se 
X n XTmJ e y n xfni então 
X 
m 
F = --y n F(m, n)-
n 
Ou seja: o quociente de duas variáveis aleatórias independentes com 
~-----distribuição-de~2-divididas-pelos-respec:tivos-graus-de-tiberdade-1em~---·--·--- ---< 
67 
ESTATÍSTICA APLICADA 
68 
distribuição F, cujos graus de liberdade são, por ordem, os graus de 
liberdade da x2 que está em numerador e os da x2 em denominador. 
3. o quadrado de uma variável aleatória com distribuição t de Student com ,. 
n graus de liberdade tem uma distribuição F com 1 e n graus de liberdade. 
Ou seja, se T n t(n) então 
T 2 n F(1, n). 
Distribuiçóas ---li-
amostrais das estatísticas 
mais importantes 
Apresentar-se-ão em seguida, de uma forma sistemática, as distribuições 
amostrais utilizadas e frequentemente definidas a partir de amostras de popu-
lações Bernoulli e de populações normais. 
3. 1. Populações Bernoulli 
Suponha-se que é possível especificar a priori que se está perante uma 
população Bernoulli, isto é, uma população composta por elementos de dois 
tipos - os que possuem e os que não possuem determinado atributo 1. As 
populações Bernoulli são caracterizadas pela seguinte função de probabili-
dade: 
X= 0,1 
em que x = 1 corresponde aos elementos da população que possuem deter-
minado atributo ex= O aoselementosquenãopossuemesteatributo. 
Oparâmetro p = P [X = 1] representa a probabilidade de obter um ele-
mento possuindo o atributo em questão. Ou seja, p representa a verdadeira 
proporção de elementos (no universo) com aquele atributo. Ora, em geral, o 
parâmetro p é desconhecido; daí que nos problemas de amostragem interes-
sem particularmente as seguintes estatísticas: 
---, ------- . 
Existem, aliâs, métodos para testar se é de aceitar ou não que determinada amostra foi recolhida 
de certa população com distribuição conhecida, como se verá posteriormente. 
69 
ESTATÍSTICA APLICADA 
n 
1) L X;= X1 + X2 + ... + Xn = Sn 
i = 1 
que é o número de elementos que, numa amostra de dimensão n, 
possuem determinado atributo. 
i= 1 y 
que é a proporção de elementos na amostra, que têm aquele atributo. ._ 
70 
Importa então conhecer as distribuições amostrais destas duas estatísticas. 
Comecemos por 1 ): 
Sn = X1 + X2 + . . . + Xn é a soma de n variáveis aleatórias indepen-
dentes com distribuição Bernoulli. Facilmente se deduz a distribuição amostral 
de L X;: 
E[ i X;] = E[X1 + X2 + ... + Xn] = 
1=1 
= E[X1] + E[X2] + ... + E[Xn] = 
=p+p+ ... +p 
n vezes 
= np. 
.\ 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
VAR [ ;~ X;] = VAR [X1 +X2+ ... +Xn]= 
= VAR [X1 ] + VAR [X2] + . . . + VAR [Xn] = 
= p. q + p. q + ... + p .q 
n vezes 
= n . p . q = n . p (1 - p ). 
n 
A estatística I, X; é afinal o número de sucessos na amostra de tamanho 
i= 1 
n, ou seja, trata-se de uma distribuição binomial, de parâmetros n e p: 
n 
L X; = Sn n b (n; p ). 
j = 1 
Quando a dimensão da amostra for grande (n > 30) tem-se que: 
o 
n n (O, 1 ). 
A análise da estatística 2) é feita no ponto seguinte. 
3.1.1. Distribuição de uma proporção amostral 
A out t t· t. -X L X; - · · d -ra es a 1s 1ca = -- nao e mais o que a proporçao de suces-
n 
sos, numa amostra de dimensão n. 
________ A_ sua disJribuiçâo_pode_deduzirose_da seguinte_Jorma:.. --·----·--·-· -··----·-·- _ 
71 
ESTATISTJCAAPLICADA 
72 
- [X1+X2+ ... +Xn] E[X] = = 
n 
1 
= - E[X1 + X2 + ... + Xn] = 
n 
1 
n .n.p=p. 
1 
= - 2- VAR [X1 + X2 + . . . + Xn] = n 
= p. g 
n 
Quando a dimensão da amostra, n, é grande tem-se que 
ou seja, 
X-p o n n(O, 1). 
OISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
3. 1.2. Distribuição da diferença entre 
duas proporções amostrais 
Considerem-se duas populações Bernoulli com parãmetros p1 e P2 que 
representam as verdadeiras proporções de elementos com determinado atri-
buto na população 1 e na população 2, respectivamente. Em muitas situações 
práticas é usual pretender comparar as duas proporções. 
Por exemplo: 
1. Proporção de consumidores interessados num novo produto numa zona 
rural e a proporção dos mesmos numa zona urbana. 
2. Proporção de respostas favoráveis a uma campanha publicitária feita em 
dois semanários diferentes. 
Pretende-se assim concluir algo sobre (p1 - P2) que se desconhece. A 
estatística utilizada nestas circunstâncias é a diferença entre as proporções 
observadas ou seja: 
em que: 
n, 
I X1; 
X1 
i= 1 
= 
nl 
n, 
I X2; 
X2 = i= 1 
fl:< 
onde n1 e n2 correspondem às dimensões das amostras 1 e 2 que se supõem 
independentes. Quando as duas amostras forem grandes (n1, n2 > 30) vem: 
- --- --------·---
ESTATÍSTICA APLICADA 
e como 
E[ X1 - X2] = P1 - P2 
P1 ql P2 CJ2 VAR[X1 - X2] = -- + --
n1 fl2_ 
vem 
como distribuição amostral daquela estatística. Ou, de forma equivalente, 
o 
n n(O, 1) 
3.2. Populações normais 
Considerem-se agora amostras casuais (X1, X2 , •. ., Xn) obtidas a partir 
de populações Normais. Serão estudadas sucintamente as distribuições amos-
trais das estatísticas mais importantes. 
3.2.1. Distribuição da média amostral (X) 
quando a variância cr2 é conhecida 
74 
Já se demonstrou anteriormente que, se a população X tiver distribuição 
normal, então: 
.. 
DISTRIBUIÇÕES AMOSffiAIS 
ou 
X-µ -~~ .. n-n.(O,JJ._ . ·--·-----
cr 
rn 
Mais ainda, se a distribuição da população não for normal, mas se se tratar 
duma amostra grande, então, pelo teorema do limite central 
3.2.2. Distribuição da variância amostral ( s 2) 
Se (X1, x2 , .. ., Xn) for uma amostra aleatória de dimensão n, tal que 
X; n n (µ, cr), então 
X; - µ 
n n(O, 1) 
(J 
e, pelos teoremas da distribuição do qui-quadrado, 
logo 
n 
(X; - µ)2 
(J2 
2 n X(l) 
(X; - µ)2 2 L cr2 n X(n) · 
i= 1 
Quando µ é desconhecido e é necessário utilizar o seu estimador X, 
perde-se um grau de liberdade, ou seja 
n 
i= 1 
- 2 (X; - X) 
(J2 
2 n X(n-1J 
75 
ESTATÍSTICA APLICADA 
mas 
Então 
ou 
n 
i= 1 
- 2 (X; - X) 
cr2 
n 
=I 
i= 1 
n 
=-2 
cr 
- 2 
n(Xi-X) 
n cr2 
i= 1 
=se for utilizada a variância amostral corrigida S' 2. 
3.2.3. Distribuição da média amostral (X) 
quando a variância cr2 não é conhecida 
76 
Se (X1, X2, ... , Xn) for uma amostra aleatória de dimensão n, como já se 
demonstrou anteriormente 
e 
X-µ 
í1n(O,1) 
cr 
-ln 
(n - 1) S' 2 
cr2 
2 íl X(n-1) · 
,j! 
'J 
' 
,, 
. 
··1 
::, 
·-! 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
Se se aceitar a independência das distribuições da média amostral e da 
variância corrigida da amostra, utilizando um teorema da distribuiçâo t de 
Student, de monstra-SE; que- o -- seguinte-quociente-tem--uma--distribuição-t-de 
Student com (n - 1) graus de liberdade: 
X-µ 
cr 
-ln 
~ (n - 1) S' 2 1 cr2 n - 1 
ou, depois de feitas as necessárias simplificações, 
3.2.4. Distribuição do quociente 
de variâncias amostrais ( S '~ / S '~). 
Sejam duas amostras independentes (de tamanho n1 e n2) retiradas da 
mesma população normal ou de duas populações normais com a mesma 
variância cr2. Como já se mostrou, as seguintes estatísticas têm ambas distri-
buição do qui-quadrado: 
(n1 - 1) S'~ 2 íl X(n1 -1) 
2 íl X(n2 -1J 
i------- -- -
77 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Por um teorema da distribuição F de Snedecor, o quociente entre duas 
distribuições do qui-quadrado independentes, depois de divididas pelos respec-
tivos graus de liberdade, tem a seguinte distribuição: 
(1 Fcn, - 1, n2 - 1 l 
ou 
3.2.5. Distribuição da diferença_ 
78 
entre médias amostrais (X1 - X2) 
Considerem-se três situações ou casos diferentes. 
CASO 1: 
Hipóteses: Sejam duas populações normais em que a~ e 
cidas; sejam duas amostras independentes de tamanho n1 
vamente, retiradas daquelas populações. Demonstra-se que: 
a~ são conhe-
e ~ respecti-
Este resultado provém da aplicação do teorema da aditividade da normal. 
. ,1' 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
No caso de populações com distribuição desconhecida, mas sendo as 
amostras grandes (n1, n2 > 30), aquela distribuição é aproximadamente nor-
---·- --------
mal reduzida . 
CASO 2: 
Hipóteses: Sejam duas populações normais em que ifi e ~ são desco-
nhecidas. Considerem-se duas amostras (de tamanho n1 e ~ ~ 30) e 
admita-se a hipótese de igualdade de variâncias: ifi = ~- Demonstra-se que: 
CASO 3: 
Hipóteses: Sejam duas populações normais ou não em que se desconhe-
cem efi e ~- Considerem-se duas amostras de tamanhos n1 e n2 maiores que 
30. Demonstra-se que: 
79 
ESTATÍSTICA APLICADA 
3.3. Distribuições amostrais dos extremos 
Seja X uma população qualquer, com função (densidade) de probabilidade 
f(x) e ( X1, X2 , ... , Xn) uma amostra aleatória retirada dessa população. 
A distribuição do mínimo e do máximo da amostra é, por vezes, de interas-
se. 
3.3.1. Distribuição do máximo da amostra 
80 
Considere-se a amostra ( X1:n, X2:n, .. ., Xn:n), resultante da ordenação 
de ( X1, X2, .. ., Xn ). Qual a distribuição de Xn:n? 
= P [todos os elementos da amostra :o; x] 
= P [ X1 $ x A X2 $ x A ... A Xn $ x] 
Como X; são independentes e identicamente distribuídas, com distribuição 
igual à da população, vem: 
= P [ X1 =" x] . P [ X2 :O:: x] ... P [ Xn :O:: x] 
Sendo Fx (x) a função de distribuição de X, vem finalmente que: 
Fx"'" (X) = ( Fx(X) r 
.J 
J 
:!; 
.. ,, 
' :! 
DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS 
Seja X uma população de Poisson de parâmetro '/.. = 2, e ( X1, .. ., X10 ) uma 
amostra aleatória retirada dessa população. 
Qual a probabilidade do máximo da amostra não exceder 3? 
Como 
então, neste caso, 
10 [ k Fx1010 (x)=(Fx(x)) = ;~ 
onde k é o maior inteiro menor ou igual a x, isto é, k= L x J. 
O que se pretende é 
10 -- 10 
Fx10,10 (3) = ( Fx(3)) = ( fx(O) + fx(1) + fx(2) + fx(3)) 
= (0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804)10 
= 0,8571 10 ~ 0,214. 
• 
3.3.2. Distribuição do mínimo da amostra 
Pretende-se neste caso conhecer 
Fx,,0 (x) = P[X1:n :O:: x] = 1 - P[ X1:n > x] 
= 1 - P [todos os elementos da amostra > x] 
= - n P[ xi > x] 
= 1 - n (1 - P [xi :o:: xJ J 
= 1 - (1 - Fx(x))n. 
81 
ESTATÍSTICA APLICADA 
82 
Assim, 
F (x) = 1 - (1 - Fx(x)) 0 • x,,n 
Seja X uma população uniforme contínua em [1 O, 20] e (X1, X2, X3, X4, X5) 
uma amostra aleatória retirada dessa população. 
Qual a probabilidade do mínimo da amostra ser maior do que 12? 
Dado ter sido recolhida uma amostra aleatória, tem-se que X; n U [1 O, 20] 
e 
Como 
5 Fx,,, (X) = 1 - (1 - Fx(X)) 
Fx(x) = 
o 
X - 10 
10 
X < 10 
10,;x,;20 
X> 20 
vem que 
5 
-( 1 - x~010 J, Fx,,5 (x) = 1 X E [10, 20) 
Fx,,, (x) = 1 - (20 - x)
5 
105 
X E (10, 20) 
Pretende-se 
P[X1:s > 12] = 1 - P[X1:5,; 12) 
= 1 - Fx,,, (12) 
= 1 - [ 1 - (20 1-0512)5 ] ~ 0,328. 
• 
'Í' 
" 
{' 
i' 
Exercícios propostos 
) 1. Diga o que entende por parâmetro e estatística. Dê alguns exemplos. 
'\' 
2. Defina o conceito de distribuição amostral. 
3- Defina o conceito de função de probabilidade (ou de densidade de proba-
bilidade) conjunta de uma amostra. 
4. A população X segue uma distribuição normal com média O e desvio-padrão 
1. Considere uma amostra aleatória de dimensão 16 recolhida daquela população 
e as seguintes estatísticas: 
10 
- 2 
T2 = L (X; - 2 x'" J . 
i"' 1 
a) Deduza a distribuição amostral de T1. 
b) Calcule P [ T2 < 15,6 ). 
R: a) T1 n xf4l com E [ T1 J = 4, Var[ T1 J = 8; b) 0,75. 
5. Considere uma amostra aleatória de dimensão n = 2, ( X1 , X2 ), retirada da 
população X: número de animais de estimação por família, cuja distribuição é a 
seguinte: 
X o 2 3 
1( x) 0,60 0.25 0,10 0,05 
a) Qual a probabilidade de obter a amostra (3, 1 ), ou seja, qual a probabilidade 
de a primeira família seleccionada ter três animais de estimação e a segun-
da familia seleccionada ter 1 animal de estimação? 
b) Liste todas as possíveis amostras daquela dimensão que pode obter. 
e) Qual das amostras possíveis de dimensão 2 é a mais provável? 
d) Qual a probabilidade de a média amostral X ser igual a 2,5? 
-R:aJ-o~o-r2·s;~-oJ--(o~o)-(O~f}-(0:-2)-(o-;-3y-r1-;-01-r1~1")-C1~2)11-:-3Jl2. o) ________________ ·-··· ·---
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, O) (3, 1) (3, 2) (3, 3); e) (O, O); d) 0,01. 
83 
EST AT{STICA APLICADA 
84 
6. Considere uma população Bernoulli X da qual se retira uma amostra aleatória 
dedimensão5.Afunçãoprobabilidadeéf(X) = px(1 -p)1 -x, X= O, 1 
a) Deduza a distribuição conjunta da amostra e explique qual o seu significado. 
b) Admitindo que p - proporção de sucessos na população - é 0,6, calcule 
a probabilidade de obtermos a seguinte amostra 
(x1, x,, x3, x4, x5) = (1, O, 1, O, 1) 
e) Obtenha a distribuição amostral da proporção de sucessos numa amostra 
de dimensão 5. 
R: a) f(x) = pL x, (1 - p)5 -1: x,; b) 0,03456; 
e) f(x) = ( 5\). p
5
'. (1 - p)s-sx, x =o, ~, ; , ~, : , 
7. Sejam X 1 e X 2 as médias de duas amostras da mesma dimensão retiradas 
de uma população normal de parâmetros µ e cr. 
Determine o tamanho das amostras de modo a que: 
P[ 1 X 1 - X 2 I > cr] :o; 0,01 
R: n <: 14. 
8. Considere as variáveis X1, X2, X3, ....... , X9com distribuição binomial em que, 
X; (1 b (X;; n; = i; p = 0,5) para i = 1, 2, 3, ..... , 9 
e as variáveis 
Yi n n(2; 1) parai= 1, 2 
Estas variáveis são todas independentes. 
5 
a) Deduza a distribuição amostral de T = I X; 
i= 1 
b) Calcule o valor esperado e a variância de T. 
9 2 
e) Deduza a distribuição amostral de R = L X; - I Yi 
i= 1 j= 1 
R: a) T n b(t; 15; 0,5); b) E[ T] = 7,5 VAR[ T] = 3,75 
e) R (-, n (18,5; ~ 13,25 ). 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
9. Considere a seguinte estatística, definida com base numa amostra de tamanho 
10: 
SX1+5X10 
T = 10 
Qual a distribuição e parâmetros de T, se considerarmos que aquela amostra 
foi retirada de uma População Normal?85 
Capítulo VII 
Estimação de parâmetros 
' 
t--- ---- .. 
1 
,i 
J 
'11 
1 
Jntroâução D 
No presente capitulo, ir-se-á entrar na área de aplicação da inferência 
'· estatística 1. Em certas situações, sabe-se qual o modelo a aplicar ao fenómeno 
em estudo (a distribuição da população) e o objectivo é estimar os parâmetros 
dessa população2. Noutras situações, nem sequer se sabe qual é a distribuição 
da população e aqui importa antes de mais testar uma distribuição que se 
adeque ao fenómeno em causa, e estimar os respectivos parâmetros. A infe-
rência estatística inclui assim três grandes tipos de aplicação: 
r 
t [ 
[ 
1 
~: 
L 
1. Estimação pontual 
2. Estimação por intervalos 
3. Ensaio de hipóteses 
Neste capitulo serão abordados os dois primeiros tipos de aplicação sendo 
o terceiro objecto de estudo do capitulo seguinte. 
1 
Fazer inferência estatística é basicamente partir de informação amostral para obter resultados 
2 
estatisticamente credíveis relativos à população. 
Ou testar uma hipótese feita sobre um ou vários parâmetros. 
89 
Estimação pontual 
O objectivo da estimação por pontos é usar toda a informação disponível a 
partir da amostra, para produzir um valor que é o melhor valor que se pode 
adiantar para um certo parâmetro do Universo. 
Suponha-se uma certa população ou Universo X, com determinada distri-
buição f (x; 8) que se conhece, mas onde o parâmetro caracterizador da 
distribuição, 8, se desconhece. Pretende-se propor um valor para 8 que per-
tença, como é óbvio, ao espaço de resultados do parâmetro, ou seja ao 
conjunto de valores que o parâmetro pode assumir. 
Existem dois procedimentos possíveis: 
1) Propor um estimador para 8 que pareça um •bom» estimador graças às 
propriedades de que ele goza. 
2) Construir um estimador e, no processo de construção, assegurar que ele 
goza das propriedades desejáveis num •bom» estimador. Este segundo 
procedimento será abordado no ponto seguinte - Métodos de estimação 
pontual. 
Mas afinal, o que é um estimador? 
2. 1. Estimadores e estimativas 
90 
De entre as estatísticas já vistas, há algumas especiais que se designam 
por estimadores. Um estimador para um certo parâmetro 8 designa-se generi-
A A 
camente por 8 = 8 ( X1 , X2 , ... , Xn) e é uma estatística 1, ou seja, é uma 
variável aleatória função da amostra. Pretende-se que ele forneça, para cada 
amostra observada, uma aproximação concreta ao valor do parâmetro que lhe 
está associado. Esta designa-se por estimativa e denota-se, usualmente, por 
- --x~---- - - - - - - -
8. 
1 Qualquer estimador é uma estatística, mas nem todas as estatísticas são estimadores. 
~ 
I 
~_: 
ESnMAÇÃO DE PARÂMETROS 
_______ um.estim<1dor é assim uma •fórmula», função de variáveis observáveis a 
partir da amostra, que não pode envolver valores desconhecidos. Para um 
mesmo parâmetro 8 (desconhecido) é possível propor estimadores alternativos. 
Cada estimador ~ é uma variável aleatória que fornece infinitas estimativas, 
uma por cada concretização da amostra aleatória. 
Para estimar o parâmetro µ (média do Universo) duma população normal, 
poder-se-ia utilizar, entre outros estimadores, o estimador 8 = X, isto é, a média 
amostral. Como 8 é uma variável aleatória, 6 terá uma certa distribuição amostral 
e podem calcular-se as suas características numéricas tais como: 
E[6] 
Var[8] = E[Ô2] - (E[Ô])2 = E{(6 - E[6])2 } 
Erro amostral = 6 - 0 
A A Enviesamento = env ( 0 ) = E [ 0] - 0. 
• 
2.2. Propriedades dos estimadores 
Como se referiu, para estimar um certo parâmetro do Universo, podem-se 
utilizar estimadores alternativos. Por exemplo, para a média do Universo (µ) 
pode propor-se, entre outros, a média X, a mediana Me ou a moda M0 
amostrais. 
Que critério usar para escolher o estimador? 
Em termos teóricos considerar-se-á que o estimador 8 é preferível ao 
estimador li, se para qualquer intervalo [a, b) pertencente ao espaço de resul-
tados do parâmetro se tiver: 
"' P [a < G < b] > P [a < e < b]. 
91 
,1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
92 
o-estimadore-será-óptimo;-se-tal-se-veriliear-para-qualquer-estimador 
alternativo &. Em termos práticos, a selecção de um estimador entre outros 
possíveis será feita com base num conjunto de propriedades consideradas 
desejáveis para um «bom» estimador. Estas propriedades subdividem-se em 
2 grandes grupos: 
i) - Propriedades que se referem a estimadores obtidos a partir de peque-
nas amostras, embora válidas para grandes amostras. 
ii) - Propriedades que se referem a estimadores obtidos a partir de grandes 
amostras e que se designam por propriedades assimptóticas (só váli-
das para grandes amostras). 
i) - Propriedades dos estimadores em pequenas amostras 
1 . Não enviesamento 
2. Eficiência 
3. Suficiência 
1. Não enviesamento. 
Embora esta propriedade seja bastante desejável num estimador, só por si 
não permite qualificar um estimador de «bom» estimador. As figuras seguintes 
pretendem ilustrar o que se acaba de afirmar: & e e são ambos não enviesa-
dos, no entanto as variãncias dos estimadores são bastante diferentes. 
e 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
___ . A média amostral (X) e a variância amostral corrigida S '2 são exemplos 
de estimadores não enviesados já que se demonstra que: 
E[ X] = µ 
E[S' 2 ] =ri. 
A variância amostral S 2 é um exemplo de um estimador enviesado já que 
E[S2] = n- 1 cr2 * cr2. 
n 
2. Eficiência 
Esta propriedade está relacionada com a dispersão da distribuição de 
probabilidade de um estimador. 
D~dos dois estimadores @e e ambos não enviesados, @ será mais eficiente 
que e se: 
" -Var ( 0 ) ::; Var ( 0 ). 
Repare-se que aqui se está a falar em termos de eficiência relativa, em 
termos práticos mais fácil de estudar. A eficiência absoluta é, de uma maneira 
geral, difícil de se obter. 
1 
D~ entre os estimadores para a média duma população normal demonstra-se 1 
que X é um estimador eficiente pois: 
i)E[X]=µ 
ii) Var [X] ::; Var [ (i ] onde (i designa qualquer outro estimador não envie-
sado paraµ. 
• 
A partir da chamada desigualdade de Frechet-Cramer-Rao. 
93 
ESTATÍSTICA APLICADA 
94 
.3 •. Suficiência. 
Esta é uma noção simplista, já que para a indagação concreta da eficiência 
de um estimador existem critérios - o de Fisher-Neyman e o da factoriza-
ção - que não são, no entanto, objecto de estudo neste livro 1. 
Os estimadores Mo e Me são estimadores suficientes para a média duma 
população normal (µ). 
• 
ii) - Propriedades dos estimadores em grandes amostras 
O segundo grupo de propriedades, as chamadas propriedades assimptóti-
cas, define-se quando a dimensão da amostra é grande (n ---'> =): 
1 . Não enviesamento assimptótico 
2. Consistência 
3. Eficiência assimptótica 
1 . Não enviesamento assimptótico 
1 Para aprofundar este assunto veja-se, por exemplo, MuRTElRA, BENTO, Probabilidades e Estatística, 
Vol 11, Me Graw-Hill, 2ª Edição, Lisboa, 1990. 
ESTIMAÇÃO DE PARÃMETROS 
___ C~<Jnclui-se que um estimador não enviesado é também assimptoticamente 
não enviesado embora o reciproco se não verifique: 
Não enviesamento ~ não enviesamento assimptótico. 
O estimador S 2 (variância amostral) para a variância do Universo é um 
estimador não enviesado assimptoticamente para a2 pois, 
lim E[S2 ] = lim ~ a2 = a2. 
n~= n~= n 
No entanto, como já foi referido, S 2 é um estimador enviesado para a2. 
• 
2. Consistência 
Esta propriedade é no entanto de difícil operacionalização. 
É possível definir uma noção de consistência mais restrita que, ao verificar-
se para um certo estimador, implique que esta seja também consistente em 
probabilidade. É a chamada consistência em média quadrática. 
95 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Um estimador pode não ser consistente em média quadrática,sendo no 
~--·~-------
96 
entanto consistente em probabilidade: 
Consistência em média quadrática : consistência em probabilidade 
" Note-se que se e for um estimador não enviesado para e então: 
lim EQM ( Ô ) = lim [VAR ( Ô ) + O] = lim [ VAR ( Ô ) ] 
já que neste caso o enviesamento é nulo. 
A média amostral (X) é um estimador consistente para a média do Universo 
(µ) pois: 
lim EQM(X)= lim [VAR(X)+(env(X))2 ]= 
= lim VAR ( X) + O = poisE[X]-µ=0 
n-> ~ 
ª2 
lim -=O. 
n~- n 
• 
3. Eficiência assimptótica 
Observe-se que, se um estimador é o mais eficiente, então ele é também 
o mais eficiente assimptoticamente, isto é: 
6 é eficiente : 6 é eficiente assimptoticamente. -1 
! 
' 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
Seja a estatística 
(n - 1) X1 + Xn 
T= 
n 
definida com base numa amostra aleatória de dimensão n, recolhida de uma 
população normal. 
a) Verifique se T constitui um estimador não enviesado ou centrado para a 
média da população. 
b) Será Tum estimador consistente para aquele parâmetro da população? 
População: X n n (µ; a ) 
Amostra: (X1, X2, ... , Xn) 
a) T é estimador não enviesado para µ se e só se: E [T] = µ 
[
(n-1)X1+Xn] 1 E[T]= E n =n[(n-1)µ+µ]= 
1 
= -[n µ - µ + µ l = µ. 
n 
Logo, T é estimador não enviesado para µ. 
.b) s.e .... lim EQM(T) =O então Té estimador consistente em média qua-
drática. 
EQM(T) = VAR(T) + [env (T) ]2 • 
Como T é estimador não enviesado para µ, então env (T) = O e vem: 
lim EQM(T) = lim VAR(T) 
n->-
= lim VAR[ (n - 1) X1 + Xn ] = 
n~"" n 
97 
ESTATiSTICA APLICADA 
--------=~l~im~~12 VAR L(i:!_-:-_112(t_± __ ~nJ_= __ _ 
n-i.oo n 
98 
= lim ~((n - 1)2 VAR(X1 ) + VAR(Xn)) = 
n-i.oo n 
= lim ~((n2 - 2n + 1)cr2 + cr2 ) 
n-i.oo n 
= lim 12 (n2 cr2 - 2n cr2 + 2cr2) = cr2 
n-i."" rr 
Logo T não é um estimador consistente em média quadrática para µ. 
• 
Uma variável aleatória X representa o número de avarias de um dispositivo 
electrónico durante uma certa unidade de tempo. 
A variável X obedece a uma lei de Poisson de parâmetro À desconhecido. Para 
aquele parâmetro foram indicados dois estimadores 5: e À. 
Compare os estimadores propostos quanto ao não enviesamento, eficiência e 
suficiência. 
5:= X1+X2+ ... +Xn 
n 
População: X n p (x; À) 
Amostra: (X1, X,. .. ., Xn) 
i) Não enviesamento: 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
- íX1+Xn] 1 1 +-----E~[_À~]_=_E_,~ _ 2 ___ = 2 E[X1 + Xnl = 2(À + Ã.) =À. 
Logo, quer 5: quer À são estimadores centrados ou não enviesados para À. 
ii) Eficiência: analise-se a eficiência relativa daqueles estimadores: 
VAR[5:] = 
1 
=-(À+Â.+ 
n2 
n Â. À 
+À)= - = - . 
n2 n 
- [X1 +Xn] 1 VAR[À] = VAR 2 = 4 VAR[X1 + Xn] = 
Â. 
VAR(5:) n 2 
VAR (Ã.) 
=--=-
À 
2 
n 
Conclui-se que: se n = 2, os estimadores 5: e À são igualmente eficientes; se 
n > 2 então 5: é mais eficiente que ~ pois 
VAR[5:] 
VAR[Ã.] < 1 
iii) Suficiência: só ~ é suficiente pois contém toda a informação disponível na 
amostra, enquanto que Â. é apenas função do primeiro e do último (11-ésimo) 
elemento da amostra. 
• 
99 
ESTATÍSTICA APLICADA 
100 
Considere uma amostra aleatória de dimensão n, retirada duma população X 
com uma certa distribuição de média µ e variância cr2. 
a) 
a) Mostre que a variância amostral corrigida, S ' 2 , é estimador não enviesado 
para a variância da população, cr2. 
b} Considerando a propriedade do não enviesamento, que poderá afirmar 
quanto ao estimador S 2 (variância amostral)? 
n -
i~ (X; - X)2 lj = 
n - 1 
E[ i (X; - µ)2 - n (X - µ)2 ] = 
1=1 
pela igualdade n a seguir indicada 
n ~ 1 [ ;~ E (X; - µ)2 - n E (X - µ)2 J = 
1 -
= --1 [n VAR(X;) - n VAR(X)] = n -
= __ 1_ (ncr2 _ cr2) = cr2 
n - 1 
-2 ~ 2 - 2 (') L (X; - X) = "-"' (X; - µ) - n (X - µ) 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
De-facto,-- -
n n 
L, (X; - µ)2 = L, (X; - X + X - µ)2 = 
i= 1 i= 1 
n 
L, [ (X; - x) + (X - µJ J2 = 
i= 1 
n 
L, [(X; - x )2 + 2 (X; - x) (X - µ) + (X - µ)2 J = 
i= 1 
n n 
L, (X; - x )2 + 2 ex - µ) L, - - 2 (X; - X) + n (X - µ) = 
i= 1 i= 1 
n 
L, (X; - X)2 + n(X - µ)2 
i= 1 
n 
pois L, (X; - X) = O, 
i= 1 
donde se conclui que: 
n n 
-2 ~ 2 - 2 L (X; - X) = "-"' (X; - µ) - n (X - µ) . 
i= 1 i= 1 
b) 
r i - 2 l (X; - X) 
E[ $2] = 1 i= 1 1 = -"--=-1._ E[ S'2] EL n J n 
n - (J2 
---
n 
! pois s 2 = n -1----- n 
1 
101 
ESTATÍSTICA APLICADA 
102 
Logo s-2-e estimaaor enviesaao paraõ2~No enranto;-s 2-é~am-estimador não 
enviesado assimptoticamente para a2- pois: 
lim E[ S 2 ] = lim ~. a2- =a'-
o--Jo= o--Jo= n 
pois lim n - 1 --- - 1. 
n 
• 
Considere uma população com distribuição de Bernoulli, de parâmetro 
p:Q,;p,;1. 
Considere o estimador 
A P= n 
obtido a partir duma amostra de dimensão n retirada daquela população. 
/\ - . ' . ~ . Estude o estimador p quanto ao nao enviesamento e quanto a cons1stenc1a 
em média quadrática. 
População: X n b(x; 1; p) 
Amostra: (X1, X2, ... , Xn) 
A [X1+X2+ ... E[ p] = E n . .. + Xn] = 
1 1 
= 11IP + P + ... +p] = n. n. P = p. 
n vezes 
Logo P é estimador não enviesado para p. 
Como P é não enviesado vem: 
·i;m EQM (p) = lim VAR (p) = 
= lim VAR 
n_,~ (
X1 + X2 + ... 
n 
+ Xn) = 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
l"------·----· --·-·-· 1. 1 ) = tm - 2 (pq+pq+ ... +pq n__,,,., n 
1
. 1 
= 1m - 2 npq = 
n--Jo"" n 
= lim .E.!L = O. 
o--Joe-o n 
A Logo p é consistente em média quadrática. 
• 
2.3. Métodos de estimação pontual 
Estudaram-se antes alguns critérios através dos quais se pode julgar esti-
madores do ponto de vista da sua «qualidade» - isto é, critérios que permitem 
verificar se determinado estimador proposto para um parâmetro desconhecido 
goza das propriedades desejáveis num «bom» estimador. 
Existem contudo procedimentos gerais que permitem construir estimadores 
com as propriedades desejadas - são procedimentos que se denominam por 
. .. .métodos de estimação. Um destes, provavelmente o mais importante, é o 
método da máxima verosimilhança. Antes de ser feita a sua apresentação 
refiram-se a título de exemplo o método dos momentos (cujos estimadores se 
obtêm por substituição dos momentos da amostra nas expressões que repre-
sentam os momentos do Universo) e o método dos mínimos quadrados, cujos 
estimadores são geralmente estudados no âmbito da análise de regressão e 
correlação lineares. 
2.3.1. O método da máxima verosimilhança 
Suponha o seguinte problema de estimação: 
__ .-·Uma pastelaria fabrica bombons com três paladares diferentes: de amên-
doa, de noz e de ginja. Aqueles bombons são vendidos em caixas de dois tipos 
(Tipo I e Tipo li) cuja composição é a que segue: 
103 
ESTATÍSTICA APLICADA 
104 
Tipo 1 
- 40% de bombons de ginja 
- 30% de bombons de noz 
- 30% de bombons de amêndoa. 
Tipo li 
- 30% de bombons de ginja 
- 30% de bombons de noz 
- 40% de bombons de amêndoa. 
Foi encontrada uma caixa que não está identificada, isto é, desconhece-se 
de que tipo se trata. 
Retiraram-se dessa caixa, ao acaso e com reposição, 6 bombons. 
Seja X - número de bombons de ginja naquela amostra de dimensão 6. 
A variável X assim definida tem distribuição binomial em que há duas 
alternativas para o valor de p (p = 0,4 se se tratar duma caixa do tipo / ou 
p = 0,3 se se tratar duma caixa po tipo li). 
Os resultados possíveis naquela amostra com n = 6 são os que constam 
no quadro seguinte, como pode ser visto por consulta à tabela da binomial. 
Distribuição PIX=x] 
p 
de X 
X=O X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6 
0,3 b (x; 6; 0,3) O, 1176 0,3025 0,3241 0,1852 0,0595 0,0102 0,0007 
0,4 b (x; 6; 0,4) 0,0467 O, 1866 0,3110 0,2765 0,1382 0,0369 0,0041 
Utilizando o método da máxima verosimilhança, de que tipo lhe pareceráser a caixa? 
Note-se que, uma vez obtida a amostra concreta, aquela distribuição virá 
apenas função de p. Haverá neste caso que escolher apenas entre p = 0,3 e 
··p-= 0,4. Se se pretender·escolherp-pelõ critério da máxima verosimilhança, 
isto é, se se escolher o p que gera a amostra observada com a maior prob-
abilidade, dever-se-á adoptar o seguinte procedimento: 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
-''-----~se_o_r1úme.ro_ de bombons de ginja obtidos na amostra de 6 for inferior 
A 
ou igual a 2, isto é, se X ,; 2, então a estimativa PMV = 0,3 será 
preferível a 0,4, já que aquele valor torna aquela amostra concreta mais 
provável (mais verosímil). 
- Se o número de bombons de ginja obtidos na amostra de 6 for superior 
A. 
a 2, isto é, X > 2, então a estimativa Pi.tv = 0,4 será preferível a 0,3. 
Como se sabe, a distribuição de probabilidade da amostra f (x1, x 2 , ... , Xn ; p ) 
fornece as probabilidades com que ocorrem as diversas amostras possíveis. 
Conhecida uma amostra concreta, a distribuição de probabilidade conjunta 
fica apenas função do parâmetro p. Diferentes valores de p originam diferentes 
valores para a probabilidade de ocorrência de uma determinada amostra. O 
estimador da máxima verosimilhança será o valor de p que torna aquela 
amostra concreta mais verosímil, isto é, mais provável. 
Em termos gerais, seja uma população X com uma função de probabilidade 
ou função de densidade de probabilidade (conforme X seja discreta ou contí-
nua, respectivamente) designada por f (x, 8), onde e é o parâmetro de que 
depende a distribuição de probabilidade de X. Pretende-se obter o estimador 
A da máxima verosimilhança para e que será designado por eMV· 
Designa-se por função de verosimilhança L (e ) = L ( 8 1 x1, x2 ... Xn) a 
função do parâmetro 8, conhecida a amostra ( x1 , x2 , ... , Xn ), tal que: 
f (X1 , X2 ,. . ., Xn; 8) = 
= f ( X1 ; 8 ) f ( X2 ; 8 ) ... f ( Xn ; 8 ) 
n 
IJf(x;;8). 
i= 1 
Caso X seja discreta, cada valor assumido por L (.) iguala a probabilidade 
de ocorrência da amostra concreta ( x1 , x2 , ... , Xn ) segundo os diferentes 
valores que o parâmetro pode assumir. Caso X seja contínua, cada valor de 
8 origina um valor de L (.) coincidente com o da função densidade conjunta de 
( X1 , X2 , ... , Xn) calculada no ponto ( x1 , x2 , ... , Xn ), para esse e . 
105 
ESTATÍSTICA APLICADA 
1 
-:---
106 
Uma vez o5liaa -a amosffã-;-ficarão a sérconl1eciâos-bs-valores (x1, x2 , ... , 
Xn) e poderá pôr-se a seguinte questão: 
Qual o valor de e que torna aquela amostra concreta mais provável? 
Se (l = (l (X1, X2, ... , Xn) é O valor de (l E 0 que maximiza L (81 X1, ... , Xn ), 
então @ é o estimador da máxima verosimilhança para 8. Para obter aquele 
estimador bastará então: 
Max L (8 1 X1' X2, ... , Xn) 
{8} 
s.a. 0 E e 
O que é equivalente a max1m1zar o logaritmo da função anterior se o 
intervalo de variação dos x; não depender de 81: 
Max M(8) = ln L (81 X1, X2, ... , Xn) 
{8} 
s.a. 8 E e 
Esta transformação, em geral, torna o problema de maximização mais 
simples. 
Este método de construção de estimadores é generalizável para uma po-
pulação com mais de que um parâmetro como é o caso da população normal. 
No entanto, é condição necessária para a aplicação deste método, que se 
conheça a distribuição da população ou Universo. 
Por último, refira-se que os estimadores da máxima verosimilhança gozam, 
em geral, das propriedades desejáveis num bom estimador: são os mais 
eficientes, consistentes e, se não são centrados, são pelo menos não envie-
sados assimptoticamente. 
1 
Deduza o estimador da máxima verosimilhança para o parâmetro de um 
Universo com distribuição geométrica, isto é, cuja função de probabilidade é dada 
por: 
f(x, 8) = 8 (1 - e)'- 1 x = 1, 2, 3, ... , o < e < 1 . 
Seja (X,, X2, ... , Xn) uma amostra aleatória de dimensão n e (x1, X2, ... , Xn) 
1ima:- sua ·co-ncfrêtiiaÇão:-- --
Melhor dizendo, se a função de verosimilhança for regular no sentido de Cramer-Rao: L (O) 
duplamente diferenciável e com a variação de x a não depender do parâmetro a estimar. 
ESTIMAÇÃO DE PARÀMETROS 
A suã-füiíÇãO de verosimilhança será: 
n 
L (8 1 x,' X2, ... , Xn) = L (O 1 ~) = II f (X;; 8 ) = 
i= 1 
n 
II (O (1 - B)x,- 1 ] = 
i= 1 
=8(1-B)x,- 1 
~ 
f (X1) 
8(1 - 8)"- 1 ... 8(1 - B)x.- 1 <=> 
~~ 
l(x2) f(xn) 
L xi-n 
<=> L (8 I ~) = eº (1 - 8) 'º' 
Fazendo a transformação logarítmica de L (.), obtém-se: 
M(8l~J = lnL(Bl~J = n. ln8 + [ i X;- n) ln(1 - O). 
1=1 
Pretende-se encontrar os valores de e que maximizam a função anterior. Para 
tal é necessário que sejam satisfeitas duas condições: serem pontos onde a 
primeira derivada da função em ordem a 8 se anula {condição de primeira ordem) 
é õr\dé a Segunda derivada é negativa {condição de segunda ordem). 
Condição de primeira ordem: 
n 
L x;- n 
dM{8lx) = 0 <=> n de e 
c.i=_1~-- = o <=> 
Note-se que: 
1 - e 
<=> n (1 - 8) - 8 [ _i, x1 - n) = o <=> 
I= 1 
n 
<=> n - ne - o L x1 + 8 n = o <=> 
i=1 
n <=>e= _n __ _ 
L Xj 
i=1 
1 E[X] = -
o 
1 
.. O = E[ X] 
107 
ESTATÍSTICA APLICADA 
-·----- ---· ----··-----·-Gond~ão-de-segunda-ordem;.-: ----
1 
1 
: i 
1 
1 
1 
.1 
d 2 M(8l~l 
de2 
d 2 M(0lx) 
de2 
n 
Como L x;;;?: n porque x;;;::, 1, Vi 
i= 1 
<o 
8=~w 
n 
= --2 -
0 
n 
L Xj - n 
i= 1 
<O. (1 - 9)2 
então ,; o, V e, e em particular no ponto n 1 8=--=-L X; X 
A n 1 O estimador de máxima verosimilhança será 8Mv = ~ = -=- . 
L- X; X 
• 
Seja (X1, X2, .. ., Xn ), uma amostra aleatória de uma população com função 
de densidade dada por: 
t (x; e) = e (1 + x r <1 • 0>, x > o, 0 > o. 
Pretende-se estimar e pelo método da máxima verosimilhança. 
Seja (x1, x2, .. ., Xn) uma amostra de dimensão n concreta: 
A função de verosimilhança será: 
n 
L (0 1 X1, X2,. . ., Xn) = rr f (X;; 9) 
-~-------- -------- ---~-----i= 1 --- . 
n 
.1 II [O (1 + X; f <1 + 81 ] . 
i= 1 
108 
ESTIMAÇÃO DE PARÀMETROS 
n -{1+0) 
!;----- ---T(0 j~) = 0" rr (1 + X;f(1 +8) 
= e"( ir (1 + X;) J 
11 
1 
1 
1 
l 
' ! 
i 
1 
L 
i=1 1=1 
Logaritmizando L (0 1 ~) obtém-se: 
M(Sl~l = lnL(0l~l = nln9-(1+0)1n(~ (1 + x;)J = 
n 
= n ln e - (1 + 9) L ln (1 + x;) . 
i= 1 
Condição de primeira ordem: dM ~991 x) = o. 
n 
dM(e 1 x) 
=o 
"" ~-L ln (1 + xi) = O "" de 
i= 1 
n 
"" 
...!!.. = L ln (1 + x;) "" e 
i= 1 
n <=> e = -n-~'----
L ln (1 + x;) 
i= 1 
As condições de segunda ordem estão verificadas pois: 
d 2 M(e [ x) n 
2 = - - 2 < O, V e e em particular no ponto calculado. de e 
A n Assim, o estimador de máxima verosimilhança é eMv = ------L 1n< 1 +X;) 
• 
Pretende-se agora exemplificar o caso de uma função de verosimilhança não 
regular, o que acontece geralmente quando a variação de x depende do parâme-
tro. 
Seja uma população com a seguinte função de densidade de probabilidade: 
2x t (x; 9) = - 2 , o ,; x ,; e, e ;, O. e 
109 
ESTATÍSTICA APLICADA 
·~--------f!retend~e-construiLO estimador de máxima verosimilhança para 8. 
1 
'1 
Dada uma amostra aleatória de dimensão n, (X1, X,, ··· Xn) e 
( X X ) Uma sua concretizaça-o, a função de verosimilhança será: X1, 2· ··· n 
n 
L(8l!'l=Il 
i= 1 
2Xi 
- 2-,0$X;$0 8 
n 
2" 
--n X;,0$X;$0. 
= 82n i= 1 
Como a amostra está fixa, esta função é decrescente com 8. No entanto, todos 
os Xi têm de verificar a condição de serem inferiores ou iguais a 0. Assim, o valor 
mais pequeno que 8 pode assumir corresponde ao maior valor observado dos 
x;(i = 1, .. ., n), ou seja, llMV = Max X;. 
1=1 • ... , n 
• 
Estimação por intervalos li 
Quando se utiliza um estimador, surge sempre a questão da sua precisão. 
Na prática, costuma estimar-se o erro-padrãoisto é, ~- No entanto, há uma 
outra forma de se ter uma ideia clara do grau de precisão du~ estimador, 
construindo um intervalo de confiança. Na estimação por intervalos, em vez de 
se indicar um valor concreto para certo parâmetro da população, e, constrói-se 
um intervalo que, com certo grau de certeza, previamente estipulado, o conte-
nha. Os intervalos de confiança permitem assim medir a precisão de um 
estimador. Saliente-se, no entanto, que os intervalos de confiança só podem 
ser construidos se a distribuição do estimador for conhecida. 
Suponha uma população normal com média µe variância cr2. Sabe-se que 
a 
a média amostral (X) tem distribuição normal de parâmetros µ e {f1 ou 
seja: 
_X_-~µ~ n n(O, 1). 
a 
{f1 
Assim Z = (X - µ) tem uma distribuição que é independente deµ, sendo 
a 
{f1 
possível determinar-se a probabilidade de a variável aleatória Z se situar num 
certo intervalo. 
Em particular sabe-se que: 
p (- 1 ,96 < z < 1,96 ] = 0,95. 
Então, 
P[-1,96 < * < 1,96] = 0,95 
[
- a 
P X- 1,96 {f1 < µ<X+ 1,96;,,] 0,95. 
111 
ESTATÍSTICA APLICADA ESTIMAÇÃO OE PARÂMETROS 
112 
----.--- ·-·---·-·---
-+----"'º(_q!,!.e u.tilizar um nível de confiança (À) igual a 95% e não outro 
qualquer? 
0.95 
- 1.96 o 1.96 z 
Conclui-se assim que a probabilidade do intervalo 
]
- cr - cr [ x- 1,96 rn: x+ 1,96 rn 
conter µ (o verdadeiro parâmetro do Universo) é de 0,95. Trata-se de um 
intervalo aleatório, pois os seus limites, inferior e superior, são variáveis alea-
tórias - dependem de X que é, como se sabe, uma variável aleatória. Significa 
que se se recolhessem 100 amostras aleatórias e se para cada uma delas 
fosse calculado o intervalo acima referido, seriam 95 os intervalos que conte-
riam a verdadeira média µ. 
No entanto, para cada amostra aleatória, os limites do intervalo variam. A 
partir do momento em que se substitui a variável aleatória X pelo seu valor 
concreto numa certa amostra, obtém-se um intervalo concreto e aqui já não 
se pode afirmar que 95% das vezes a média µ cairá nesse intervalo! Só estão 
envolvidas constantes, já que µ é uma constante. Obtida uma outra amostra 
aleatória, X será concretamente diferente e os limites do intervalo serão 
também diferentes. 
Por que utilizar um intervalo simétrico? 
Há um número infinito de intervalos possíveis com a mesma probabilidade 
da normal-padrão. Por exemplo, P [ - 2, 1 < Z < 1,85] = 0,95. No entanto, 
este intervalo não é centrado e a sua amplitude é de 3,95. A amplitude do 
_interyalo ao\erio1m_~_Q_t§fQ_nsider11do _er_a_ IT16.nor ... Prova-se que, como a função 
densidade de probabilidade duma normal-padrão é simétrica em relação a 
z =O, a amplitude do intervalo é mínima para valores de Z que sejam simétri-
cos. Ora, um intervalo de confiança com menor amplitude é mais preciso ... 
l 
! 
t 
' 
' :· 
t 
ii 
" '• 
Não há razão nenhuma em especial a não ser o facto de serem mais 
vulgares os intervalos de confiança a 90%, 95% e 99%. Pode-se utilizar 
qualquer outro nível de confiança. Repare-se que, quanto maior for o nível de 
confiança estipulado, maior amplitude terá o intervalo, portanto, menor preci-
são. Poder-se-á assim concluir que, para um intervalo de confiança, é neces-
sário: 
1. Encontrar um estimador pontual. 
2. Estabelecer um nível de confiança À. 
3. Conhecer a dimensão da amostra. 
4. Conhecer a distribuição amostral da variável aleatória utilizada para es-
timar o parâmetro. 
Mas como escolher a estatística adequada para a estimação por inter-
valos? 
O método utilizado é o chamado método da variável fulcral e que se pode 
resumir da seguinte forma: a variável aleatória a escolher para estimar o 
parâmetro deve ser tal que: 
i) contenha o parâmetro a estimar na sua expressão; 
ii) não contenha na sua expressão quaisquer outros parâmetros desconhe-
cidos; 
iii) a sua distribuição não dependa do parâmetro a estimar, nem de quais-
quer outros valores que se desconheçam. 
No quadro que se segue indicam-se as variáveis fulcrais apropriadas para 
cada caso. 
113 
ESTATÍSTICA APLICADA 
---------------euadro•--
Parâmetros Tipo Dimensão Conhece-se Variável 
a de da 
estimar população cr? fulcral amostra 
µ Normal Qualquer Sim x-µ 
<J/.[rl 
µ Normal ns;3o Não x-µ 
s;,rn 
Normal 
Não x-µ µ 
ou qualquer n>30 o/.[rl 
µ Qualquer n> 30 Sim x-µ 
a;,rn 
~ X1 -X2) -(!:!1 - ~) 
(cr1 e cr2) 
µ,-µ2 Normais Quaisquer 
.y di + if, Sim 
n, "2 
CX1 - X2) - (µ1 - µ2) 
(cr1ecr2) 
" 1 1 n1 s; 30 -+-;;-µ, -µ, Normais Não n. 
"n2::>;30 
A d/:if, ,Y (n1 -1) si+ ("2-1) sl 
n1+112_-2 
(x1 - xz) - (µ1 - µ2) 
Normal n1 >30 (cr1 e cr2) 
,)A+A µ, -µ, ou qualquer À t?.:!>30 Não 
n, "2 
a2 Normal Qualquer - (n-1) s" 
cr2 
x-p 
p Bernoulli n>30 - '1 p(1-p) 
n 
n1 >30 
(x1 - xz) - (p, - P2l 
P1-P2 Bernoulli -
,/ P1 q, + P2 '12 À f>2>30 
---
--·-- . - n, "2 
crl '2 cri Normais Qualquer S1 
cri - il -~ 
114 
Distribuição 
amostral 
f\ n (O, 1) 
(] fn-1 
o 
nn(0,1) 
o (ln(O, 1) 
(ln(O, 1) 
n tn1 +n2-2 
(p/n>30 
aprox. 
normal) 
nn(O, 1) 
(]X~-1) 
nn(0,1) 
n n (O, 1) 
nF~~=~ 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
Suponha que se pretende estimar a média de uma população da qual se 
conhece a. 
(X - µ) A função a/ {() contém na sua expressão µ, o parâmetro a estimar, e não 
contém qualquer outro parâmetro desconhecido. A sua distribuição, n (O, 1 ), não 
depende de nenhum valor que se ignore. Logo, aquela função pode ser utilizada 
como variável fulcral na construção de um intervalo de confiança para µ. 
• 
A construção de um intervalo de confiança para estimar um parâmetro pode 
ser organizada de acordo com a seguinte metodologia: 
1. Definição da população, da sua distribuição e do parâmetro a estimar: 
Seja, por exemplo, uma população X cuja distribuição se considera normal 
com média desconhecida e desvio-padrão a = 4000. 
Pretende-se estimar µ através de um intervalo de confiança. 
2. Escolha da variável fulcral: X - µ 
(J 
-rn 
já que X é estimador de µ. 
3. Determinação da distribuição amostral da variável fulcral: 
X-µ 
(J ;{fl nn(0,1). 
4. Escolha do nível de confiança: '),, = 0,95, por exemplo. 
5. Construção do intervalo aleatório: 
X-µ 
(J 
-rn 
115 
ESTATÍSTICA APLICADA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
[- cr - cr ] PrX~1~96 {f) <-µ-<-X-+-1,96 {f) -= 0,95c --- ~-t~~~~~P~r~e_te~.d~~e 
1 
1 
1 
I• 
1 
.i. 
i 
0.95 
al2 = 0,025 
-z;i.12 = -1,96 Z,,,,=1,96 z 
6. Determinação dos limites do intervalo aleatório: neste caso seria 
]
- cr - cr [ ]lo,95[µ = X- 1,96 {f); X+ 1,96 {f) . 
7. Determinação dos limites do intervalo de confiança concretos, a partir 
dos valores da amostra: para fazer inferência para µ, tem de se recolher uma 
amostra e calcular as estatísticas adequadas. Neste caso, recolheu-se uma 
amostra de dimensão n = 100 e calculou-se x = 200000. 
* ] 4000 4000 [ j lo,95 (µ = 200000 - 1,96 X {100 ; 200000 + 1,96 X {100 = 
= l 199216; 200784 [ . 
Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma quantidade de 
líquido que é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal. 
Sabendo que numa amostra de 25 bebidas se obtiveram os seguintes resultados: 
25 
1 __ _ I x; = 6250ml 
- -------~-i=-1 
' 
1 
i 
116 
25 
I (X; - x)2 = 384 ml2. 
i=1 
a) Construir um intervalo de confiança a 95% para a verdadeira quantidade 
média de líquido das bebidas servidas. 
b) Determinar quantas bebidas deveriam ser incluídas na amostra, se se 
pretendesse aumentar a precisão do intervalo para 2 mi. 
a) Vai-se determinar um intervalo de confiança paraµ, com grau de confiança 
de 95%. 
População: X- quantidade de líquido (em mi) que certa máquina de bebidas 
serve. 
Valores observados na amostra: 
25I x; = 6250ml 
i= 1 
25 
L ex; - x)2 = 384 m12 
i= 1 
A variável fulcral a utilizar será: 
X-µ 
S' n l(n-1) 
.[[) 
pois não se conhece o valor de cr e a amostra é pequena. Note-se que S' 
(desvio-padrão amostral corrigido) representa o "melhor" estimador para cr. 
Construção do intervalo aleatório, por consulta da tabela da distribuição t de 
Student: 
0.95 
- t= - 2,064 t= 2,064 t" 
117 
1 1 
ESTATÍSTfCA APLICADA 
118 
p [ _ t < t (n- 1) < t]-=-0;95 
p (-2,064 < 
X-µ 
S' 
{fJ 
< 2,0641 = 0,95 
S' - S' ] p [X - 2,064 {fJ < µ < X + 2,064 {fJ = 0,95 
pelo que o intervalo aleatório se pode escrever como 
e 
1 • [ - X - 2 064 r:- ; X + 2,064 r:- . 1- S' - S' [ '0,95µ- ''JO 'Jn 
A partir dos dados da amostra podemos calcular 
25 
L X; 
- i=1 
X = ---z5 = 250 mi 
25 
b (X;,- _)<)2 
2 .;::c=.:..1 --..,.-- 384 
s' = - n - 1 = 24 
s' 2 = 16ml2 
s' = +"16 = 4ml. 
o intervalo de confiança virá: 
] /o,95 [ ~ = ] 250 - 2,064 ~ ; 5 ; 250 + 2,064 · ~ ; 5 ( 
= ] 248,3488; 251,6512 [. 
A amplifüaeaeste intervalo-é-251,6512 - 248,3488 = 3,3024 mi. 
ESTtMAÇÃO DE PARÃMETROS 
,::....----'b,,)...:P...:r...:e_te_ride-_s_e _agora saber qual o valor de n que faz com que: 
amplitude intervalo = 2 mi 
amplitude = 2 x t 1 _ J. 
n-t;-
2
-
s' {fJ = 2. 
Ao pretender reduzir a amplitude do intervalo é necessário aumentar n, o que 
permite utilizar a normal padrão ( n > 30): 
s' 
amplitude = 2 x 1,96 x {fJ = 2. 
Admitindo-se que uma alteração da dimensão da amostra não implica altera-
ções no valor do desvio-padrão amostral, então 
4 1,96 X {fJ = 1 
1 
{fJ = 1,96 X 4 
{fJ = 7,84 
n = 62. 
• 
A administração do Metropolitano defronta uma situação de irregularidade na 
hora de passagem dos comboios pelas diversas estações. Essa irregularidade 
(em segundos) pode ser descrita por uma variável aleatória normal cuja média 
se estima em 5 segundos mas cuja variância se desconhece. Com n = 22 e 
s' 2 = 9, pretende-se saber entre que valores se situa a variância, com nível de 
confiança de 0,99. 
Pretende-se construir um intervalo de confiança para a variância, a 2, da 
população. 
População: X n n (µ ; o) 
onde X representa a irregularidade da hora de passagem dos comboios do 
Metropolitano. 
119 
i 
J 
1 
. i 
i l 
EST AT{STICA APLICADA 
120 
A variável fulcral a utilizar é: 
(n-1)S' 2 2 
n Xn-1 
Ter-se-á então: 
). =0,99 
a= 8,034 
P[a < X~-1 < b] =À 
(n-1)S' 2 
cr2-
[
(n-1)S' 2 
p b < (J2 < 
e, consequentemente, 
]
(n-1)S' 2 
] /o,99 [a' = 41,405 
b=41,405 
(n - 1) S' 2 
a ] = À 
(n - 1)S' 2 [ 
8,034 
é o intervalo de confiança aleatório pretendido. 
O intervalo de confiança concreto para a amostra recolhida, será com 
n = 22 e s' 2 = 9, 
] lo 99 [a' • = ] 4,56; 23,53 [ 
• 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
Foi feito um estudo para determinar se a ausência às aulas durante o semestre 
de Inverno é superior num centro urbano do norte ou do sul. Foram seleccionados 
dois grupos de alunos aleatoriamente: um grupo na cidade de Faro e outro na 
cidade da Braga. 
De 300 estudantes de Faro, 64 faltaram pelo menos um dia e de 400 de Braga, 
51 faltaram um ou mais dias. 
Para tal, pretende-se determinar o intervalo de confiança a 99°1o para a dife-
rença entre as proporções de estudantes que faltaram nas duas cidades. 
População A: Estudantes da cidade de Faro 
PA : proporção de estudantes de Faro que faltaram pelo menos um dia às 
aulas. 
População 8: Estudantes da cidade de Braga 
p8 : proporção de estudantes de Braga que faltaram pelo menos um dia às 
aulas. 
Como nA = 300 e na = 400 (amostras grandes). a variável fulcral a utilizar é: 
(XA - Xa) - (PA - Pa) o 
----;===~=õ=7===:7===;= (l n (O, 1). 
--,/ PA (1 - PA) + Pa (1 - Pa) 
Construção do intervalo aleatório: 
P[-z < 
-V 
- 2,576 
(XA - Xa) - (PA - Pa) 
Pa (1 - Pa) 
+-----
na 
). = 0,99 
< z] = 0,99 
z 
121 
ESTATÍSTICA APLICADA 
li 
,,, 
,,, 
~ i i 
,[1 
1 
l.1 ____ _ 
11 
122 
Pl(X - X ) - 2 576 :V PA (1 - PA) + Pa (1 - Pa) < PA - Pa < 
A a ' nA na 
] = 0,99 - • 1 PA (1 - PA) Pa (1 - Pa) < ( XA - X a ) + 2 ,5 76 " + -'--''-'----'-"-'--nA na 
Note-se que os limttes deste intervalo contêm os parâmetros PA e Pa. havendo, 
no entanto, dificuldades de cálculo para isolar PA e Pa· 
Um dos procedimentos possíveis neste caso é o de substituir PA e Pa pelos 
seus estimadores XA e Xa respectivamente, o que torna o grau de confiança 
apenas aproximado. 
Virá então: 
] - - -..J XA (1 - XA) ) lo,99 [pA - Pa = (XA - Xa) - 2,576 nA + 
Xa(1 -Xa) . 
na 
Xa(1 - Xa) r . 
na l 
Como xA = :~ = 0,2133 e x8 = i6o = O, 1275, obtém-se o intervalo 
de confiança concreto seguinte: 
] / 0,99 [p,- Pa = ] 0,0858 - 2,576 X 0,0289; 0,0858 + 2,576 X 0,0289 [ 
= ] 0,01135; O, 16035 [. 
• 
t 
[ 
i 
' j 
~ 
Exercícios propostos 
1. Seja Y,, Y2, .... , Y1 uma amostra aleatória retirada de uma população com 
média fl e variância if. 
Seja B um estimador para fl dado por: 
1 
Li Y; 
A .i=_1'---p = - 1 
2. i 
i= 1 
a) Mostre que B é um estimador não enviesado para fl. 
b) Mostre que B é consistente. Note que: 
L i = t(t; 1) e também L ;2 = t(t + 1) ~2 t + 1) 
i=1 i=1 
2. Dada uma população Bernoulli considere as seguintes estatísticas: 
n 
2,X;+Xn 
i=1 T, = ~-'---­
n + 1 
n-2 
2,X;+2Xn 
1' -'-i "-''------
2 = n+2 
a) Verifique se T1 consfüui um estimador centrado para p. 
b) Compare T1 e T2 quanto à eficiência. 
e) Será T2 um estimador consistente para p ? Porquê. 
R: a) Sim; b) Em pequenas amostras T1 é mais eficiente pois T2 não é centrado . 
Em grandes amostras T2 é mais eficiente; e) Sim. 
3. Encontre o estimador da máxima verosimilhança para o parâmetro e de uma 
População com a seguinte distribuição: 
f(x; 8) = { ~8 + 1) x 6 0 <X< 1 outros valores ' o > -1 
123 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
ESTATÍSTICA APLICADA 
4 f 
· dad • d N t d E opa e· ---":11'--"---._.E,ª---E __ n __ c_o __ nt __ r_e o estimador de máxima verosimilhança para À. 
-------- ~A-temperatura-c:tue-se- az-S8Ahr-9m- O-Pais- o_. O[ e_ a_ U[ ___ uma 
variável aleatória normal de média 1° C. Desconhece-se a variância. Com base b} Em 1 O dias diferentes escolhidos ao acaso e para o mesmo período, 
na amostra aleatória (X1, x2, X3, X4) foram definidos os seguintes estimadores procedeu-se à contagem do número de pessoas que visitavam o supermer-
para aquele parâmetro: cada, tendo-se obtido os seguintes valores: 
v 2 (30, 50, 40, 60, 1 O, 20, 50, 1 O, 30, 1 O) 
T, = K(X1 - X2 + X3 - , .. ) 
4 
1 - 2 
T2 = 3 L (X; - X ) . 
i= 1 
a) Calcule o valor que a constante K deve tomar para que T, seja não 
enviesado para rl-. 
b) Compare T1 e T2 quanto à eficiência, para esse k. 
e) Calcule P[(X, - 1)2 > 5 rl-]. 
1 
R: a) K = 4; 
b) T2 é mais eficiente pois Var [ T2 ] = ; a2 e Var [ T, ] = 2 a2; 
e)= 0,025. 
5. Cada um dos 50 investigadores de um grupo de investigação obteve separa-
damente e de forma independente um intervalo de confiança a 95% para a média 
µ da resposta (considerada normal) âüm organismo sujeito à presença de deter-
minada substância química. Diga, justificando, se considera verdadeiras ou !aloco 
as seguintes afirmações: 
a) Alguns intervalos de confiança podem não conter µ. 
b) A probabilidade deµ pertencer ao l.C. é de 0,95. 
e) A precisão de um intervalo de confiança diminui quando se aumenta o nível 
de confiança mantendo-se a dimensão da amostra fixa. 
R: a) V; b) F; e) V. 
6. o número de pessoas que entre as 18 e as 19 horas chega a um supermer-
cado segue uma distribuição de Poisson, isto é, a sua função de probabilidades é: 
Qual é, neste caso, a estimativa de máxima verosimilhança? 
A - A 
R:a)ÀMv=X; b}ÀMv=x=31.7. Com base numa amostra aleatória de tamanho n, deduza o estimador de 
máxima verosimilhança para o parâmetro e duma população com a seguinte f.d.p.: 
f(x) = { ~ 
A 
R: 0Mv = 
xe- t 
n 
L lnx; 
0<X<1,0>0 
outros valores de x · 
8. Com respeito às próximas eleições autárquicas foi efectuada uma sondagem 
sobre as intenções de voto dos eleitores lisboetas, recolhendo-se 500 respostas. 
Nestas, 200 estabeleciam a intenção de votar no actual Presidente da Câmara, 
150 pronunciavam-se favoráveis ao candidato do outro partido e as restantes têm 
·preferência por outros candidatos ou não expressam a sua preferência. O estudo 
destina-se a avaliar as hipóteses de êxito do actual Presidente da Câmara. 
a} Qual a população em causa? Justifique a escolha especificando quais os 
parâmetros de distribuição. 
b) Indique, justificando, qual o melhor estimador para a proporção de eleitores 
lisboetas que não votam no actual Presidente. Com base na amostra reco-
lhida indique uma estimativa para essa proporção. 
e) Construa um intervalo a 90% para a proporção de eleitores que preferem 
votar no candidato do outro partido. Interprete o resultado. 
R: b} 0,6; e} ] /0,90 [ ~ = ]0,2737; 0,3263[. 
L ~l~ 
X:::: 1, 2, ... 
9. Um fabricante produz peças de peso especificado em 200 grs. Querendo 
estimar o verdadeiro peso médio num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, 
seleccionou 35 peças ao acaso, que depois de pesadas forneceram os seguintes 
valores: 
1 l(X) = 
·',", --------- Seja (X1, x2~ : .. ~ XnJüma:amoslra-aleãtiYriã de dimensão n. 
.1 
xl 
L x; = 7140 grs L (x,- - x )2 = 560 grs2. 
124 
' 
1 
125 
ESTATÍSTICA APLICADA ESTIMAÇÃO DE PARÃMETROS 
---------a)_Ap.[es.ente uma estimativa (!ara o peso médio das peças do lote. Justifique 
a escolha do estimador. 
---::*!I;:::::'.==~· Uma estaç~o de rádio quer estimar o tempo médio que uma família dedica, 
dia, a ouvir essa rádio. 
126 
b) Construa um intervalo com um grau de confiança de 95% para o peso 
médio das peças do lote. 
R: a) 204 grs; b) ] 202,58 ; 205,42 [ . 
1 O. Se numa operação STOP na Estrada Nacional EN1, em 600 carros, 114 
tinham o sistema eléctrico com deficiências graves, construa um Intervalo de 
Confiança para a verdadeira proporção de carros com deficiências graves no 
sistema eléctrico viajando nessa estrada (laça os pressupostos que julgar neces-
sários). 
R:]/ 0,9s[~ = ]0,1586; 0,2214[. 
11. Na estimação da média de uma População Normal por meio de um Intervalo 
de Confiança a 90°/o, qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que a 
amplitude daquele intervalo seja inferior a ; , sendo a conhecido? 
R: n = 877. 
12. Qual deve ser a dimensão da amostra, de forma a que o erro amostral seja 
inferior a 0,06, na estimação com 95% de confiança da proporção de sucessos 
numa População de Befr\óülli? 
R: n ~ 267. 
13. No exame de Estatistica efectuado na 2ª época do ano lectivo 94/95, foram 
avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos como uma amostra represen-
tativa da população dos alunos matriculados na cadeira de Estatística e tendo em 
conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados: 
31 31 
2, Xj = 299 2, (X; - x.)' = 120. 
i= 1 i=1 
Determine um intervalo de confiança a 90°/o para a variância dos resultados 
em Estatística dos alunos matriculados na cadeira. Interprete o resultado. 
R:] /o g [ ', = ]2,74; 6,49[. 
-- - ---L·-·<J··-·- ---------·-------------·--
Foi recolhida uma amostra aleatória de 81 familias, tendo sido calculados uma 
média diária de audição de 2,4 horas e um desvio-padrão de 0,7 horas. 
Naquela cidade, quanto tempo dedica, em média, por dia uma família a ouvir 
aquela rádio? 
Responda, fornecendo uma estimativa pontual e um intervalo de confiança a 
90%. Interprete o significado dos valores encontrados. 
R: 2,4 horas; entre 2,27 h e 2,53 h. 
15. Num estudo de mercado, sobre a hipótese de utilização pelas donas de casa 
do Distrito de Lisboa, duma nova margarina em campanha de lançamento, inqui-
riram-se 600 donas de casa, das quais 100 ainda não tinham experimentado 0 
produto, 200 dizem ter gostado e ir mudar para a nova margarina, 1 oo dizem ter 
gostado, mas não o suficiente para mudar e 200 dizem não ter gostado. 
a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a percentagem de donas 
de casa que vão mudar o seu consumo para a nova margarina. Comente 
o resultado a que chegar. 
b} O que faria se, com o mesmo nível de confiança, pretendesse reduzir a 
amplitude do intervalo? 
_____ R:a)]io,ssl~x100% = ]35,7%; 44,3%[. 
127 
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Capítulo VIII 
Ensaio de hipóteses 
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·-----· ·------
necessidade dos ensaios 
de hipóteses 
· Neste capítulo de inferência estatística, serão apresentados métodos que 
1 
po5sibilitam validar ou não determinadas afirmações sobre os parâmetros de 
· Ürna população . 
.,.,,,,._: 
,: · 1,. Em várias áreas de economia e gestão é necessário, muitas vezes, decidir 
r:~~tre opções alternativas. A decisão, qualquer que ela seja, comporta um risco, 
Ji"' ::·:·o.risco de errar. Mas este pode ser controlado e minimizado. 
·: ,··· 
O contributo dos métodos estatísticos resta sempre, porém, na área do 
-···_auxílio à decisão, isto é, não deve ser o único elemento para a tomada de 
2.~:.C-'éfecisão. O gestor pode (deve) socorrer-se destes métodos, mas conhecendo ~\ , as respectivas potencialidades e limites. 
Considere-se os seguintes exemplos onde os métodos analisados neste 
capítulo podem ser úteis na tomada de decisões. Sugere-se que, depois de 
. familiarizado com os ensaios de hipóteses, volte a este parágrafo e procure 
~W1:at1arestatisticamente as situações propostas: 
1. O Ministério da Saúde afirma que, com os meios agora postos à dispo-
sição dos hospitais civis, o número médio de dias de internamento é, no 
máximo, oito. 
Quem o afirmou baseou-se em estudos recentes com um conjunto de 
225 doentes onde se observou que o número médio de dias de interna-
mento tinha sido de nove. Quer comentar? 
2. O peso das embalagens de 1 Kg de café em grão da marca GAMA tem 
vindo a ser contestado por uma associação de consumidores que afirma 
que, embora, em média, essas embalagens pesem 1000 gramas, a 
variabilidade do peso ultrapassa os limites considerados razoáveis 1. Exis-
tem, assim, consumidores muito prejudicados. Que procedimento adaptar 
para decidir sobre o diferendo entre a empresa produtora e a associação 
de consumidores? 
(1) . Desvio de 1°/o no peso. 
131 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------~3- Com o intuito de decidir sobre a compra de tempo de antena num 
1, 
1.11 
ili 
.Ili 
1:11 
,. ' 
!I 
' 1. 
. , 
!1i 1 
ii:1 I 
132 
programa de televisão de grande audiência, certa empresa decidiu reco-
lher uma amostra de cem pessoas. No inquérito realizado, 75 pessoas 
declararam ver o programa assiduamente, 1 Q de vez em quando e as 
restantes declararam nunca o ver. 
Suponha que a empresa só comprará o referido tempo de antena se for 
credível a hipótese de que a percentagem de pessoas que vê assidua-
mente o programa for de, pelo menos, 80%. Qual a decisão a tomar? 
4. Pretendem comparar-se dois processos de fabrico do mesmo produto. 
Adopta-se a seguinte regra de decisão: «com base numa amostra de 100 
unidades para cada processo, eliminar-se-á aquele processo que condu-
za a uma proporção observada de produtos defeituosos superior à do 
outro, em pelo menos 2%». Com que probabilidade se toma uma decisão 
errada? 
--------
1 
Hipótesese erros 
Um exemplo derivado de uma situação a todos familiar permitirá introduzir 
alguns conceitos fundamentais 1. 
Considere-se o julgamento de uma pessoa acusada de ter cometido um 
delito. O processo consiste em apreciar os elementos fornecidos pela acusação 
e pela defesa e decidir em função deles e da lei. Mas, em princípio, a pessoa é 
inocente; é a acusação que tem de apresentar provas em contrário. Se não houver 
evidência nesse sentido, a pessoa continua a ser considerada não culpada. 
Designe-se a hipótese em questão (o réu está inocente) como hipótese nula 
(Hof Quer isto dizer que existe uma hipótese posta em contraposição a esta 
(o réu não está inocente, está culpado), designada por hipótese alternativa 
(H1 ou Ha ). 
Se as provas apresentadas pela acusação forem incompatíveis com a 
manutenção da hipótese nula,. a decisão é rejeitar Ho e, portanto, aceitar H1, 
isto.é, ... o réu é culpado. Se tal não acontecer, o juiz absolve o réu, isto é, 
considera que não pode rejeitar H03. 
Mas atenção! Associado a qualquer uma destas duas decisões, existe um 
risco: o de estar a tomar uma decisão errada. De facto, conforme for a verda-
deira situação (ou estado da natureza), isto é, conforme o réu for de facto 
culpado/inocente, assim a decisão de o absolver/condenar terá sido errada. 
(l) E t 1 1 • · · s e exemp o e ass1co vem descrito, por ex., em Mooo, GRAYBILL & SOES , fntroduction to the 
(2) th_eory of statistics, McGraw-Hill, 1979, 2ª Ed. ~ot: que o termo nula está a indicar que não há nenhuma diferença entre o que é explicitado na 
{J) h1potese e a situação verdadeira. 
Repare que isto não significa aceitar que o réu seja realmente inocente. Significa tão só que não 
pode_ rejeitar a hipótese de que ele o seja. Por isso, é preferível dizer «não rejeitar HO» a dizer 
«aceitar Ho» . 
133 
.1 
•. ~,.!:.: 
. 1•·. 
1 1 
!, .1: 
,,., .. ,, 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Atente-se no seguinte quafüo, onâe_s_e-sumarizam-as-várias-situações: 
DECISÃO 
SITUAÇÃO REAL 
BASEADA NAS PROVAS H0 E VERDADEIRA Ho E FALSA 
(o réu é de facto inocente) (o réu é de facto culpado) 
Decisão incorrecta: 
NÁO REJEITAR Ho considerar inocente 
(réu não é considerado Decisão correcta um réu que é de facto 
culpado) culpado 
Erro tipo li 
Decisão incorrecta: 
REJEITAR Ho considerar culpado 
um réu que é de facto Decisão correcta {réu é culpado) inocente 
Erro tipo 1 
Sem dúvida que encontrou duas expressões novas: erro tipo I e erro tipo 
li. São exactamente os dois tipos de erro que podem ser cometidos: 
Erro tipo I - ocorre quando se decide rejeitar H0 , sendo H0 verdadeira 
(rejeitar uma hipótese verdadeira); 
Erro tipo li - ocorre quando se decide não -rejeitar H0 , sendo H0 falsa (não 
rejeitar uma hipótese quando tal deveria ser feito, já que é 
falsa). 
Concluindo o exemplo do julgamento, pode então verificar-se que qualquer 
decisão tomada pode ser acertada ou errada. l .. :i,','ii: i>!'I' Mas não é por isto que os tribunais devem ser abolidos! O que deve haver 
: 1 é a preocupação de recolher a informação mais pertinente e correcta de modo 
1', Hif a minimizar o risco, isto é, a probabilidade de errar. 
, •. ,,. No domínio estatístico, as hipóteses formuladas são confrontadas com a 
h !Ili evidência proveniente de dados recolhidos em amostras aleatórias. O processo 
.!:L'. 1)[ de decisão, consciente dos erros que podem ser cometidos, permite avaliá-los 
i:· 1i·i'i1 Jlllil e, de certo modo, minimizá-los. 
' ,,,,'!-------- -Eesse processo de.decisão.não.é.mais_d_Q_gue uma regra de procedimento 
l ll!l.i ~u:~r~~c=e a~~:á~~~:i~~o:~::i:~::~~~ic~e s:b:e~i~~;:s~nªul:s~:~i~:rc~~~;:~: 
,.) 1: 
I,;: I, ': ou não rejeitada. 
11; 
·.·•1 ii "1·1 
lli1
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134 
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.:!ti.· ·~! ...• 
11i r i!~! r 
:., r· 
T1 1 
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' 
Como fazer um ensaio 
de hipóteses 
' 
·"· '- A realização de um bom ensaio de hipóteses parte de uma correcta formu-
! 
lação das hipóteses, a qual se obtém pela análise do problema proposto, a 
maior parte das vezes através de elementos não estatísticos. De facto, é na 
natureza da questão que se deve encontrar o modo de formular as hipóteses. 
A recolha dos dados da amostra aleatória é determinante: são os erros de 
amostragem que impedem que a amostra represente correctamente a popula-
ção. Mas a formulação das hipóteses deve ser anterior à recolha da amostra 
' para que o procedimento não seja enviesado. 
É a informação da amostra que vai ser confrontada com os critérios entre-
tanto estabelecidos para decidir da rejeição ou não da hipótese nula. 
Um bom ensaio levará a uma boa decisão, ao mesmo tempo que permitirá 
avaliar os riscos envolvidos. 
Para ilustrar a metodologia, utilizar-se-á o exemplo que se segue . 
A empresa NOVOPAC, na apresentação da sua nova máquina para empaco-
tamento automático de bolachas, divulgou que garantia o empacotamento de uma 
média de 60 pacotes por minuto, com um desvio-padrão de 3 pacotes. o número 
de pacotes embalados por minuto segue uma distribuição aproximadamente nor-
mal. 
A fábrica de bolachas BEMBOM pôs a máquina à experiência nas suas 
instalações e, registando o número de pacotes embalados em 25 periodos de um 
minuto, constatou uma média de 58 pacotes embalados. 
O comprador potencial diz que a máquina não garante atingir a média prome-
tida de 60 pacotes por minuto. Por seu lado, o vendedor garante que a diferença 
encontrada se deve apenas ao acaso e que de modo nenhum põe em causa a 
média publicitada. · 
• 
li 
135 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
ESTATÍSTICA APLICADA 
.], 
--------De-facto,-quando_0 _resultado_da_amQstra está relativamente perto do valor _ _,,_ ___ ~R~e11are-seque <l_sit_uação de status quo, de não diferença, surge na hipó-
posto como hipótese para a população (neste caso: que a média é igual a 60), tese nula. Ver-se-á que é um procedimento standard - o colocar em Ho a 
torna-se mais fácil não rejeitar a hipótese de partida (e é nesse raciocínio que situação de igualdade -, que permite identificar claramente quais os valores 
se baseia o vendedor para a sua defesa). À medida que a média amostral se da estatística que levam a rejeitar ou não a hipótese nula. Permite ainda 
afasta da média presumível para a população, baixa a credibilidade da hipótese calcular a probabilidade do erro tipo 1, isto é, «medir" o risco de se cometerem 
em jogo. Se, por exemplo, a média amostral fosse 40 pacotes por minuto, era erros tipo I que se está disposto a aceitar. 
muito mais claro que se deveria rejeitar a hipótese de a média ser 60. o ensaio virá, pois, 
O problema é que a nova máquina a comprar pela empresa BEMBOM é 
cara e o comprador receia cometer um erro se não rejeitar a máquina. Por isso, 
há todo o interesse em verificar se a diferença encontrada (de 58 para 60) é 
mesmo devido ao acaso, isto é, se não há evidência estatística para rejeitar a 
hipótese de que a média seja 60. 
O ensaio de hipóteses que será feito, e que ao mesmo tempo permitirá ir 
apresentando a sequência metodológica proposta para este tipo de problema, 
permitirá identificar as situações de erro, e controlá-las, mesmo que os riscos 
não sejam eliminados. 
1º PASSO - Formulação das hipóteses. 
A hipótese em jogo é a de que «não há diferença entre a média de 
empacota,mento da máquina colocadam1 empresa BEM BOM e a média divul-
gada pela NOVOPAC», isto é, 
ondeµ indica a média da população: número de pacotes embalados por minuto 
pela máquina colocada à experiência. 
:1 A metodologia procurará validar H0. Se a evidência da amostra fornecer 
1
1 uma informação (média amostral) significativamente diferente de 60, então 
:li. rejeita-se H0 . Se tal não acontecer, considera-se que não há diferença e não 
ili se pode rejeitar H0 . Note-se que H0 consubstancia a posição do vendedor. 
,
1
, A hipótese alternativa,H8 , consistirá em afirmar aquilo que se quer aceitar, 
•11 no caso de se rejeitar H0 : 
.J[[ «há diferença entre ... ", o que levaria a formular H8 , como, 
t
11[,[_ _______ _ __ Ha: µ * 60 
1'1 
·_\il 
1 
136 
ou, e esta é a opção correcta, pois incorpora a situação real em que o problema 
foi configurado, reflectindo a posição do comprador, 
Ha: µ < 60 
H0 :µ=60 
Ha: µ < 60 
Se, no teste, não for possível provar que µ = 60, e, portanto, Ho for rejei-
tada, então a verdadeira média poderá ser 58, 57, 54, etc. 
Nesse caso, a média amostral de 58 será a melhor estimativa possível, 
condicionada ao erro que se poderá ter cometido (tipo 1). 
Recorde-se que, se H0 não for rejeitada, isso não quer dizer que Ho seja 
verdadeira. O máximo que se pode afirmar é que é provavelmente verdadeira, 
embora haja também a consciência de que se poderá ter cometido um erro 
(tipo li). 
2º PASSO - Fixação do nível de significância 
O ensaio em causa é, recorde-se, 
Ho:µ=60 
Ha: µ < 60 
Este teste designa-se por teste unilateral, pois a questão é posta em termos 
de direcção de alteração face ao valor da hipótese nula (genericamente: na 
H8 , figuram desigualdades do tipo<, >; na Ho, pode estar=, ;o, ou :".). 
Apresentar-se-ão adiante os testes bilaterais, em que o acento é posto na 
alteração face a um valor colocado na hipótese nula (genericamente: 
Ho: e = K, contra Ha: e * K) . 
As hipóteses que restringem o parâmetro a um valor (do tipo µ = 60), 
designam-se hipóteses simples; hipóteses compostas surgem quando o parâ-
metro pode assumir vários valores (do tipo µ < 60). 
137 
i ,, 
!, 
'' ! 
":I' 
'!'! 
'~ 
ESTATÍSTICA APLICADA ENSAIO DE HIPÓTESES 
----Voltando-ao-teste-P-ara-Se-estabelecer_uma_regra_dedecisi\o,é necessário __ _.. ____ No_entao!9pode-se esta_r a errar, a amostra pode provir de facto da popu-
estabelecer previamente o nível de significância do teste. Mas o que significa lação da hipótese nula, mas o valor para a probabilidade de erro tipo I que se 
esta expressão? está a admitir é 0,05. 
Diagramaticamente: 
A distribuição da média amostral é, no presente problema, normal com valor 
esperado igual ao da população_ Então, é possível representar o problema 
como 
µ=60 
Rejeitar Ho Não rejeitar Hn 
Sabe-se que, se a média amostral for inferior a 60, a decisão encaminha-se 
no sentido de rejeitar H0: quanto maior for essa diferença, isto é, quanto mais 
significativa for a diferença entre o valor posto como hipótese para a média da 
população e o valor obtido na_amos_tra _(a média amostral), tanto mais o decisor 
é levado a pensar que a população que gerou aquela amostra não é a que 
figura em Ho e, consequentemente, decide rejeitar H0. 
O ponto de separação (ponto crítico, Xc) entre uma diferença significativa 
e uma diferença não significativa depende do risco de cometer um erro tipo 1 
que o decisor está disposto a correr, isto é, do risco de decidir rejeitar H0 , 
quando Ho é verdadeira. Fixar esse risco em, por exemplo, 5%, significa que 
é de 0,05 a probabilidade admitida para que a decisão de rejeitar H0 tenha 
sido errada, ou seja, de que a amostra - que deu origem a um valor à 
esquerda (no exemplo) do ponto crítico - não tenha sido gerada por uma 
população do tipo da definida em H0, quando realmente o foi (Ho verdadeira). 
Para a esquerda do ponto crítico, a diferença entre o valor da média 
amostral e o valor da média da população (60) é significativamente grande 
fl<lrf!_ perrnitirconcluirque_a __ ~opulaiã()_ qu_e gerou a amostra não tem média 
igual a 60. 
Um teste nestas condições diz-se com um nível de significância de 5%, 
correntemente designado pela letra a.. 
Constata-se que a. coincide com a probabilidade de erro tipo 1, quando este 
é calculado para o valor de igualdade da hipótese nula. 
Verifica-se no diagrama anterior que, 
p [ erro tipo I ] = P [rejeitar Ho 1 H0 é verdadeira] 
J 
x, 
= t(x)dX=o,o5. 
3º PASSO - Escolha da estatística a usar e estabelecimento 
da regra de decisão 
É fundamental ter uma regra que permita considerar que, de facto, a 
···- __ f11_áquina à experiência não cumpre os parâmetros que o vendedor afirma ou 
então que, de facto, nada permite dizer que a máquina não esteja perfeitamente 
em ordem. 
Essa regra consiste em definir a acção a tomar face ao resultado da 
amostra. É, pois, no espaço amostral que se irá trabalhar, definindo duas 
regiões complementares: 
- Região crítica ou de rejeição (RC) 
- Região de não rejeição ou de aceitação (RA). 
Para tal, considere-se a distribuição amostral da estatística a usar, na 
condição da hipótese nula ser verdadeira (recorde-se que Ho é verdadeira até 
prova em contrário). 
Neste caso, a estatística a usar é X (estimador de µ, parâmetro sobre o 
qual se está a fazer inferência) e a sua distribuição amostral é 
139 
1 
.1 
'' .1. 
i,\ 
1!' 
ESTATÍSTICA APLICADA 
No problema anterior, e fixando o nível de significância em 5%, como a 
distribuição amostral de X para o valor de Ho , µ = 60, é 
x n n ( µ:x = µ = 60 ; a x = fn = ~ = 0,6) 
representam-se as regiões de decisão como se segue: 
0,05 
Com Xc = µ:x - 1,645 cr x = 59,01 
RC = {X: X ,,; Xc} = J - = , Xc J = J - = , 59,01 ] 
e 
RA ={X: X> Xc} = ]Xc, +=[ = ]59,01, +=[ 
De facto, verifica-se: 
P[X< :Xcl = 0,05 
donde 
) = 0,05 
com 
X - µo n n (O; 1). 
----- --crx- -· --· ----- ·- ···--- ·----------- -
ENSAIO DE Hf PÓTESES 
Ora, PT Z <: - 1,645] = 0,05, por consulta da tabela da normal estan-
dardizada e, por isso, 
xc - 60 
o,6 = - 1,645 ç; xc = 60 - 1,645 . 0,6 = 59,01 
A regra de decisão virá, pois, em função do valor da média amostral: 
1) Se x ,,; 59,01 pacotes, rejeitar H0 (a máquina não cumpre a especifica-
ção). 
2) Se x > 59,01 pacotes, não rejeitar H0 (a máquina, presumivelmente, 
cumpre com a especificação). 
Um método equivalente consiste em exprimir a regra de decisão em função 
X- µo 
da variável Z = n n (O; 1 ). 
cr 
{f) 
1) Se Z ,,; - 1,645, rejeitar H0 
2) Se Z > - 1,645, não rejeitar H0 
0,05 
-1,645 o 
I! RC .. 1 ___ .,0R!0,A ___ _.. 
4• PASSO - Tomada de decisão 
Z= X-µ,, 
o, 
Este é o momento de recolher o valor fornecido pela amostra e confron-
tá-lo com a regra de decisão: obteve-se x = 58 e, face à regra enunciada, 
x E RC, pois, 58 < 59,01. Quer isto dizer que há evidência estatística que 
141 
··! 
!! l
.i: •. 
j 
1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------pmmtte-rejeitar-HrF-a-diferença-entre-o-va!or-enconlrado-para-a-média amostral · 
(58) e µ0 (60) é suficientemente grande para, face ao nível de significância 
pré-estabelecido 1, concluir que a população de onde proveio a amostra (isto 
é, os pacotes embalados por minuto na máquina à experiência), não é a 
mesma na qual se baseia a publicidade do vendedor, isto é, Ho não é verda-
!I 
deira. 
O comprador poderá reavaliar a questão, sabendo, com este ensaio, que a 
máquina não garante uma média de 60 pacotes por minuto. Sabe que é de 
apenas 0,05 a probabilidade de estar a tomar uma decisão errada. 
A decisão com base no critério em termos da variável Z leva obviamente 
à mesma conclusão: 
O valor da amostra x = 58 equivale a 
Z= 
58 -60 
0,6 
-3,33 
que, comparando com o valor crítico - 1 ,645, 
- 3,33 E RC : a decisão é rejeitar H0. 
permite concluir que 
.,, ____________ -
,, 
j:I 
1,1 
li 142 
(1) É também determinante a magnitude do desvio-padrão. Ensaie outros valores para cr e veja como 
pode concluir o contrário. 
Erros nos ensaios 
de hipóteses 
Até agora, viu-se como um ensaio de hipóteses dá a possibilidade de tomar 
uma decisão àcerca de um problema, para o qual se dispõe da necessária 
informação. 
Já foi introduzida, com a questão do nível de significância (a), a ideia de 
que, associada à decisão,está a possibilidade de errar. 
Veja-se agora, mais em detalhe, os riscos de tomar decisões incorrectas, 
pois é importante saber que se podem cometer, como medi-los e como podem 
ser minimizados. 
Uma pizzaria recebe diariamente encomendas por telefone, que se têm com-
portado segundo uma lei normal. A empresa está dimensionada para uma procura 
média diária que não ultrapasse as 200 pizzas, admitindo um desvio-padrão de 
15. 
Uma campanha promocional realizada nos últimos 9 dias levou a uma procura 
média de 21 O pizzas. O problema consiste em avaliar a necessidade de reforçar 
a capacidade média de venda, estudando se houve de facto uma alteração 
significativa na procura diária de pizzas. 
Proceder-se-á ao ensaio de hipóteses, seguindo a metodologia proposta ante-
riormente. 
Defina-se a variável X - procura diária de pizzas, que se sabe ter o seguinte 
comportamento estatístico; 
X f\ n(µ; o= 15). 
Então: 
1 º PASSO - Estabelecimento das hipóteses 
Ho:µo>200 
Ha: µ > 200. 
li 
143 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
ESTATÍSTICA APLICADA 
-------~estetesteTde-hipótese·nula·composla-contra-hipótese.altemativacomposta), __ .,_____________ _ _ .. __ _ 
está em causa se a procura média diária de pizzas continua inferior ou igual a 
200 unidades. 
2• PASSO - Fixação do nível de significância 
Considere a. = 0,05. 
3• PASSO - Escolha da estatística a usar e estabelecimento da regra de 
decisão 
Estatística: 
X-µ n n(0, 1). 
Com o nível de significância de 0,05 e, de acordo com a formulação das 
hipóteses, rejeitando Ho para valores superiores a 200, pode-se estabelecer a 
seguinte região crítica unilateral (direita): 
RC = [ 1,645; + = [ 
RA = ]-=; 1,645[ 
o 1,645 
0,05 
.X-µ Z---
- cr/..Jn 
OU, em termos da variável X n n (!lo = 200 ' "x = 5 ), 
Xc - 200 
1,645 = 5 
donde 
Xc = 200+ 1,645 . 5 .'." _208,225. l 
1 
1 
1 
1 [ 
RC = [ 208,225; + = [ 
RA = ] - = ; 208,225 [ . 
200 208,225 
0,05 
Se o valor de X da amostra pertencer a RA, não se rejeita H0; se pertencer 
a RC rejeita-se H0• 
4• PASSO - Tomada de decisão 
Como o valor recolhido na amostra para a procura média diária de pizzas é 
x = 210 ou, na escala da variável estandardizada, z = 210 ~ 200 = 2 e estes 
valores pertencem à região crítica, decide-se rejeitar H0, isto é rejeitar a hipótese 
de que a procura média diária continue a ser inferior a 200. 
O ensaio indica que a campanha de promoção induziu a uma alteração na 
procura de pizzas, pelo que há que estudar o reforço da capacidade de venda. 
• 
4. 1. Análise de erros 
A pizzaria do exemplo anterior estava dimensionada para uma procura 
média máxima de 200 pizzas por dia, com um desvio-padrão de 15. A campa-
nha promocional levou a uma procura média de 21 O. O teste efectuado conduz 
à rejeição de H0 , pelo que se pode concluir que a procura média aumentou. 
Neste caso concreto, pode-se estar a cometer um erro - o erro tipo /. 
Caso a decisão tivesse sido no sentido de não rejeitar H0 , poderia ocorrer 
o erro tipo //. 
145 
ESTATÍSTICA APLICADA ENSAIO DE HIPÓTESES 
___ ----------=E"'s"'ta=-=s~itu~a,,,ção genérica ~ode ser resumida no qlladro segllinte 
--1----Lµ ~ 19jl __ 
1 
u 
i 1 
u 
11 I" !: 
' !I· 
li. 
li. 
SITUACÃO REAL 
DECISÃO Ho E VERDADEIRA 
BASEADA NA AMOSTRA (a procura média Ho E FALSA 
não aumentou' (a procura média aumentou) 
NÃO REJEITAR Ho Decisão correcta. Decisão incorrecta: não rejeitar 
(o teste evidencia que não há Probabilidade é no mínimo a manutenção do nível 
diferença significativa no nível 1 - a. da procura, quando de facto 
da procura). ele aumentou. 
Erro tipo li. Probabilidade é ~ . 
REJEITAR Ho Decisão incorrecta: rejeitar Decisão correcta 
(O teste evidencia a manutenção do nível Probabilidade é 1 - (3 . 
que há diferença significativa da procura, quando de facto 
no nível da procura). ele não aumentou. 
Erro tipo!. 
Probabilidade é no máximo a . 
4.1.1. O erro tipo I 
146 
Analise-se o erro tipo I - aquele que ocorre quando se rejeita indevida-
mente H0 - sob dois aspectos-particulares: 
a) Probabílídade do erro tipo/ e nível de significância (a) 
Sabe-se que: 
P [erro tipo I ] = P [ rejeitar H0 1 Ho é verdadeira]. 
No exemplo anterior: 
P [ erro tipo I ] = P [ X > 208,225 1 µ :5 200 ]. 
Calcule-se a probabilidade do erro tipo I para diversos valores compatíveis 
com H0, isto é, para os valores de µ que fazem Ho verdadeira: 
• µ = 200 
.... P[X>~9~.22_sl11_= 20?J_~ p[x-5200 > 2os,22~ - 200] 
= p [ z > 1,645] = 0,05 
que é exactamente o valor de a . 
P[ X> 208,225 I µ 199] = p[ z > 208,22~ - 199 ] 
= p [ z > 1,845] 0,03255. 
• µ ~ 195 
P[ X> 208,225 I µ = 195] = p [ z > 2,645] = 0,00405. 
Facilmente se verificaria, então, que P [erro tipo I ] :5 a. 
Graficamente, pode-se ilustrar os vários valores para a probabilidade de 
cometer um erro tipo 1, para o exemplo anterior: 
200 
199 
195 
Região de aceitação 
de H0 
Valor crítico = 208,225 
0,03255 
0,00405 
Região critica ou de rejeição 
de H0 
Assim, o erro tipo 1 é função do valor µ, para µE Ho , podendo escrever-se 
P [ erro tipo /] = a (µ). Tem-se que a (µ) :5 a , V µ E Ho . 
147 
... .L 
.. J. 
ESTATÍSTICA APLICADA 
b) Custos do erro tipo / 
A fixação do nível de significância (a) e, por conseguinte, do valor máximo 
que se admite para o erro tipo / pode ser analisada em termos dos custos 
incorridos ao poder tomar a decisão errada associada a este tipo de erro. 
No exemplo da pizzaria, está-se disposto a aceitar que, mesmo que real-
mente a procura média não tenha aumentado, se possa concluir o contrário 
com uma probabilidade de 0,05. Isto significa que é possível, por exemplo, 
ór.•:estir numa nova máquina para satisfazer o aumento da procura, quando 
realmente ela não se justificaria, já que a verdade é que a procura não 
aumentou. 
Mas há a possibilidade de se ser mais exigente no critério de decisão e de 
se procurar reduzir a probabilidade de cometer um erro deste género. Para tal, 
o decisor pode fixar o nível de significância a um nível mais baixo, reduzindo 
assim a probabilidade do erro tipo /. 
A alteração de a pode levar a tomar outras decisões, com a mesma 
evidência da realidade, com a mesma amostra. 
Tipicamente, os valores usados para a são O, 10, 0,05, 0,01 e mesmo 
inferiores. Utilizando, por exemplo, o valor de a ; 0,01 no caso da pizzaria, a 
situação é a seguinte: 
ou 
a ; 0,01 
X-µ Valor crítico para Z ; --~ 
cr 
..fn 
Zc ; 2,326 
RC ; [ 2,326; + = [ e RA ; ] - = ; 2,326 [ 
Valor do teste z ; 2 
Decisão: z E RA , pelo que não se rejeita H0 
1 Valor crítico para X: Xc ; 200 + 2,326 . 5 ; 211,63 
-L·~----· --RC =[21-1;63;-+=+ e -RA ;-)---=~-211,63[ 
' 
·' 
·' ! 
1 
d. 
··! 1· 
.. 1 ... 1 
'l "i 
I': .:11 '' 
1::·:1!; 
Valor do teste: x ; 21 O 
Decisão: x E RA , pelo que não se rejeita H0. 
148 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
pode ainda determinar-se qual a probabilidade de erro tipo Ia partir da qual 
8 decisão se altera, com a amostra recolhida: 
x ; 21 O, ao que corresponde z ; 2 
p (Z > 2) ; 0,0228. 
Então, para a < 0,0228, a decisão passa de «rejeitar Ho», para «não 
rejeitar Ho". 
Graficamente, a situação em análise é a seguinte: 
Valor da amostra X= 210 
200 208,22 
a= 0,0228 
200 210 x 
a= 0,01 
200 211,63 
Xe RC 
Xe RC, mas X-Se RA 
comõ>O 
Xe RA 
4. 1.2. O erro tipo li 
Considere-se agora o erro tipo li, cuja probabilidade se representa por ~. e 
que, tal como ilustrado no quadro anterior, se obtém fazendo 
~ ; P [não rejeitar H0 1 Ho é falsa] 
149 
.1 
! 
'! 
1 
.I 
ESTATÍSTICA APLICADA 
_____ a)_Cá/cufo_da_pcobabilidade-do.erco-tipo_fl ___ _________ _ 
É óbvio que, no caso da pizzaria que foi apresentado, com um a = 0,05,como a decisão foi «rejeitar Ho>>, nunca se incorreria num erro tipo li. Este só 
ocorre quando se decide «não rejeitar H0». Para usar ainda o caso em estudo, 
considere-se um valor diferente para a, por exemplo, a = 0,01, que leva à - " 
decisão de «não rejeitar Ho"· 
a = 0,01 
Xc = 211,63 e RC = [ 211,63; + ~ [ 
x = 21 O pelo que x E RA, decidindo-se «não rejeitar Ho'» isto é, não 
rejeitar que µ ,; 200. 
0,01 
µ,=200 X=210 Xc=211,63 X 
Então, tendo decidido não rejeitar H0 , poder-se-á estar a cometer um erro 
(erro tipo li), na eventualidade de Ho ser falsa. 
Para cada valor deµ a que corresponde a verdadeira média (µ > 200) pode 
determinar-se o respectivo valor da probabilidade do erro tipo li, ~ . 
Suponha-se que se aceitou que a procura média não aumentou, quando 
realmente ela passou para 220. A probabilidade de erro tipo li é a probabilidade 
de não se ter detectado este novo valor para a procura média diária de pizzas, 
isto é, de não ter rejeitado H0 (manutenção da procura) quando na realidade 
tal deveria ter sido feito. 
-------· ------~------- -------
150 
---'---'g_valor_d_g_~ será calculado da seguinte forma: 
p (µa = 220) = P [ não rejeitar Ho 1 µ8 = 220 ] = 
= P[X< 211,631µª = 220] = 
= P [ x - µ. < _2_1_1~,6_3=--_2_2_0 ] = 
(J / -.rn 5 
= p [ z < - 1,674] = 0,0471. 
Identicamente, se obteriam outros valores para ~(µa): 
p (µa = 205) = P 1x < 211,63 1 µ. = 205 J = 
= p[ Z< 211,63
5
- 205] = 
= p [ z < 1,326 l = 0,90756. 
• µ. = 210, 
~ [ µ. = 210 l = P[ X< 211,631 µ. = 210 l = 
= p [ z < 0,326] = 0,62778. 
• µ. = 215 
~<µa = 215) = P 1 :X < 211,63 1 µª = 215 J = 
= P[Z < -0,674] = 0,250216. 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
151 
IT' 
ESTATÍSTICA APLICADA 
!1'· 
'1 
Pode-se ilustrar graficament;;as Situações antenores 
1 
Valor crítico Xc == 21 1.53 
"= 0,05 
200 
~ (µ = 205) = 0,90756 
~ (µ = 210) = 0,62778 
210 
215 
i ~ (µ = 220) = 0,0471 
•. l.,Mi•..l ' 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
- ----·-- -- o-valor-de ~-diminui à medida que o verdadeiro valor de µ se afasta de 
µ0 = 200 como se ilustra na figura anterior. 
Na realidade, à medida que µa se afasta de µ0, torna-se mais difícil errar, 
ou seja, é menos provável que não se detecte o novo valor da procura média. 
Se a verdadeira média for 205, é mais fácil confundir uma amostra retirada 
dessa população com uma amostra retirada da população com µ0 = 200 ( e, 
por isso, dizer que ela é do grupo da H0, isto é, não rejeitar H0), do que se a 
verdadeira média for 220. 
b) Custos do erro tio o li 
Uma decisão errada pode custar caro ao decisor! O facto de não ter 
rejeitado indevidamente a manutenção da procura média diária em níveis que 
não ultrapassam as 200 pizzas, e, portanto, não ter detectado que a campanha 
promocional gerou uma procura superior, não aumentando a capacidade de 
vendas, pode fazer com que haja clientes que se sintam insatisfeitos e optem 
por ir a outra pizzaria. 
4_ 1.3. Minimização dos erros 
Quando se constrói um teste, é desejável que, tanto a como ~. sejam os 
menores possíveis, pois isso significa diminuir as probabilidades de errar. Mas, 
para uma dada dimensão da amostra, não é possível diminuir simultaneamente 
os dois valores: 
- para um dado a, o valor de ~ (para um certo valor de Ha ) é determinado 
pela RA correspondente; se a diminuir, diminui a RC e, como tal, au-
menta o valor de ~; 
- se o decisor quiser reduzir o risco do erro tipo li (~), terá de diminuir a 
RA, aumentando o nível de significância e, portanto, a probabilidade do 
erro tipo /. 
Actuar simultaneamente sobre os dois erros, diminuindo a sua probabili-
--·aaae,· pode ser feito aumentando a dimensão da amostra, isto é, recolhendo 
mais informação, o que tem, normalmente, custos associados. Assim, deverá 
ser feito o balanço entre estes custos adicionais e as probabilidades de erro. 
153 
1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Oe-facto;-o-aumento-da-dimensão-da-amostra-pmvoca_uma_diminuição na 
variância da distribuição do estimador, com correspondentes efeitos nas pro-
babilidades dos erros. 
Durante vários anos, uma determinada tarefa no processo de fabrico de um 
produto foi executada pelo Sr. Silva, que a levava a efeito num tempo médio de 
35 minutos. 
O Sr. Silva abandonou a empresa, e foi substituído por um novo operário, o 
jovem Alberto que, apesar de não ter nenhuma experiência, frequentou um curso 
de formação profissional que o pode tornar mais eficiente. 
Admita-se que o tempo de execução da tarefa pelo novo operário segue uma 
distribuição aproximadamente normal, com desvio-padrão de 4 minutos. 
a) Se, nas últimas 25 observações, o Alberto demorou, em média, 34 minu-
tos, como classificaria a performance do jovem operário? 
Designe-se por X o tempo de execução da tarefa pelo Alberto, em minutos. 
Sabe-se que X n n (µ ; cr = 4). 
- --- - - . . Como não se.sabe se o Alberto vai demorar, em média, mais ou menos que 
1 
' [ os 35 minutos padrão (do Sr. Silva), devem-se formular as hipóteses da seguinte 
i forma: 
1 
Ho:µ=35 
H8 : µ;, 35. 
O que está em jogo é saber se o Alberto tem a mesma performance do Sr. 
Silva (Ho) ou não (Ha ); e, neste caso, pode ser pior ou melhor. 
Admita-se um nível de significância para o teste de a = 0,05. 
A estatística a usar de acordo com a população X é 
X - µo º -~~ n n (0, 1). 
cr 
rn 
Para se estabelecer a região crítica, note-se que a rejeição de Ho se faz para 
- - - -- --- --- -- - . -- --
valores diferentes de 35; está-se assim perante umá região critica bilateral. 
Nestes casos, o nível de significância, o., é igualmente dividido pelas duas 
abas da distribuição do teste, como se ilustra na figura seguinte. 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
0,025 
-1,960 o 
0,025 
1,960 X-µ z-
-CiTTrl 
P[Z > 1,960] P[ Z < -1,960] = O~S 
Então: 
RC = ]-~; -1,960] U [1,960; +~[ 
RA = ]-1,960; +1,960[. 
Em termos da variável X, viria, para a distribuição da hipótese nula, 
4 
Xc1 = 35 - 1,96 . S = 33,432 
xc, = 35 + 1,96 4 
-=36568 5 • 
onde 
RC = ] - ~ ; 33,432 ] U [ 36,568 ; + ~ [ 
e 
RA = ] 33,432; 36,568 [ . 
Comparando a informação da amostra com as regiões crítica e de aceitação, 
existem condições para tomar uma decisão: 
x = 34 , pelo que x E RA 
ou 
Z= 34 - 35 = -1,25, pelo que z E RA. 
155 
' 1 ~ 
:, ' 
ESTATÍSTICA APLICADA 
----------vecisão:--------------------
Não se rejeita Ho , isto é, aceita-se a hipótese de que o jovem Alberto tem a 
mesma performance que o Sr. Silva, demorando em média, 35 minutos a executar 
a tarefa, tal como o velho trabalhador. O valor 34 obtido nas 25 observações não 
é suficientemente inferior a 35 para possibilitar a rejeição de Ho. 
b) Ao decidir não rejeitar Ho, existe a consciência de se poder estar a cometer 
um erro. Qual a respectiva probabilidade, se for verdade que o Alberto 
demora só 34 minutos em média? E se, pelo contrário, for verdade que ele 
demora mais, que demora 39 minutos? 
Trata-se de calcular P [ não rejeitar Ho 1 Ho é falsa ) isto é, calcular a proba-
bilidade do erro tipo li, p, para as médias alternativas 34 e 39. 
e 
p (µa= 34) = P[ não rejeitar H0 1 µ8 = 34) = 
P[ 33,432 < X< 36,5681 µ8 = 34] = 
p [ - 0,71 < z < 3,21 1 = 
= 0,9993 - (1 - 0,7611) = 0,7604 
P (µa = 39) P [não rejeitar H0 1 µ8 = 39] = 
P [ 33,432 < X < 36,568 1 µa = 39 ) 
p [ - 6,96 < z < - 3,04 ) = 
= (1 - 0,9988) - (1 - 1) = 0,0012. 
É evidente que, se a sua verdadeira performance média for de 39 minutos, é 
pouco provável que o Alberto ((gere)) uma amostra com média 34 minutos; essa 
probabilidade é de 0,0012 que é, então, a probabilidade de não rejeitar indevida· 
mente µ = 35 como sendo a sua petformance média. 
Já no caso de o Alberto ter uma performance média de 34 minutos, o risco 
de não o detectar e, pelo contrário, decidir queele tem um tempo médio de 
execução de 35 minutos, é maior, é da ordem de o, 76. 
~ ·-------
156 
:i! 
d 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
-t------·-· §_rafiCafT1ente as duas situações podem ser representadas da . t f 
segu1n e arma: 
r. 
··--·--···---···-
x"2=36,s6a 
35 
p (µ = 39) = 0,0012 
39 
e) Para correr menos riscos na valorização do Alberto h f 
· , o seu c e e resolveu 
registar os tempos de execução em 100 observações V ·1· 
tempo méd" f . en rcou que o 
ram? 10 con inuava a ser de 34 minutos. Será que os riscos diminuí-
Com esta dimensão da 1 · .. a . - amos ra, e necessano rever as regiões críticas e de 
ce1taçao, expressas em termos da variável X. O problema virá· 
-1,96 o 1,96 Z= X-µ 
a/{() 
----·-····---
xc, 35 x.,, x 
157 
ESTAT{STICA APUCADA 
-~--~~~~-=:--,..,-::-10lll--=4 
Xc, - 35 1,96. 10 3;i;2rn- ··· 
··---· -··---
1. 
··]; 
!.1 
: 1 
'.J,,----
!1 
1! 
:1 
1: ' 
''I 1 
ti 
1111 
158 
- - 35 + 1 96 . _..!.. = 35,784 Xc, - ' 10 
RA = ] 34,216, 35,784 [ · 
- - ertence agora à região de rejeição, pelo que a 
O valor da amostra x - 34 P médio seja de 35 minutos, 
decisão é rejertar Ho. isto é, rejeitar que o tempo 
devendo ser diferente, provavelmente menor. 
O risco de estar a errar é dado por 
p [ rejeitar Ho 1 Ho é verdadeira l = 
= P[X< 34,~16 ou X> 35,7841µ = 35] = 
P[X< 34,2161µ = 35] + P[X> 35,7841µ = 35] = 
[ 
34,216 - 35 J + p[z > 35•7~ - 35 J = 
=PZ< 4110 V10 
= p [ z < - 1,96 ] + p [ z > 1,96] = 0,05. 
d u s·1mples é óbvio que a p [erro tipo/] é o nível de significância No caso e no , 
a considerado. , . não leva a uma 
Considere uma amostra de dimensão intermed1a, n = 49, que 
alteração de decisão. 
De facto, com n = 49 
.J1111111i11!111_1111l,,9;::6--0;;t--,1.96 z 
35 
ENSAIO OE HIPÓTESES 
4 
·· · Xc1 ·= 35 - 1,96 . l = 33,88 
4 
xc, = 35 + 1,96 . 7 = 36,12 
RA = ) 33,88; 36,12 [. 
e o valor X = 34 pertence à RA, pelo que a decisão continuaria a ser, tal como 
na primeira análise, a de não rejeitar a hipótese de que o jovem Alberto tem a 
mesma perlormance do Sr. Silva. 
e 
Comparem-se agora os valores de p (µ8 = 34) e p (µ8 = 39) 1 
Facilmente se calcula que, para n = 49, 
p (34) = P [ 33,88 < X < 36, 12 1 µ = 34] = 
= p [ - 0,21 < z < 3, 71 1 = 
= 1 - (1 - 0,5832) = 0,5832 
p (39) = P [ 33,88 < X< 36, 121 µ = 39] = 
= p [ - 8,96 < z < - 5,04 l = 
=O. 
· o que evidencia uma diminuição dos riscos incorridos pelo chefe do Sr. Alberto 
ao atribuir-lhe a mesma valorização que o Sr. Silva. 
• 
4.2. Função potência do ensaio 
Retome-se o exemplo 2 - o ensaio para a procura média diária de pizzas, 
com um nível de significância de 1 %. Esse ensaio tinha conduzido à não 
rejeição de H0 : µ ,; 200. 
Calculou-se o valor de ~ para quatro casos, tendo-se obtido os seguintes 
resultados: 
1 
Recorde-se que, com n = 25, p (34) = 0,7604 e p (39) = 0,0012. 
159 
ESTAT(STICA APLICADA ENSAIO DE HIPóTESES 
_______________ ,_Verdadeira_ --~-(íl)--1----~-------
média µ 
_l'!_Q.._E!)(~rnR.IO em causa, viria 
-+---
i 
' 
,, 
160 
205 0,90756 
210 0,62778 
215 0,25022 
220 o 04710 
Pode agora fazer-se um gráfico correspondente às diferentes situações e 
completar a curva que se obtém 
~ (µ) 
" ~l 0,9 -------;-------
:<:::E o,a 
·*- ~ 
... «S 0,7 
o 1'.l 
I~ §? 0,6 
CD ;: 
"O "(ij 0,5 
~ g_ 
«S o 0,4 
0,3 
0,2 
~i 
:õ ã5 ~ m 
e:<::: 
o...i 0,1 
--------:--------~--------:--------:--------0 +:::-=í~--i-~-+-___;i----+-""""~· 
200 205 210 215 220 µ 
Verd8.dàira ·média cófii"ã campanha-promocional 
Pode ver-se que 
lim f3 (µ8 ) = 0,99 
µª~200 
sendo 0,99 = 1 - a . 
Ao calcular-se a probabilidade do complementar de f3 
P [rejeitar H0 1 Ho falsa 1 
obtém-se a probabilidade de tomar uma decisão correcta e assim é possível 
medir a capacidade do teste (ensaio) para decidir acertadamente. 
A função 
n (µ,.) = 1 - f3 (µ8) = P (rejeitar Ho 1 µ E Ha 1 
designa-se por função potência do ensaio e permite calcular a probabili-dade 
de se rejeitar.l-lo- quando esiii é falsa, ousejã.-;-qoando o verdadeiro valor da -
média da população pertence à hipótese alternativa. 
Verdadeira 
média(µ) ~ (µ) n (µ) 
205 0,90756 0,09244 
210 0,62778 0,37222 
215 0,25022 0,74978 
220 0,04710 0,95290 
Inversamente ao observado para f3, quanto mais perto do valor de ~ estiver 
o valor de µ8 em estudo como verdadeira média, menos potente é o teste, menos 
capacidade tem para distinguir os verdadeiros valores dos falsos. Quanto mais 
afastados estiverem os valores, mais capaz é o teste de tomar decisões correctas. 
Graficamente, obtém-se a seguinte representação onde se ilustram, em 
particular, para µ8 = 21 O, os valores da potência do ensaio (n) e da probabili-
dade de erro tipo li (f3) . 
n (µ) 
" .e 
'J:.º ~ 0,9 
;g ~ o,a 
:i, ~ ~"O 0,7 
.g -~ 0,6 
~~ ~ g_ 0,5 
=o 0,4 :gj 
.e (1) 0,3 e~ o...~ 0,2 -~-
- 0,1 
.. ---------------------- .--·-- ------------. 
1 - ~ 
o.j:.:.:.:=:::::::::...1--U.-i----___j___ ____ 
200 205 210 215 220 µ 
Verdadeira média com a campanha promocional 
1t (210) = 1 - f3 (210) = 1 - 0,62778 0,37222 
-Também se pode verificar que lim n (µa) = 0,01 sendo 0,01 = a. 
µª~200 
161 
1 
1 
'' 
1 
. ' 1 
1 
" 1 
' ' ',.1,, 
':iill,1' 
l; 1 1 Ili 
ESTATÍSTICA APLICADA 
162 
lÇinclüSão-do-valor-de-a-justifica-uma-definição-de_funçãoJ:iotênçia como 
a probabilidade de rejeitar Ho para todos os valores possíveis do parâmetro a 
ser testado. Corresponde a uma decisão correcta, no caso de Ho ser falsa e 
a uma incorrecta quando Ho é verdadeira. A definição da potência do ensaio 
será então: 
Pretende-se agora, para o exemplo do ensaio relativo à máquina de empaco-
tamento (com a = 0,05), 
Ho:µ=60 
Ha: µ < 60 
definir a função potência adequada. 
Pode verificar-se que, por exemplo, 
Verdadeira 
média(µ) p (µ) n (µ) 
59,5 0,7939 0,2061 
59 0,4933 0,5067 
58 0,0462 0,9538 
--~-- ·57-· ·-0,0QOL_. 0,9996 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
·+---"'lo,,,g.~,.-a_reP!E)Se!'tação gráfica da função potência virá: 
n(µ) 
D.9 
o.a 
D.7 
0,6 
---·--· ~ ···---· 
0,5 ·------~-----. .. l----···· 
0.4 ; i 
D.3 j j 
0.2 1 ! 
0,1 ! 1 
o ---··-··!···-----:-·······-:--··--· 
57585960 µ 
• 
Recorde-se o exemplo 3, relativo ao tempo médio de - . 
. ----- da tai:,e,f'!,)JO~_d,oi~ _t~abalhadores, na fabricação de um nrode;:c~çaenºdodeasdhete'.m1na-
a testar: ~ • 1poteses 
Ho:µ=35 
Ha: µ"' 35 com a= 0,05. 
Pretende-se, agora, definir a respectiva função potência: 
Verdadeira 
média(µ) P(µ) n (µ) 
33 0,0618 0,9382 
34 0,5832 0,4168 
36 0,5832 0,4168 
37 0,0618 0,9382 
39 
"º 
-1 
163 
ESTATÍSTICA APLICADA 
1 1 
' 1 
. 1 
J~'---
' ' 
1 1 
!I 1 
164 
---. (µ) ---
1 y--,..,--------------
0,9 
º·ª 
0,7 
0,6 
0,5 
0.4 : 
0,3 -----+-----f-----
0,2 \ 1 
0,1 ----+-----~-----~----- ' 
32 33 34 35 36 37 3B 39 
• 
d . · 1t·1mos exemplos, constata-se que o tipo de D comparação dos ois u - - . 
. a . < ou *) condiciona a forma da funçao potencia. 
hipotese alternativa (>, RCUD (região 
.d · ue para valores de µ>µo• ª 
o gráfico seguinte evi encia q '· . tente Para valores de 
. 1 d' .t ) conduz a um teste mais po · crítica urnlatera irei a . d ) tem idênticas vantagens. 
RCUE (região crítica unilateral esquer a 
µ < µo, ª .. do µ > µo e 
. usar estas regiões criticas quan a 
Tal confirma. o intere~se ::ndo não existe evidência acerca do valor alter-
µª < µo; respect1vament~~n~ .. .. * µ~ . dev~ -utiliz~r-s~- uma. RCB (região crítica 
nativo de µ, usando po µª , - ·a do ensaio para valores de 
bilateral) já que esta distribui igualmente a potenc1 
, 2 
µ>µo e de µ<µo · 
' 
' \i \e. 
'"' '' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' ' \ .i 
' ! 
' 
Q! 
''" o· Q;' 
,. 
; 
! "' 
'º ; Q; 
a. -----------~-_>\',..__ 
--- - -----"' 
µ 
L ma de Neyman-Pearson. (1) Estes resultados são demonstrados no e 
(2) Cf. nota anterior. 
Escolha da estatística 
adequada ao ensaio 
5. 1. Introdução 
Nos pontos anteriores foi apresentada a metodologia sugerida para resolver 
qualquer problema de ensaio de hipóteses sobre parâmetros de uma popula-
ção. Os exemplos trabalhados, se bem que não esgotem as alternativas, 
contêm o essencial e validam a metodologia apresentada. 
Propõe-se, agora, a apresentação das situações mais habituais e a aplica-
ção da metodologia referida. Conforme o tipo de população, o conhecimento 
da respectiva variância e a dimensão da amostra, assim será utilizada a 
estatística adequada e a correspondente distribuição amostral. A tabela apre-
·-·--·-sentada no fim deste-capítulo condensa os elementos chave desta análise. 
Começa-se com ensaios relativos a uma amostra: pretende-se comparar a 
estimativa nela obtida para a estatística com o valor do parâmetro indicado na 
hipótese nula. 
Num segundo momento, tratar-se-ão os ensaios relativos a duas amostras. 
165 
ESTATÍSTICA APLICADA 
---5 . ..,,2~saios-de-hipóteses-com-uma_amostra~~-
5.2.1. Ensaios para a média µ do Universo 
5.2.1.1. A população é normal e a variância 
do universo é conhecida 
Em certas situações, a população é normal (ou aproximadamente normal) 
e conhece-se a sua variância, cr2. O parâmetro de interesse é a média µ da 
população, em relação à qual foi formulado o ensaio. 
Foi esta a situação encontrada nos exemplos até agora apresentados. 
Dispensa-se a apresentação de outro caso e recorda-se apenas a estatística 
a usar e a respectiva distribuição amostral: 
válida para pequenas amostras (n ,,; 30) ou grandes amostras. 
5.2. 1.2. A população é normal e a variância 
do universo é desconhecida 
166 
Na situação anterior, era conhecida a variância do universo cr2, o que 
cr 
permitia calcular o desvio-padrão da distribuição do estimador X: cr :x = 1n. 
Mas, normalmente, cr2 é desconhecida. 
Existe, porém, a possibilidade de estimar cr, através da informação da 
amostra: 
L (X; - X)2 
n - 1 
(pequenas amostras) 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
1\ 
cr 
1\ 
(grandes amostras) 
e, sabendo que " cr -cr x = Yn , estimar o desvio-padrão da estatística X. 
a) Amostra pequena (n ,,; 30) 
Nesta situação, a estatística a usar (X) tem a seguinte distribuição amostral 
O peso das latas de conserva da marca PEIXEFRIO segue uma distribuição 
normal, devendo ter, de acordo com as normas, um peso médio de 1 oo gramas. 
O controle interno da qualidade retirou da produção, aleatoriamente, 9 latas e 
registou os seguintes resultados (X; - peso da lata i, em gramas): 
9 
L x; = 820 gr. 
í = 1 
9 
e "L (x; - x)2 = 81,12. gr". 
i= 1 
Será possível que esta amostra tenha provindo de uma população com média 
100? Use o nível de significância de 0,05. 
Sabe-se que: 
• X - peso de uma lata, em gramas 
• X n n(µ, cr) 
Pretende-se ensaiar a hipótese de o peso médio das latas ser de 100 gramas; 
em alternativa, não existe nenhuma direcção privilegiada de variação do peso. 
Será, então: 
Ho: µ= 100 
Ha: µ" 100 
167 
ESTAT/STICA APLICADA 
~----------o-t~ste-a-usarserá: 
.1 
:! 
! : i 
1
, . ! 
. ·····"·' 
:.• .. l 1•1 
168 
X - µo 
T = -S-,-1-=Jn- n tn-1 
dado que se desconhece a e a amostra é pequena (n = 9). 
Sendo o teste bilateral (Ha: µ ,; 100) e com um nível de significância 
a = 0,05, a consulta da tabela da distribuição ta fornece a seguinte regra de 
decisão: 
RA = ] - 2,306; + 2,306 [ 
RC = ] - = ; - 2,306 ] U [ 2,306 ; + = [ . 
Para calcular o valor do teste, com a amostra recolhida, é necessário deter-
minar 
x = 8~0 = 91,111 e s' ="" 87812 = 3,3. 
Virá, pois, 
t = 91,111 - 100 = -8,081. 
3,31"9 
Como o valor do teste pertence à Região Crítica, a decisão é rejeitar H0 , isto 
é, rejeitar a média de 100 gramas para a população que gerou esta amostra. Se 
esta é de facto representativa, então-aempresà..produtora das latas PEIXEFRIO 
deve proceder a uma correcção, já que as latas estão a pesar menos do que o devido. 
• 
b) Amostra grande (n > 30) 
Se a população é normal, a variância é desconhecida, mas a amostra é 
grande, então pode ser usada a distribuição amostral limite da t-Student utili-
zada na situação anterior. 
O estimador para o desvio-padrão de X, com amostra grande, é 
S!w = S' !WI, 
ENSAIO DE HIPÔTESES 
Considere o caso anterior (latas de conserva PEIXEFRIO), mas com a particu-
laridade de que recolheu uma amostra de 36 latas, tendo obtido os seguintes 
resultados: 
36 36 
I, x; = 3420 gr. e I, (X; - x )2 = 649 gr2. 
i=1 i= 1 
A sua decisão sofre alterações? 
Trata-se então de ensaiar, para a média (µ) da distribuição do peso das latas 
produzidas por aquela fábrica, que se sabe ser 
as seguintes hipóteses 
Ho: µ = 100 
Ha: µ;, 100. 
X f\ n(µ, a), 
Nas condições de uma grande amostra (com população normal e a desco-
nhecido), o teste a usar será 
X - µ0 º 
T= S!-.fn (l n(O, 1). 
Sendo o teste bilateral e com a= 0,05, a consulta da tabela da normal stand-
ardizada permite-nos definir a regra de decisão: 
RA = ]-1,96; +1,96[ 
RC = ] - = ; - 1,96 ] U [ 1,96; + = [ . 
A amostra fornece a seguinte informação 
Virá, então: 
x=3420= 95 36 e s = ~ = 4,246. 
95 - 100 
t = 4,246 /{36 = - 7,065 
valor que pertence à Região Crítica, pelo que a conclusão a retirar se mantém: 
1-----·-··releita-se que as latas estejam a ser produzidas com um peso médio de 100 
gramas, para aquele nível de significância. 
• 
169 
ESTATÍSTICA APLICADA 
5.2. 1.3. A população é desconheciaa 
Quando se desconhece a distribuição da população, conhecido ou não o 
seu desvio-padrão, só com uma amostra grande é possível construir um teste 
com distribuição amostral conhecida. De facto, o recurso ao Teorema do Limite 
Central permite deduzir a distribuição amostral do estimador a usar 
X - µo o 
n (0, 1) com o conhecido. T= 
(! 1-rn n 
X - >'o o 
n (O, 1) com o desconhecido. T= S/WJ n 
A exploração de uma nascente de água minero-medicinal tem revelado uma 
quebra acentuada no débito por minuto da referida nascente. É proposto um novo 
método, cuja implementação obrigará a um avultado investimento, mas que ga-
rantirá os desejados 800 litros por minuto, no mínimo. 
O concessionário actual, de acordo com os proponentes do novo método, 
recolhe informações junto de uma outra ·exploração, em tudo análoga à sua, e 
onde o novo método já está em funcionamento. Em 100 períodos de um minuto, 
aleatoriamente determinados, verificou-se um débito médio de 796 litros, apre· 
sentando os valores registados um desvio-padrão de 20 litros. 
Qual a decisão que aconselharia o concessionário a tomar, com 0,05 de nível 
de significância? 
A variável em questão, que se pode designar por X - débito por minuto da 
nascente, em litros não tem distribuição conhecida, e não se conhece também o 
desvio-padrão. 
Quer-se, porém, efectuar um ensaio para a respectiva média µ;de acordo com 
a apresentação da questão, será: 
1-fo:µ?800 
Ha: µ < 800. 
------··- -·· ·- -Nas condições.em.causa,.só .. a.reçQ!.!J.a si!! u_ma grande amostra possibilita que 
se encontre uma solução: o teste a usar será 
X - µo º 
T= S!..fn n n(O, 1). 
170 
ENSAIO DE Hf PÓTESES 
S<mdQ 9 ensaio unilateral esquerdo e com a = 0,05, consultando a tabela da 
normal reduzida, será 
RC = ]-~; -1,645] 
RA = ]- 1,645 ; + ~ [. 
A partir da amostra, obtém-se x = 796 e s = 20 pelo que o valor do 
teste virá 
t- 796-800 -
- 20/ffiQ - -2,0 
valor pertencente à Região Critica. 
A decisão a tomar - rejeitar Ho- significa, então, que se aconselharia o 
concessionário a não investir no novo método, com base na observação que 
realizou. 
• 
5.2.2. Ensaio para a proporção 
Quando a população tem distribuição de Bernoulli, a inferência àcerca do 
_______ _seu parâmetro p (probabilidade de ocorrer um sucesso numa prova de Ber-
noulli) pode ser realizada através dum ensaio de hipóteses. A amostra ade-
quada fornece informação àcerca da proporção nela observada e deseja-se 
compará-la com a verdadeira proporção da população. 
Uma empresa de lavagem-a-seco manteve 28°/o do mercado nos últimos três 
anos. Este ano, uma amostra de 49 cidades revelou que esta empresa só detinha 
uma percentagem de 25,4o/o nas vendas do sector. Será que este resultado é 
171 
1 
"' 
1 
1 i 
,, 
1 
1 
·' 
1: 1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
significativamente mais baixo que o anterior, para um nível de significância de 
0,01? -------------·--·--
A característica em estudo - um utilizador, escolhido ao acaso, recorrer aos 
serviços da empresa de lavagem a seco - tem distribuição de Bernoulli, de 
parâmetro p a estimar. 
As hipóteses em causa são 
Ho: p = 0,28 
Ha: p < 0,28. 
Sendo o teste unilateral esquerdo, e dado a. = 0,01, o ponto crítico é 
Zo,01 = - 2,326. 
Então 
RC = ] - =; - 2,326 ] 
RA = ] - 2,326; + = [ . 
O valor do teste, para a hipótese nula, será 
t=---,=;;'º·~25~4~-~o~,2~8~= 
-J 0,28 (1 - 0,28) 
49 
= - 0,405 
valor que, pertencendo à Região de Aceitação, permite não rejeitar H0 e, como 
tal, afirmar que o resultado.obtido.não.é significativamente mais baixo que o share 
anterior. Como explicar a diferença? Pelos erros amostrais. 
• 
5.2.3. Ensaio para a variância 
172 
Um outro parâmetro que pode interessar estimar numa população normal 
é a variância, e?. Neste caso, e recordando a distribuição amostral de s 2, 
estimador não enviezado de e?, o teste vai ser realizado através da estatística 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
Uma máquina está construída de forma a assegurar que a medida-padrão das 
peças que produz tenha uma média igual a 4. Mas deseja-se também que a 
variabilidade dessa medida não ultrapasse uma unidade de medida (controlo pelo 
desvio-padrão). 
No último controlo de qualidade, as 16 peças analisadas segundo a medida-
-padrão revelaram uma média de 4, mas uma variabilidade de 1,05 unidades de 
medida. 
Será a diferença na variabilidade significativa? A que nível de significância? 
Trata-se de um ensaio para a variância. Admita-se que a distribuição da 
medida-padrão das peças é aproximadamente normal, o que não é difícil de 
aceitar. 
Representando por X - medida padrão das peças, então: 
As hipóteses em estudo são: 
O teste a usar será: 
·1----------~-- ----
X A n(µ; o) 
Ho: cr2,; 1 
Ha:cr2>1. 
(n - 1) S '2 T = ...:...__-,:.____ 
"~ 
2 
ri Xn-1. 
Com n = 16 e admitindo um a.= 0,05, virá: 
região de aceitação região crítica 
25 
sendo então RC = [ 25; + = [ e RA = [O; 25 [ . 
T 
173 
ESTATÍSTICA APLICADA 
----------0-valor-do-taste..e·-------------
2 
t = (16 - 1) . (1,05) = 16 5375 
1 ' 
que pertence à RA, pelo que não se rejeita H0, isto é, não há diferença significativa 
entre a variabilidade observada na amostra e a desejada pelas normas de quali-
dade. 
O nível de significância a partir do qual se poderá considerar que a variabili-
dade é significativamente superior a 1 obter-se-á fazendo 
2 x15, 1 -a' ,; 16,5375. 
Consultando a tabela da distribuição de Qui-Quadrado, constata-se que a' 
estaria entre 0,5 e 0,25, valores muito elevados para admitir em condições nor-
mais (recorde-se que marca o limite superior da probabilidade do erro tipo 1 ) . 
• 
5.3. Ensaios de hipóteses com duas amostras 
Até agora, trataram-se apenas problemas que envolviam dados relativos a 
uma única amostra·a1eatória:·Outro tipo de-questão refere-se a situações em 
que interessa saber se as estimativas obtidas em duas amostras aleatórias 
diferem significativamente, isto é, se os parâmetros das populações de onde 
as amostras foram extraídas diferem. 
5.3. 1. Ensaio para a diferença de médias 
Considere-se, em todas as situações a seguir estudadas, duas amostras 
aleatórias retiradas das populações X1 e X2, 
e 
, (X21. X22 .... , X2n,l 
·-------------·------ - ---------------
com dimensão n1 e n2 respectivamente e independentes. 
As suas médias amostrais são, por ordem, X1 e X2. 
174 
ENSAIO OE HIPÓTESES 
--s-----=~ensai~ de_ hipóteses que se pretende formular é relativo à diferença entre 
· as duas medias das populações: µ1 - µ2. 
O estimador de µ1 - µ2 será x1 - x2, · d' t 'b · cuia 1s n u1ção amostral foi já 
estudada. 
5.3.1.1. Populações normais e variâncias conhecidas 
Repare-se que este resultado é válido para amostras grandes ou pequenas. 
--':S::=,;_-
5.3.1.2. Qualquer população, variâncias desconhecidas 
' mas amostras grandes 
.. Quando se pretende aplicar a metodologia a populações com qualquer tipo 
de d1stnbu1ção, só com grandes amostras é que é possível encontrar - pelo 
.Teorema do L1m1te Central - a distribuição do estimador que é: 
O desconhecimento de a 21 e 2 1 a 2 resa ve-se utilizando os seus estimado-
.s. assimptoticamente centrados, s 1 e s ~ . 
175 
ESTATÍSTICA APLICADA 
176 
Uma empresa de pesquisa de mercados está a estudar se há diferença entre 
os salários dos trabalhadores indiferenciadas numa certa indústria em duas re-
giões do país (A e B ). Os resultados obtidos foram: 
Região Amostra Média salarial Desvio-padrão 
A nA = 100 XA=1000 SA= 26,7 
B n8 =200 xa= 980 Sa= 30,4 
Se se pretender limitar a 0,01 o risco de rejeitar incorrectamente a hipótese 
de que as médias das populações em causa são iguais, que conclusão se poderá 
extrair destes dados? 
Designem-se por: 
XA - salário de um trabalhador indiferenciado na região A (para a indústria 
em causa) 
Xa - salário de um trabalhador indiferenciado na região B (para a indústria 
em causa) 
Estas são as características em estudo das populações em causa; as suas 
distribuições são desconhecidas,,bem .. como .as. variâncias. 
Pretende-se ensaiar a hipótese de que as respectivas médias sejam iguais, o 
que se pode traduzir pela nulidade da sua diferença: 
A hipótese alternativa, não havendo nenhuma razão clara para indicar a 
predominância de uma das regiões, será 
Nas condições do problema, o nível de significância deste teste bilateral é 0,01 
sendo o teste a usar 
ENSAIO OE Hf PÓTESES 
-l-----_p_e.10_9':'.<l·_~raficamente, se pode representar a situação do seguinte modo: 
-2,576 o 2,576 
-8,83 o 8,83 
RC RA RC 
s ~ = 712,89 nA = 100 
2 Sa = 924,16 na= 200 '1 s~ + s~ 
RC = ]-~; -8,83] U [8,83; +~[ 
RA = ] - 8,83; 8,83 [ 
em termos da variável XA - X8 . 
Comparando o valor da amostra 
XA - Xa = 1000 - 980 = 20 
nA na 
z 
XA-XB· 
3,428 
com_ AC ~ RA, conclui-se que pertence à Região Crítica, pelo que se deve rejeitar 
Ho. isto e, as médias amostrais dos salários diferem significativamente entre as 
regiões A e B e, por isso, as médias das populações diferem entre as regiões A 
e B. 
• 
177 
ESTATÍSTICA APUcADA 
--s-:3:1;3:.-Amostras-Pf*luenas,-populações_o_ormai~ 
e variâncias desconhecidas mas iguais 
li; 
::,i 
1.1 
li il 
178 
Quando as amostras são pequenas e as variâncias desconhecidas, se as 
populações forem normais é necessário encontrar uma estatística adequada 
ao ensaio de µ1 - µ2. 
O estimador será X1 - X2 cujo valor esperado é µ1 - µ2 e cujo desvio-
-padrão é s _ -
X1-X2 
Admitindo a hipótese de que são duas amostras independentes de duas 
populações com distribuição normal e cujas variâncias são iguais 
(o~ = 0 ª = cr2), é possível estimar esta variância comum fazendo uma média 
ponderada das duas variâncias amostrais (utilizandon1 - 1 e n2 - 1 com pon-
deração). 
Assim será: 
Quando n1 + n2 - 2 > 30, a distribuição pode ser considerada aproxima-
damente normal estandartizada. 
Para estudar dois tipos de gasolina, toram recolhidos duas amostras aleatórias 
de-1oc-arfõ"~fdcYmesmo modelo. Todos os carros da amostra 1 foram abastecidos 
com gasolina A e todos os carros da amostra 2 foram abastecidos com gasolina 
B. A distância média por litro percorrida por cada carro é a seguinte: 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
GASOLINA A GASOLINA B 
Garro Média Km/litro Carro Média Kmllitro 
1 20 1 18 
2 18 2 20 
3 20 3 22 
4 21 4 21 
5 19 5 20 
6 17 6 18 
7 20 7 19 
8 21 8 17 
9 16 9 19 
10 22 10 20 
11 18 11 21 
12 19 12 18 
13 20 13 19 
14 19 14 22 
15 17 15 18 
Com um nível de significância de 0,01, poder-se-á concluir que há uma 
diferença significativa entre as duas méaias? 
Trata-se de um teste para a igualdade das médias de duas populações, sendo: 
X1 - número de quilómetros/litro percorridos com gasolina A 
X2 - número de quilómetros/litro percorridos com gasolina a 
--t--------- -
E[X1]=µ1 e E[X2]=µ2. 
Estando perante amostras pequenas e nada sabendo sobre as distribuições 
das popul~ções, é necessário admitir que elas seguem uma distribuição normal, 
~u1as vananc1as, desconhecidas, se admitem iguais (poderia, antes, testar-se a 
igualdade das variâncias, com o teste apresentado no ponto 5.3.3. e depois agir 
em conformidade com o resultado). 
Nesta situação, o teste a usar é o apresentado neste ponto e, para 0 aplicar, 
é necessário conhecer X1, x2, s '1 e s 'ª : 
x, = 17,933 
X2 = 19,467 
s'~ = 4,38 
s'~ = 2,41 
As hipóteses a testar são 
Ho: µ, - µ2 = O 
Ha: µ, - µ2 "' O. 
179 
1 
.. ;: 
.:,'i 
l '\, 
" 1 
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lf''ili:':;·1 
l"·'[l1·1·l1· 
.
'. ·_·_'_1~1, :,,. '. li ªjliild '" 1 Hl·lli''i I 11•1.líi; .li 
"'lli'-!'111'11' 
"'l''.'.·1·_·_1· 
·1· ·· I' 1 l· ~t l::1i, 
·1:1r]:':i "'\' i:ild:,111, 
IF."'.I' 
i 111~!!! !!1111 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
ESTATÍSTICA APLICADA 
isto e, as meãias-das-cJuas·populações-são-iguais-(µ1~µ2 = Q) ou são diferentes. 1 2 me ias amostrais corres--:-+--'e'"'x""istência de diferença significativa entre X e x ( -d· · 
Trata-se de um teste bilateral em que a variável tem uma distribuição 128 sendo 
o nível de signtlicância a = 0,01. 
0,005 f,. 
- 2,763 o 2,763 
RC RA RC 
Tem-se assim RC = ]- ~; -2,763] u [ 2,763; + ~ [ 
e RA = ]- 2,763; 2,763 [ _ 
O valor do teste é 
t = (17,933 - 19,467) - o = - 2,28 
~ 14 . 4,38 + 14 - 2,41 ~J__ J__ 
28 . 15 + 15 
que pertence à Região de Aceitação definida. 
T 
A decisão a tomar CQn1éS\98nSa:íO--e--qüe riãO há diferença significativa entre 
as duas médias amostrais e por isso não se rejeita que o número médio de 
quilómetros percorridos com um litro de gasolina A seja igual ao número médio 
de quilómetros percorridos com um litro de gasolina B . 
• 
5.3. 1.4. Amostras emparelhadas 
180 
Nos testes com duas amostras até agora apresentados, considerou-se 
sempre que as amostras eram independentes - os valores observados numa 
amostra eram independentes dos valores observados na outra. 
- Muitas vezes; esta condição-não-se-verifica: as duas amostras podem ser 
formadas por pares de observações feitas sobre os mesmos elementos. Neste 
caso a hipótese a testar será a de igualdade de médias entre os dois pares 
de observações, sendo incorrecto aplicar o teste t anterior para averiguar da 
pondentes ao primeiro e segundo pares de observação, respectivamente) pois 
as amostras não são independentes. ' 
As hipóteses a testar são: 
Ho: µ1 µ2 
Ha: µ1 * µ2. 
. Por se tratarem de amostras não independentes, deverão ser calculadas as 
diferenças de valores D = X1 - x2 . Se a hipótese nula for verdadeira, os 
valores de D pertencem a uma população de me·d·ia zero e as hipóteses 
anteriores podem ser transformadas nas seguintes: 
Ho:µo=O 
Ha: µo* O 
. Um departament~ de pesquisa de uma empresa produtora de medicamentos 
Hl~ltiii:,:,: · , realizou uma expenenc1a para verificar se um determinado produto aumenta 
·· tempo de reacção dos utilizadores a diversos estímulos. De facto se d. 
0 
me t r , o me 1ca-
n o iver esse efeito, deve ser incluída essa observação na literatura que 
acompanha o produto. 
rea P~atal. seleccionou aleatoriamente 12 indivíduos e registou 0 tempo de 
... cçao de cada um a um estímulo, antes e depois de tomar o medicamento. Os 
-· · resultados foram os seguintes: 
181 
ESTATÍSTICA APLICADA 
j 
,,, ,,,,. --------
182 
-tempo Ge reacçao- -rempcrde-reacçiio-
Individuo sem medicamento com medicamento 
(em segundos) (em segundos) 
1 0,75 0,84 
2 0,82 0,78 
3 1,04 1, 15 
4 0,77 0,81 
5 0,92 0,95 
6 1, 11 1,08 
7 0,69 0,82 
8 0,84 0,96 
9 0,91 0,95 
10 0,98 0,83 
11 0,83 0,91 
12 0,75 0,81 
Designem-se por X1 e X2 as características de todos os indivíduos 
x, - tempo de reacção de uma pessoa antes de medicada 
x2 - tempo de reacção de uma pessoa depois de medicada 
Admitindo a normalidade da distribuição destas variáveis, podem designar-se 
por 
µ1 - tempo médio de reacção-dos doentesBntes de medicados 
µ2 - tempo médio de reacção dos doentes depois de medicados. 
As hipóteses a serem testadas são: 
Ho: µ2 - µ, = O 
Ha: µ2 - µ, > O 
onde Ha evidencia que µ2 > µ1, isto é, o tempo médio de reacção aumenta com 
a medicação, para o mesmo indivíduo. 
Seria incorrecto aplicar o teste t anterior para averiguar da existência da 
diferença significativa entre X1 e X2 (médias amostrais correspondentes a X1 e X,. 
respectivamente), pois as amostras não são independentes: o tempo de reacção 
de um indivíduo depois de medicado não é independente do tempo de reacção 
antes de medicado. 
Calculando as diler~~ç~s de valorÉÍs--[f,;, -X2- X1 pará cada indivíduo, isola-
-se o eleito da medicação nesse indivíduo: 
ENSAIO DE H!PóTESES 
Tempo de reacção Tempo de reacção Diferença 
Individuo antes depois de tempos 
x, X2 D=X2-X1 
1 0,75 0,84 0,09 
2 0,82 0,78 -0,04 
3 1,04 1, 15 0,11 
4 0,77 0,81 0,04 
5 0,92 0,95 0,03 
6 1, 11 1,08 -0,03 
7 0,69 0,82 0,13 
8 0,84 0,96 0,12 
9 0,91 0,95 0,04 
10 0,98 0,83 -0,15 
11 0,83 0,91 0,08 
12 0,75 0,81 0,06 
Então, se Ho for verdadeira, os valores de D, que representam a diferença do 
tempo de reacção, constituem uma população de média zero. O que se pretende 
testar é se as diferenças d; apuradas na amostra podem pertencer a essa popu-
lação, isto é, 
Ho: E(D) =O 
Ha:E(D)>O ou 
Ho:µo=O 
Ha: µo> O 
Sendo o teste unilateral direito e com a = 0,05 (por hipótese), as regiões de 
decisão serão: 
RA = ]-=; 1,796[ 
....a-----.... RC = [-1,796;+=[ 
o 
RA 
t,, 
0,05 
T 
RC 
183 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Os valores da amostra são: 
- Í,d; 048 
d=--=-'-=004 
n 12 ' 
"' - 2 ""'(d; - d) s,2 _____ _ 
d - n - 1 
obtendo-se 
0,0714 = 0,00649 
11 
t = 0,04 - o 1 72 
0,08057 I f12 = ' . 
que pertence à Região de Aceitação. A decisão será não rejeitar H0 , não podendo 
assim concluir-se que a medicação faz aumentar o tempo de reacção aos estí-
mulos considerados. 
• 
5.3.2. Ensaio para a diferença de proporções 
184 
Quando se está perante duas amostras independentes, aleatoriamente 
extraídas de duas populaçõ~~ C_c>fll_d~stribuição Bernoulli, usa-se a diferença 
entre as médias amostrais (proporção de sucessos nas amostras) para testar 
a diferença entre as verdadeiras proporções das populações. 
A metodologia é em tudo análoga à que se apresentou para os testes para 
a diferença entre médias, com amostras independentes. 
Sabe-se que, para amostras grandes, a distribuição amostralde X1 - X2, 
que é o estimador de P1 - P2 (como habitualmente, p1 designa o parâmetro 
de uma distribuição de Bernoulli e P2 o da outra), é 
Se bem que seja conhecido o valor da diferença (p1 - P2) sob H0, não se 
___ conhece, .. porém,.o.desvio,padrão-de-(X1----X2 ), que é a expressão que figura 
no denominador. 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
-+---~Como_h;:ij:Jitualmente, o teste é feito para 
Ho:P1-P2=0 
0 que significa que p1 = P2 = p. Esta proporção é desconhecida, mas pode 
ser estimada utilizando uma média ponderada das proporções observadas nas 
amostras. Virá, então, 
onde X1 e X2 são, respectivamente, a proporção de sucessos observados nas 
amostras 1 e 2. 
Substituindo na expressão anterior. virá 
Foi efectuado um esti.Jdo em duas empresas do mesmo ramo de actividade 
- empresa A e empresa B - , sobre a preferência dos trabalhadores por dois 
tipos de aumentos salariais: um pacote de benefícios extra ou um determinado 
aumento no salário base. 
Dos 150 trabalhadores da empresa A, 75 preferiram um aumento no salário 
base; dos 200 trabalhadores da empresa 8, 103 preferiram também esse aumento. 
A questão que se coloca é saber se há diferença de uma empresa para a 
outra na proporção de trabalhadores que preferem o acréscimo no salário base 
(e não nos benefícios extra). Pretende-se reduzir a 1% a probabilidade de rejeitar 
indevidamente a hipótese de que essas proporções sejam iguais. 
Designe-se por 
p1 - proporção de trabalhadores que, na empresa A, preferem o acréscimo 
no salário base 
---1----------P2 - idem, para a empresa B 
X1 - média de amostra da empresa A 
X2 - média de amostra da empresa B. 
185 
.1 
1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
As-hipótese-em.teste.são:... ___________________________ _ 
H0 :p1 -p,_=0 
Ha : P1 - P2. * O. 
A estatística a usar é 
pelo que, com o: = 0,01, 
o 2,576 z 
-0,139 o 0,139 
o desvio-padrão pode ser estimado como referido: 
sendo 
Xp = 
S- _ = ,j 0,51 . 0,49 . ( l~O + 2~0 ) = 0,054 X1 -X2 
150 
75 103 
150 + 200 . 200 
150 + 200 
75 + 103 = 0,050857 ~ 0,51. 
350 
os pontos críticos na distribUição de (X1 - X2) são os seguintes: 
____ o--±...2,5I6_._0,P_54 -=._:!:_ Q,1_39. 
ENSAIO DE HIPÔTESES 
As regiões de decisão serão: 
RC = ] - = ; - 2,576 ] U [ 2,576; + = [ 
RA = ] - 2,576; + 2,576 [ , em termos da variável Z 
ou 
RC = ]-=; -0,139] U [0,139; +=[ 
RA = ]-0,139; +0,139[, em termos da variável (X1 - X2)-
Para tomar a decisão, compara-se a informação da amostra com aquelas 
regiões, obtendo-se: 
( 
75 103 ) 
150 - 200 - o 
t = 0,054 ~ - 0,278, (em termos da variável Z) 
e 
- 75 103 
X1 - X2 = 150 - 200 = - 0,015, (em termos da variável X1 - X2), 
valores que pertencem à Região de Aceitação. 
A decisão é não rejeitar H0 , isto é, não rejeitar que não há diferença entre a 
proporção de trabalhadores que preferem o aumento sob a forma de acréscimo 
no salário base, na empresa A e na empresa 8. A diferença observada (0,015 a 
·- favor da empresa B) não é significativamente diferente de zero. 
• 
5.3.3. Ensaio para a comparação de duas variâncias 
É possível construir um ensaio para comparar variâncias de duas popula-
ções normais das quais foram extraídas duas amostras independentes. 
187 
ESTATÍSTICA APLICADA 
---------Um-caso-paiticulaLé-o_ensaio_para_a_jgualcjade de variâncias, que corres-
ponde a tomar 
! 
1 ,, 
'1'!': 
.'J 
1, 
simplificando-se o teste para: 
Foram usados dois tipos de adubos - adubo A e adubo B - em dois campos 
experimentais, em tudo equivalentes. A produção foi analisada, recolhendo-se 31 
plantas sujeitas ao adubo A e 21 sujeitas ao adubo B. Os resultados foram os 
seguintes em termos de uma variável identificada como «ROB>•: 
Aduba A Adubo B 
ROB médio XA=12,9 XB= 14,7 
Desvio-padrão 
da ROB SÁ= 2,1 sB= 1,a 
Amostra nA= 31 1 nB=21 
Será de admitir uma variância na variável «ROB» significativamente diferente 
quando se usa o adubo A ou o adubo B? Considere u = 0,01. 
As hipóteses em jogo, admitindo que a variável <cROB» se distribui normal-
mente e que as amostras são independentes , serão 
o~ 
-= 1 
oà 
-·!'--·----
188 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
A estatística a usar será: 
t 
0,005 
0,355 
RC 
S'2 ( d l T=-A- ~I F S'à · ~ ~ ..\, rl cn,-1, n8-1i· 
Com u = 0,01, sendo o teste bilateral, virá 
RC = [ O ; 0,355] U [ 3, 12 ; + = [ 
RA = ] 0,355; 3,12 [ 
· U valor do teste· é 
t 4,41 1 
= 3,24 . = 1,361 
RA 
F'º 20 
0,005 
3,12 
RC 
que, pertencendo à Região de Aceitação, permite decidir não rejeitar Ho, isto é, 
não se pode rejeitar a hipótese de que a variância de «ROB•· seja igual, quando 
se aplica o adubo A ou o adubo B. 
• 
189 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Parâmetros Tipo 
a de 
testar população 
µ normal 
µ normal 
normal µ 
ou qualquer 
µ qualquer 
µ,-µ2 normais 
µ,-µ2 normais 
normal µ,-µ2 
ou qualquer 
a2 normal 
p Bernoulli 
P1 -p, Bernoulli 
·----·· 
ef, 
normais 
ef, 
190 
TABELA 
----------~-----····---····--
Dimensão Conhece-se Distribuição da Teste 
amostra o? amostrar 
qualquer sim x-µo nn(0,1) 
cr;rn 
n:530 não x-µo n ln-1 
s"/{{) 
n>30 não x-µo nn(O, 1) s;vn 
n>30 sim 
x-µo o 
r:1/,fi1 (ln(O, 1) 
(X, - x,) - (µ, - µ,lo 
quaisquer (cr1 e cr2) 
,; ef, + <f, !\ n(O, 1) sim 
n, 
"' 
(x1 - x,) - (µ1 - µ2)o 
n ln1 +n2-2 
n1:530 
(cr1 ecr2) 
.y_1_+_1_ 
não n, 
"' 
(p/n>30 
/\ 172 s 30 ~ ef, ~ <f, aprox. 
,,,j (n1 -1) s'\ +(n,-1) s! normal) 
n,+~-2 
n1 >30 
(x1 - x,) - (µ, - µ,)o 
(cr1 e cr2) 
-V ii Sii nn(O, 1) /\ 172 > 30 não -+-n, 
"' 
qualquer (n-1) s'
2 
n xfn-1) - ifo 
X-Po 
n>30 - ~ Po(1-Po) nnco, 1) 
n 
n1 >30 (x, - x,) - (p, - 1>2lo o 
-
-vp,q, +p,q, n n (O, 1) /\ 172 > 30 
n, 
"' 
---- -- - -
... 
-- ---- ~ --.,2 ( <f, l 
qualquer f'lF<n1-t,nz-t) - Si . ef, 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
5.4. Ensaios de hipóteses para mais 
de duas amostras 
Para todos os ensaios de hipóteses anteriormente apresentados, as hipó-
teses testadas requeriam a recolha de uma ou, no máximo, duas amostras 
aleatórias independentes ou não. Mas será possível utilizar os mesmos testes 
quando o número de amostras (ou de grupos em estudo) for superior a dois? 
Veja-se o exemplo seguinte. 
Um hipermercado pretende saber qual dos seguintes locais de exposição 
maximiza as vendas de cassetes vídeo: 
a) logo a seguir à entrada; 
b) junto dos televisores e videogravadores; 
e) junto dos discos compactos (CD); 
d) junto das caixas registadoras. 
Durante quatro meses consecutivos colocou os expositores de cassetes vídeo 
em cada um dos quatro locais referidos e pediu ao gerente que registasse as 
.. ve.nda,s diárias do produto. Pretende-se saber se existe uma düerença significativa 
entre o número médio de cassetes vendidas por dia em cada local de exposição 
ou se, pelo contrário, as vendas médias diárias são idênticas, qualquer que seja 
o local de exposição do produto. 
• 
Será possível, neste caso, utilizar o teste t para a diferença entre duas 
médias ou, mais especificamente, aplicar 6 testes diferentes, um para cada par 
de amostras? Para responder a esta questão basta relembrar o significado do 
nível de significância de 0,05, isto é, admitia-se, no máximo, uma probabilidade 
de 0,05 de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Ou dito de outra 
forma, a probabilidade de tomar uma decisão correcta, isto é, de não rejeitar 
Ho quando ela é verdadeira seria, no mínimo, de 0,95. 
----- · · Admitindo-se, por simplificação, que os seis testes individuais eram inde-
pendentes, a probabilidade conjunta de se tomar uma decisão correcta seria 
0,95 X Ü,95 X 0,95 X 0,95 X 0,95 X 0,95 = 0,735 
191 
ESTATÍSTICA APLICADA 
_______ e_a_grobabilidade de errotipp I de Q,265, valor inaceitáv<3_1 porgue __ exagerada-
mente elevado. O próprio pressuposto de independência é de difícil aceitação 
e, caso não se verifique, resulta no problema acrescido de impossibilidade de 
controlar este tipo de erro. 
A resposta à questão anterior só pode ser encontrada mediante a aplicação 
de um novo ensaio de hipóteses, conhecido por análise de variância (ANOVA) 
e que na sua forma mais simples (oneway ANOVA) constitui uma generalização 
a mais de dois grupos do teste t para a igualdade de duas médias. 
5.4. 1. Ensaio para a diferença de k médias -
- análise de variância simples 
192 
De um modo geral utiliza-se a análise de variância simples para testar se 
determinado lactar independente (no exemplo anterior, o local de exposição 
das cassetes de vídeo), quando aplicado de modo diferente a várias popula-
ções, tem um efeito significativo sobre determinada variável dependente (as 
vendas), ou seja, se faz com que as médias populacionais da variável depen-
dente sejam diferentes para diferentes níveis do factor independente. Estes 
níveis são muitas vezes apelidados de níveis de tratamento, terminologia deri-
vada das aplicações originais dãANOVA às- áreas da medicina e agricultura. 
Considerem-se k amostras independentes de populações X1, X2, .. ., Xk 
(ou de k grupos de uma mesma população): 
amostra 1: (X11 , X21 , 
amostra 2: (X12 , X22 , 
sendo Xij o valor observado para o indivíduo i (i = 1, 2, . . . ni) pertencente 
à amostra j U = 1, 2, .. ., k) e n1, íl2· . . . nk a dimensão de cada uma das 
amostras, respectivamente. Admita-se ainda que as populações de onde se 
.retiraram estas.amostras seguem.distribuições normais com variâncias desco-
nhecidas mas iguais, isto é 
u = 1, 2, ... k). 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
-.."f"---~~s hipóteses a testar são 
Ho: µ, = ... = µk 
. i: 
'i 
Ha: µ, * µi para algum par (r, j) com r * j 
ou seja, pretende-se testar a hipótese nula de igualdade de médias dos k 
grupos populacionais contra a alternativa da existência de pelo menos dois 
grupos cujas médias sejam significativamente diferentes entre si. Para rejeitar 
a hipótese nula basta, portanto, que apenas duas médias o sejam. 
De referir que embora o método se apelide «análise de variância» as 
hipóteses a testar respeitam às médias dos k grupos e não às variâncias. Estas 
últimas são utilizadas mas para definir a estatística de teste. De facto, para se 
encontrar esta estatística é necessário começar por decompor a variância total, 
ou mais correctamente, a variação total ou soma total de quadrados, numa 
soma de duas parcelas: a variação explicada pelo lactar independente e a 
variação devida a erro, isto é, a parte da variação total não explicada pelo 
lactar independente. Como resultado deste processo, a soma total dos quadra-
dos dos desvios dos valores observados em torno da média global, 
k nj 
SST= I I (Xij - X)2 
i=1 i=1 
.. pode-ser decomposta em duas partes aditivas e independentes: a soma de 
quadrados devida aos erros, ou soma de quadrados dentro (within) dos grupos, 
k nj 
~ ~ - 2 SSW = k. k. (Xij - Xj) 
i=1 i=1 
e a soma de quadrados devida ao lactar independente ou soma de quadrados 
entre (between) os grupos, 
k 
~ -2 SSB = k. ni (Xj - X) 
i= 1 
isto é, 
SST = SSW + SSB 
193 
,j ,,, 
ESTATÍSTICA APLICADA 
194 
ou 
k n; k n; 
- 2 
I I (Xij - :Xi2 = I I (Xij - Xj) + 
i= 1 i = 1 i = 1 i = 1 
sendo k - número de grupos 
n· - dimensão da amostra j (j = 1, 2, ... , k) 
1 
k 
I 
j= 1 
Xij - observação para o indivíduo i do grupo i 
Xi - média amostral do grupo i 
:X - média global de todas as observações. 
- 2 
nj(Xj - X) 
De modo semelhante, os graus de liberdade associados à soma de qua-
drados total (n-1) podem ser decompostos em duas parcelas: graus de 
liberdade para a soma de quadrados dentro dos grupos, (n- k), e para a soma 
de quadrados entre os grupos, (k- 1 ), 
(n - 1) = (n - k) + (k - 1 ), 
k 
sendo n = 2, nj, a dimensão total da amostra. 
i= 1 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
"'-----Para determinado nível de significância a, a hipótese nula de igualdade de 
médias entre os k grupos será rejeitada para valores da estatística do teste 
iguais ou superiores ao quantil de probabilidade (1 - a) da distribuição 
F(k- 1, n-k)• isto é, neste ensaio de hipóteses a região crítica é sempre 
unilateral direita. De facto, só faz sentido rejeitar a hipótese de igualdade das 
k médias populacionais para valores elevados da estatística de teste, valores 
esses que ocorrem quando a variação entre os grupos (e devido ao lactar 
independente) for relativamente elevada quando comparada com a variação 
dentro dos grupos (ou devida a erros). 
F(k-1.n-k) 
T 
região de aceitação região crítica 
É usual apresentarem-se os resultados da aplicação da análise de variância 
simples sob a forma do quadro seguinte: 
Fontes Graus Somas Somas médias 
de varia ·o de liberdade de uadrados de uadrados T 
Entre os grupos (k - 1) SSB MSSB= SSBl(k-1) T= MSSB MSSW 
Dentro dos grupos (n - k) SSW MSSW= SSWl(n-k) 
TOTAL (n - 1) SST 
De um estudo de mercado, cujo objectivo principal era detectar as diferenças 
de comportamento dos leitores de três semanários (Expresso, Independente e 
Semanário), retiraram-se os seguintes resultados relativos ao tempo de leitura 
(em minutos) de cada leitor: 
195 
1 
1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
196 
SEMANÁRJB------
OBSERVAÇÕES Expresso Independente Semanário 
1 100 80 62 
2 11 o 70 65 
3 85 65 68 
4 60 75 75 
5 95 69 80 
6 96 91 70 
7 78 
8 120 
Pretende-se saber se, nas populações de onde se retiraram estas a_m~stras 
(leitores do Expresso, do Independente e do Semanário), os t~mpos me~1os de 
leitura de jornal são idênticos ou não. Admita-se que nas Ires pop~laçoes os 
tempos de leitura seguem uma distribuição normal com igual d1spersao. 
As hipóteses a testar são: 
Ho : µ, = µ2 = µ3 
Ha: µ,,; µ; para algum par (r, j) com r ct i 
Para aplicação da análise de variância simples é.necessário proceder a alguns 
cálculos preliminares. 
8 
Í, X;i 
;=1 744 3 
=-'--8- = -8- = 9 
6 
I. x,, 
";_=_c1 __ - 450 - 75 
X2 = 6 - 6 -
6 
I. xt.J 
,; ==-''---- - 420 - 70 X3=-6 -6-
•· 
ENSAIO DE Hf PÓTESES 
3 
- - 2 SSB = Í, n;(X; - X) 
j= ~ 
= (8 X (93 - 80,7)2 ] + [6 X (75 - 80,7)2 ] + [6 X (70 - 80,7)2 ] 
= 2092,2 
(100 - 93)2 + (110 - 93)2 + (85 - 93)2 + 
+ (75 - 70)2 + (80 - 70)2 + (70 - 70)2 
= 3118. 
É agora possível construir o quadro das fontes de variação e calcular o valor 
da estatística de teste. 
Fontes Graus Somas Somas médias 
T de variação de liberdade de quadrados de quadrados 
Entre os grupos 2 2092,2 1046,1 5,7036 
Dentro dos grupos 17 3118,0 183,4 
TOTAL 19 5210,2 
Para um nível de significância de 0,05, o valor da distribuição F2,17 é igual a 
3,59. Logo, sendo 5,7036 > 3,59, é de rejeitar a hipótese nula de igualdade de 
médias entre os três grupos, ou seja, pelo menos dois grupos de leitores dos 
jornais têm médias de tempos de leitura diferentes. Pelos valores médios amos-
trais quase se poderia concluir que as diferenças significativas seriam entre os 
que lêm o jornal Expresso (93 minutos) e os leitores dos outros jornais (75 e 70 
minutos). Mas a resposta final a esta questão só poderá ser dada com a aplicação 
de um outro tipo de ensaio que permita a comparação múltipla entre cada par de 
médias. 
• 
197 
1 
l 
i 
i 
i 1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
5.4.2. Testes de comparação múltipla 
O processo mais simples para responder à questão anterior - Quais as 
médias significativamente diferentes entre si? - consiste em utilizar o teste t 
de Student para a igualdade de cada par de médias. 
Ho: µi = µi 
Ha: µi * µi · 
Para além do inconveniente gerado pelo elevado número de testesa realizar 
(~ ), acresce a dificuldade adicional de não se conhecer com exactidão o nível 
de significância simultâneo devido à não independência entre os vários testes. 
Estas são as principais razões para a definição de ensaios de hipóteses 
simultâneos que permitem investigar onde se encontram as diferenças possí-
veis entre k médias populacionais, controlando simultaneamente o nível de 
significância. 
Muitos testes de comparação múltipla foram já desenvolvidos, destacando-
-se como mais conhecidos os seguintes: 
- teste de comparação múltipla de Dunn; 
- teste LSD (least significant difference) de Fisher; 
- teste HSD (honestly significant difference) de Tukey; 
- teste de Scheffé; 
- teste de Newman-Keuls; 
- teste de Duncan . 
..... : ... :.:',:! Estes testes diferem no modo como analisam as diferenças de médias e 
•1'1•1 1 i: 'il; ainda no método de controlo do nível de significância. Os mais utilizados são 
ih'I o teste HSD de Tukey e o teste de Scheffé. As preferências pelo último 
i·' '1'1 justificam-se por várias razões: a sua maior simplicidade de cálculo, o facto de 
i'.: 'lil permitir a utilização de amostras com diferentes dimensões e ainda por ser um 
hu't'.[ método robusto no respeitante aos pressupostos de normalidade e igualdade 
!'''ii!, de variâncias das populações. Um teste estatístico diz-se robusto quando a 
i( "1;1 sua validade não é alterada pela violação dos pressupostos que lhe estão 
U'i'i1 1~------- ---su6jacentes~-Nõ-éntanto;·quando os-grupos-amostrais têm idêntica dimensão, 
','-,' 1
1
1:1 o método HSD de Tukey é mais preciso pois gera intervalos de confiança com 
"·'"''·' menor amplitude. Por sua vez o método de Scheffé tende a ser mais conser-
!' ij 11·· vativo, ou seja, nas mesmas condições, tem uma maior probabilidade de não 
!\ 1, .: rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. 
~!'" ;I tUliil1 
~'!"li J!dH1 
1,1;l:!1I 41•'ii:;li 
11·q1 ~i ;;:;1111 
198 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
Sejam n1, n2, .. ., nk as dimensões das amostras retiradas de k popula-
ções normais com iguais variâncias, com 
k 
n = L, ni e seja S '2 a variância amostral total, calculada a partir das 
j = 1 
variâncias amostrais dos grupos S 'J : 
k 
S ,2 = n - k L (nj - 1) S 'J . 
i= 1 
199 
,,.i 
,, 
, .. 1 
1 :, ii 
i 'I' i'i ! 
lt!'ll 1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
200 
O teste de Scheffé utiliza uma transformação da distribuição F de Snedecor 
para medir o nível de significância das comparações múltiplas. 
Seja o exemplo anterior acerca do tempo de leitura dos jornais semanários. 
Sabendo já que existem diferenças significativas entre os três grupos de leitores, 
pretende-se agora testar quais os grupos significativamente diferentes entre si. 
Por se tratar de amostras de diferentes dimensões, o método a utilizar será o de 
Scheffé que implica o cálculo prévio das variâncias amostrais e da variância total. 
8 
s'j = + L (X;1 - 93J2 351,14 
i= 1 
6 
s'~ = + L (X~ - 75)2 = 88,40 
i= 1 
6 
s ·~ = + L (X;3 - 70)2 = 43,60 
i= 1 
·~ 
,.,, 
i· 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
S 2 = 1~ [(7 X 351,14) + (5 X 88,40) + (5 X 43,60)) 
Para a.= 0,05, F(o,os) = 3,59 
Ho: µ, = µ2 
Ha: µp' µ2 
= -V 2 X 3,59 X 183,41 X ( + + +) 
19,598 > 18, 
183,41. 
logo, é de não rejeitar a hipótese de iguais tempos médios de leitura para os 
leitores do Expresso e do Independente. 
Ho: µ1 = µ3 
Ha: µ, * µ3 
lx1-x31=23 
--J (k- 1) . F(1 _a). s .2 (-1- +-1-) = 19,598 < 23, logo rejeita-se H0 . n, no 
Ho:µ2=µ3 
Ha: µ2 * µ3 
--J(k-1). F{1-a). s"(-1-+_!_-) = 20,951 > 5, 
n2 n3 
logo não se rejeita Ho. 
Apesar de na análise de variância simples se ter rejeitado a hipótese de 
igualdade de médias dos três grupos de leitores, só existem diferenças signifi-
cativas nos tempos médios de leitura entre os leitores do Expresso e os do 
Semanário. 
• 
201 
1 
: ... li 
' 1j 
! I: 
ESTAT{STICA APLICADA 
202 
O quadro seguinte apresenta os preços reais durante quatro anos consecuti-
vos de três marcas do produto ABI: 
Marca 
A 
B 
1992 
2 
2 
1993 
3 
3 
1994 
2 
3 
1995 
2 
2 
3 
a) Poder-se-á afirmar que, ao longo do período considerado, as três marcas 
apresentaram preços médios idênticos? Se a resposta for negativa, entre 
que marcas se verificaram preços médios diferentes? (Utilize a = 0,05). 
b) E relativamente ao preço médio do produto ABI por anos, poder-se-á 
considerar terem existido alterações significativas de preço ao longo dos 
anos? 
Antes de responder às questões anteriores, proceder-se-ão a alguns cálculos 
preliminares. Sejam 
X: preço do produto (por marca) 
Grupo 1 se a marca = A 
Grupo 2 se a marca = B 
Grupo 3 se a marca = I 
e Y: preço do produto (por ano de venda) 
Grupo 1 se ano = 1992 
Grupo 2 se ano = 1993 
Grupo 3 se ano = 1994 
Grupo 4 se ano = 1995 
Assim, para X 
Grupo x, 
1 ---x1- =-·1~2s- ·-
2 x2 = 2,25 
3 X3 = 2,75 
sf n; 
--s-~-·= 0,25 n1 = 4 
s~ = 0,25 n, = 4 
d = 0,25 n, = 4 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
s~ = 0,25 
Sx = 0,5 
e para Y 
-
Grupo Y; 52 
' 
- s~ = 1 Y1 = 1,67 0,33 
2 Y2 = 2,33 s~ = 1,33 
3 y, = 2,0 sã = 1,00 
4 y, = 2,33 s~ = 0,33 
2 
s y = 0,75 
Sy = 0,865 
a) Ir-se-á testar primeiro as hipóteses 
Ho: µ, = µ2 = µ3 
H8 : µ;# µi com i#j 
n; 
n, = 3 
n, = 3 
n, = 3 
"' 
- 3 
.. A,dmitindo-se estar em presença de três populações normais com igual va-
nanc1~, o teste escolhido é o da análise de variância simples, cujos resultados se 
sumarizam no quadro seguinte. 
Fontes Graus Somas Somas médias 
de variação de liberdade de quadrados de quadrados T 
Entre os grupos 2 SSB=4,6667 MSSB = 2,3333 T= 9,3333 
Dentro dos grupos 9 SSW=2,25 MSSW=0,25 
TOTAL 11 SST=6,9167 
Para a= 0,05, Fco,95) = 4,26 < 9,3333, logo é de rejeitar a hipótese nula de 
iguais médias de preços para as três marcas em causa. Resta agora saber quais 
-+------~ mar:as com preços médios diferentes. Por se tratar de amostras com iguais 
dimensoes, o teste escolhido é o HSD de Tukey cujo critério de decisão diz para 
rejeitar Ho : µ; = µi se 1 X; - Xj 1 2: Sr(1 - a) --./ 52'
2 
-V J__ + J__ sendo 
ni ni 
Sr(1- a) o quanlil da probabilidade 1 - a para a distribuição da Studentized 
203 
! : ~ 
.,,,,.,,,, 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Range com (k, n-k) graus de liberdade. Por se tratarem de amostras com igual 
dimensão e variância, W tomará sempre o mesmo valor. 
Para a = 0,05, Sr(1-«l = 3,95, Ho será rejeitada se 
- - - 1 0,25 - 1 1 1 [X; - Xj [ 2' 3,95 . \1-2- . \/ 4 + 4 = 0,9875. 
As decisões a tomar são: 
- rejeitar H
0
: µ1 = µ,. uma vez que [ X1 - "X2 \ = 1,0 > 0,9875 
- rejeitar Ho: µ1 = µ3 , pois \ x1 - x3 [ = 1,5 > 0,9875 
- não rejeitar Ho: µ2 = µ3, pois [ x2 - x3 [ = 0,5 < 0,9875 
isto é o preço médio da marca A é significativamente diferente (inferior) dos preços 
médios das marcas B e /. 
b} Pretende-se agora saber se existe diferenças significativas entre os preços 
médios dos quatro anos consecutivos. Mais concretamente, as hipóteses 
a testar são 
b,) 
Ho: µ1 = µ2 
Ha: µ, " µ2 
b,) 
Ho:µ2=µ3 
Ha: µ2" µ3 
e a regra de decisão a utilizar será: rejeitar Ho : µ; == µj se 
b:i) 
Ho:µ3=µ4 
H,:µ3,;µ. 
- ' 0,75 • 1 _l_ + _l_ 
1 Yi - Yi 1 " Sn1 - «I · 'I 2 · 'I 3 3 
com Sr(1_,,1=4,53 para a= 0,05. 
b,) w = 2,265 
\ y
1 
- y
2 
\ = 0,67 < 2,265 logo Ho: µ1 = µ2 não deve ser rejeitada. 
b,) \ h - y
3 
\ = 0,33 < 2,265 logo Ho : µ2 = µ3 não deve também ser rejeita-
da. 
b:J) \ y
3 
- y
4 
\ = 0,33 < 2,Z65 - .isto-é~· làmbém Ho: µ3 = µ4 não deverá ser 
rejeitada. 
Não existem diferenças médias significativas entre os preços médios de cada 
par de anos consecutivos. A conclusão da não existência de diferenças significa-
ENSAIO DE HIPÓTESES 
ivas entre-os-preçosmédios dos diferentes anos teria sido mais rápida se 
previamente tivesse sido aplicada a análise de variância simples. Com efeito, o 
valor do teste (0,4074) teria permitido concluir de imediato sobre a igualdade de 
médias de preços para os quatro anos considerados. 
• 
5.4.3. Ensaios para a diferença de k variâncias 
Qualquer dos testes anteriormente apresentados para mais de dois grupos 
tem como pressupostos que as k amostras são retiradas de populações nor· 
malmente distribuídas com iguais variâncias. A não ser que se conheçam as 
populações em estudo, também os pressupostos deverão ser testados. O 
pressuposto da normalidade, por se tratar de um teste não-paramétrico, será 
abordado no capítulo seguinte, sendo a seguir apresentados dois ensaios para 
a igualdade de variância entre k grupos populacionais: 
efz = o~ 
" dJ com i " j. 
Seja S 'f a variância de uma amostra de dimensão ni, aleatoriamente 
retirada da j-ésima população (j = 1, 2, ... , k ). A variância total será dado 
por 
k 
L, (ni - 1) s'f 
i= 1 
n - k 
205 
' 
" I" 
1 
]11 
i1!:> 
1 i! 
ESTATÍSTICA APLICADA 
206 
Foram retiradas quatro amostras independentes de dimensões n1 = 31, 
n2 = 15, n3 = 20, n4 = 42 de população normais, a partir das quais se obtiveram 
os seguintes resultados: 
s'r = 5,47, s'~ = 4,64, s'~ = 11,47, s'~ = 11,29. 
Poder-se-á concluir que as populações de onde se retiraram estas amostras 
têm igual variância? 
Pretende-se testar as seguintes hipóteses: 
Ho: cn=a~=~=<1. 
H, : df * af com i * j 
e para aplicação do teste de Bartlett é necessário calcular previamente a variância 
total S' 2. 
ENSAIO OE HIPÓTESES 
8
,2 =. (30 X 5,47) + (14 X 4,64) + (19 X 11,47) + (41 X 11,29) 
104 
909,88 
104 8,75. 
e = 1 1 {( 1 1 1 1 ) 1 } + 3 (4 - 1) . 30 + 14 + 19 + 41 - 104 = 1 ·º2· 
8 = 1 ~2 {104 X 2,16892 - 218,19994) = 7,22. 
2 Como ni > 6, então B n x (3). Para a= 0,05, o valor da distribuição de 
qui-quadrado com 3 graus de liberdade é 7,81 > 7,22, logo a decisão a tomar é 
a de não rejeição de H0, ou seja, de igualdade de variâncias entre os quatro 
grupos populacionais. 
• 
~y"'- - - , ___ ---:;::,,, -e"- - , ,~ .,-- ::: .,,,;,:~·:),~j} --- --"---~l~!t~i1il~lllii 
'cira.dJ gr:f>Otx1 )11 gueio}i~~i~ídllQ'~t1enc~:i~:."'' .• ,;:: "' 
. ... ·.·,•'.• '• .Ô.Ji,7~.lfq;,~ Xy.,;.j,::. ; ! -.:."' .. 
.-é-f-/'-" 
.. 
-+---· 
Tal como a análise de variância simples, o teste de Levene pressupõe que 
os grupos populacionais seguem distribuição normal. 
207 
'I 'i 
" 
ESTATÍSTICA APLICADA 
No exemplo 19, alínea a), foi testada a igualdade de médias dos preços das 
três marcas dos produtos ABI. Como pressupostos foi necessário admitir que 
esses preços seguem distribuição normal e que as variâncias de preços eram 
iguais para as três marcas em estudo. Pretende-se agora testar a validade deste 
último pressuposto, ou seja, 
/-li : ar = e{ = "~ 
utilizando o teste de Levene. Os valores encontrados para a variável D foram os 
seguintes, sabendo-se que x1 = 1,25, x2 = 2,25 e x3 = 2,75 : 
Marca 1992 1993 1994 1995 
1 -0,25 
-0,25 -0,25 0,75 
2 -0,25 0,75 -0,25 -0,25 
3 -0,75 0,25 0,25 0,25 
As estatísticas descritivas para os três grupos passam agora a ser: 
-Grupo Oi sf n; 
1 ct, = 0,00 ;, = 0,25 4 
2 d,, = Õ,00 ~ = 0,25 4 
3 d:i = 0,00 ;, = 0,25 4 
A aplicação da análise de variância simples permite encontrar os seguintes 
resultados: 
Fontes Graus Somas Somas médias 
de vadação de liberdade de quadrados de quadrados T 
Entre os grupos 2 0,00 0,00 0,00 
Dentro dos grupos 9 2,25 0,25 
TOTAL 11 2,25 
Qualquer que seja o nível de significância a, nunca a hipótese nula de igual· 
dade de variância dos três grup~s popÜiacionais será rejeitada, resultado que não 
é de surpreender uma vez que as três amostras apresentam variâncias exacta-
mente iguais. 
• 
Exercícios propostos 
1. Uma empresa farmacêutica está disposta a lançar no mercado um medica-
mento, se 90º/o dos pacientes tratados com esse novo medicamento ficarem 
curados. Caso verifique que apenas 70°/o dos pacientes ficam curados, então não 
lança o novo medicamento. Para tomar uma decisão, a empresa procedeu ao 
tratamento com o novo medicamento de 50 doentes, tendo-se registado que 45 
deles ficaram curados. 
a) Qual deverá ser a decisão tomada pela farmacêutica? 
b) Suponha que a empresa farmacêutica decidiu utilizar a seguinte regra de 
decisão: Se pelo menos 40 dos 50 doentes tratados ficarem curados, então 
lança o medicamento no mercado; Caso contrário não o lança. 
Quais as probabilidades de erro associada àquela regra de decisão? 
R: a) Lançar o medicamento; b) a = 0,0091; f3 = 0,0618. 
2. O Ministério da Saúde afirma que, com os meios agora postos à disposição 
dos Hospitais Civis, o número médio de dias de internamento é no máximo 15. 
Estas declarações foram postas em causa por alguns gestores hospitalares 
_.,__·······que decidiram proceder em conjunto à recolha de uma amostra de 225 doentes 
onde se observou que o número médio de dias de internamento foi de 18. 
Com base nestes dados, e supondo que a variável em estudo segue uma 
distribuição Normal com desvio-padrão 15 dias: 
a) Terão os gestores hospitalares razão? Justifique convenientemente a sua 
resposta, utilizando o teste adequado, a 1 °lo de significância. 
Na decisão que tomou, qual a probabilidade de estar a cometer um erro? 
b) Com que probabilidade é dada razão aos gestores hospitalares, se o ver-
dadeiro número médio de dias de internamento for 17? 
c) Como variaria aquela probabilidade se a hipótese alternativa fosse superior 
ao valor especificado na alínea b)? E se o tamanho da amostra aumentas-
se? 
R: a) Sim;,; 0,01. b) 0,3707; e) Aumentava; Aumentava. 
·~.._~--. 3. No exame ·de estatística l>fectuado na 2' época do ano lectivo 94195, foram 
avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos como uma amostra represen-
tativa da população dos alunos matriculados na cadeira de Estatística e tendo em 
conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados: 
209 
: 
! 1: 
ESTATÍSTICA APLICADA 
210 
31 
L X;= 299 
31 
L, (X; - X)2 = 120. 
i= 1 i= 1 
a) Com base num ensaio de hipóteses, com a= 0,05, comente a afirmação: 
"ªmédia dos resultados não difere significativamente de 10». 
b) Se a média dos resultados de todos os alunos matriculados na cadeira for 
na realidade de 11, qual a probabilidade de estar a tomar uma decisão 
incorrecta? 
e) Se aquela média for de 9,5 a probabilidade calculada anteriormente virá 
menor ou maior? Justifique com o auxílio dum esquema gráfico. 
R: a) Verdadeira; b) 0,1922; e) Maior. 
4. Uma estação de rádio quer estimar o tempo médio que uma família dedica, 
por dia, a ouvir essa rádio. 
Foi recolhida uma amostra aleatória de 81 famílias, tendo sido calculados uma 
média diária de audição de 2,4 horas e um desvio-padrão de 0,7 horas. 
Suponha que a administração da rádio tinha colocado, como objectivo, uma 
média de audiência diária de pelo menos 2,5 horas. Para um nível de significância 
de 0,05, diga se se pode validar, com a amostra recolhida, o objectivo da admi· 
nistração? 
R: Sim. 
5. Uma empresa produz e comercializa um conjunto de produtos de grande 
consumo. Face aos dados previsionais sobre a conjuntura do sector, um técnico 
de planeamento prevê que a média diária de vendas, para o presente ano, seja 
pelo menos de 2000 u.m., e que a sua variabilidade não se altere, continuando 
a registar~se uma variância de 1225 u.m.2. Tal ocorrência implicaria um novo 
contrato com a empresa transportadora, que coloca os produtos nos locais de 
venda, decorrente do acréscimo da procura. Ficou decidido que após os primeiros 
60 dias se procederia à recolha e análise do volume de vendas desses dois 
meses, com vista a accionar ou nãoos mecanismos necessários à negociação 
de um novo contrato com a empresa transportadora. 
a) Sabendo que o volume total de vendas no período de tempo referido foi de 
119400 u.m., efectue um ensaio de hipóteses, com nível de significância de 
. _ 0,01, que permita tomar uma decisão sobre a eventual necessidade de 
neg-ocfaçã-6 de uni novo contrato com a empresa transportadora. 
b) Admitindo que a verdadeira média diária é de 1980 u.m., qual a probabili-
dade de não rejeitar a hipótese do técnico de planeamento? 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
e) Admitindo _que tudo o resto se mantém constante, o que sucederia ao valor 
da probabilidade que encontrou na alínea anterior, se tivesse encontrado 
uma amostra relativa a três meses (90 dias)? 
Não efectue cálculos e acompanhe a explicação com um diagrama elucidativo. 
R: a) Deve-se renegociar; b) 0,0179; e) Diminui. 
6. A despesa diária em alimentação, de um agregado familiar pertencente a certa 
classe de rendimentos, segue uma distribuição Normal com desvio-padrão i uai 
a 25 u.m. Acredita-se que a despesa semanal méd. d .. g c1 · 
1 
. 
1ª e um agregado fam1har da 
asse acima re enda é de 1500 u.m. sendo de 1490 h. 't . 
·d 
1
- d . ' a 1po ese alternativa. Tendo 
º• e com base numa amostra de s1 o ixa o um n1vel de significância de 5º1< 
tamanho n, obteve-se um erro de tipo li de O, 1 (arredondado por excesso) 
Determine o tamanho da amostra. · 
R:n=54. 
7: Determinada companhia. de seguros tomará a decisão de aumentar o seu 
numero de an~anadores se JUigar a conjuntura como favorável. 
Para esse fim a companhia pretendeu quantificar a proporção de prémios não 
pago~ ~u pagos em atraso nos últimos 6 meses, tendo encontrado 7% nessa 
cond1çoes em 1000 seleccionados ao acaso. s 
·a) Se a companhia considerar a conjuntura como favorável se a referida 
perc~ntage~ for no máximo de 5%, diga qual a decisão a tomar (aumentar 
ou nao o numero de angariadores) para a= 0,05. 
b) Calcule o valor da função potência para o valor alternativo P = 0,08. 
R: a) Não aumentar; b) 0,9350. 
8. Com o intuito de decidir sobre a compra de tempo de ante de TV de gra d d'. . na num programa 
n e au ienc1a, certa empresa decidiu recolher uma amostra de 100 
pessoas. 
a) No inquérito efectuado, 75 pessoas declararam ver o programa assidua-
mente, 1 O de vez em quando e os restantes declararam nunca o ver Sup~nha que a empresa só comprará o referido tempo de antena ~e for 
cred1vel a hip.ótese de que a percentagem de pessoas que vê assiduamente 
0 programa e de, pelo menos, 80%. 
·-·· -a1) Qual a decisão tomar (a = o,o5)? 
a2) Com a decisão que tomou qual o tipo de erro que pode estar a cometer? 
Qual a sua probabilidade se na realidade 75% das pessoas veêm assi-
duamente o programa de TV? 
211 
.. : .. , 
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1!1hl ,1 
ESTATÍSTfCA APLICADA 
b) Com base nas hipóteses formuladas na alínea anterior, determine-para que 
valores do nível de significância esta amostra levará à tomada de decisão 
contrária. 
R: ai) Compra; a2) Erro tipo li; 0,6406; b) a <: 0,1056. 
9. Um fabricante de fitas magnéticas para computadores sabe que a resistência 
à ruptura destas fitas magnéticas é uma v.a. normalmente distribuida com média 
300 Kg e desvio-padrão 20 Kg. 
Para ajuizar se uma nova técnica/processo de fabrico produz fitas em média 
mais fracas que as do processo antigo, é usado o seguinte teste estatístico com 
um nível de significância de 5% e um tamanho de amostra N = 100: 
Ho : µo = 300 Kg 
HA : µa = 295 Kg 
e em que: 
Se X S X e rejeita-se Ho 
Se X > X e não se rejeita Ho 
a) Calcule X e. 
b) Use este teste, para com base numa amostra de tamanho 100, onde se 
obteve uma média igual a 290 Kg, tomar a respectiva decisão. 
R: a) 296,71 Kg; b) Rejeitar Ho. 
10. Numa amostra de 100 cidadãos de certo aglomerado populacional, 38 reve-
laram tencionar votar no candidato presidencial A nas próximas eleições. 
a) Ensaie a hipótese de a percentagem dos que tencionam votar nesse can-
didato ser de 40o/o contra a alternativa de ser inferior, utilizando um nível de 
significância de 0,01. 
b) Qual a probabilidade de ter tomado uma decisão errada, se de facto essa 
percentagem for de 30%? 
R: a) Não rejeitar p = 0,4; b) 0,6217. 
,':i!ll1i1 11 ILEi •.. I IFf1ji. 
1
1
1
' 11. Num estudo sobre as saídas profissionais dos recém-licenciados portugue-
[E:ill ·_:.111 ~. -------~ ses pretendia-se testar se existiam diferenças significativas entre os salários ~11:11 11 '. "midi6s-(€iiii-contós)'dos licenciados-em gestão, economia e engenharia. Para tal ji''l'il.
1 
foram inquiridos 12 gestores, 10 economistas e 15 engenheiros sobre os seus 
~i~ 1 .. !I: salários brutos, tendo-se construido o seguinte quadro: 
~H~ 11 •I' 
'
1
!\ 1. 1 l1~1.,11'11r 
f\liir'
1 
·
1
: i~!!\11'1,: 212 
ENSAIO DE HIPÓTESES 
r--~~,-~~--,--~~,--~~~-
-""'". ---- · - - .. - - - -- - - --- Fontes---
F 
Graus-· -- --Somas-médias Somas 
I" 
'j 
de variação 
Entre os grupos 
Dentro dos grupos 
TOTAL 
de quadrados 
17200 
13870 
de liberdade de quadrados 
:oran_1 ainda calculadas as variâncias amostrais dos salários de cada grupos 
de licenciados: 
Licenciatura 52 
Gestão 410 
Economia 325 
' 
Engenharia 380 
a) Complete o quadro anterior e responda à questão levantada pelo estudo. (utilize 
a= 0,05). 
b} O que se poderá afirmar acerca do pressuposto da igualdade de variâncias 
dos salários dos três grupos de licenciados? 
-'f'-'----'-R~a) Rejeitar H0; b) Não rejeitar Ho . 
'i 
·1 : .. 1.2. Um empresa produtora de automóveis ligeiros pretende saber se existem 
diferenças nos tempos médios de vida de quatro marcas de pneus (A, B, e, e D), 
de modo a escolher o melhor fornecedor em termos de durabilidade. Para tal 
escolheu alguns pneus de características idênticas das 4 marcas e testou-os em 
automóveis comparáveis. Os resultados foram os seguintes (em milhares de Km): 
Marca dos pneus 
A B e D 
31 24 30 24,5 
25 26 30,5 27 
28 27 29,5 26 
30 25 28 23 
32 30 31 21 
27,5 32 22 
28 
213 
,I 
''I 1: 
11 
,:1 
1: 
J:i 
·l•I 
1:11 
:'! 
1 
1.i 
' 1: 
t\I 
:11 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------.8;)-IJtilize--um-nível-!le-signilicância-de-0,05_para..testar_s.e_E!.l'.dl\tem dif<lrenças 
significativas nos tempos médios de vida de quatro marcas de pneus. 
214 
b) Quais as marcas significativamente diferentes entre si? 
e) O que conclui acerca do pressuposto da igualdade de variâncias entre os 
grupos_ 
R: a) Rejeitar H0; b) Grupos 1 e 3 diferem do grupo 4; 
e) Verifica-se o pressuposto. 
Capítulo IX 
Testes 
não-paramétricos 
Introdução 
Até agora, as ferramentas estatísticas apresentadas (testes de hipóteses, 
intervalos de confiança) permitem extrapolar para uma população considera-
ções acerca de parâmetros importantes (médias, desvios-padrão ... ), desde 
que sejam verificadas as condições de aplicabilidade dos métodos. Veja-se o 
seguinte exemplo. 
Num estudo sobre a população portuguesa tomou-se nota da altura e da idade 
dos indivíduos inquiridos. Sabendo que a altura média de um indivíduo adulto era, 
há 20 anos, de 1,6 m pretende-se saber se a estatura média dos portugueses 
aumentou ou não. 
Para responder a esta questão, como foi apresentado no capítulo anterior, é 
necessário realizar um teste de hipóteses. 
Sendo X - altura de um português adulto, em metros, µ a sua média e 
______ considerando a amostra aleatória (X1• X2 •... , Xn ), teríamos 
H0 , µ = 1,6 m 
Ha: µ ;t 1,6 m. 
Mas, para poder realizar o ensaio pretendido, algumas condições teriam deser verificadas. 
O tipo da variável não constitui problema, já que altura é uma grandeza 
intrinsecamente contínua 1. No entanto, se a amostra for de pequena dimensão, é 
necessário que esta possa ser considerada como proveniente de uma população 
com distribuição Normal, ou seja, X terá de ter distribuição Normal. 
Duas questões se colocam para já: 
Como verificar a normalidade de X? 
O que fazer, se não for possível aumentar o tamanho da amostra e a popula-
ção não for Normal? 
• 
t 
A não ser que, no inquérito realizado, esta fosse apresentada em forma de intervalos. Nesse caso 
- a variável em questão teria de ser considerada como qualitativa ordinal. 
D 
217 
ESTATÍSTICA APLICADA 
uma_coisa_é_cecta:_s_e as cooQições de apl'lcabilidade de_ u,!Tl_cert~ teste não 
--------f-o-rem verificadas, a validade das conclusões de tal forma ret1Tadas e posta em 
.i 
1 
1 
"'' 
" ' 
' 1 
i1·•.l 
li 1 ü 
218 
causa. 
Por outro lado, muitas das variáveis estudadas no âmbito das Ciências 
Sociais e de Gestâo não são quantitativas. 
Uma cadeia de hipermercados pensa abrir uma nova loja nos arredores de 
Coimbra. Para analisar a viabilidade deste projecto realizou um estudo de merca-
do. Entre outras coisas pretende saber quais os grupos sócio-econom1cos mais 
insatisfeitos com a actual oferta de superfícies desse tipo na zona. 
No inquérito construído incluiu-se um conjunto de questões que permitem 
caracterizar o grupo sócio-económico do respondente (como por exemplo. ~er ou 
não casa própria e em que zona, número de automóveis possuídos, escala~ de 
rendimento em que se insere, profissão, ... )para além de perguntas que permitem 
aferir da satisfação global dos serviços disponíveis e da potencial vontade para 
frequentar grandes superfícies. 
Questões: 
. 1? 0 Sim 0 Não Estaria disposto a frequentar um novo espaço comercia . 
A situa·ç~~ na zona, no que se refere à existência de hipermercados, é: 
o 
Muito má 
o 
Má 
o 
Razoável 
Indique a sua idade __ 
Sexo OF OM 
o o 
Boa Muito boa 
Assina;~ ~ quadríc~I~· que mais se adequa ao seu rendimento familiar mensal 
o < 70 contos 
o 70 - 120 contos 
o 120 - 180 contos 
- - --~--
o 180 - 300 contos 
o > 300 contos 
. 
i 
:·· 
; -'· 
: íc 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
A primeira questão indicada daria origem a uma variável qualitativa nominal1. 
A segunda daria origem a uma variável qualitativa ordinal - aparentada com 
as variáveis em escala de Likert referidas no capítulo 1. 
A idade, tal como está recolhida, seria uma variável quantitativa, mas, por 
outro lado, o rendimento familiar mensaJ, dado que foi previamente dividido em 
intervalos, teria de ser considerada como uma variável qualitativa ordinal. 
• 
Que fazer então? 
Reduzir o estudo estatístico ao âmbito meramente descritivo? Aplicar as 
técnicas estudadas antes, mesmo que violando pressupostos fundamentais? 
Não! A solução consiste em utilizar outras técnicas de análise, que se 
convencionaram designar por métodos não-paramétricos. 
O conceito de «método não-paramétrico» é, ainda hoje, sujeito a discussão 
pelos teóricos da Estatística. Intuitivamente, e como o nome sugere, serão 
métodos onde as entidades em estudo não são os parâmetros de uma popu-
lação . 
Seguir-se-á a definição indicada por Conover2: 
1 Como foi visto em capítulos anteriores seria até uma variável de Bernoulli, tomando o valor de 1 
2 
se o indivíduo estivesse disposto a frequentar novas superfícies comerciais e O no caso contrário. 
CoNOVEA W.J. (1980), Practical Nonparametric Statistics, 2nd ed., J. Wiley, New York. Pág. 92. 
219 
1 ,, 
.1 .• 
ESTATiSTICA APLICADA 
No capítulo que aqui se inicia abordar-se-á, em primeiro lugai,oschamados 
testes de ajustamento (ou da bondade do ajustamento). Com estes pretende-se 
saber se determinada amostra pode ou não ser proveniente de uma população 
com distribuição teórica «pré-fixada». Analisar-se-ão, de seguida, as tabelas 
de contingência. Genericamente, uma tabela de contingência resulta de uma 
classificação, segundo dois 1 items diferentes, de um mesmo grupo de indiví-
duos2. Pretende-se, no fundo, estudar a relação entre os dois items, isto é as 
duas variáveis, em jogo. Finalmente, abordar-se-á o problema da igualdade de 
duas (ou mais) distribuições. Neste ponto encontram-se as chamadas alterna-
tivas não-paramétricas ao teste para a diferença de médias e à análise de 
variância simples paramétrica. 
1 Ou mais do que dois, resultando então uma «multi~tabe\a,,. 
2 O que não significa pessoas, mas sim elementos da população em estudo - vd. Cap. 1. 
Testes de ajustamento li 
No exemplo 1 deste capítulo foi levantada uma questão: Como verificar a 
Normalidade de uma certa variável aleatória X? 
A resposta a esta questão, e a outras do mesmo tipo, é obtida procedendo 
ª. um teste de ajustamento, chamado por vezes de teste da bondade d 
aiustamento. o 
Em traços gerais, o problema é o seguinte: 
Suponha que se recolheu uma amostra de 1000 indivíduos o . f i · ·d , s quais oram 
(nqu1n os ~c~rca ~as suas preferências em relação a diferentes misturas de cafés 
.,.,..,_ __ d5 compos1çoes_ diferentes: A, 8, C, D, E). Admita ainda que cada composição 
ti~:rente_t1nha sido escolhida por exactamente 200 consumidores. Se tal inquérito 
t . sse sido de facto realizado, era «muito pouco natural>) que se tivessem obtido 
ais resultados. Vamos supor que os resultados obtidos eram: 
221 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------No_capítulo_que_aqui se inicia abordar-se-á, em primeiro lugar, os chamados 
testes de ajustamento (ou da bondade do ajustamento). Com estes pretende-se 
saber se determinada amostra pode ou não ser proveniente de uma população 
com distribuição teórica «pré-fixada». Analisar-se-ão, de seguida, as tabelas 
de contingência. Genericamente, uma tabela de contingência resulta de uma 
classificação, segundo dois 1 items diferentes, de um mesmo grupo de indiví-
duos2. Pretende-se, no fundo, estudar a relação entre os dois items, isto é as 
duas variáveis, em jogo. Finalmente, abordar-se-á o problema da igualdade de 
duas (ou mais) distribuições. Neste ponto encontram-se as chamadas alterna-
tivas não-paramétricas ao teste para a diferença de médias e à análise de 
variância simples paramétrica. 
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1 Ou mais do que dois, resultando então uma «multi~tabela». 
2 o que não significa pessoas, mas sim elementos da população em estudo - vd. Cap. 1. 
220 
.i, 
', ! 
Testes de ajustamento li 
No exemplo 1 deste capítulo foi levantada uma questão: Como verificar a 
Normalidade de uma certa variável aleatória X? 
A resposta a esta questão, e a outras do mesmo tipo, é obtida procedendo 
a um teste de ajustamento, chamado por vezes de teste da bondade do 
ajustamento. 
Em traços gerais, o problema é o seguinte: 
Suponha que se recolheu uma amostra de 1000 indivíduos, os quais foram 
inquiridos acerca das suas preferências em relação a diferentes misturas de cafés 
(5 composições diferentes: A, B, C, D, E). Admita ainda que cada composição 
diferente tinha sido escolhida por exactamente 200 consumidores. Se tal inquérito 
tivesse sido de facto realizado, era «muito pouco natural)) que se tivessem obtido 
tais resultados. Vamos supor que os resultados obtidos eram: 
221 
ESTATÍSTICA APLICADA 
-------1---Nomero--- --~·--·-·-·-­
Marca 
A 
B 
e 
D 
E 
TOTAL 
de consumidores 
190 
210 
180 
205 
215 
1.000 
Será que ainda é de assumir que, na população em estudo, _as co~posições 
são igualmente preferidas? (ou seja, será que as diferenças obtidas sao estatis-
ticamente significativas?) 
Suponha-se então que 
X - marca preferida por um consumidor 
x = 1, 2, 3, 4, 5, onde 
x = 1 -consumidor prefere composição A 
X= 5 s consumidor prefere composição E. 
. . . _ .1 d. eta em 5 nontos então a sua função de Se X tiver d1stnbuiçao--urn orme.. iscr - .. -····"'--·· ..... , 
222 
probabilidade será 
1 (x) = + , para x = 1, 2, 3, 4 e 5. 
As hipóteses a testar serão: 
Ho: l(x) = +' para x = 1, 2, 3, 4 e 5 
1 1 X = 1, 2, 3, 4, e 5 Ha: l(x) "'- S' para agum 
ou, de um modo mais sintético 
Ho: X n U(5) 
Ha: X(/'\ U(S). 
• 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Existem vários testes da bondade do ajustamento. Um dos mais conhecidos 
e mais antigos é o teste de ajustamento do x2. devido a Pearson, no início do 
século. Kolmogorov, em 1933, apresentou um outro teste que também será 
abordado aqui, e que ficou conhecido pelo seu nome: Teste de ajustamento de 
Kolmogorov-Smirnov1, abreviadamente K- S. 
2. 1. Teste de ajustamento do Qui-Quadrado 
Sendo (X1, X2, ... , Xn) uma amostra aleatória de uma certa população X, 
considere-se que f (x) é a f.(d.)p. verdadeira, mas desconhecida, de X. Supo-
nha-se ainda que fo (x) é a f.(d.)p. de uma variável aleatória com distribuição 
conhecida e completamente especificada. 
Como na generalidade dos testes de ajustamento, as hipóteses a testar 
são: 
H0 : A f.(d.)p. de X é f0 (X) 
Ha : X não tem essa distribuição. 
A-ideia básica-do-teste do Qui-Quadrado é a· seguinte: construam-se e 
classes A1, A2, ... , Ac, de valores assumidos por X, de forma a que estas 
classes constituam uma partição desses valores. Tome-se a amostra 
(X1, X2, ... , Xn) e calculem-se as frequências absolutas observadas o;, de 
cada classe A; . Assim, 
o; = número de elementos da amostra que pertencem a A; (frequências 
observadas). 
Considere-se a distribuição teórica definida em H0 e calcule-se a proba-
bilidade Pi de cada classe A; . 
Pi = P [A; 1 Ho ]. 
1 
Kolmogorov estudou o caso do ajustamento de uma amostra a uma dada população especificada, 
-+---enquanto que Smimov estudou problemas envolvendo duas amostras: poderão duas amostras 
ser provenientes de populações com a mesma distribuição? Em muitas obras o primeiro teste é 
designado por Kolmogorov-Smirnov para uma amostra, enquanto que o segundo é-o por Kotmo-
gorov-Smimov para duas amostras. Noutras obras, o primeiro teste é designado apenas por Teste 
de Kolmogorov, sendo o segundo por Teste de Smimov. 
223 
ESTATÍSTICA APLICADA 
---------liss1m, o número-de-indivíduos-·da-amostra_que-<<deverialJl»_e-"tar em A; 
seria e; = n Pi', onde n é a dimensão da amostra e 
1 
-··· 1 
1 
"I. ,, 
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11 1 
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'-' 1 · ;,; ,. 1 
p~: (1 '1 
Hiil l liU.:u.1. 
n·:11· 11Ll1:'. 
11!ii:iili1. 
224 
e; = número de elementos da amostra pertencentes a Ai quando H0 é 
verdadeira (frequências esperadas). 
Se a hipótese nula for de facto verdadeira, a diferença entre cada valor 
observado e o respectivo valor esperado, intuitivamente, «não deve ser muito 
grande». Mas como medir estas diferenças? O que é ser «grande» ou ser 
((pequeno>)? 
Interessa que: 
- as diferenças sejam consideradas de igual forma, quer sejam positivas, 
quer negativas; 
- as diferenças sejam ponderadas. De facto, não é o mesmo ter uma 
diferença de 10 entre um valor observado e um esperado que valha, por 
exemplo 15 ou um valor esperado que valha, por exemplo 150; 
- a distribuição da estatística de teste utilizada seja conhecida, pelo menos 
assimptoticamente. 
Sabe-se que, se alguns dos ei forem muito pequenos, a aproximação ao 
x2 não é muito apropriada. No entanto, ainda hoje persistem dúvidas entre os 
estatísticos quanto ao que devemos considerar «alguns» e «muito pequenos». 
Tomaremos como regra prática a assumida por muitos packages estatísticos: 
Para queseja_possível.aplicaLª--ªJ2IC!!'.il1lilÇão ao x2 devem-se ter: 
i) Não mais de 20% das classes com e; inferior a 5, 
ii) Todas as classes com ei superior ou igual a 1. 
'1: 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
-l"----__:Ca:5o esta_ regra não esteja a ser respeitada poderemos proceder à agre-
gação de algumas classes contíguas 1. 
Valores «pequenos» da estatística de teste irão indicar «grande» adesão 
dos valores observados aos valores esperados, confirmando a hipótesese nula 
especificada. Valores «grandes» da estatística de teste indicam «desajusta-
mento» dos dados à distribuição especificada na hipótese nula e, conse-
quentemente, levam à rejeição desta. 
Sendo X(c-1); a, o quantil de probabilidade (1 - a) de um x2 com (e- 1) 
graus de liberdade, tem-se a seguinte regra de decisão: 
Rejeita-se Ho a um nível de significância a caso o valor da estatística de 
teste seja superior a X(c-1); a, isto é, rejeita-se H0 se T > X(c- 1); a . Caso 
contrário, não se rejeita H0. 
1 
Retome-se o exemplo apresentado no ponto anterior. Suponha-se que se 
recolheu uma amostra de 1000 indivíduos, os quais foram inquiridos acerca das 
suas preferências em relação a diferentes misturas de cafés (5 composições 
diferentes: A, B, C, D, E) tendo-se obtido os seguintes resultados: 
Número 
Marca de consumidores 
A 190 
B 210 
e 180 
D 205 
E 215 
TOTAL 1000 
Sendo X - marca preterida por um consumidor, 
x = 1, 2, 3, 4, 5, onde 
X = 1 consumidor prefere composição A 
X=5 consumidor prefere composição E. 
;eoric~ment~, e se se at~nder à definição dada para classe, as classes agregadas não têm que 
er obngatoriamente contiguas. No entanto, este é o processo geralmente seguido. 
225 
ESTATÍSTICA APLICADA 
----------.A&-hipóteses_a_testar_seJãP~: ____ _ 
1 
' 
i 
'1 
1 
. ,,! 
'-. •••• 1 
1: 
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'1 
1 
:' H 
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,i, i 
1'· i:l'I 
i:· 'i"I 
•.• '11 1 
i 1'1 
111,1·1 
J.;J1ll'1 
Ho: X (1 U(5) 
Ha: X(/\ U(5). 
Definam-se as classes A;= { i}, ; = 1, 2, 3, 4, 5. Estas classes constituem 
uma partição dos valores assumidos por X. Tem-se 
1 pj P[A1 1 Ho] = fo(1) = 5 
1 p3 = P[A3 1 Ho] = fo(3) = 5 
1 
Ps = P [ A5 1 1-1-0 J = to (5) = 5 . 
e portanto, 
1 fJ2 = P[A2 1 Hol = fo(2) = 5 
1 
p: = p [A, 1 Ho] = fo (4) = 5 
Marca O; Pi np/'=ei or - e; (oi- er)2/e; 
A 
B 
e 
D 
E 
Total 
5 
T= L. 
i= 1 
190 
210 
180 
205 
215 
-- -- ---
1000 
2 (o; - e;) 
e; 
1/5 
1/5 
1/5 
1/5 
1/5 
1 
2 (1 X(S-1)· 
200 -10 0,5 
200 10 0,5 
200 -20 2 
200 5 0,125 
200 15 1,125 
1000 4,25 
o valor calculado para 0 teste é T = 4,25. O ponto crítico, ao nível de signifi-
- · o 05 de uma VA com distribuição do Qui-Quadrado com 4 graus de canc1a ex = , . . 
liberdade é 9,49 (vd. tabelas). Assim, 
T = 4,25 < 9,49 = X(4); o.os 
e não se rejeita a hipótese nula, a este nível de significância. 
t '.il.1 Não existe evidência estatística que não permita considerar a a~os~ra c~mo 
Lli.1 _______ ----proveniente-de uma população-uniforme_discreta em 5pontos, ou_ se1a, msenndo 
1;,111 f dt nto JL .JI no contexto, os consumidores não prefedrem uma mistura de ca e em e nme j[\ ·.I de outras: todas são igualmente prefen as. 
•!<li. ' li 
1!111 
;,;,;] 
'''li !j~'.i 1 
ir''il'I ' '.'~i'i' 1 : 
lli!i1:11: 
226 
TESTES NÃO-PARAMÊTRICOS 
Uma das hipóteses postas acima é a de que fo (x) está completamente 
especificada. Isto implica que se conheçam os parâmetros que a caracterizam. 
Por exemplo, no caso da distribuição normal, é necessário conhecer a verda-
deira média e o verdadeiro desvio-padrão. Mas isto não acontece em muitos 
casos. 
e 
Note-se que, de facto, não é o mesmo testar 
Ho: X n N(5; 1) 
Ha: X (1) N(5; 1) 
Ho : X tem distribuição normal 
Ha : X não tem essa distribuição. 
Enquanto que, no primeiro caso, a rejeição da hipótese nula não implica 
que X não tenha distribuição normal (pode ter, mas com outros parâmetros, 
diferentes dos especificados), no segundo,a rejeição da hipótese nula implica 
que a distribuição de X não pertence à família normal. 
Podemos ainda utilizar o teste do Qui-quadrado neste último caso, mas a 
distribuição assimptótica da estatística de teste sofrerá um ajustamento no 
número de graus de liberdade. 
Assim, tem-se: 
227 
ESTATÍSTICA APLICADA 
A procura diária de um certo produto F foi, em 60 dias escolhidos ao acaso, 
a seguinte: 
Nº unidades 
procuradas 
o 2 3 4 5 6 
7 8 9 
Nº dias 2 4 8 13 14 
9 5 3 
Será de admitir que tal procura segue uma distribuição de Poisson? 
Seja X - procura diária de um certo produto F. 
Tem-se: 
Ho : X tem distribuição Poisson 
Ha: X não tem essa distribuição. 
A função de probabilidade de uma V.A. com distribuição de Poisson é: 
X == O, 1, 2, ... 
Mas o A. não está especificado na hipótese nula! 
Definindo A; = { i} para i = O, .. ., 9 
9 
e A10 = {10, 11, 12,. .} = /No - U A;, 
i=O 
as probabilidades p ; = P [ A; 1 Ho ] não podem ser calculadas exactamente; A -
terão de ser estimadas. Dado que um bom estimador para A. é A. = X, estimar-
A 
-se-ão os p; substituindo A. por A. na função de probabilidade indicada. 
Neste exemplo, assumir-se-á 
A I,X; 
A.=--=38 n ' 
e portanto tem-se 
1 ROBALO, A., Estatística-Exercícios Volume f/, Cap. lll, ex. 52, Ed. Silabo, 1989. 
;}; 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Nº unidades Nº de dias 
procuradas 
º' 
Pi {a) e1= n pj 
o 2 0,0224 1,344 
1 4 0,0850 5,100 
2 8 0, 1615 9,690 
3 13 0,2046 12,276 
4 14 0,1944 11,664 
5 9 0,1477 8,862 
6 5 0,0936 5,616 
7 3 0,0508 3,048 
8 1 0,0241 1,446 
9 1 0,0102 0,612 
10 ou mais o 0,0057 0,342 
(a) Ver tabela da Poisson com parâmetro 3,8. 
clas~:;~ê~ef~o~:n~~~statar, a r~gra. definida não é aqui verificada: cinco das 
total das classe~ e du.:s~era~a in~enor a 5, o que representa mais de 20% do 
' m requenc1a esperada inferior a 1 Pode 
as quatro últimas classes redifinindo A . -se agrupar 
. ' 7 como englobando todos os casos de 
procura igual ou superior a 7. Será então: 
Nº unidades Nº de dias 
procuradas 
º' 
Pi (a) . ei=npj O; - 81 (o;- ei)21e1 
o 2 0,0224 1,344 0,666 0,3300 
1 4 0,0850 5,100 -1,100 0,2373 
2 8 0,1615 9,690 - 1,690 0,2947 
3 13 0,2046 12,276 0,724 0,0427 
4 14 0,1944 11,664 2,336 0,4678 
5 9 O, 1477 8,862 0,138 0,0021 
6 5 0,0936 5,616 - 0,616 0,0676 
7 ou mais 5 O,ü908 5,448 - 0,448 0,0368 
Totais 60 1,0000 60 o 1,4790 
Tem-se assim: 
- . número de classes, e == 8 
- número de parâmetros estimados, k = 
-T n X~-1-1) = X~i 
- valor do teste, t = 1,4790. 
229 
1 
1 
1. 
[.' 
" 
J. 
. , 
! '~: 
1 
1 
ESTATISTICA APLICADA 
Como Xa; o,o
5 
= 12,592 (ver tabela), não se rejeita a hipótese nÜTiia este 
nível de significância. Podemos assim assumir que a procura do produto F segue 
uma distribuição de Poisson. 
• 
Até ao momento, os exemplos dados dizem respeito a ajustamentos a 
distribuições discretas. Caso a distribuição em estudo seja contínua, o processo 
é idêntico, embora seja necessário, a priori, classificar os dados em classes . 
Uma máquina corta peças de 100 cm de comprimento. Crê-se que os erros 
cometidos por esta máquina sigam distribuição normal. Para testar esta hipótese 
efectuou-se a medição de 595 peças que forneceram os seguintes resultados: 
Nrl de erros 
Erros (cm) (O;) 
-6; -3 . -1(f 
-3; -1 95 
-1 ; o 200 
o. 1 190 
1 ; 3 90 
3; 9 10 
Para testar o ajustamento à distribuição normal é necessário estimar a média 
e o desvio-padrão, o que será feito como usual. Obtém-se 
:X= ocm 
e 
L xf F; 
5 2 
= -='--- - x2 = 2,353 cm 2 => s = 1,53393 cm. 
n 
onde F; representa a frequ·ê-rlCi8.8bS01trta Otiséi'Vada da i-ésima classe, sendo x; 
o respectivo ponto médio. 
1 Adaptado de ROBALO, A., Estatística. - Exercícios Volume li, Cap. 111, ex. 51, Ed. Sílaba, 1989. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
.. ···---·· 
· N9 de erros Extremos 
Erros (cm) (O;) standartizados Pi ei = npi ( 01- ei)
2 le1 
-6; -3 10 < -1,96 0,0250 14,875 1 ,5977 
-3; -1 95 -1,96; -0,65 0,2328 138,516 13,6709 
- 1 ; o 200 -0,65; o 0,2422 144,109 21,6707 
o. 1 190 o 0,65 0,2422 144,109 14,6138 
1 ; 3 90 0,65 1,96 0,2328 138,516 16,9930 
3; 9 10 > 1,96 0,0250 14,875 1 ,5977 
Teoricamente, sendo X uma V.A. com distribuição normal, pode assumir qual-
quer valor real. Assim, a primeira classe tem de incluir todos os valores de X 
inferiores a - 3, embora só se tivessem observado valores entre - 6 e - 3. 
Era possível constituir uma outra primeira classe, incluindo apenas os valores 
de X inferiores a - 6, com frequência observada O. Note-se que, neste caso, a 
frequência esperada seria também aproximadamente O, visto que, considerando 
a média e o desvio-padrão estimados e consultando a tabela da normal-padrão, 
P[X < -6] = P[Z < -3,9] ~O 
levando à agregação de tal classe com a seguinte. O mesmo se passa em relação 
ao outro extremo. 
Tem-se assim e= 6, k = 2 e portanto 
o 2 2 
T () XiB-2-1) = X(3)· 
Como X
3
, 
0
,
05 
= 7,815 (ver tabela) e o valor calculado para o teste é de 
70,1498, rejeita-se a hipótese nula, a este nível de significância. A distribuição dos 
erros cometidos pela máquina ao cortar peças de 100 cm não tem distribuição 
normal. 
• 
_ D~vido à informação perdida quando se procede à agregação em classes, 
nao e muito aconselhável a utilização deste teste para proceder ao ajustamento 
de distribuições contínuas. Neste caso está mais indicado o teste de Kolmo-
gorov-Smirnov de ajustamento, que será abordado no ponto seguinte. 
231 
' 
"'" "'" 
i. ,, 
,;: ': 
ESTATÍSTICA APLICADA 
2.2. Teste de ajustamento 
de Kofmogorov-Smirnov 
O teste de ajustamento do Qui-Ouadrado, abordado no ponto anterior, está 
especialmente concebido para dados nominais. Quando os dados são ordinais, 
a informação relativa à ordem é perdida. O volume da informação perdida é 
ainda maior quando os dados são de natureza contínua, dado que é necessário 
proceder à classificação dos dados. O teste de Kolmogorov para uma amostra 
(designado abreviadamente por K - S de ajustamento) permite tomar em con-
sideração a ordem inerente aos dados, o que é por si só uma vantagem. 
Embora não haja unanimidade neste aspecto, vários autores afirmam que o 
teste K - S de ajustamento é provavelmente mais potente que o Oui-Quadrado, 
em muitas das situações em que ambos são aplicáveis. 
Para que possamos apresentar este teste é necessário definir, em primeiro 
lugar, o que se entende por função distribuição empírica 
1
. 
1 A natureza dos dados tem de ser no mínimo ordinal. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
A função de distribuição da amostra será 
r o 
1 
1 ' 
= j __I_ 
1 n 
1 l 1 
Xtn,; X< X;+1:n i = 1, ... , n - 1. 
Note-se que, enquanto Sn (x) é uma função de x, Fn (x) (que deverá ser 
tomada para um qualquer x E IR fixo) é uma variável aleatória função da 
amostra aleatória, logo, uma estatística. 
51 
- Uma máquina embala pacotes de 500 gr de esparguete, e está calibrada para 
nao co~eter erros de embalagem superiores a 1 O gr em mais de 95º/o dos casos. 
o Retirou-~e ~ma amostra aleatória de 1 O pacotes de esparguete embalados 
p r esta maquina, por forma a verificar o processo de embalagem Obt -
seguinte amostra: . eve se a 
(507; 490; 497; 489,5; 501,5; 499; 502,5; 498,5; 510; 510,5). 
A amostra ordenada será: 
(489,5; 490; 497; 498,5; 499; 501,5; 502,5; 507; 510; 510,5). 
A função distribuição empírica será 
X Sn (x) 
X< 489,5 o 
489,5 $X< 490 0,1 
490 $x< 497 0,2 
497 ::;;x< 498,5 0,3 
498,5 ::;;x< 499 0,4 
499 $X< 501,5 0,5 
501,5 $X< 502,5 0,6 
502,5 ::;;x< 507 0,7 
507 $X< 510 0,8 
510 $X< 510,5 0,9 
x> 510,5 1 
• 
233 
11 
1 
\!: 
' 
' 1: 
1 
li: 
~ 1 i 
~: 
11 j: 
i~ ! ' 
,j 
ESTATÍSTICAAPLICADA 
234 
S, (X) 
1 . 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 
490 
... 
... 
495 500 505 510 
X 
• 
TESTES NÃO.PARAMÉTRICOS 
Em termos-práticos, sendo Sn (x) definida como anteriormente, 
(x1, n, x2, n, ... , Xn, n) a amostra observada depois de ordenada e definindo 
Sn (Xo: n) = O, tem-se que 
dn max {IF(x;:nl- Sn(Xi-1:n)1; IF(Xi:nl - Sn(X;:n)I}. 
i= ~ .... , n 
Conhecendo a distribuição de Dn é possível então avaliar dn e decidir se 
este é suficientemente pequeno para que não se rejeite a hipótese nula a um 
dado nível de significância a. 
A tabela disponível para este teste só é exacta caso a distribuição em teste 
seja contínua 1. Se tal não acontecer, o teste torna-se conservativo, isto é, tende 
a não rejeitar a hipótese nula. Os valores apresentados nesta tabela, e nas 
condições referidas, são exactos para n :> 40 e aproximados para valores 
superiores a 40. 
1 
Suponha-se que a máquina referida no exemplo anterior foi calibrada, na sua 
revisão periódica, de forma a que o peso dos pacotes de esparguete fosse 
Normalmente distribuído, com média 500 gr e desvio-padrão 5, 1 gr (verifique que 
a condição imposta no enunciado anteriormente apresentado é respeitada). Pe-
rante a amostra obtida, será que podemos afirmar que estas normas estão a ser 
respeitadas? 
Seja X - peso real de um pacote de 500 gr de esparguete embalado pela 
referida máquina. Tem-se: 
Ho: X n N(500; 5,1) 
Ha: X (1) N(500; 5,1). 
Como 
d10 = max ( 1F(X;:10) - 810 (X;-1: 10) 1; 1F(x;,10) - 810 (x;, 10) 1). 
i=1, ... ,10 
Existem métodos que permitem calcular o nível de significância crítico quando a distribuição em 
teste é discreta. Para mais informações veja-se por exemplo CONOVER, Praclical Nonparamelric 
Statistics, 2nd ed., J. Wiley, New York, 1980, págs. 350-353. 
235 
~!---~ES~1'e!!~.!.!TÍ~ST~ICA~A!!;P~Ll~CA~D~A~======:--------.. -.. --.-.---... -.. --.--.-. ---------
.1 
1 
i .1 
1 
' 1'. 
,,, ' 
[.~ 1 
'· 
' !} 
x, z, F(xk) Sn (Xk) F(xk) - 50 (Xk-1) F(x,)-Sn(Xk) 
489,5 -2,06 0,0197 0,1 0,0197 -0,0803 
490,0 -1,96 0,0250 0,2 -0,075 -0,175 
497,0 -0,58 0,2810 0,3 0,081 - 0,019 
498,5 -0,29 0,3859 0,4 0,0859 -0,0141 
499,0 -0,2 0,4207 0,5 0,0207 -0,0793 
501,5 0,29 0,6141 0,6 O, 1141 0,0141 
502,5 0,49 0,6879 0,7 0,0879 -0,0121 
507,0 1,37 0,9147 0,8 0,2147 0,1147 
510,0 1,96 0,9750 0,9 0,175 0,075 
510,5 2,06 0,9803 1,0 0,0803 
logo d10 = 0,2147. 
O valor tabelado para n = 10 e p = 0,95 (e< = 0,05) é 0,409. Como 
0,2147 < 0,409, não se rejeita a hipótese nula a este nível de significância, ou 
seja, não há evidência estatística de que a máquina não esteja a funcionar de 
acordo com o especificado (ou seja, pode-se considerar que a distribuição dos 
pesos dos pacotes de esparguete embalados por esta máquina segue distribuição 
normal de média 500 gr e desvio-padrão 5, 1 gr). 
• 
O teste de Kolmogorov-Smirnov de ajustamento está desenhado partindo 
1 
.! do pressuposto que a distribuição indicada na hipótese nula está cornpleta-
M1·' 
ViJ, , 
1 
mente especificada. 
1
r1'i, , '. 1 Caso tal não aconteça, ou seja caso as hipóteses em teste sejam, por 
ri'! 1 exemplo ,;·~: ,,: ' H0: X tem distribuição normal 
~:.· ': Ha: X não tem essa distribuição 
::,:;·,, 1 Jjj_! onde não se pretende fixar a priori a média e a variância da normal a ajustar, 
,,,,, ·~------ -torna-se_necessário_reccr1er_il_estir:ii_ªç·ã_o_d~s-~13_s parâmetros, o que torna o 
::111 J'[; 1 teste conservativo (ou seja, tende a não rejeitar a hipótese nula quando ela é 
,iffi;i falsa). 
~~j,i,; i """ ~ . li;ii!f' No entanto, é prática corrente a utilização deste teste nesses moldes. 
,,,,11,, ' 
·;11'ª li 1 h;l1·1 ;) u,,. 
õiiili.i1I 
'''''IJll 
'1'·1l_l:_v_,· , ~Ü1!I ' 
,,~;;:.J ' 
III!!!!! '.' .. 
236 
1 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Note-se porém que Lilliefors estudou este problema e apresentou, em 1967, 
tabelas modificadas para o caso do ajustamento à Normal sem parâmetros 
especificados, tendo por base a mesma estatística de teste. 
Este autor apresentou ainda, em 1969, tabelas modificadas para 0 ajusta-
mento de uma distribuição exponencial1. 
szbre este a~sunto, consulte-se, por exemplo, CoNOVER (1980), Praticai Nonparametric Statistics 
2 ed., J. Wiley, New York, 1980, págs. 357-363. 
237 
11 
i 
' ;o....;..)...., 
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,;.11 ., 
1!'·; 
:'I' 1 
11 ]'"1 "1 :ii~n ! ': : · d 
liilllli.ll. .. 
tl.IHlr': iil1!1,·111 1:
1
t, ,., 
t !.'~:1111 
li Tabelas de contingência 
3. 1. Teste do Qui-Quadrado de independência 
238 
No dia-a-dia frases como estas são frequentes: 
- Homens e mulheres têm preferências diferentes, no que se refere a 
programas de TV. 
_ As apetências para a leitura diferem consoante o estrato social em que 
o indivíduo se insere. 
_ Independentemente da sua idade, o português gosta de fado. 
Nestas afirmações está subjacente uma dupla classificação da população 
em estudo: 
- Na primeira classificam-se, por exemplo, os portugueses adultos e com 
acesso à televisão, por um lado segundo o seu sexo, e por outro, segundo ~ 
tipo de programas preferidos (p. ex: informação; filmes; telenovelas; desporllvos, 
concursos; outros). 
_ Na segunda, cada indivíduo é classificado segund_o o estrato social e~ 
que se insere e também segundo um indicador «apetenc1a para a leitura ' 
previamente definido. 
_ Na terceira, tem-se por um lado uma classificação «gosta _d~ fado» 
versus «não gosta de lado», e por outro o posicionamento do md1v1duo no 
escalão etário respectivo. 
Em geral, este tipo de afirmações resultaram de inferências. ~obre um~ 
amostra da população em estudo, classificada segundo duas vanave1s quall 
-!ativas. 
TESTES NÂO·PARAMÉTR/COS 
ii; 
" ]!t' 
Duzentas donas-de-casa foram inquiridas sobre a frequência com que vêem 
televisão, e também sobre o tipo de detergente que preferencialmente compram: 
A, Bou C. 
A informação obtida resultou na seguinte tabela de contingência: 
Frequêncía com Tipo de detergente 
que vê TV Total em linha 
A B e 
Nunca 10 10 5 25 
Ocasionalmente 25 40 9 74 
Frequentemente 40 31 30 101 
Total em coluna 75 81 44 200 
Na amostra recolhida tem-se assim, por exemplo, que 31 donas de casa vêem 
frequentemente televisão e usam o detergente B. 
Outras informações decorrentes desta tabela: 
- do total das 200 pessoas inquiridas, 25 nunca vêem TV, 74 vêem TV 
ocasionalmente, enquanto que 101 o fazem frequentemente (totais em 
linha). 
- do total das 200 pessoas inquiridas, 75 usam o detergente A, 81 o deter-
gente B e 44 o C (totais em coluna). 
- exemplo de percentagem em linha: das 25 donas de casa que nunca vêem 
televisão, 20% (isto é 5 desse total) usam o detergente C. 
- exemplo de percentagem em coluna: de todas as inquiridas que usam A 
(75), aproximadamente 13,3% (isto é 1 O das 75) nunca vêem TV . 
• 
Suponha-se que se está perante uma amostra de dimensão n, classificada 
.segundo duas variáveis qualitativas, uma com r categorias, e outra com c 
categorias. 
.-.---·· Note-se que estas variáveis podem ser o resultado da tabelação de uma 
variável contínua como se pode ver no exemplo seguinte. 
239 
ESTATÍSTICA APLICADA 
'----·---
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! ' 
' 1 ;.1 
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' ' 1 
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1
11 ~.!'11l .. 1li i:ii,1 .. i..I 
ilml'1l ... 11 .. :.11 i~11}i: 
111!\1 
240 
Tomem-se, por exemplo, as variáveis idade e rendiment~ _familiar m:nsal. 
Podem-se então construir as variáveis qualitativas classe etana e escalao de 
rendimento. 
Uma divisão possível seria: 
Classe etária 
23 
4 
Escalão de rendimento 
2 
3 
4 
5 
Menos de 25 anos 
Entre 25 e 35 anos 
Entre 35 e 60 anos 
60 anos ou mais 
Menos de 1500 contos/ano 
Entre 1500 e 2499 contos/ano 
Entre 2500 e 3499 contos/ano 
Entre 3500 e 4999 contos/ano 
5000 contos/ano ou mais 
• 
i;' 
! ! 
:.;., 
TESTES NÃO·PARAMÉTRICOS 
O objectivo desta dupla classificação é, na maioria dos casos, tentar inferir 
sobre a existência ou inexistência de relação entre as variáveis (e consequen-
temente a elaboração de frases como as que abrem este capitulo). 
1 
No caso que tem vindo a ser analisado, suspeita-se que a frequência com que 
a dona de casa vê televisão está relacionada com a marca de detergente que 
consome. 
As hipóteses a testar serão: 
H0: A marca de detergente que a dona de casa consome é independente da 
frequência com que vê televisão. 
Ha: A marca de detergente que a dona de casa utiliza depende da frequência 
com que vê televisão. 
• 
De forma análoga, seja Pi· a probabilidade de um indivíduo pertencer a Ai 
(distribuição marginal da variável em linha) e P.j a probabilidade de um indivíduo 
pertencer a Bi (distribuição marginal da variável em coluna). 
1 
Tem-se que: 
- o número de indivíduos esperados na classe Ai da variável em linha 
será Ei. = n Pi. 
- o número esperado de indivíduos na classe Bj da variável em coluna 
será E.j = n P.j 
O que é o valor esperado de uma distribuição multinomial com probabilidades associadas pij. 
241 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Existindo independência entre as duas variáveis, então 
Pij = Pi. P.j 
As hipóteses colocadas anteriormente podem ser reescritas mais for-
malmente 
Ho: Pij = Pi. P.i V i = 1, ... , r; j = 1, ... , e 
Ha: Pii *Pi. P.j · para algum i = 1, ... , r e algúm j = 1, ... , e. 
Analogamente, ao que foi descrito ,no teste do Qui-quadrado de ade-
rência, uma estatística de teste (sugerida porPearson, em 1904) será 
. .· . - -. - . . ·: .-
r e 
x2 = Li L, 
i=1J=1 
(Oij-•-"'--•• Eij )~ 
,-,·.E· 
. _,, 
·Dado_ que. não se conhecem -o~~erdadeirosv~lores cl~sprobabfüdades 
!Tl"a.rginais erwolv!da~. estas terão que ser; e~tima,das, -() qu~. r~s~lta,r_á e~ .. 
··-···-·-·· ;--·"·-~-----~----~:. ~:_~ ~ e~~-rj=j_~L.. '... :~10'0;; ~·! .5 }··· 
ÓÓncle, sob t/-0. Eii;.=inPi.·P.j .~e~Hni~d~~or··· ;;1· ~-}·~·; t• --~ 'fij?'.;:i:·~ª"" •. -··· 
Para que valores da estatística de teste será rejeitada a hipótese nula? 
Sendo Ho verdadeira, a diferença entre cada frequência observada e a 
respectiva frequência esperada não deve ser grande, quando comparada com 
a grandeza desta última. Assim, valores pequenos da estatística de teste são 
compatíveis com a hipótese nula, enquanto que valores grandes denotam 
. 
li 
'· ~-. 
;i: 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
discrepâncias entre _alguns valores observados e os respectivos valores espe-
rados e, assim, a nao validade da hipótese nula. 
A região crítica será pois, unilateral direita. Rejeitar-se-á Ho, para um nível 
de significância a, se o valor observado do teste, X 2, for superior ou igual ao 
quant1I de probabilidade a de uma variável aleatória com distribuição do Qui--
quadrado com (r-1) (c-1) graus de liberdade, ou seja 
Rejeita-se H0 ao nível de significância a se 
X 2 > X(r-1)(c-1);a 
onde Plxfr-1)(c-1) < X(r-1)(c-1);al = 1 - a. 
e 
As hipóteses a testar, como já foi visto anteriormente, são: 
Ho: a ma~ca _de detergente que a dona de casa consome é independente da 
frequenc1a com que vê televisão; 
Ha: a marca de detergente que a dona de casa utiliza depende da frequência 
com que vê televisão. 
Definindo 
A1 - a dona de casa nunca vê TV 
A2 - a dona de casa vê TV ocasiona/mente 
A3 - a dona de casa vê TV frequentemente 
B, - a dona de casa usa o detergente A 
13,_ - a dona de casa usa o detergente B 
BJ - a dona de casa usa o detergente e 
tem-se 
Pij = P[Ai (] Bj] 
com Pi = P[AiJ e Pi= P[ Bj] 
assim 
. e,, "1. º·' 72 X 25 
N 200 = 9,375 
e,2 = 01. 0.2 81 X 25 N 200 1o,125 
243 
1 
1 
I' 
.J 
ESTATÍSTICA APLICADA 
e assim sucessivamente, como se resume no quadro s.~guin~e~ 
TABELA DE FREQUÊNCIAS ESPERADAS 
Frequência Tipo de detergente Total em linha 
com que vê TV A B e 
Nunca 9,375 10,125 5,5 25 
Ocasionalmente 27,75 29,97 16,28 74 
Frequentemente 37,875 40,905 22,22 101 
Total em coluna 75 81 44 200 
O valor do teste será então 
x2 = (10 - 9,375)2 + (10 - 10,125)
2 
+ ··-
2 (30 - 22,22) = 12 22 
+ 22,22 ' 9,375 10,125 
Dado que r = 3 e e = 3 tem-se que a estatística de teste tem (3 - 1) 
(3 - 1) = 4 graus de liberdade. 
A tabela da distribuição do Qui-quadrado indica que o quantil de probabilidade 
0,05, para 4 graus de liberdade, é 9,49. 
Assim, como x2 = 12,22 > 9,49, rejeita-se Ho ao nível de significância de 
5%. o detergente que as donas de casa utilizam depende da frequência com que 
vêem televisão. 
• 
Tal como no teste de aderência do Qui-quadrado, é necessário que se 
verifiquem certas condições, de forma a que se possam aceitar os resultados 
obtidos. 
Embora não haja unanimidade entre diferentes autores, pode-se estabele-
cer, para que o teste do Qui-quadrado de independência seja aplicável, o 
seguinte: 
a) Não mais de 20% das células tenham frequência esperada estimada 
inferior a 5 (isto é não mais de 20% dos eij sejam inferiores a 5); 
b) Não exista qualquer célula com valor esperado inferior a 1 (ou seja, 
eij ;:, 1 V i , V j ). 
Se tal não se passar, poder-se-á proceder à fusão de algumas classes de 
..._.,L, --------uma-ou das-duasvariáveis.-~porém-necessário_ter_em conta as alterações de 
1
] contex1o provocadas por estas fusões (por exemplo, fundir as classes «vê T~ 
_ .J ocasionalmente» com «Vê TV trequentamf_entde" drefsultatee)m duas classes: «Ve 
' ' TV» e «Não vê TV», o que tem um s1gn11ca o 1 eren . 
i ii 
il ·: 
1 
:i.il :i!ll' 
]\\ "i 
244 
TESTES NÃO·PARAMÉTRfCOS 
_ __,,__ ____ .Q teste anterior é conhecido por teste de Qui-Quadrado de Pearson para 
se diferenciar de outros testes, também com distribuição do Qui-Quadrado, mas 
baseados em diferentes métodos de estimação, como, por exemplo, o método 
da razão de verosimilhanças. 
.••.•.· ... o teste da ra~ã() de verb~i~ilhallÇas,"proppsto p6rwilks (1935) para 
• testar a mesma hipótese nula de indêpéndência de cj~as variáveis, apre' 
•·_' ~ue, sendo a hi~;,;&se•nu11lv~r~ad~ira,;tem distr1buiç~cr~ssimptótica do 
•ffaui-Ouadrado êõi-n (i--'1 ){°d'.__'.f)~rãus êle libérc:laci0.'' · · · · ·· ···. • ·· 
Este teste leva à rejeição da hipótese nula quando, para um nível de 
significância a, o valor de estatística de teste for igual ou superior ao quantil 
de probabilidade a da distribuição do Qui-Quadrado com (r- 1) (c-1) graus 
de liberdade, ou seja, quando 
2 X ;:, X (r - 1 ) (e - 1 ) ; a · 
As condições de aplicabilidade do teste da razão de verosimilhanças são 
idênticas às do teste de Pearson, sendo particularmente desaconselhada a sua 
aplicação quando não se verificar a seguinte condição adicional: _!:!__ ;:, 5 . 
rc 
3.2. Medidas de associação 
Ao estudar a relação entre duas variáveis qualitativas, o analista pode estar 
interessado em analisar, para além da existência/inexistência da relação, a sua 
intensidade. 
Sendo a estatística do Qui-quadrado tanto maior quanto maior é o afasta-
mento da hipótese de independência, uma solução imediata seria utilizar o 
valor do teste como medida de associação. No entanto, é necessário ter em 
consideração que, não só não teria a desejável propriedade de variar entre O 
e 1, como ainda que a sua magnitude depende em sentido directo do número 
total de observações da amostra. 
245 
li 
ESTATl'STICA APLICADA 
246 
seguinte forma: 
C=.~ J~ 
n 
Este coeficiente varia entre O e 1, sendo que valores b~ixos de C 
indicam poucadependência entre as variáveis (O se as. vanave1s f?rem 
independentes) enquanto que valores altos indicam maior dependenc1a 
entre as variáveis. 
O de Completa associação este coeficiente não No entanto, mesmo no cas • 
assume 0 valor 1. O valor de C, sendo q = min (r, e), varia em 
q - 1 
q < 1. 
Para obviar a este facto, Cramér (1946) sugeriu o seguinte coeficiente, 
designado por Vde .CraméL poLalguns. autores.~ . 
onde q = inin {r, e). 
Este coeficiente pode assumir o valor 1, no caso.de associação per-
feita entre as variáveis. 
No exemplo que tem sido seguido: 
Ho: A marca de detergente que a dona de casa consome é independente da 
frequência com que vê televisão ~ . 
Ha: A marca de detergente que a dona de casa utiliza depende da frequenc1a 
com que vê televisão. 
TESTES NÃO-PARAMÊTRICOS 
Obteve-se um valor para a estatística de teste de X 2 = 12,22. 
Como r = e = 3 e n = 200, tem-se que 
C= 
12,22 
200 
12,22 
+200 
= 0,245 
com 
e 
Cmax = './ 
3 - 1 
3 
V= 
12,22 
200 
3 - 1 
:::: 0,82 
:::: 0,17. 
Note-se que, embora se tenha concluído que a relação entre as variáveis é 
significativa, ela é bastante fraca, sendo que o valor do coeficiente de contingência 
é 0,24, num máximo de 0,82, e o V de Cramér é O, 17. 
Estes baixos valores dos coeficientes são também consequência da dimensão 
·-~·ª- amt?st~ª· O _mesmo valor de teste, para amostras de tamanho inferior, levaria 
a coeficientes de maior valor. 
• 
É necessário ter em atenção que, sendo estes coeficientes calculados com 
base na estatística do Qui-Quadrado de Pearson, só podem ser interpretados 
caso sejam verificadas as condições de aplicabilidade do teste referidas ante-
riormente. 
Refira-se ainda que, quando as variáveis em teste são de natureza ordinal, 
podem-se calcular outras medidas de associação - como o Tau B e o Tau C 
de Kendall - que tomam em consideração a ordem existente entre os valores 
das variáveis. Sobre este assunto veja-se por exemplo EVERITT, 19801. 
, 
EVERIIT, 8. $., The Analysis of Contingency Tables, Monographs on Appfiecl Probability and 
Statistics, Chapman & Hall, 1980 (reedição). 
247 
1 
1 
'.',.\ 
ii 
I, 
'ª 
''I 
1i1 
w 
íl 
li 
1 
248 
Testes à igualdade de duas 
ou mais distribuições 
O conjunto de testes que irão ser apresentados de seguida têm um deno-
minador comum. Em todos eles, genericamente, as hipóteses a testar são: 
Ho: As diferentes amostras são provenientes de populações com a mesma 
distribuição. 
H8 : Pelo menos uma das amostras é proveniente de uma população com 
distribuição diferente das restantes. 
Não interessa, em geral, qual é a forma da distribuição de cada população 
subjacente. O que interessa é testar se é a mesma para todas as amostras, 
ou não. 
Num certo inquérito sôbí8-aüfOITlóvêiS-,--peaiU:.-s-e ·à ·opinião dos indivíduos (na 
escala de 1 - nada importante a 5 - muito importante) sobre um conjunto de 
questões caracterizadoras de um veículo automóvel, entre as quais 
- facilidade de condução 
- design 
- conforto 
- potência do carro 
- poder de arranque 
- custo de manutenção, 
tendo-se anotado também algumas características dos indivíduos como a idade, 
o sexo, o rendimento familiar, etc. 
As variáveis de opinião são em escala tipo Likert, donde, ordinais, e, neste 
caso, assumindo um número relativamente pequeno de valores diferentes. 
Algumas questões podem surgir no decurso da análise: 
-----~~S€rcfq-ue h0"1€úis ·e-mü1héres·-daO a mesma·i'mportância ao poder de arran-
que de um carro? E ao design?>) 
((A importância dada ao custo de manutenção será a mesma para indivíduos 
em diferentes escalões de rendimento?n 
I!. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
(•Gs-indivíduos- darão a mesma importância à facilidade de condução e à 
potência do motor?)) 
No primeiro caso observa-se uma variável resposta (importância do poder de 
arranque) em dois grupos (homens e mulheres). Está-se assim em presença de 
duas amostras independentes da variável resposta. 
No segundo caso, tendo sido feita a classificação dos rendimentos em k 
escalões, está-se em presença de k amostras independentes da variável em 
estudo ((custo de manutenção)). 
No terceiro caso, as amostras em causa são emparelhadas: para cada indiví-
duo é considerado o par de respostas (importância da facilidade de condução; 
importância da potência do motor). 
• 
Uma ideia imediata consistiria em comparar as respectivas médias popula-
cionais, usando o teste t-Student para amostras independentes no primeiro 
caso, o mesmo teste, mas para amostras emparelhadas no terceiro, e a análise 
de variância simples paramétrica no segundo. Mas estas técnicas têm pressu-
postos! 
i) As variáveis devem ser contínuas (embora muitas vezes este pressuposto 
seja ignorado); 
ii) As variáveis devem ter distribuição normal em cada grupo. 
Os testes não paramétricos que a seguir se apresentam permitem respon-
der às questões levantadas, e a outras semelhantes, servindo ainda como 
alternativa aos testes paramétricos apontados, quando estes não são utilizá-
veis. 
As estatísticas de vários destes testes baseiam-se, não nos valores das 
observações, mas sim nos seus postos. 
249 
il 
ESTATÍSTICA APLICADA 
;,.~--------------------·----------· -- --
: : 
ili 
IH 
! ; ~ 
!j 
1 
1( 
!.:., 
1 II H 1.; . 
.. )!); 
" 1' i;i .:. 
1 
J.;.;:.; .. 1 
., '1 
Tratar-se-á, em primeiro lugar, do caso de amostras independentes: 
- duas amostras independentes, com os testes de Mann-Whitney e o 
Kolmogorov-Smirnov para duas amostras; 
- mais de duas amostras independentes, com o teste de Kruskall-Wallis; 
seguindo-se o caso de duas amostras emparelhadas, com o teste de 
Wilcoxon. 
4. 1. Testes à igualdade de distribuições 
em duas amostras independentes 
Como já foi referido, o caso prático mais usual de obtenção de duas 
amostras independentes consiste na análise de uma variável resposta (por 
exemplo, importância da facilidade de condução de um automóvel), dividida em 
grupos segundo uma variável dicotómica de classificação (por exemplo, sexo). 
Apresentar-se-ão dois testes: o teste de Mann-Whitney, e o de Kolmogorov-
Smirnov para duas amostras (designado apenas por teste de Smirnov por 
alguns autores). 
O primeiro baseia-se nos postos (cf. definição dada em 4.) dos valores 
observados da variável em estudo, enquanto que o segundo tem como ponto de 
partida a comparação das funções de distribuição empírica das duas amostras. 
A importância do teste de Mann-Whitney advém do facto de ser geralmente 
considerado como alternativa não-paramétrica ao teste t para a diferença de 
médias 1. 
4.1.1. Teste de Mann-Whitney 
Considerem-se duas amostras independentes 
x,, X2 , .. ., Xni de dimensão n1, retirada da população X 
;1:.,,,1 
l,i;..;;. _____ _ Y, Y2 .. ., Yn2 de dimensão n2 , retirada da população Y 
---- - --~------
250 
e suponha-se que n1 < n2 . 
1 Embora seja necessário admitir hipóteses adicionais, CONOVEA, W.J. (1980). Practical Nonpara· 
metric Statistics, 2nd ed., J, Wiley, New York. 
; .. 
TESTES NÃO·PARAMÉTRJCOS 
As hipóteses a testar são: 
H0: As duas amostras são provenientes de populações com a mesma 
distribuição. 
Ha: As duas amostras são provenientes de populações com distribuições 
distintas. 
Definindo F (x) como sendo a função distribuição da população X e G (x) 
como sendo a função distribuição da população Y, estas hipóteses podem ser 
reformuladas: 
H0 : F(x) = G(x) \f x 
Ha: 3 x: F (X) * G (X). 
O modo como o teste é construído torna-o especialmente sensível às 
diferenças nas medidas de localização, em particular às diferenças nas media-
nas das distribuições. Designe-se então por 81 a mediana da população X e 
por 82 a mediana da população Y. Então, podem-se redefinir as hipótesesuma 
vez mais: 
Ho:81=82 
Ha: e, * 82. 
Pelo modo como foram colocad:i.s as hipóteses, o teste em causa é bilateral, 
mas podem-se também postular hipóteses unilaterais: 
H0 : 01 ;,, 02 
Ha: 01 < 02 
teste unilateral esquerdo, onde a hipótese alternativa é a de que os valores da 
primeira população estão tendencialmente abaixo dos da segunda (e portanto 
a mediana da primeira é inferior à da segunda) 
ou Ho : 0, o> 82 
Ha: 01 > 82 
teste unilateral direito, onde a hipótese alternativa é a de que os valores da 
primeira população estão tendencialmente acima da segunda (e portanto a 
mediana daquela é superior à desta). 
251 
'' 
" i: 
i.1:.1 ;1 i 
ESTATÍSTICA APLICADA 
252 
Considerem-se as variáveis «importância do desígn do automóvel)) , «impor-
tância do poder de arranque do automóvel» e «sexo». 
Poder-se-á pensar que, para as mulheres, o design de um carro é mais 
importante do que para os homens, enquanto que, para estes, o poder de arran-
que é mais importante do que para aquelas. 
Designando por X a importância que as mulheres dão ao design de um carro, 
e por Y a importância que os homens dão a esse aspecto do veículo, a primeira 
questão pode ser respondida procedendo ao teste que tem como hipóteses: 
Ho: Mulheres e homens dão igual importância ao design de um carro 
Ha: As mulheres dão mais importância que os homens ao design de um carro 
ou seja 
Ho: 81 82 
Ha: 81 > 82. 
A segunda questão pode ser respondida procedendo ao teste que tem com 
hipóteses: 
H0: Mulheres e homens dão igual importância ao poder de arranque de um 
carro 
H8 : As mulheres dão menos importância ao poder de arranque que os homens 
ou seja, definindo coerentemente X e Y, 
Ho:81=02 
Ha: 81 < 82 . 
• 
A estatística de teste baseia-se nos postos das observações. 
Tome-se a amostra conjunta, isto é, sem fazer diferenciação entre os dois 
grupos, e ordenem-se os valores (mas sem perder o grupo de origem de cada 
observação). 
Caso não haja empates, a observação de valor mais baixo recebe o posto 
1, a segunda mais baixa recebe o posto 2, e assim sucessivamente. 
Caso existam empates, ou seja, observações com o mesmo valor, atribua-
-se às observações empatadas o posto médio dos postos que lhes corres-
ponderiam caso tais empates não existissem. 
TESTES NÃO-PARAMÊTRICOS 
Note-se que o valor mais pequeno que R1 pode assumir é n1 (n1 + l) 0 2 
que corresponde ao caso em que as n1 observações da amostra 1 são as 
. . , . rr1 (rr1 + 1 ) 
primeiras, e o mais elevado e 2 + n1 n2 , o que corresponde ao 
caso em que as rr1 observações da primeira amostra são as últimas. 
u, pode ser interpretado da seguinte forma: 
u, é o número de vezes que um valor da primeira amostra precede um 
elemento da segunda amostra 1. 
Assim, quando se tem, por exemplo a ordenação conjunta ABBAB, 
u, = 4 porque: o elemento de A com posto 1 precede os de B com postos 2, 
3 e 5 (conta como 3 vezes); o elemento de A com o posto 4 precede apenas 
o elemento de B com o posto 5 (conta como uma vez). Assim, o número de 
vezes que um elemento da primeira amostra precede um elemento da segunda 
é 3 + 1 = 4. 
A distribuição exacta destas estatísticas obtém-se partindo do pressuposto 
que, sob Ho, todas as ordenações são igualmente prováveis. 
1 
Embora seja necessário ter cuidado caso haja empate - neste caso, calcular u1 fazendo estas 
contagens, pode levar a valores errados da estatística. 
253 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Para n1 = 2 e n2 = 3, são possíveis as seguintes ordenações conjuntas: 
POSTO 
1 2 3 4 5 R1 U1 
A A B B B 3 6 
A B A B B 4 5 
A B B A B 5 4 
A B B B A 6 3 
B A A B B 5 4 
B A B A B 6 3 
B A B B A 7 2 
B B A A B 7 2 
B B A B A 8 1 
B B B A A 9 o 
onde A indica um elemento da primeira amostra e B um da segunda. 
Note-se que o número total de casos é 1 O = ( ~ ) e assim a probabilidade de 
ocorrência de cada caso é O, 1. Então, por exemplo, 
P [ R1 = 3] = P [ U1 = 6 ) = O, 1 
p [ R1 = 5] = P [ U1 = 4) = O, 1 + O, 1. ;= 0,2 
porque quer ABBAB como BMBB levam a R1 = 5 e assim sucessivamente. A 
função de probabilidade de R1 é, neste caso, 
R, 3 4 5 6 7 8 9 
t (r1 } 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 
n1 (n+1) Note-se que l(r1 ) é sempre uma função simétrica em relação a 2 
• 
Embora não seja aqui demostrado, a função de probabilidade de R1 é 
. . . _ n1 (n + 1) 
•-------- sempre_s1metnca __ em re@çao a ... _2_~_,_or:iden = n1 + n2. 
254 
As duas estatísticas, R1 e U1, são equivalentes. Contudo iremos utilizar a 
primeira, estando as tabelas da respectiva função distribuição, para diferentes 
valores de n1 e n2, em anexo. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Um produto pode ser exposto em dois locais distintos A e B, de um super-
mercado. Pretende-se saber se o local de exposição influencia as vendas, ou não. 
Em vários dias o produto foi exposto no local A e noutros, no local 8. Observa-
ram-se as vendas em 4 dos dias de exposição em A e em 5 dos da exposição 
em B. Os resultados obtidos foram os seguintes: 
Grupo Quantidade vendida Posto 
1 10 3 
1 12 5 
1 15 8 
1 16 9 
2 6 1 
2 9 2 
2 11 4 
2 14 7 
2 13 6 
As hipóteses a testar são 
H0: As vendas são idênticas quer o produto esteja exposto no local A, quer 
no local B. 
H8 : As vendas são diferentes, consoante o local onde o produto se encontra 
exposto. 
Tendo em conta que n1 = 4 e n, = 5 (n1 é a dimensão do menor grupo), o 
valor da estatística de teste será 
r1 = 3 + 5 + 8 + 9 = 25. 
Tomando um a global de 0,05, e tendo em conta que o teste é bilateral, o 
quantil de probabilidade 0,025 para estes valores de n1 e n,, q (0,025; 4;5), será 
12, sendo q (0,975; 4; 5) = 281, pois o eixo de simetria é 4 x C9 + 1) = 20 . 
2 
Aregiãodeaceitaçãoé RA = ]12, 28[. 
Assim.como 12 < 25 < 28, não se rejeita a hipótese nula, a este nível de 
significância, isto é, as vendas são idênticas, quer o produto esteja exposto num 
local, quer noutro. 
• 
1 Note-se que, sendo a distribuição discreta, um quantil de uma certa probabilidade pé o primeiro 
valor da variável para o qual a respectiva função de distribuição ultrapassa p. 
255 
ESTATÍSTfCAAPLICADA 
---------P<eva-se-(o-que...saLfara.da_ârnbito deste livro) g,~u"'e'---------····· ············-·-
n1 (n + 1) 
' 
1 
'1 ,, 
:1.1 
:1· 
1 
,:1 
'li 
·.i_._1·1 
,, 
' !1 
'I 1 i.I 
11• 
itl' 
t\:. 
µA,= 2 
e 
A distribuição normal pode ser utilizada como aproximação, preferencial-
mente se as dimensões dos grupos forem grandes: 
n1 nz(n + 1) 
12 
A N(O, 1). 
Se os grupos não forem especialmente grandes (5 :<: n1 :<: 20 e 1 O :<: n2 :<: 
:<: 20 ou n1 = 3,4 e 12 :<: n2 :<: 20) ainda é possível fazer a aproximação à nor-
mal, aconselhando-se, nesse caso, correcção de continuidade 
n1 (n + 1) 
'1 ± 0,5 - 2 
z = --;::========~ 
./n1 n2(n+1) 
\J 12 
[,'.. No caso de um teste bilateral, ou unilateral esquerdo, dever-se-á somar 0,5 
fü para efeitos de comparação com o limite inferior da Região de Aceitação. No 
i)iii caso de um teste bilateral ou de um unilateral direito, dever-se-á subtrair 0,5 
I,;, para efeitos de comparação com o limite superior da Região de Aceitação. 
'11 Como já foi referido anteriormente, caso existam empates, é atribuído às 
!J:, observações empatadas o posto médio dos postos que lhes corresponderiam 
l1J.i se tais empates não existissem. Se os empates forem apenas entre observa-
"''! ções do mesmo grupo, o valor do teste não será afectado. No caso de tais 
Jlli!, empates envolverem elementos de grupos diferentes, o valor da estatística de 
'''i[i•l-_______ t_e_s"""te-altera-se; o que, mesmo assim, não-·tem-influência-·sobre· a decisão a 
[~1:, :11 tomar, se o número de observações empatadas for pequeno. H' 1 l,1] __ '. 1:1 ~~ ,1 
'1'11'' J .li i. 
:1:11:11 
256 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Se o númerode observações empatadas for grande, envolver elementos 
-·das-(:fuas-amostras, e se esteja em condições de utilizar a aproximação à 
distribuição Normal, poder-se-á corrigir a variância de R1, da seguinte forma: 
considere-se que g é o número de grupos de observações empatadas e, para 
cada um desses grupos, j, ti é o número de observações empatadas. A 
variância de R1, corrigida para empates, será então 
g 
- I 
i= 1 
Num estudo sobre a avaliação escolar, foram inquiridos 21 estudantes (1 O 
homens e 11 mulheres) sobre a importância que atribuem à componente de 
avaliação contínua, indicada numa escala de 1 a 1 O. Pretende-se saber se este 
aspecto da avaliação é igualmente importante nos dois grupos. 
Ho: Homens e mulheres atribuem igual importância à avaliação contínua. 
Ha: Homens e mulheres não dão a mesma importância a este aspecto da 
avaliação. 
Os resultados obtidos foram os seguintes (amostra já ordenada pelo grau de 
importância): 
Sexo Resp. Posto Sexo Resp. Posto Sexo Resp. Posto Sexo Resp. Posto 
M 1 1 F 6 9 M 7 12,5 F 10 
M 
F 
F 
M 
M 
2 2 F 6 9 M 8 14,5 F 10 
3 3,5 F 6 9 M 8 14,5 F 10 
3 3,5 F 6 9 M 9 17 
4 5 F 6 9 M 9 17 
5 6 F 7 12,5 M 9 17 
nt = 10 (amostra menor) 
Rt = 1 + 2 + 5 + 6 + 12,5 + 14,5 + 14,5 + 17 + 17 + 17 = 106,5 
g - número de grupos de observações empatadas = 6 
ti - número de observações empatadas em cada grupo i 
t2 = 5 ts = te = 3. 
20 
20 
20 
257 
ll 
ii ,, 
~ 
;li.. 
ESTATÍSTICA APLICADA 
258 
6 t;' - 'i 23 - 2 53 - 5 2
3 
- 2 
I, + + 12 12 12 12 
j= 1 
33 - 3 33 - 3 
= 15,5. 
n 3 - n 
12 
n (n - 1) 
+ 12 + 
21 3 - 21 
-=--- = 770. 12 
12 
10 X 11 
__:_,;;. __ = 0,2619. 
21 X 20 
"
2 = 0 2619 X (770 - 15,5) = 197,61. 
R, ' 
10 X 22 
106,5 ± 0,5 - 2 
z = ---~===o=--~--
"Í 197,61 
z=-0,213 v z=-0,285. 
-3,5 ± 0,5 
14,06 
23 - 2 
+ 12 + 
A Região de aceitação, para um nível de significância global de 5%, conside-
rando o teste bilateral, é ] - 1,96; + 1,96 [. 
Sendo negativo 0 valor do teste, e devido à correcção de continuidade, de~e-:e 
comparar 0 maior valor obtido com o limite inferior da RA. Assim, d~ver-se-a nao 
rejeitar a hipótese nula, ao nível de significância de 5%, o~ se1a. homens -e 
mulheres não têm opinião diferente no que concerne a importanc1a da avahaçao 
contínua. 
As hipóteses poderiam ter sido postuladas de um modo unilateral: _ 
Ho: Homens e mulheres atribuem igual importância à avaliação continua. 
Ha: Os homens dão menos importância que as mulheres à avaliação contínua, 
ou seja, considerando que X representa a opinião dos homens (grupo de menor 
dimensão) e que y representa a opinião das mulheres, 
Ho: 0x = 0y 
H8 : 0x < 0y. 
Posto desta forma, está-se perante um teste unilateral esquerdo. O ponto 
crítico, considerando um a de _Q,Q_!j,_é_(ver tabela da distribu_i9_ão Normal)_ - 1,645. 
Assim, dever-se-á não rejeitar a hipótese nula a este nível de s1gn1f~canc1~, ~u 
seja, deverá ser idêntica a importância dada por homens e mulheres a avaliaçao 
contínua. 
• 
TESTES NÃO.PARAMÉTRICOS 
4.1.2.-·Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras 
Tal como no teste de Mann-Whitney, o objectivo do teste de Kolmogorov-
-Smirnov consiste em tentar descobrir se duas amostras podem ou não ser 
consideradas como provenientes de populações com a mesma distribuição. 
Semelhante ao teste K - S para uma amostra, o teste K - S para duas 
amostras baseia-se também na noção de função de distribuição empírica (vd. 
ponto 2.2 deste capítulo). Enquanto que no primeiro se analisavam as diferen-
ças entre a função distribuição empírica e a função distribuição teórica em 
teste, no segundo o objecto de análise é constituído pelas diferenças entre as 
funções de distribuição empírica das duas amostras. 
Intuitivamente, caso as duas amostras sejam provenientes de populações 
com a mesma distribuição, espera-se que os valores de uma e outra apareçam 
indiferenciadamente, fazendo com que, em cada ponto, a diferença entre as 
funções seja relativamente pequena. 
O teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras é aplicável desde que 
a escala de medida seja pelo menos ordinal, embora o teste só seja exacto 
caso as variáveis sejam de natureza contínua. 
e 
Considerem-se então duas amostras independentes 
(X1, X2, .. ., Xn1 ) de dimensão n1, retirada da população X 
(Y1, Y2, .. ., Yn2) de dimensão n2, retirada da população Y. 
As hipóteses a testar são: 
H0: As duas amostras são provenientes de populações com a mesma 
distribuição. 
Ha: As duas amostras são provenientes de populações com distribuições 
diferentes. 
Definindo como F (x) a função de distribuição de X e G (y) a função de 
distribuição de Y, estas hipóteses podem ser colocadas de um modo mais 
formal: 
H0 : F(v) = G(v) V v 
Ha: 3 v: F(v) * G(v). 
259 
ESTATÍSTICA APLICADA 
ou 
Este teste pode ainda ser utilizado de modo unilateral: 
Ho: F(v) '.':: G(v)\f V 
Ha : 3 V: F (V) > G (V) 
H0 : F(v) 2' G(v)\fv 
Ha: 3v:F(v) < G(v). 
No primeiro caso unilateral, a hipótese alternativa exprime a noção intuitiva 
de que os valores assumidos por X são tendencialmente inferiores aos assumi-
dos por Y (e por isso a função de distribuição de X cresce «mais lentamente» 
que a de Y); no segundo caso unilateral a situação é a inversa: a hipótese 
alternativa indica que, para alguns valores de x, F(x) é menor que G (y), 
crescendo portanto mais rapidamente, indicando assim a tendência para X 
assumir valores superiores a Y. 
Sendo, tal como referenciado no ponto 2.2., (Xi: n1, X2: n1, ... , Xn1: n1) e 
( Y1 : n2 , Y2 : n2 , ... , Y n2 : n2) as amostras após ordenação, é possível definir 
as respectivas funções de distribuição amostrais, Fn, (x) e Gn, (y) que, após 
concretização, darão origem às respectivas funções de distribuição empírica, 
Sn, (x) e Sj,,(y). 
A estatística de teste vai ser construida a partir destas funções de 
distribuição amostrais: 
T = sup IFn, (v) - Gn, (v) 1 
V 
no caso bilateral, 
y+ = sup(Fn, (V) - Gn2(V)) 
V 
no primeiro caso unilateral, 
T- sup(Gn, (v) - Fn1(v)) 
V 
no segundo caso unilateral, 
~-----·-·-~ -~___,____~,,,,~- ____ ,,, --+-~'--' -~-~~----.-- ·-~--" -
donde, T = max (T , T-). 
TESTES NÃO-PARAMÊTRICOS 
A fábrica de mar~~rinas «Natura)• dispõe de duas máquinas de empacota-
mento, A e B, que ut1lrza para produzir pacotes de 250 gr. Embora as máquinas 
se1am _da mesma marca e modelo, existem dúvidas quanto ao facto de estarem 
a funcronar de modo idêntico. 
« Foram rec~lhid.as, de m~do aleatório, duas amostras de pacotes de 250 gr de 
Natur~)), a pnme~ra ~roven1ente da máquina A e com 9 elementos e a segunda, 
provenrente da maquina B e de dimensão 1 o. 
Os resultados obtidos foram os seguintes (após ordenação): 
Origem Peso de cada pacote de margarina 
Máq.A 245 247 247 249 249 249,5 250 251 251 
Máq. B 246,5 248 248 248,5 250 250,5 252 252 252,5 254 
Pretende-se saber se as máquinas estão ou não a funcionar de modo idêntico 
Seja · 
1) X - peso em gramas de um pacote, dito de 250 gr, de «Natura» empaco-
tado na máquina A. ' 
Y - peso em gramas de um pacote, dito de 250 gr, de ((Natura)> empaco-
tado na máquina B. ' 
ii) F (X) - função de distribuição de X. 
G (y) - função de distribuição de Y 
iii) (X,, X2, ... , Xg) amostra aleatória de dimensão 9, retirada da população x 
(Y,, Y2, ... , Y10) amostra aleatória de dimensão 10, retirada da população y 
que, após ordenação, se transformam em (X1 . X . x J . 9, 2. 9, ... , 9: 9 
e (Y1: 'º' Y,: 'º' ... , Y10: rn) 
261 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------------~t~. -· e saller se-as·máquinas-se-oomportam.de.modo_ --·--~ Dado que o que es a em Jogo 
1 
' 
'1 
1.1 
1 
,l 262 
idêntico, ou não, as hipóteses a testar serão: 
Ho: F(v) = G(v) V v 
H8 :3 v: F(v)* G(v). 
Como visto, a estatística de teste será 
T = sup IFg (V) - G,o (V) 1 
V 
e a sua concretização, 
t= max1S9 (v) - s;o(v)I. 
V 
Consultando a tabela referente a este teste em anexo e assumindo um nível 
de significância de 5o/o, obtém-se o ponto crítico 
26 
W0,95; 9; 10 = 45 = 0,58. 
Assim, a regra de decisão será: 
Rejeitar Ho se t ;e 0,58 
Não rejeitar Ho se t < 0,58. 
Calcule-se então o valor da estatística de teste 
-
V Sg (V) Sfo (v) Sg (v) - Sfo (V) 
245 0,11 o.o 0, 11 
246,5 0, 11 0, 1 0,01 
247 0,33 0,1 0,23 
248 0,33 0,3 0,03 
248,5 0,33 0,4 -0,07 
249 0,56 0,4 0,16 
249,5 0,67 0,4 0,27 
250 0,78 0,5 0,28 
250,5 0,78 0,6 0,18 
251 1,00 0,6 0,40 
252 1,00 
. 
· 0;0· -~ -·-- 0,20 
252,5 1,00 0,9 0,10 
254 1,00 1,0 o 
,· 
!j 
Jl 
J! 
~; 
.]!' 
!-:. 
"''' 
'" 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Assim, o valor da estatística de teste é: 
t = 0,4 
e, portanto, a decisão consiste em não rejeitar a hipótese nula, ao nível de 
significância considerado. Consequentemente, não deverão existir diferenças no 
empacotamento, entre as duas máquinas. 
• 
Resta apenas acrescentar que, se as amostras forem grandes (valores não 
tabelados de n1 e n2), pode-se utilizar a aproximação que a seguir se indica: 
onde r depende do nível de significância assumido. Por exemplo, para um teste 
bilateral, e com a= 0,05, o valor de r será 1,36 (vd. Tabela em anexo). 
4.2. Teste à igualdade de distribuições 
em mais de duas amostras independentes -
- o teste de Kruska/1-Wa/lis 
Este teste é usualmente aceite como uma alternativa não-paramétrica à 
Análise de variância simples. 
Pretende-se verificar se k amostras aleatórias independentes podem ou não 
ser consideradas como provenientes de populações com a mesma distribuição. 
Assim, as hipóteses podem ser postuladas como: 
Ho : As k populações partilham a mesma distribuição. 
H8 : Pelo menos uma das populações tem distribuição diferente das res-
tantes, dando origem a valores tendencialmente superiores. 
263 
TESTES NÃO-PARAMÊTRfCOS 
ESTATÍSTICA APLICADA iíi 
IH 
o modo como o teste é construído torna-o especialmente s.;ns-ív-elà~--·----ti,,___- iffiiffi~~~~~~~~~~hl~~kâlG~&li1i~~cJ~tl~'·B~f: ;··---·--~ ' ---
diferenças de medidas de localização, em especial às diferenças entre as 
medianas das k populações. Assim, e em alternativa, as hipóteses são Iam-. 
bém por vezes colocadas da seguinte forma: 
264 
Sendo ei a mediana da j-ésirna população, 
Ho : 01 = 02 = = 8k 
Ha : 3 i, j: 8; * 0i. 
o teste de Kruskall-Wallis é uma generalização, para k > 2 amostras, do 
teste de Mann-Whitney, anteriormente apresentado. Tal como este, a estatística 
de teste baseia-se nos postos das observações (vd. ponto 4.1.1.) e como tal 
a variável em estudo (nos diferentes grupos) terá de ser pelo menos de nível 
ordinal. 
Suponha-se então a existência de k populações X1, X2, .. , Xk, das quais 
foram retiradas k amostras aleatórias: 
(X11 , X12, ... , X101 ) da população X1 
(X21. X22 ... ·, X2,,, ) 
(X1<1, X1<2 • ... , xk,, l 
da população X2 
da população xk 
e ainda que existe independência, não só entre os elementos de cada amostra, 
como também entre elementos de amostras distintas. 
A atribuição de postos às diferentes observações é feita nos mesmos 
moldes que no teste de Mann-Whitney: 
Ordenem-se as k amostras conjuntamente. A observação de mais baixo 
valor tomará o posto 1, a segunda o posto 2 e assim sucessivamente. Caso 
existam empates, será atribuído o mesmo posto às observações empatadas. 
Este é a média aritmética dos postos que lhes corresponderiam se tais empa-
tes não existissem. 
No caso de apenas três grupos, em que o tamanho dos grupos não exceda 
5 e não existam empates entre os grupos, os valores de diferentes quantis da 
distribuição exacta do teste encontram-se na tabela em anexo. Nas outras 
situações, utiliza-se como distribuição aproximada a Qui-quadrado com k- 1 
graus de liberdade. Esta distribuição funciona bem, mesmo para amostras 
pequenas, embora neste caso tenda a tornar o teste conservativo. 
Tendo determinado o quantil apropriado, 11 - a, rejeitar-se-á Ho ao nível de 
significância a se o valor calculado da estatística de teste a ele for superior, 
isto é, 
Rejeita-se H0 se T > 11 _" . 
Num estudo efectuado por uma TV privada, uma das questões colocadas foi: 
«Concorda que os filmes estrangeiros exibidos na televisão devam ser dobrados 
em português?». As respostas foram codificadas de 1 (discordo totalmente) a 10 
(concordo totalmente). Os respondentes foram também classificados segundo o 
265 
ESTATÍSTICA APLICADA 
seu nível de escolaridade: 1 = mal sabe ler/escrever, 2 - escôlaridade-básica-e---
3 = escolaridade média ou superior. 
Numa pré-amostra de 14 indivíduos, dos quais 4 com o nível de escolaridade 
1, e 5 em cada um dos outros dois níveis, obtiveram-se os seguintes resultados: 
Níveis de escolaridade 
Nível 1 Nível 2 Nível 3 
10 6 10 
B B 5 
9 6 7 
10 10 4 
1 2 
Será possível afirmar que o desejo dos portugueses em terem filmes dobrados 
varia com o nível de escolaridade que possuem? 
Existem então três grupos de indivíduos, correspondentes aos três níveis de 
escolaridade considerados. As hipóteses em teste podem ser: 
Ho: As opiniões dos indivíduos sobre a dobragem dos filmes tem a mesma 
distribuição qualquer que seja o seu nível de escolaridade. 
Ha: Existe pelo menos um dos grupos onde a opinião dos indivíduos é mais 
favorável à dobragem dos filmes do que nos restantes grupos. 
A estatística de teste será, neste caso, 
1 [ 3 R·2 
T= S2 .L rt- -
1 = 1 
n; 
L R(Xq)2 -
j = 1 
14 X 15
2 
} 4 . 
Assumindo-um-nível-de-signiiicância-a .. =--0,05,_e_cpmQ.JJ1 = 4 
e "2 = n3 = 5, mas existindo empates entre os grupos, utiliza-se a distribuição 
2 
X(2J· 
Assim, tem-se RC = [ 5,99; + = [ e RA = [O; 5,99 [ . 
TESTES NA.O-PARAMÉTRICOS 
:-:.1 
'---------Calcule-se agora o valor do teste: 
Grupo 1 Gru lf1 2 Grupo 3 
Valor Posto Valor Posto Valor Posto 
10 12,5 6 5,5 10 12,5 
B B,5 B B,5 5 4 
9 10 6 5,5 7 7 
10 12,5 10 12,5 4 3 
1 1 2 2 
1 n; R; 4 43,5 5 33,0 5 28,5 
s 2 = 17,04 t = 3,86. 
Como t= 3,86 < 5,99, então t E RA, isto é, não se rejeita a hipótese nula. 
Não há evidência estatística que permita concluir que a opinião dos indivíduos 
sobre a dobragem de filmes seja influenciada pelo seu nível de instrução. 
• 
Suponha-se agora que o caso anterior (exemplo 16) correspondia a uma fase 
preliminar do inquérito, e que, entretanto, mais respostas foram recolhidas. Adi-
cionando os novos casos aos anteriormente já obtidos, a amostra agora em 
análise é (indica-se já o posto determinado para cada elemento) a seguinte: 
Gru'o 1 Gru[){) 2 Grupo 3 
Valor Posto Valor Posto Valor Posto 
10 26 6 15,5 10 26 
B 19 B 19 5 13 
9 22 6 15,5 7 17 
10 26 10 26 4 10,5 
10 26 1 1,5 2 4,5 
9 22 2 4,5 1 1,5 
9 22 5 13 2 4,5 
B 19 5 13 3 B 
3 B 3 B 
4 10,5 2 4,5 
267 
ESTATÍSTICA APLICADA 
268 
As hipóteses a testar são as mesmas, ou seja: 
Ho: As opiniões dos indivíduos sobre a dobragem dos filmes tem a mesma 
distribuição, qualquer que seja o seu nível de escolaridade; 
Ha: Existe pelo menos um dos grupos onde a opinião dos indivíduos é mais 
favorável à dobragem dos filmes do que nos restantes grupos. 
A estatística de teste, neste caso, é 
l 3 R2 1 . T = S2 _L ---/;: -1 = 1 
n, 
L_ R(Xij) 2 -
j = 1 
Ter-se-á de utilizar agora a aproximação pela distribuição do Oui-quadrado. 
Assim, o ponto critico será, para um a de 0,05, 
x:f.ogs = 5,99 
e RC = [ 5,99; + = l RA = [O; 5,99 [ 
Calcula-se facilmente 
R2 = 126,5 
donde t = 12,05. 
Assim te AC e dever-se-á rejeitar H0 . Assim, a opinião dos indivíduos sobre 
a dobragem ounão dos filmes estrangeiros é influenciada pelo seu nível de 
escolaridade. 
• 
TESTES NÃO·PARAMÊTRICOS 
Este· procedimento corresponde a efectuar ( ~) testes cujas hipóteses po-
dem ser postas, genericamente, para um certo par de grupos (i, j), i * j, 
como: 
H0 : A distribuição na população i é idêntica à distribuição na população j, 
Ha : A distribuição na população i é diferente da distribuição na população j, 
ou ainda, assumindo mais uma vez que Br é a mediana da população r, 
H0 : 0i = 0i 
Ha: 8; * 8i. 
Para se conseguir um nível global de significância de a poder-se-á utilizar 
a regra de decisão que a seguir se apresenta. 
Continuando o exemplo anterior, viu-se que, naquele caso, a hipótese nula era 
rejeitada, isto é, tinha-se chegado à conclusão que a opinião sobre a dobragem 
dos filmes estrangeiros dependia do nível de escolaridade dos indivíduos. Para 
tentar saber quais os grupos que diferem (e em que sentido) é necessário calcular 
as diferenças J Ri/ ni - Rj I nji para todos os pares (i, i). 
269 
ESTAT{STICA APLICADA 
,, r~; 
,', -----------
~! 
270 
t (n- k; 1-a/2) = t (25; 0,975) = 2.o5 ; 
como 5 2 = 66,76 e T = 12,05, as comparações possíveis são 
Comparação IR;ln; - RJnil Valor crítico 
1com2 10,1 6,18 
1com3 13,0 6,18 
2 com 3 2,9 5,82 
Note-se que o ponto crítico, para cada comparação, depende da dimensão 
das amostras em jogo. Assim, nos dois primeiros casos, uma das amostras tem 
dimensão 8 e a outra 1 O, sendo o ponto crítico igual nos dois casos. 
A um nível de significância global de 5% pode-se concluir que o grupo 1 difere 
não só do 2 como também do 3, enquanto que os grupos 2 e 3 não diferem entre 
si. Inserindo no contexto, os indivíduos com escolaridade mais baixa dão mais 
importância à dobragem dos filmes para português do que os restantes (esse 
grupo apresenta o maior score global). A diferença de scores globais entre os 
indivíduos com escolaridade básica e os com escolaridade média ou superior não 
pode ser considerada como estatisticamente significativa, assumindo-se assim 
que têm posições semelhantes em reiação a este assunto. 
• 
Comparações entre duas 
amostras emparelhadas 
li 
~ 
, Quando um mesmo indivíduo é exposto a duas situações diferentes, ou 
<d' li sujeito a dois tratamentos sequenciais com o mesmo objectivo, ou quando 
t1: indivíduos o mais possível idênticos são sujeitos a estímulos diferentes (por 
,~· exemplo, estudo da influência do meio social através de gémeos), obtêm-se o 
11: 
que usualmente se designa por amostras emparelhadas. Vejam-se alguns 
exemplos: 
Caso 1: Pretende-se estudar o efeito de um debate eleitoral entre o partido 
do governo e o maior partido da oposição na opinião política do eleitorado. 
Para tal pediu-se a um grupo de indivíduos que expressassem a sua preferên-
cia entre os dois partidos, antes e depois do referido debate. A amostra assim 
obtida é emparelhada: consiste em pares de preferências, um par para cada 
indivíduo entrevistado. 
Caso 2: Uma empresa de pratos pré-cozinhados costuma preparar o seu 
"Bacalhau à Braz,, segundo uma receita que utiliza há já vários anos. Pensa 
que se passar a adicionar menos sal, o seu prato passará a ser mais apreciado. 
Para tal escolheu um painel de consumidores, aos quais entregou dois pratos, 
um deles confeccionado com a receita tradicional, o outro com a nova, pedin-
do-lhes que ordenassem as suas preferências. Obteve assim uma amostra, 
onde (1,2) significa que a pessoa preferiu o primeiro ao segundo, e (2, 1) o 
inverso - este é ainda o caso de uma amostra emparelhada. 
Caso 3: Pretende-se estudar o efeito no consumo de gasolina, de um novo 
lubrificante para automóveis. Assim, tomaram-se um conjunto de veículos, com 
os respectivos condutores, fazendo-os realizar um dado percurso duas vezes: 
da primeira com o carro lubrificado tradicionalmente, da segunda com o novo 
lubrificante. Mantendo-se o mesmo percurso e os mesmos automóveis com os 
mesmos condutores, a única diferença reside no lubrificante - obtém-se uma 
amostra emparelhada de consumos. 
271 
1 
L 
-'''!, 
ESTATiSTJCA APLICADA 
Em qualquer destes exemplos, não existe independência entre as duas 
amostras obtidas, não se podendo assim recorrer aos testes já apresentados 
para duas amostras independentes. 
Consoante o tipo de variáveis em estudo e o objectivo que se pretende 
atingir, o teste a aplicar varia. Neste ponto ir-se-ão abordar três testes comum-
mente aplicados neste contexto: o teste de McNemar (ou de mudança de 
opinião) - que poderia ser aplicado ao primeiro caso - o teste do sinal, 
enquadrável no segundo caso, e o teste de Wilcoxon, aplicável ao terceiro caso 
apresentado. 
5. 1. Teste de McNemar ou de mudança de opinião 
272 
Este teste é aplicável a situações em que é possível definir duas situações, 
designadas por antes e depois, em que cada indivíduo é avaliado ou inquirido 
em dois momentos temporais separados por um determinado acontecimento 
e onde essa avaliação dos indivíduos é feita utilizando uma variável dicotómica. 
É o caso já citado em que a preferência dos indivíduos entre o partido do 
governo e o da oposição é avaliada antes e depois de um importante debate 
eleitoral. É ainda o caso do estudo da acção de um medicamento, em que um 
grupo de indivíduos é avaliado após a toma de placebo, e após a toma do 
medicamento em estudo. 
Assumindo que X representa a classificação de um indivíduo no primeiro 
momento e Y a sua classificação no segundo momento, e que estas classifi-
cações são dicotómicas, podendo por isso ser codificadas em O e 1, cada par 
de observações só pode ser (0,0), (O, 1 ), (1,0) e (1, 1 ), onde o 2º e 3º casos 
correspondem a situações de «mudança de classificação», que são as que se 
pretende analisar. 
Pretende-se saber se o acontecimento que medeia os dois momentos de 
avaliação influencia ou não o comportamento dos indivíduos. Se não influen-
ciar, espera-se que o número de indivíduos cuja classificação se altera num 
sentido seja estatisticamente igual ao número de indivíduos cuja classificação 
se altera· no outro sentido. Assim, as hipéJteses podem ser colocadas como: 
Ho: P [X; = O, Y; = 1 ] = P [X; = 1; Y; = O], li i 
Ha: P[X; =O, Y; = 1] * P[X; = 1; Y; =O], para algum i. 
,. 
' 
T-· 
TESTES NÃO·PARAMÉTR/COS 
. A organização do teste passa pela construção de uma tabela de contingên-
cia 2. x 2 onde numa das marginais estão as classificações poss1ve1s no 
pnme1ro momento de avaliação, e na outra, as classificações do segundo 
momento: 
~s Y=O y = 1 
s 
X=O A B 
X = 1 e D 
~nde, por e_xe':'.'plo, A representa o número de indivíduos na amostra que 
tiveram aval1açao O antes e depois do acontecimento em análise (ou seja nos 
dois momentos de avaliação). 
Concretizando para os exemplos introduzidos: 
- no pr_imeiro, A representa o número de indivíduos que, quer antes quer 
depois do debate, preferem o partido do governo; 
- no s~g.undo, se. o O representar que o doente não melhorou, e 1 o 
contrario, A sera o número de doentes que não melhoraram nem após 
a toma de placebo, nem após a toma do medicamento em estudo. 
Os restantes valores, 8, C e D podem ser interpretados de modo similar. 
273 
ESTATÍSTICA APLICADA 
--------cimsidere~se-n = BTe-e-ix-o-nivel-de-significância-(aproximado)-que ·se 
deseja. A escolha do teste e a respectiva regra de decisão associada podem 
ser resumidas do modo que se segue: 
274 
Se n ,; 20: 
A estatística de teste a utilizar é T2 =. 8. 
A distribuição desta estatística, sob H0, é a de uma binomial com 
parâmetros n = 8 + C e p = 0,5. 
Seja a1 o valor mais próximo de a/2 tal que P[T2 ,; I] = a1. 
Rejeita-se Ho ao nível a' = 2a1 se T2 ,; t ou T2 2'. n - t. 
Caso contrário, não se rejeita Ho ao nível a'. 
Sen>20: 
O teste a utilizaré T1 = 
(8 - C) 2 
8 + C 
Pode-se utilizar a correcção de continuidade Ti = (18-Cl-1)
2 
8+C 
A distribuição desta estatística é aproximada à de Oui-quadrado 
com 1 grau de liberdade. Sendo to quantil de probabilidade 1 - a 
da distribuição referida, rejeita-se H0 ao nível a se T1 2'. t 
(ou T{ ;,, t, se se utiliza a correcção de continuidade). Caso contrário, 
não se rejeita H0 . 
Retomando o exemplo que tem vindo a ser seguido, suponha-se que 55 
indivíduos foram inquiridos no âmbito de um estudo encomendado por um jornal 
diário de grande circulação, sobre as suas preferências entre o partido que está 
no governo e o maior partido da oposição, antes e depois de um importante 
debate televisivo entre os respectivos líderes. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Os resultados encontram-se sumariados no quadro seguinte: 
~ Prefere s 
Governo Oposiçáo 
Prefere Governo 20 12 
Oposição 8 15 
Apenas 12 + 8 = 20 indivíduos mudaram de opinião após o debate. Será 
que se pode admitir que o número de mudanças 
Governo ---t oposição 
Oposição --> governo 
são estatisticamente iguais, levando a concluir que o debate não alterou substan-
cialmente o quadro político? 
As hipóteses em teste são: 
Ho: P (governo --> oposição) = P (oposição--> governo) 
Ha: P (governo --> oposição) o; P (oposição --> governo) 
ou seja, definindo 
X = O se o indivíduo prefere o partido que está no governo, antes do debate 
X = 1 se o indivíduo prefere o partido da oposição, antes do debate 
e de igual forma, Y = O e Y = 1, para as posições após o debate, 
Ho:P(X; =O; Y; = 1) = P(X; = 1; Y; = O)Vi 
Ha:P(X; =O; Y; = 1) o; P(X; = 1; Y; =O) para algum i 
Dado que o número de mudanças de opinião, B + C, é 20, utilizar-se-á a 
segunda estatística de teste, T2 = B que, sob H0 , segue distribuição binomial 
com n = 20 e p = 0,5. 
Suponha-se que o nível de significância desejado ronde os .5o/o. 
Consultando a tabela da binomial em questão, verifica-se que 
p [ b (20; 0,5) $ 5 1 = 0,0207 
p [ b (20; 0,5) $ 6 1 = 0,0577 
donde t = 5 porque é o valor que dá origem a probabilidade mais próxima de 
0,025 = a/2. A decisão será não rejeitar Ho dado que T2 = 12 > 5 e 
T2 = 12 < 15, isto é o debate televisivo não deverá ter influenciado a opinião 
dos leitores. 
275 
l 
' 
~ i 
:! 
li 
:1 
ESTATÍSTICA APLICADA 
276 
O nível designiflcãi'iCiamal-será-então-2a1-=-2-x-O,OWZ = _Q,OAtL ___ _ 
Simultaneamente, um outro jornal, um semanário de grande tiragem, tinha 
encomendado o mesmo estudo a uma outra empresa de estudos de mercado. 
Esta tinha inquirido igualmente 55 indivíduos, mas as suas respostas tinham sido: 
~ Prefere Antes 
Governo Oposição 
Prefere Governo 10 22 
Oposição 10 13 
O que concluiu esta outra empresa? 
Neste caso, onde n = B + C = 22 + 1 O = 32, opta-se pela estatística 
2 
T1 11 X (1) • 
As hipóteses a colocar são idênticas ao anteriormente apresentado: 
Ho: P(X;= O;Y;= 1) = P(X;= 1; Y;= O) Vi 
H
8
: P(X; =O; Y; = 1);, P(X; = 1; Y; =O) para algum i 
e a estatística de teste é 
(B - C) 2 0 2 
r1 = 8 + e n xc1) 
Assumindo um nível de significância de 5°/o, tem-se, após a consulta da tabela 
do Qui-quadrado, 
RC = [ 3,84; + ~ [ RA = [O; 3,84 [ 
O valor do teste é T1 = (22 - 10)2 /34 = 4,2 E RC. 
Assim, esta outra empresa de estudos de mercado é conduzida à rejeição da 
hipótese nula, ao nível de significância de 0,05, ou seja, chega à conclusão que 
o debate televisivo influenciou a posição dos indivíduos perante os partidos consi-
derados. Como o número de mudanças governo ~ oposição é maior do que o 
-·íiumerô-de· mudanças oposição---;--governo, e,-dado o resultado do teste, esta 
diferença é significativa, então pode-se também concluir que o partido que está 
no governo «perdeu terreno)) após o debate. 
• 
! 
' i. 
l' 
! 
' 
TESTES NAO·PARAMÉTRICOS 
5.2. Teste do sinal 
O teste do sinal é o teste não-paramétrico mais antigo de que há conheci-
mento, tendo as suas origens no século XVIII. 
Utiliza-se em situações em que se pretende testar se uma das variáveis de 
um par (X, Y) tende ou não a ser superior à outra. 
Em cada par (X;, Y;) é feita uma comparação, e o par é classificado como 
«+» se X; é preferido a Y; 
((-)) se X; é preterido a Y; 
o se X; e Y; são indiferentes (caso de empate). 
. Definindo ~(+)como a probabilidade de obter um par«+» e p H de modo 
s1m1lar, as h1poteses deste teste podem ser postas como: 
Ho: P(+) = P(-) 
Ha: P(+);, P(-). 
As hipóteses podem também ser postuladas de um modo unilateral. Assim, 
se se pretender tomar como alternativa que X tende a ser preferido a Y, será: 
Ho: P(+) 5 P(-) 
Ha: P(+) > P(-). 
s.e _se pretender tomar como alternativa que X tende a ser preterido a 
as h1poteses serão: Y, 
Ho: P(+) ;o: P(-) 
H8 : P(+) < P(-). 
277 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Caso n seja superior a 20, pode-se utilizar a aproximação 
binomial dada pela Normal. Dado que p = 0,5, tem-se que 
n n 
E[T] = 2 e Var[T] = 4 
e consequentemente, 
A N (0,1). 
à distribuição 
Assim, rejeitar-se-á Ho ao nível de significância o: se T, " z, -u/2 ou 
T, s - z
1 
_a ,z onde z
1 
_a 12 é o quantil de probabilidade 1 - u/2 de uma 
distribuição normal-padrão. 
A adaptação ao caso unilateral dada é evidente: 
- Se o teste for unilateral direito (Ha: P (+) > P (-)) então rejeita-se Ho se 
T1~Z1-«; 
- Se o teste for unilateral esquerdo (H8 : P (+) < P (-)) então rejeita-se 
Ho seT, s z1-a· 
Caso n seja inferior ou igual a 20, a construção da regra de decisão é como 
a apresentada no teste de McNemar, caso o teste seja bilateral, e que a seguir 
se descreve: 
Seja u 
0 
nível de significância desejado. Consulte-se a tabela da binomial 
com p = 0,5 e n, número de casos sem empates, e tome-se o valor w,, 
tabelado, tal que P [T S w,] = a, = a/2. 
O nível de significância real será 2a1 = a. 
Rejeite-se Ho ao nível 2a1 se T s w1 ou T ;:, n - w,; caso contrário, 
não se rejeite H0 . 
Se o teste for unilateral direito (Ha: P (+) > P (-)), seja w, tal que 
p [-T s--w
1 
) = .u
1 
=· a. O nível.de. sjgnilicância real é a, e rejeita-se Ho a esse 
nível se T;:, n - w1. 
Se o teste for unilateral esquerdo (Ha: P (+) < P (-)),determinando w, nas 
mesmas condições, rejeita-se H0 caso T S w,. 
,,, 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
Uma empresa de pratos pré-cozinhados costuma preparar o seu «Bacalhau 
à Braz» segundo uma receita que utiliza há já vários anos. Pensa que, se passar 
a adicionar menos sal, o seu prato passará a ser mais apreciado. Para tal 
escolheu um grupo de 30 agregados familiares, aleatoriamente determinados, aos 
quais entregou dois pratos, um deles confeccionado com a receita tradicional, o 
outro com a nova, pedindo-lhes que ordenassem as suas preferências. 
Os resultados obtidos, já tratados, foram os seguintes: 
Número de casos em que a receita original foi preferida 8 
Número de casos em que a receita original foi preterida 15 
Número de empates 7 
As hipóteses a testar são: 
Ha: Não existe diferença entre a preferência pela receita tradicional e a nova, 
com menos saf, 
Ha: A receita tradicional é considerada menos agradável que a nova, com 
menos sal; 
ou seja, Ho: P (+) ;, P (-) 
Ha: P (+) < P (-). 
Neste caso, n = 8 + 15 = 23 > 20. 
O número de casos sem empates é superior a 20, pelo que se utiliza a 
aproximação à Normal. 
O teste é unilateral esquerdo e, tomando a = 0,05, tem-se - z1 _ ª = -1,645. 
O valor da estatística de teste é 
T - _!!_ 8 - 23 
T, 
2 2 
{fJ {23 = -1,46. 
2 2 
Como -1,46 > - 1 ,645, não se rejeita Ho a este nivel de significância isto é 
' ' 
neste contexto, não existe evidência estatística suficiente que permita afirmar que 
a receita com menos sal agradou mais. 
• 
279 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
ESTATÍSTICA APLICADA 
---------Ili<'~';._º-- De seguida, e de um modo similar ao utilizado nos testes acima referidos 
atribui-se a cada diferença o- um posto R, d d • 5.3. Teste de Wilcoxon 
O teste abordado no ponto anterior (teste do sinal) leva à perda de bastante 
informação se as variáveis em estudo, mesmo sendo apenas ordinais, assu-
mirem um leque variado de valores. 
De facto, no teste do sinal são apenas contabilizados os casos em que uma 
variável assume valores inferiores, iguais ou superiores à outra, não se toman-
do em consideração a intensidade dessas diferenças. 
O teste de Wilcoxon, baseado na noção de posto, tal como os já abordados 
testes de Mann-Whitney e de Kruskal-Wallis, permite incorporar a amplitude 
das diferenças existentes entre as duas variáveis, X e Y, em estudo. 
Suponha-se então a existência de uma amostra emparelhada de observa-
ções, (X;, Y; ), do par (X, Y), 
(X1, Y1) (X2, Y2) (X3, Y3) ... (Xn1, Ynü 
que constitui uma amostra aleatória bivariada e onde X e Y são, pelo menos 
teoricamente, variáveis contínuas. 
As hipóteses subjacentes ao teste de Wilcoxon podem ser postuladas da 
seguinte forma 1: 
Ho:E[X] = E[Y] 
Ha: E[X] * E[Y] 
caso os respectivos valores esperados existam, e visto supor-se de uma 
amostra aleatória bivariada; se não, as hipóteses podem apenas ser postuladas 
em termos das medianas de X e de Y. 
Este teste pode assim ser encarado como uma alternativa não-paramétrica 
ao teste t para a diferença de médias em amostras emparelhadas. 
Para construir a estatística de teste respectiva é necessário passar, em 
primeiro lugar, para a amostra de diferenças 
D; = ( Y; - X;) i = 1, .. ., n1 
e retirar da análise todos os pares com diferença nula, isto é, passar para a 
·amostra deaiterença:s-(Of,--o:r,--;;:~-en)--onde--0;--*- O e onde n s n1, eviden-
temente. 
1 As hipóteses podem também ser postuladas de modo unilateral. 
i:: 
" 1:• 
1 ; e acor o com o seu valor 
absoluto: assim, .ªº par com 1 O; 1 mais baixo será atribuído o posto 1, ao 
segund~ mais ~a1xo, o posto 2, e assim sucessivamente. Caso existam empa-
tes, sera atribu1do a cada observação empatada o posto médio dos que lhes 
caberiam ~aso tais empates não existissem (vd., por exemplo o ponto 4 1 
deste capitulo). ' · · 
Finalmente o posto co · 1 R b ' m sina ' ;. ase da construção da estatística de 
teste, é obtido para cada par (X;. Y;) com D; * O da seguinte forma: 
D· 
."l; = W Rf. 
Note-se que D;llD; 1 = 1 se a diferença (Y; - X;) for positiva, e será -1 
se tal diferença for negativa. 
Caso não existam empates é possível determinar a distribuição exacta da 
-+---·estatística de teste T+ = L R; ' alternativa a T para este caso. 
D;>O 
281 
ESTATÍSTICA APLICADA 
282 
filo entanto~optou=se-aqui-pela-aproximaçãe-sistemática-à-distribuição_Nor=---E-­
mal (que é sempre válida caso haja empates ou o número de pares em análise 
seja grande}. Tem-se assim que, sob Ho, 
L R; 
T- --r===-
- 'Í2, Rf 
o 
n N(0,1) 
e a regra de decisão é a usual nestes casos, tomando em atenção se o teste 
é bilateral ou unilateral. 
Tome-se atenção ao modo como D; é construído: D; = Y; - X;. 
Regra de decisão: 
i) Teste bilateral 
Ho: E(Y) = E(X) 
Ha:E(Y) * E(X). 
Seja a o nível de significância desejado e z1 _a 12 o quantil 
de probabilidade 1 - a/2 de uma normal-padrão. 
Rejeite-se Ho ao nível a se T > z1 _a 12 ou T < - Z1 _a 12 · 
ii) Teste unilateral direito 
Ho: E(Y) ,; E(X) 
Ha:E(Y) > E(X) 
Seja a o nível de significância desejado e z1 _a o quantil 
de probabilidade 1 - a de uma normal-padrão. Então: 
Rejeite-se Ho ao nível de significância a se T > z1 _a· 
ííi) Teste unilateral esquerdo 
Ho:E(Y) ~ E(X) 
Ha: E(Y) < E(X) 
Seja a o nível de signilicância_de_sJ)jªdo_E)_?a o quantil de probabilidade 
a de uma normal-padrão. Então: 
Rejeite-se Ho ao nível de significância se T < Za . 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
São distribuídos a cada um de 30 agregados familiares aleatoriamente esco-
lhidos duas embalagens de «Bacalhau à Braz>), uma fabricada segundo a receita 
tradicional, e outra segundo a nova receita, com menos sal. Pediu-se que classi-
ficassem cada uma das respectivas receitas numa escala de o a 10 (os inquiridos 
não tinham conhecimento das diferenças entre as embalagens). Os pares de 
resultados (X;, Y;) obtidos foram os seguintes: 
(8; 7) (9; 7) (5; 3,5) (4; 2,5) 
(3; 7,5) (3,5; 7,5) (4; 9,5) (5; 10) 
(7; 10) (7; 10) (7; 7) (5; 5) 
(6; 1) (9; 5) (7; 6,5) (2; 6) 
(6; 9,5) (6,5; 7,5) (7; 7,5) (7,5; 10) 
(8; 8) (5; 5) (6,5; 6,5) (4; 4) 
com Xi - classificação segundo a receita tradicional 
Yi - classificação segundo a nova receita. 
As hipóteses em teste são: 
(10; 7,5) 
(5,5; 9) 
(4; 4) 
(2,5; 5) 
(7; 10) 
(8; 8) 
Ha: a classificação média do «Bacalhau à Braz» segundo a receita tradicional 
é pelo menos igual à classificação média do prato com a nova receita; 
Ha: a classificação média do «Bacalhau à Braz» da nova receita é melhor que 
a da receita tradicional, 
ou seja 
Ho: E(Y),; E(X) 
Ha: E(Y) > E(X). 
A tabela que se segue inclui já, para além das classificações obtidas nos dois 
pratos para cada uma das 30 famílias, a diferença de classificação obtida (O;) e 
o respectivo posto com sinal. 
283 
ESTATÍSTICA APLICADA 
Tradicional Nova 
(X;) (Y;) 
8 7 
7 10 
9 7 
2 6 
5 5 
2,5 5 
3 7,5 
6 6 
5 3,5 
3,5 7,5 
4 2,5 
4 9,5 
5 10 
8 8 
5,5 9 
10 7,5 
6 1 
9 5 
1 1 
6 9,5 
6,5 7,5 
7 7,5 
7 10 
3 3 
5 5 
7 6,5 
7,5 10 
7,5 10 
-·-··---·----- . 10 ... ·10 
7 10 
284 
Dr= Yi- X; 
-1 
3 
-2 
4 
o 
2,5 
4,5 
o 
-1,5 
4 
-1,5 
5,5 
5 
o 
4,5 
-2,5 
-5 
-4 
o 
3,5 
1 
0,5 
3 
o 
o 
-0,5 
2,5 
2,5 
- ---- -- -· .... 
- 0---
3 
R; 
-3,5 
13 
-7 
17 
n.a. 
9,5 
19,5 
n.a. 
-5,5 
17 
-5,5 
23 
21,5 
n.a. 
19,5 
-9,5 
-21,5 
-17 
n.a. 
15 
3,5 
1,5 
13 
n.a. 
n.a. 
-1,5 
9,5 
9,5 
n.a. 
13 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
-70 + 203 
~ 4183,5 = 2,06. 
Sendo o teste unilateral e RCU direitos, rejeita·se a hipótese nula, com um 
nível de significância de 0,05, se T > Zo,95 = 1,645. 
Como T = 2,06 > 1,645, então rejeita·se H0 , ou seja, a nova receita deve 
obter maior aceitação junto dos consumidores. 
Note-se que a conclusão foi contrária à obtida com o teste do sinal: de facto, 
a situação era igual, em termos do número de famílias que preferiam uma ou o 
outra receita. Só que, dado que o teste de Wilcoxon engloba igualmente a ampli· 
tude das diferenças, torna-se muito mais «rico)> em termos da informação consi-
derada (vd. exemplo 19). 
• 
285 
Exercícios propostos 
286 
1. o recenseamento de 320 famílias com 5 filhos conduziu aos seguintes resul-
tados: 
Rapazes 5 4 3 2 1 o 
Familias 18 56 110 88 40 8 
Verifique se estes resultados são compatíveis com a hipótese do número de 
rapazes numa família de 5 filhos ser uma variável aleatória ~o~ ~ist~ibuição 
binomial, admitindo a equiprobabilidade dos sexos, ao nível de s1grnficanc1a 0,01. 
R:Sim. 
2. uma empresa vende cilindros de gás comprimido em caixas de 20 cilindros. 
Ocasionalmente, um cilindro pode ser defeituoso, isto é, ter pressão demasiado baixa. 
o responsável pelo controlo de qualidade da empresa garante que o numero 
de cilindros defeituosos por caixa é muito baixo e que a probabilidade de se 
encontrar numa caixa um cilindro defeituoso é de 0,05. 
Teste a afirmação do responsável (com a ~ 0,05), sabendo que foram esco-
lhidas de forma aleatória 1 oo caixas cujos resultados foram os seguintes: 
Nº de cilindros o 1 2 3 4 5 6 ou+ 
defeituosos por caixa 
N11 de caixas 39 34 20 4 1 2 o 
observadas 
R: O responsável deve ter razão.3. A loja .. vende Muito» tem verificado nos últimos anos que 35º/o dos seus 
clientes pagam as suas compras com cheque, 48º/o com cartão de crédito ~ 
apenas 17o/o fazem pagamentos em dinheiro. Uma amostra de 200 vendas reali-
zadas na semana anterior ao Natal revelou os seguintes resultados: 
Cheque Cartão Dinheiro 
Nº de vendas 47 116 37 
será que o tipo de pagamento qu-e os-élieiites da «Vende Muito" utilizam na 
época natalícia é concordante com a informação que a loja tem? 
R: o tipo de pagamento na época natalícia deve ser distinto do habitual. 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
,;: 
·;, 
---t!"'----4.---Uma--empresa fornece-ampolas de vidro a diversas empresas farmacêuticas, 
em caixas de 100 ampolas cada. 
'·"·· 
As empresas clientes têm-se queixado ultimamente da deficiente qualidade 
das referidas ampolas e têm vindo a devolver caixas em que detectam pelo menos 
uma ampola defeituosa. 
O responsável pelo controlo de qualidade julga não haver razões para proce-
dimento: assegura que é baixa a percentagem de ampolas defeituosas e que o 
número de ampolas defeituosas por caixa segue uma distribuição aproximada de 
Poisson com média !.. = 0, 1. 
Sabendo que foi obtida uma amostra de 200 caixas que forneceu os resulta-
dos: 
Nº de ampolas defeituosas o 1 2 3 4 5 ou mais 
Nº de caixas 80 75 35 8 1 1 
a) O que concluiria em face da hipótese avançada pelo responsável da quali-
dade? Utilize um nível de significância de 0,05. 
b) Explique claramente, a escolha da(s) aba(s) do teste que utilizou. 
R: a) O responsável pelo controlo de qualidade deve ter razão. 
5. Num estudo de mercado sobre a audiência dos jornais semanais foram inqui-
ridos 1000 leitores de ambos os sexos sobre o semanário que compram preferen-
cialmente, tendo-se encontrado os seguintes resultados: 
~ Se Expresso Semanário Independente 
Feminino 150 50 150 
Masculino 350 200 100 
a) Será de admitir que a preferência pelos vários semanários é influenciada 
pelo sexo dos leitores? (Admita um nível de significância de 5%). 
b) Explique, clara e sucintamente, a escolha da(s) aba(s) do teste que efec-
tuou. 
R: a) Sim. 
6. O responsável por uma cadeia de supermercados de uma empresa do ramo 
alimentar deseja lançar uma nova embalagem para um dos seus produtos pere-
cíveis, sendo expectável que o tempo de conservação (em dias) venha a ser 
superior. 
Para tal decidiu testar o protótipo da nova embalagem, recolhendo duas 
amostras de 6 elementos cada, tendo obtido os seguintes resultados: 
287 
ESTATÍSTICA APLICADA 
288 
. 
Tipo de embalagem Dias de conservação 
Nova embalagem 10 7 5 9 9 10 
Embalagem actua/ 8 6 3 4 6 3 
Qual a decisão que a empresa deve tomar? (utilize um nível de significância 
de 1%) 
R: A empresa deverá optar pela nova embalagem. 
7. O responsável por uma cadeia de franchising pretende avaliar a performance 
de três dos seus franchisados. 
Para tal, recolheu o volume de vendas em contos e em seis dias aleatoria-
mente seleccionados, tendo obtido os seguintes resultados: 
Loja 1 15 10 16 13 10 15 
Loja 2 10 12 11 10 9 13 
Loja 3 7 7 8 7 10 6 
O que poderá o responsável concluir, ao nível de significância de 5°/o? 
R: As lojas não têm performances idênticas, su·speitando-se ainda que a loja 
3 é a que apresenta a performance mais fraca. 
8. Um laboratório farmacêutico pretende testar um novo medicamento que se 
pensa vir a atenuar os sintomas de privação alcoólica, nomeadamente os tremo-
res, em doentes com intenções de desintoxicação. 
O novo medicamento toi aplicado a 25 alcoólicos, tendo-se avaliado os sinto-
mas destes doentes em dois momentos distintos: antes e após o período de 
medicação. Os resultados obtidos foram os seguintes: 
~s Com Sem 
s tremores tremores 
Com tremores 5 17 
Sem tremores o 3 
.... 
Que poderá concluir ao nível de significância de 5%? 
R: O novo medicamento influencia a existência de tremores (diminui). 
Apêndice 
Tabelas de distribuição 
OISTR/BUICÃO BINOMIAL 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
,, 
.. VALORES DA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
"' •. 
... 
íi 
K 
B 
p 
\\, n X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 
·:! 
'! 
~: o 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 1 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 ,. 
!i 2 o 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 
• 1 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 
l 2 
0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0, 1225 0,1600 0,2025 0,2500 
r 3 o 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 
!;<' 1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 l),3750 I' 
jl!i 2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 3 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250 
•1• 
1!1 4 o 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 
li! .. 1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 
l" ' ! ~ 2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 
~:i 3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 o, 1115 0,1536 0,2005 0,2500 n::_ 
" 
4 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625 
~~ 0,3277 0,2373 0,1681 O, 1160 o,on0 0,0503 0,0312 E·· 5 o o,n38 0,5905 0,4437 
t 1 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3601 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 
., 2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2046 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 
~ 3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 
• 4 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0283 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 i'. 
F 5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0312 
~;:·: 6 o 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 
i!'"' 
. ·1 ·0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938 
iii: 2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344 
m 3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125 i1:I 4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344 
~H 
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293 
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n X 
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12 o 
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' 
p 
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n 
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p 
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X 
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m ______ _ 
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L 
l: 1 1 
i 
íll 296 
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º·ºººº 
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X 
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297 
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0,1098 
0,0888 
0,0662 
0,0459 
0,0297 
0,0180 
0,0103 
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0,0014 
0,0006 
0,0003 
0,0001 
0,0000 
OISTRIBUICÃO DE PO/SSON 
8,8 
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0,0001 
9,8 
0,0001 
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0,0213 
0,0418 
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0,0001 
0,0001 
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0,0001 
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9,9 
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9,0 
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0,1318 
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0,1251 
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0,0019 
0,0009 
0,0004 
0,0002 
0,0001 
299 
.... , 
DfSTR/BUICÃO DE POISSON 
ESTATISTJCA APLICADA 
-~~~-,--·---=-=;-~=.1====-·--10-··.2-.-==--,-o-,3=:_~---_-1_0_·.4-··-~~~~-lb_;_s===----1-0_; __ -:-10=~=------... ~1~0.~0---1~0~.9~.-.-.--~1~1,:;-o ··~---~!'"-~ 
X 0000 0 0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ~· 
11;1 - 11,2 - 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 
~ g:~ g:~ g:ooo3 0:0003 0,0003 g·:! g·~~~ g·:; g:~~ g:~; ;: 
2 0,0021 0,0019 0,0018 0,0016 0,0015 '0049 0'0045 0'0043 0,0040 0,0037 11 
3 0,0071 0,0066 O 0061 0,0057 0,0053 O, ' ' 16 0,0109 0,0102 ff 
4 0,0110 o,0168 0:0150 º·º
148 ::~::: ::::~: ::::: :~::so 0,0237 0 ,0224 !; 
5 0,0360 0,0342 0,0325 0,0309 0,0513 0,0491 0,0470 0,0450 0,0430 0,0411 l 
6 0,0606 0,0581 0,0558 0,0535 0,0769 0,0743 0,0718 0,0694 0,0669 0,0646 ~'. 
7 0,0874 0,0847 0,0821 0,0795 0,0985 0,0961 0,0936 0,0912 0,0888 ;:; 
8 0,1103 0,1080 0,1057 º·1º33 º·
1009 2 0,1124 0,1105 0,1085 ;:: 
9 o,1238 o,1224 o,1209 o,1194 o.1111 o.1160 o,114 o:· 
0,1230 0,1222 0,1214 0,1204 0,1194 lt 
10 0,1250 0,1249 0,1246 g:~~j! g:~~: 0,1185 0,1189 0,1192 0,1193 0,1194 ~i· 
11 0,1148 0,1158 0,1166 0,1032 0,1047 0,1060 0,1072 0,1084 0,1094 :!; 
12 o.0966 º·º984 0.1001 o.1017 º·ºª34 º·ºª53 o.0872 0,0891 º·º9º9 º·º926 m: 
13 0,0151 g:g~~ g:g~: g::b! 0•0625 0 ,0646 0,0661 0,0601 0.0100 0,0120 ri:: 
14 0,0542 0,0457 0,0476 0,0495 0,0514 0,0534 1;· 
15 0,0365 0,0383