APOSTILA CÁLCULO 1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA(1)

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EAD 2009
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
LICENCIATURA EM QUÍMICA 
CALCULO I
Salvador
2009
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
EAD 2009
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ELABORAÇÃO
Érica Nogueira Macêdo
DIAGRAMAÇÃO
Nilton Rezende
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). 
Catalogação na Fonte
BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB
 MACÊDO, Érica Nogueira.
M141 Calculo I – Licenciatura em química. / Érica Nogueira Macêdo. Salvador: UNEB/
 EAD, 2009. (Educação e Tecnologias da Informação e Comunicação).
 94p.
 
 1.Educação a distância. 2. Calculo 3. Química I. Título II. Curso em licenciatura em química III. 
 Universidade Aberta do Brasil IV. UNEB /NEAD
 
CDD: 515.15
EAD 2009 EAD 2009
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luis Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Carlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Hélio Chaves Filho
SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES
Celso Costa
COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPES
Nara Maria Pimentel
GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA
GOVERNADOR
Jaques Wagner
VICE-GOVERNADOR
Edmundo Pereira Santos
SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO
Osvaldo Barreto Filho
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
REITOR
Lourisvaldo Valentim da Silva
VICE-REITORA
Amélia Tereza Maraux
PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
Mônica Moreira Torres
COORDENADOR UAB/UNEB
Silvar Ferreira Ribeiro 
COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTO
Jader Cristiano Magalhães de Albuquerque
DIRETOR DO DEDC – I 
Antônio Amorim
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD
COORDENADOR 
Arnaud Soares de Lima Junior
VICE-COORDENADOR 
Silvar Ferreira Ribeiro
COORDENADOR ADMINISTRATIVO
Jader Cristiano Magalhães de Albuquerque
COORDENADORA PEDAGÓGICA
Sônia Maria da Conceição Pinto
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO
Kathia Marise Borges Sales
COORDENADOR DE TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO
Marcus Túlio Freitas Pinheiro
COORDENAÇÃO DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA
Emanuel do Rosário Santos Nonato
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM QUÍMICA
Marta Valeria Santana de Andrade
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
Prezado estudante,
Este módulo é parte do material didático que dá suporte as suas atividades de auto-estudo e auto-formação no curso de 
Licenciatura em Química na modalidade à distância.
Cada componente curricular dispõe de um material impresso correspondente, especialmente preparado para este curso, por 
docentes - pesquisadores, selecionados por sua inserção e produção na área de conteúdo específica.
Além deste módulo, você também dispõe de material em mídia e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Procure conhecer e explorar o máximo possível todo o material disponibilizado para o seu curso.
É importante ter consciência que este é um material básico, especialmente preparado para lhe oferecer uma visão essencial 
ao estudo do conteúdo de cada componente curricular. Portanto, ele não tem o objetivo de ser o único material para pesquisa 
e estudo. Pelo contrário, durante o decorrer do texto, o próprio módulo sugerirá outras leituras, apontando onde você pode 
encontrar fontes para aprofundar, verticalizar ou trazer outros olhares sobre a temática abordada.
Observe que, no decorrer deste módulo, os autores abrem caixas de diálogo para que você construa como interlocutor ativo, 
a sua leitura do texto. Elas aparecem com os ícones e objetivos listados a seguir:
Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-
mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;
Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-
zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo 
abordado;
Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. 
A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas 
ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;
Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente 
em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-
formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu 
processo de auto-aprendizagem.
Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que 
ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta-
ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.
Bom estudo!
Coordenação de Material Didático
Núcleo de Educação a Distância - NEAD
?? VOCÊ SABIA?
???
??? SAIBA MAIS
INDICAÇÃO DE LEITURA
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
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APRESENTAÇÃO DO MóDULO
Caros Estudantes! 
O cálculo foi desenvolvido a partir de dois ramos importantes da Matemática: a Álgebra e a Geometria. Esse se 
dedica ao estudo de taxas de variação das grandezas e a acumulação de quantidades. Assim, tem sido utilizado 
em várias áreas das ciências exatas, como por exemplo, na Física.
Desenvolvido por Isaac Newton(1643-1727) e Gottfried Leibniz(1646-1716), em trabalhos independentes, o 
Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não 
haviam sido solucionados. Houve uma divergência sobre qual dos dois matemáticos teria realmente inventado o 
Cálculo. Esta controvérsia se deu, pois Leibniz publicou primeiro os seus resultados, despertando assim em Newton 
a desconfiança de que ele teria roubado seus escritos não publicados. Hoje Leibniz é considerado inventor do Cál-
culo junto com Newton, pois Leibniz iniciou seus estudos através do Cálculo Integral e Newton através do Cálculo 
Diferencial. Foi também Leibniz quem deu o nome Cálculo à nova disciplina criada, nome este utilizado até os dias 
de hoje; Newton inicialmente a chamara de “A ciência dos fluxos”. Posteriormente o Cálculo foi abordado de uma 
forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass.
 Neste sentido, este módulo apresenta a vocês um estudo sobre o Cálculo Diferencial, destacando seus princi-
pais elementos e teorias. Assim, apresentamos inicialmente o conceito de limites. Estes descrevem o valor de uma 
função em certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Deste ponto de vista, o Cálculo é uma coleção 
de técnicas para a manipulação de certos limites, que podem ser empregados em fundações rigorosas e, por este 
motivo, são a abordagem padrão para o cálculo. Em seguida apresentamos o conceito da derivada que nos leva 
ao estudo do Cálculo Diferencial. O conceito da derivada nos permite, através do processo da “diferenciação”, en-
contrar uma nova função a partir de uma função original dada. Este processo surgiu do problema da tangente, ou 
seja, encontrar retas tangentes a determinadas curvas em certos pontos. Assim surgem as diversas aplicações do 
Cálculo Diferencial: determinações de retas tangentes, estudo de variação de funções, cálculos de taxas de variação 
como aceleração e velocidade, otimização de espaços e formas.
O estudante de Cálculo deve ter certo conhecimento em algumas áreas da matemática, como funções, geome-
tria e trigonometria, pois são a base de todo seu estudo. Logo, é necessária uma revisão em conceitos estudados 
anteriormente.
Assim, este materialdará subsídios para que vocês aprofundem seus estudos sobre Cálculo Diferencial e, tenho 
certeza, que conseguirão grandes sucessos. Espero que se dediquem ao estudo deste componente curricular, com 
empenho e disciplina, buscando autonomia e organizando seu tempo para que consigam superar todos os desafios 
que esta nova modalidade de ensino lhe proporcionará.
Bons estudos!!!!
Érica N. Macêdo
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SUMÁRIO
1. Limites e continuidade 13
 1.1 Noção intuitiva 13
 1.2 Limites laterais 19
 1.3 Propriedades dos limites 22
 1.4 Continuidade 25
 1.5 Cálculo de limites 28
 1.5.1 Fatoração de expressões 29
 1.5.2 Racionalização de expressões 31
 1.6 Limites no infinito 33
 1.7 Limites infinitos 36
 1.8 Limites fundamentais 39
 1.8.1 Limite trigonométrico fundamental 40
 1.8.2 Limite exponencial fundamental 41
2. Derivada 45
 2.1 A reta tangente 45
 2.2 A derivada de uma função 48
 2.3 Continuidade de funções deriváveis 49
 2.4 Derivadas laterais 50
 2.5 Regras de derivação 51
 2.6 Derivada da função composta (Regra da cadeia) 54
 2.7 Derivada da função inversa 56
 2.8 Derivada das funções elementares 57
 2.8.1 Funções Trigonométricas 57
 2.8.2 Função exponencial 60
 2.8.3 Função logarítmica 61
 2.8.4 Funções trigonométricas inversas 62
 2.9 Derivadas sucessivas 62
3. Aplicações da Derivada 66
 3.1 O diferencial 66
 3.2 Velocidade e aceleração 67
 3.2.1 Velocidade 67
 3.2.2 Aceleração 69
 3.3 Taxa de Variação 69
 3.4 Regras de L´Hospital 71
 3.5 Máximos e mínimos 75
 3.6 Funções crescentes e decrescentes 78
 3.7 Critérios para determinar os extremos de uma função 80
 3.8 Problemas de otimização 83
4. Análise do comportamento de funções 86
 4.1 Concavidade e inflexão 86
 4.2 Assíntotas 89
 4.3 Construção de gráficos 96
REFERÊNCIAS 96
QUÍMICA
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
 
 Estamos iniciando mais uma disciplina neste curso de Licenciatura em 
Química: O Cálculo Diferencial. Aqui estudaremos sobre o comportamento de 
funções em situações bem definidas. Para iniciar nosso estudo, 
apresentaremos conceitos intuitivos, que visam melhorar nossa compreensão. 
Em seguida, serão fornecidos conceitos formais, para que possamos dar um 
caráter científico para este estudo. 

 
 Tenho certeza de que a palavra “limite” lhe representa algo. Em nossa 
vida cotidiana é comum encontrarmos coisas que façam referências a limites, 
como por exemplo: 
• O limite de velocidade nesta via é de 80Km/h. 
• Você ultrapassou todos os limites! 
• Não aguento mais comer: cheguei ao meu limite! 
Observe que nas frases descritas acima, a noção de limite refere-se a 
uma barreira, uma fronteira em que, às vezes, não podemos ultrapassar. Aqui 
estudaremos esta noção levando em consideração aspectos matemáticos. 
Para isto, observemos então algumas sequências numéricas. 
a) 1 - 1,9 - 1,99 - 1,999 - 1,9999 - 1,99999 - ... 
b) ½, 2/3 , ¾ , 4/5 , 5/6 , 7/8 , 8/9, ... 
c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... 
Veja que nas sequências acima temos uma quantidade de termos que 
nos permite saber quais são os próximos elementos desta sequência, devido a 
uma regularidade na lista dos elementos e, através desta regularidade, 
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podemos “prever” quais seriam os números que estariam em posições bem 
elevadas desta sequência, ou de quem estes números se aproximam. 
Veja que na sequência (a), à medida que temos mais elementos, estes 
se aproximam muito do número 2, embora nenhum dos números desta 
sequência seja exatamente igual a 2; na sequência (b), temos frações que se 
aproximam cada vez mais de 1, embora novamente nenhuma fração desta 
sequência seja igual a 1, pois nunca teremos numerador e denominador iguais; 
na sequência (c) vemos que os número crescem indefinidamente, não se pode 
dizer que estes números vão se aproximar de um determinado valor, pois 
crescem indefinidamente à medida que se tem posições mais elevadas; neste 
último caso, dizemos que esta sequência tende para o infinito (). Assim, 
podemos perceber uma noção intuitiva de limite para estas sequências. 
Dizemos que em (a) o limite da sequência é 2; em (b) o limite da sequência é1 
e em (c) não temos um valor limite, pois os números crescem indefinidamente. 
 
 
 
 
 
VOCÊ SABIA? 
Muitos matemáticos afirmavam que o “infinito real” é algo que não existe, 
havendo apenas um “infinito potencial”, ou seja, a possibilidade de se fazer 
com que certas quantidades sejam tão grandes quanto desejarmos. Em 
1831, Gauss escreveu: “O infinito é apenas uma figura de linguagem: 
uma forma abreviada para a afirmação de que existem limites dos quais 
certas relações podem se aproximar tanto quanto nós desejarmos, 
desde que permitamos que outras magnitudes cresçam sem qualquer 
restrição”. O símbolo  foi proposto em 1655 por Wallis. 
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Agora que já vimos uma noção de limites de sequências, expandiremos 
este conceito para o caso das funções reais. Inicialmente observaremos o 
comportamento de uma dada função  em alguns pontos do seu domínio. 
Seja     . Como vocês podem perceber, esta é uma função 
polinomial de primeiro grau, cujo domínio é . Vejamos a imagem de alguns 
elementos deste domínio: 
   
   
   
   
   
   
 
Veja que nos valores apresentados, quanto mais nos aproximamos de 2 
em , os valores de  se aproximam de 4. Observe também que neste 
caso, a imagem se aproxima de 4 cada vez mais que o domínio se aproxima de 
2, independentemente se os valores são maiores ou menores que 2. Veja o 
gráfico desta função. 
 
 
 
 
 
 
−2 2 4
−2
2
4
x
y
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Podemos dizer então que, quando aproximamos o valor de  de 2, o 
valor da função se aproxima de 4, mesmo que o valor de  não seja 
necessariamente igual a 2;assim, quando “ tende a 2”, o valor de “ tende 
a 4”. Intuitivamente podemos dizer também que o limite da função , quando  
tende a 2 é 4. Veja que não queremos saber o que acontece com a função no 
ponto específico   , mas sim nos pontos muito próximos de 2. 
Definição: Escrevemos    e dizemos “ o limite de , quando  
tende a , é igual a L” se pudermos tomar os valores de  arbitrariamente 
próximos de L, tomando  suficientemente próximo de  (por ambos os lados 
de ) mas não igual a . 
Assim, no caso acima, podemos escrever: 
        
 
Esta é uma definição de limite menos formal. Veja agora a definição de 
maneira mais formal, tal qual é estudada em Cálculo e Análise Matemática: 
Definição: Seja  definida num intervalo aberto I, contendo , exceto 
possivelmente, no próprio . Dizemos que o limite de  quando  aproxima-
se de  é L e escrevemos    se, para todo  >0, existe um  >0, tal 
que       sempre que       . 
 x
y
L
a
f
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Vejamos mais alguns exemplos de limites de funções. 
Exemplo:          Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Espero que você já tenha compreendido a noção de limites quando 
temos funções. Acredito que percebeu como é mais fácil verificar o limite de 
uma função num determinado ponto, se conhecemos o seu gráfico. 
 
Para reafirmar, o quer vimos até agora, lembre-se sempre que: 
 −1 1
1
2
x
y
 
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x
yNo gráfico ao lado, vemos uma função 
definida por duas sentenças. Note que 
a função não está definida no ponto   . Isto não impede que 
calculemos , que neste caso, 
vê-se facilmente ser igual a 3, ou seja,    
VOCÊ SABIA? 
 Você pode construir o gráfico de diversas funções usando o software 
Winplot. Ele é de fácil manipulação, gratuito e encontra-se disponível em 
math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
Neste caso, temos   , 
mas observe que   . 
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• A definição de limite não exige que o ponto  pertença ao domínio de . 
Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto  não 
pertence ao domínio da função. 
• Mesmo que   , a definição não faz referência ao valor de ; o 
limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que 
tendem a . 
Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você 
percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número 
real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num 
determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um 
pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma 
função num ponto, este existindo, se torna único. 
 
Proposição: Se    e   , então   . 
Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto, 
ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter 
dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal 
de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de 
cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade. 
Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de 
uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos 
próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores 
que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o 
comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que 
chamamos de limites laterais. 
 
 

 
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• A definição de limite não exige que o ponto  pertença ao domínio de . 
Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto  não 
pertence ao domínio da função. 
• Mesmo que   , a definição não faz referência ao valor de ; o 
limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que 
tendem a . 
Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você 
percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número 
real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num 
determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um 
pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma 
função num ponto, este existindo, se torna único. 
 
Proposição: Se    e   , então   . 
Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto, 
ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter 
dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal 
de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de 
cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade. 
Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de 
uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos 
próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores 
que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o 
comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que 
chamamos de limites laterais. 
 
 

 
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Definição: Escrevemos    e dizemos que o limite esquerdo de  
quando x tende a  é igual a L se pudermos tornar os valores de  próximos 
de L, tomando-se  suficientemente próximo de , porém menor que . 
Analogamente, escrevemos    e dizemos que o limite direito de  
quando  tende a  é igual a L se pudermos tornar os valores de  próximos 
de L, tomando-se  suficientemente próximo de , e maior que . 
Veja que nos casos anteriores, ao verificarmos o limite de uma função 
num determinado ponto , avaliando ambos os lados de , o que estamos 
fazendo é apenas calcular os limites laterais. Veja mais um exemplo. 
Exemplo:               
 
 
 
 
 
 
Exemplo:               
 
 
 
 
 
 
 
 
−1 1 2 3
−1
1
2
x
y
Veja que, quando nos aproximamos de 1 
pela esquerda, ou seja, quando    os 
valores da função se aproximam de 1; e 
que, quando nos aproximamos de 1 pela 
direita, ou seja, quando    os valores da 
função também se aproximam de 1. Logo 
podemos escrever os limites: 
•    
•    
 
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
x
yQuando nos aproximamos de 2 pela 
esquerda, ou seja, quando    os 
valores da função se aproximam de 4; e 
ao nos aproximamos de 2 pela direita, ou 
seja, quando    os valores da função 
agora se aproximam de 1. Logo podemos 
escrever os limites: 
•    
•    
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Neste último exemplo, aconteceu algo bem interessante… Você 
percebeu que os limites laterais aqui não coincidiram? O que você pode 
concluir sobre isto? Vamos pensar um pouco? 
Na definição apresentada, foi chamado à atenção sobre o fato do limite 
de uma função num determinado ponto , ser calculado levando em 
consideração ambos os lados de ; que agora sabemos são os limites laterais. 
Assim, podemos concluir que o limite de uma dada função  num ponto  só 
existe quando os limites laterais coincidem. Caso contrário, ou seja, caso os 
limites laterais não coincidam, dizemos que o limite não existe. 
Teorema: Se é definida em um intervalo aberto contendo , exceto 
possivelmente no ponto , então  existe e é igual a L se, e somente se, 
ambos os limites laterais  e , existirem e forem iguais a L. 
 Levando em consideração este teorema, podemos agora verificar se o 
limite de uma função  existe ou não num determinado ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
VOCÊ SABIA? 
 Os teoremas são de grande importância no estudo da matemática. Em 
resumo, são afirmações que podem ser provadas, usando para isto, 
diversas técnicas como indução finita, redução ao absurdo entre outras. 
Uma das principais atividades de um matemático é demonstrar teoremas. 
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Observe mais alguns exemplos. 
Exemplo:             
•    
•    
•      
 
 
Concluímos dessa forma que existe  e temos que   . 
Veja também que   , e que esta informação não influencia na existência 
do limite. 
Exemplo:              
•    
•      
•    
 
Aqui o limite  não existe, pois os limites laterais não coincidem. 
 
Exemplo:               
•    
•    
 
 
 −2 −1 1 2−1
1
2
x
y
 −1 1 2 3−1
1
2
3
4
5
x
y
 
−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
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Logo podemos concluir que existe  e temos que   . 
Veja também que   , e neste caso o valor da função em    coincide 
com o valor do limite no mesmo ponto. Isto será de muita utilidade em estudos 
posteriores. 
 Para calcular limite de funções em determinados pontos, basta que se 
observe o gráfico da mesma, porém existem algumas funções que possuem 
gráficos ou leis muito complicadas. Assim, precisamos estabelecer critérios de 
se calcular limite, sem o uso da ferramenta gráfica. Vamos então conhecer as 
propriedades dos limites? 

 
 A seguir apresentaremos uma série de propriedades que facilitará o 
cálculo do limite de funções, principalmente considerando as que não são de 
fácil esboço gráfico. 
 
Proposição: Se ,  e  são números reais quaisquer, então 
       
 Veja que com esta proposição podemos agora calcular o limite de 
qualquer função de 1º grau, num determinado ponto . 
Exemplos: 
•          
•          
INDICAÇÃO DE LEITURA: 
A demonstração das propriedades a seguir pode ser vista em 
http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html 
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•               
•      
Viu como é simples calcular limites de uma função de 1º grau? Observe 
que esta proposição serve para todo e qualquer tipo de função de primeiro 
grau, mesmo as que têm termo independente nulo. E como fica a função 
constante? Pense um pouco: qual o valor de ? Veja que aqui podemos 
usar a proposição enunciada; estamos diante de um limite que pode ser escrito 
da forma   , em que temos   . Assim podemos concluir que    
 
Proposição: Se  e  existem, e c é um número real qualquer, 
então: 
•        
•      
•      
•     , desde que    
Estas novas propriedades favorecem o cálculo de limite de diversas 
funções reais. Vamos ver a aplicação desta proposição em diversos exemplos? 
Tenho certeza de que você vai se divertir resolvendo os mais diversos limites. 
Exemplos: 
•          
•             
•          
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Com o cálculo destes últimos dois limites podemos enunciar mais uma 
proposição, que leva em consideração a potência de funções. Lembre-se que a 
potência é uma multiplicação de fatores iguais. 
Proposição: Se    e  é um inteiro positivo, então 
   
Exemplos: 
•                   
•           
•             
 
Vejamos mais algumas proposições. Lembre-se que estas proposições 
facilitam o cálculo do limite de uma função num determinado ponto, sem a 
necessidade da sua representação gráfica, que algumas vezes pode ser bem 
trabalhosa. 
Proposição: Se    e  é um inteiro positivo, então: 
•      
•      
•    
•     
 
Exemplos: 
•             
•         
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Percebeu como é simples o cálculo de limite de uma função usando as 
proposições acima citadas? Espero que tenha compreendido bem cada uma 
delas e que não tenha receio de usá-las para resolver mais e mais limites. Para 
isto, deixaremos aqui alguns exemplos que você, com certeza, terá condição 
de responder. 
Exercícios Propostos: (a)      (b)   
 (c)   

 
 Quando definimos  , chamamos a atenção de que este resultado 
analisa o que acontece com a imagem por , dos pontos próximos de , tanto 
pela direita quanto pela esquerda, e que não leva em consideração o valor que 
 assume em   , e nem sequer questiona se  está definida ou não em . 
Embora não seja necessário o comportamento de  no ponto   , para se 
calcular , podemos fazer um estudo sobre , levando em consideração 
este comportamento. 
 Quando    diremos, de acordo com a definição a seguir 
que  é contínua em . 
Definição: Dizemos que uma função  é contínua no ponto  se as seguintes 
condições forem satisfeitas: 
•  é definida no ponto ; 
•  existe; 
•   . 
 
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Veja a seguir, gráfico de funções que não são contínuas em a. Isto 
acontece devido a falta de qualquer uma das condições acima. Será que você 
consegue identificar nos gráficos abaixo, qual das condições não foi satisfeita? 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 (c) (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que em (a) a função  não está definida em   ; em (b) temos 
que   ; em (c) não existe  e em (d) a função  não está 
definida em   . Tenho certeza que com estas representações gráficas, você 
conseguiu visualizar o que acontece quando uma das condições acima não é 
satisfeita. Nestes casos dizemos que a função  é descontínua em . 
 
 x
y
a x
y
a
 x
y
a x
y
a
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E então, como será que fica o gráfico de uma função real contínua em 
todos os pontos do seu domínio? Vamos conhecer graficamente algumas 
destas funções? 
 
 
 
 
 
Veja que estas funções são contínuas, pois para qualquer ponto    
temos sempre   . 
Obs.: Quando uma função  é contínua em todos os pontos, dizemos 
apenas que é contínua. Intuitivamente, dizemos que o gráfico de uma função 
contínua pode ser traçado sem levantar o lápis do papel. 
Proposição: Se as funções  e  são contínuas em um ponto , então são 
contínuas também em : 
•    
•    
•    
•   ; desde que    
Observe que estas propriedades são de fácil verificação; basta aplicar as 
propriedades operatórias vistas anteriormente. Veja como fica, por exemplo, a 
prova do primeiro item: 
Se  e  são contínuas em   , então temos    e   ; logo 
               , 
 x
y
 x
y
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que nos mostra a continuidade da função    no ponto . 
 
 
Algumas funções reais elementares que nós conhecemos são contínuas 
para todos os números reais. São elas: funções polinomiais, exponenciais e as 
funções trigonométricas seno e cosseno. 
 
Exemplo: Investigue a continuidade da função               no ponto 
   
Note que aqui temos uma função definida por sentenças, cujos limites laterais 
em    são definidos por leis distintas. Temos que verificar se  . Vejamos: 
VOCÊ SABIA? 
O volume de uma árvore é estimado indiretamente através do ajustamento 
de uma função contínua que descreva a sua forma, solucionada em função 
das variáveis diâmetro e altura, e eventualmente por mais uma ou duas 
variáveis auxiliares. 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE 
Use as propriedades operatórias dos limites estudadas até agora e prove 
que se  e  são funções contínuas, então os demais itens também o são: 
•    
•    
•   ; desde que    
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•            
•             
Com isto concluímos que o limite  existe, pois os limites laterais 
coincidem. Resta verificar se coincide com o valor de ; temos então 
       Assim, a função  é contínua em   , pois    . 
Viu como é simples investigar a continuidade em um dado ponto? 
Continue aplicando os seus conhecimentos sobre continuidade nos exercícios 
a seguir. 
 
 
 
 

 
 Já conhecemos diversas propriedades operatórias de limites e, com 
elas, podemos calcular o limite de diversos exemplos de funções em 
determinados pontos. Mas há alguns casos que ainda não solucionamos por 
completo. Para dar início a este estudo, observe bastante o limite a seguir. 
                
 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE 
Investigue a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. 
 
(a)              , no ponto   . 
 
(b)              , no ponto   . 
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Veja que estamos diante do que chamamos de indeterminação. Não 
temos um único valor real que satisfaça à sentença 0/0. Qualquer número real, 
vezes zero dá zero. Então? Como resolver tal problema? 
Lembre-se que ao calcular o limite de uma função  quando  tende 
para , estamos avaliando o que acontece com a imagem de  para pontos 
muito próximos de , mas não necessariamente iguais a . Sendo assim, 
nestes casos, podemos fazer simplificações, que representem a mesma 
função, e que nos dê uma solução para a indeterminação apresentada. No 
caso da indeterminação do tipo 0/0, temos duas formas de efetuar 
simplificações. São elas a fatoração dos termos, no caso de funções racionais, 
e a racionalização de termos, tratando-se das funções irracionais. 

 
 Uma função racional, é uma função do tipo   , em que  e 
 são polinômios. Quando o limite de uma função racional, num 
determinado ponto , recai na indeterminação do tipo 0/0, podemos efetuar a 
fatoração do polinômio do numerador e denominador, usando os casos 
clássicos, para proceder com simplificações. 
 
Agora que já sabemos o que é fatorar polinômios, vamos resolver alguns 
limites usando este processo. Acompanhe: 
VOCÊ SABIA? 
 A fatoração de um polinômio é o processo usado para escrevê-lo como um 
produto de polinômios de grau menor. Veja alguns exemplos: 
•          
•          
•                
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•              
•               
•              
 
Bom, acredito que talvez não seja rápido relembrar todos os casos de 
fatoração já estudados por você durante sua vida escolar. Para melhorar um 
pouco este processo de cálculo de limites por fatoração, podemos usar alguns 
resultados válidos para polinômios que nos ajudam com esta fatoração. Como 
fatorar é reescrever o polinômio usando um produto de fatores, podemos 
então, fatorar polinômios se conhecermos por quem eles podem ser divididos. 
Um importante teorema nos ajudará com esta tarefa. 
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a quando a é 
raiz de f(x). 
Com o resultado do teorema enunciado, podemos efetuar as fatorações 
dos casos em que não lembramos as regras práticas. Veja por exemplo este 
limite:   . É uma indeterminação do tipo 0/0, e precisamos fatorar o 
numerador, que não é um trinômio quadrado perfeito. Como -5 é raiz deste 
polinômio, podemos efetuar a sua divisão por (x+5). Veja: 
           , ou seja,              
Logo,                 
 
Viu como é simples fatorar os polinômios quando usamos a divisão de 
polinômios? 
 
 
 
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Vejamos mais alguns limites. 
•             
•             
•         
 

 
 Certas vezes a indeterminação 0/0 pode estar em limites de funções 
irracionais. Uma função  é irracional se é definida por uma expressão literal 
irracional. 
 
Neste caso, usaremos a racionalização dos termos; numerador ou 
denominador a fim de proceder as simplificações. Racionalizar um termo 
consiste em multiplicá-lo por outro termo irracional para que possamos 
transformar a expressão em uma sem radicais. Veja um limite com 
indeterminação do tipo 0/0, envolvendo função irracional. 
SAIBA MAIS: 
Para efetuar divisão de polinômios, podemos usar o processo de Briot-
Ruffini. Veja todo o processo em: 
http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm 
Você Sabia? Uma expressão literal é irracional se alguma variável desta 
expressão possui expoente na forma de uma fração própria. 
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                  
        
      
     
 
Observe que para racionalizar a expressão que se encontra no 
numerador multiplicamos numerador e denominador por   . Este fator é 
denominado conjugado de   ; os conjugados são utilizados para a 
racionalização dos termos. Ao multiplicarmos o numerador e denominador de 
uma fração por um mesmo termo, estamos encontrando uma fração 
equivalente à primeira, ou seja, temos outra fração que representa exatamente 
a mesma coisa, mas que foi escrita de maneira diferente. 
Exemplos: 
•           
                
•         

    
        
•              
              
 
Procure agora resolver mais limites com indeterminação do tipo 0/0. 
 
Exercícios: Resolva os limites a seguir. 
(a)  (b)  (c)   (d)   
 
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
 
 Quando queremos analisar o comportamento de uma função  quando 
os valores de  crescem, ou decrescem ilimitadamente, estamos querendo 
estudar o limite de  no infinito. Antes de citarmos os teoremas que norteiam 
estes cálculos, observe o gráfico de da função definida por   . 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Seja  uma função definida em todos os pontos de um intervalo 
aberto  . Dizemos que    se à medida que  aumenta 
ilimitadamente, os valores de  se aproximam de . Dizemos que 
   se à medida que  diminui ilimitadamente, os valores de  se 
aproximam de . 
 Sendo assim, baseado no exemplo acima, afirmamos que     e 
que    . 
 Podemos então saber o que acontece com as funções quando os 
valores crescem ou decrescem ilimitadamente. Para tanto, enunciaremos o 
próximo teorema. 
Teorema: Se  é um número inteiro positivo, então: 
(i)     
 
x
y Observe que à medida que  cresce 
indefinidamente, ou seja, que    
a função assume valores cada vez 
mais próximos de 0; de mesma 
maneira, quando  decresce 
indefinidamente, ou seja, quando    a função assume valores 
também próximos de 0. 
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(ii)     
Exemplos: 
•     
•     
Agora está na hora de pensar um pouco. O que acontece com o 
seguinte limite:   ? Veja que ele não está escrito nos moldes do teorema 
enunciado. Precisaremos então de alguns artifícios matemáticos para poder 
efetuar o cálculo deste limite. Vejamos então a solução deste problema; 
       
  
  
 
  
  
  

  
   

  
        
Você percebeu que através de artifícios matemáticos pudemos aplicar o 
teorema e resolver o limite dado? Tenho certeza que sim. Mas para ficar bem 
claro, veja outro exemplo que envolve o limite no infinito. 

          
     
     
 
    
    
            
Agora tenho certeza de que você entendeu bem como usar o artifício do 
fator comum para resolver os limites no infinito. Lembre-se que, nestes casos, 
usamos o fator que possui o maior expoente, para poder simplificar melhor as 
expressões. 
Podemos fazer algumas operações envolvendo o infinito, e dentre estas 
operações, algumas são consideradas indeterminações. Veja como efetuar tais 
operações: 
•    
•    
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•     
•     
•   (indeterminação) 
•      
•      
•      
•            
•     (indeterminação) 
•   (indeterminação) 
Agora podemos calcular mais limites no infinito. Veja só como são 
rápidos e fáceis de fazer: 
•           
•         
•         (indeterminação) 
Neste último caso, podemos novamente usar a técnica do fator comum em 
evidência. Veja como solucionar esta indeterminação: 
                    
          
Enunciaremos agora uma propriedade bastante importante para o 
cálculo de limites no infinito, quando trabalhamos com funções racionais. 
Propriedade: Se          e    
    , então     . 
Com esta propriedade podemos calcular limites no infinito de funções 
racionais de maneira mais rápida e prática. Vamos ver? 
•           
•               
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•                    

 Para começar a estudar os limites infinitos, vamos investigar o 
comportamento da função  dada pela seguinte expressão:    . Veja 
a seguir sua representação gráfica, e alguns valores para  quando temos 
  . 
 
 
 
 
 
Note que ao analisarmos o comportamento de  quando    tanto 
pela direita quanto pela esquerda, as imagens da função crescem 
ilimitadamente. Neste caso dizemos que a função  vai para o infinito () 
quando   . De maneira geral podemos escrever    . Da mesma 
maneira que feito anteriormente, vamos estabelecer normas para se determinar 
limites infinitos, sem a necessidade da visualização gráfica, e também sem a 
necessidade de se atribuir valores para ter uma visão empírica do que 
acontece. 
Teorema: Se  é um inteiro positivo qualquer, então: 
(i)     
(ii)        
 
Usando o teorema acima podemos calcular os seguintes limites: 
 x
y
2
→  
 
 
 
 
 
 
→  
 
 
 
 
 
 
 
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•     
•     
•     
•     
 Que tal você utilizar o software Winplot para visualizar o gráfico das 
funções aqui apresentadas? Tenho certeza que você entenderá melhor estes 
limites. 
 Veja que com estes exemplos, apenas as funções que tem expoente par 
no denominador possuem limite, pois nesta situação os laterais coincidem. Já 
quando o expoente é ímpar, os limites laterais não coincidem. Perceba também 
que este limite nos leva a uma operação do tipo , em que  é um número real 
não nulo. Esta operação é impossível de ser feita, pois não há número real que 
vezes zero dê . 
 Nos casos em que há esta impossibilidade de resposta, usaremos os 
limites infinitos; mas às vezes não conseguimos arrumar a expressão de 
maneira fácil, para aplicar o teorema citado. Assim, para resolver este tipo de 
limite, estudaremos o sinal da função e avaliaremos a vizinhança (á direita e à 
esquerda) do ponto em questão. 
Exemplo: Calcular  . 
Veja que este limite nos leva a seguinte operação:     . Estamos diante 
então, de um limite do tipo . Vamos estudar o sinal da função. Veja que 
   é uma função quociente. Podemos então estudar o sinal de cada um 
dos seus membros e em seguida proceder com a divisão de sinais. 
 
 
 
 
f: 2x
g: x-1
f/g
- + +
+
+ +
- -
-
0
1
10
Note que ao estudar o sinal da função 
  , na vizinhança de 1, temos 
sinal negativo à esquerda e sinal 
positivo à direita. Com isto concluímos 
que      ,      e 
daí temos que  não existe. Veja 
abaixo o seu gráfico completo. 
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Exemplo: Determinar   
Note que estamos diante de uma impossibilidade de contas; temos 
    . Vamos então estudar o sinal da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Iniciaremos agora um estudo mais específico sobre indeterminações. É 
um estudo que envolverá limites específicos, denominados limites 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−9
−6
−3
3
6
9
x
y
Analisando o quadro de sinais, 
percebemos que        . Portanto o limite 
existe e é Veja abaixo o gráfico 
completo da função. 
y
5
 
f
g
f/g
-5
-5
-5
5
5
5
-
-
+ +
+ + +
+ +
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fundamentais. São indeterminações do tipo    e , envolvendo funções 
trigonométricas e exponenciais. 

 
 Os limites fundamentais desempenham um papel importante no Cálculo. 
São utilizados para resolver indeterminações, as quais manipulações 
aritméticas não são suficientes para sua solução. Antes de enunciar tais limites, 
vamos conhecer uma proposição que nos ajuda com a demonstração prova de 
um deles. 
Proposição (Teorema do confronto): Se      para todo  em um 
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em   , e se 
     
então,   . 
 
 Esta proposição nos mostra que ao confrontarmos uma função, com 
duas outras, que na vizinhança de um determinado   , possuam o mesmo 
limite , então a função confrontada também terá limite , quando   . Veja 
um exemplo. 
Exemplo: Determinar     . 
Da trigonometria sabemos que      ; podemos multiplicar todos os 
termos desta inequação por  teremos            , ou seja, 
       . Aplicando o limite em todos os termos teremos: 
          
         
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Assim,      . 
 

 
Para iniciar, considere o ciclo trigonométrico abaixo. Tomaremos  como 
medida em radianos do arco AOM, com  contido no intervalo   
 
Em trigonometria, sabemos que     . Dividindo esta 
expressão por  e lembrando que    , teremos     ; 
calculando o inverso desta desigualdade, teremos       Aplicando o 
limite em todos os termos da desigualdade temos que ,       
; e como   , chegamos a      . Finalmente, através 
do teorema do confronto temos o seguinte resultado: 
    
Este é o limite trigonométrico fundamental. Podemos agora usar este resultado 
para resolver diversos limites, com indeterminações e que envolvam funções 
trigonométricas. 
Exemplos: 
•    
                       
0 M' A
M T
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•                
•                
                   
 
Este limite trigonométrico resolve muitos problemas não é? Espero que 
tenha percebido quantas identidades trigonométricas foram usadas aqui. Não 
se esqueça de revisar sobre as funções trigonométricas. 

 


 
 Considere a função      definida em , e avalie o que 
acontece quando    Para isto veja a tabela de valores abaixo. 
 
 
 
SAIBA MAIS: 
As funções trigonométricas desempenham um papel importante no estudo 
do cálculo diferencial e integral. É importante que você tenha conhecimento 
sobre suas propriedades, além de saber como elas se relacionam entre si. 
Para rever quais são as principais identidades trigonométricas visite 
http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html . 
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     

      


   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 
 
Observe que à medida que aumentamos o valor de , as imagens  
da função se aproximam cada vez mais de um número que está entre 2 e 3. 
Esse número é irracional e foi chamado de número , em homenagem ao 
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). 
Temos então o segundo limite fundamental:      
Veja o gráfico desta função: 
 
 
 
 
 
Usando o resultado do segundo limite fundamental, podemos resolver 
outros limites interessantes. O limite    também resulta em , e pode 
 x
y
e
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ser encontrado através de uma mudança de variável no segundo limite 
fundamental. Vamos ver como isto ocorreu? 
Em   , podemos usar a seguinte igualdade   ; sendo assim, 
teremos    e quando   , teremos    Assim    
     . 
As mudanças de variáveis são muito úteis na solução deste tipo de 
limite. Vejamos alguns casos. Tente verificar qual a substituição que foi usada. 
•       
     
   
•               
   
•               
 
   
 
Proposição:          
Esta proposição nos mostra o terceiro limite fundamental. É útil também 
nos cálculos de limite. Em particular, se temos   , o limite fica da seguinte 
forma:       . 
Veja como aplicar este limite fundamental em alguns exemplos: 
VOCÊ SABIA? 
 O número  foi encontrado a partir de uma série numérica. Uma série 
numérica é uma soma infinita de termos. No caso, temos a seguinte 
igualdade:               
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•                       
•                   
 
Neste capítulo, estudamos sobre os limites e suas indeterminações. 
Agora avançaremos mais no estudo do Cálculo. Conheceremos um limite 
especial, chamado derivada, e suas propriedades e aplicações. Vamos 
continuar nesta viagem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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
 
 Iniciaremos agora um estudo relacionado a um limite mais específico. 
Definiremos situações e estudaremos propriedades que desencadearão em 
aplicações relacionadas com diversas áreas do conhecimento: matemática, 
física, química, etc. 
 Conheça agora uma aplicação de limite num contexto geométrico: a reta 
tangente. 

 
 As ideias que serão apresentadas aqui foram inicialmente usadas no 
século XVIII por Newton e Leibniz. Consideraremos uma curva dada por 
  , definida num intervalo  , e por dois pontos distintos P e Q desta 
curva, traçaremos uma reta secante s. 
 
 
 
 
 
 
 
A reta s , que passa por P e Q é secante à curva, e considerando o triângulo 
PQM, na figura acima, a inclinação da reta s é dada por: 
       
 
 
 x
y
M
P
Q
 
 
 
 
 
 
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Se mantivermos o ponto P fixo e deslocarmos o ponto Q, sobre a curva, em 
direção a P, a inclinação da reta secante variará. À medida que Q vai se 
aproximando de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo a 
um valor limite constante. Este limite é chamado de inclinação da reta tangente 
à curva no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dada uma curva   , seja   um ponto sobre ela. A 
inclinação da reta tangente à curva no ponto  é dada por : 
            
      
Quando o limite existe. 
Fazendo      podemos reescrever o limite na forma 
         
 Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos 
encontrar a equação da reta tangente à curva em P. 
Equação da reta tangente: Se a função é contínua em , então a reta tangente 
à curva    em   é: 
 x
y
P Q
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(i) A reta que passa pelo ponto P tendo a inclinação 
    se este limite existe. Neste caso, 
temos a equação        
(ii) A reta   se     for infinito. 
 
Exemplo: Encontre a inclinação da reta tangente à curva        no 
ponto  
Se       , então,                
              ; e            
Veja que a inclinação m é dada por: 
          
                 
Podemos encontrar então a equação da reta tangente a esta curva no ponto 
dado. Temos que                     . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−2 −1 1 2 3 4
−2
2
4
6
8
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
 
Definição: A derivada de uma função  no ponto , denotada por , é 
definida pelo limite     , quando este limite existe. 
Lembre-se que vimos anteriormente que este limite nos dá a inclinação 
da reta tangente à curva    no ponto P de abcissa . 
 
Definição: A derivada de uma função   , é a função denotada por , 
tal que seu valor em qualquer    é dada por 
    , quando este limite existe. 
Quando existe a derivada em todos os pontos do domínio da função , 
dizemos apenas que é uma função derivável. Veja alguns exemplos de função 
derivada. 
Exemplos: Encontre a função derivada em cada um dois casos a seguir. 
(a)     
VOCÊ SABIA? 
 O problema de como se determinar uma reta tangente foi uma a questão 
matemática dominante no início do século XVII, e é difícil estimar quanto os 
cientistas da época desejavam saber a resposta. Em ótica, a tangente 
determinava o ângulo no qual o raio de luz penetraria numa lente curva. Em 
mecânica, a tangente determinava a direção do movimento de um corpo em 
qualquer ponto ao longo de seu percurso. Em geometria, as retas tangentes 
a duas curvas num ponto de intersecção determinam o ângulo em que as 
curvas se cortam. René Descartes chegou a dizer que o problema de achar 
a tangente a uma curva era “o problema mais útil e mais geral não somente 
que eu conheço, mas também que eu desejo saber”. 
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            
        
  
            
    
                   
 
(b)    
         
              
                      
  
                        
                 
    
Espero que tenha compreendido como calcular a função derivada de 
uma função dada. Os exemplos apresentados foram calculados usando a 
definição de derivada. Posteriormente serão apresentadas ferramentas que 
facilitam o cálculo desta derivada. Por agora, vejamos alguns aspectos 
importantes decorrente das definições aqui estudadas. 

 
 De acordo com o que se foi estudado, podemos afirmar que a existência 
do limite de uma função num determinado ponto , não depende de a função 
estar definida em  nem tampouco da função ser contínua em . A 
continuidade de uma função em um determinado , também não garante a 
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existência de . Mas, por outro lado, se existe , podemos garantir 
que a função  é contínua em  Veja o teorema a seguir. 
Teorema: Toda função derivável num ponto  é contínua nesse ponto. 


 
Como a derivada é um limite, é necessário se verificar as condições 
necessárias para a existência de tal limite. A noção de derivadas laterais é bem 
pertinente na medida em que definimos limites laterais para o estudo dos 
limites. 
Definição: Se a função    está definida em , então a derivada à direita 
de  em , denotada por  é definida por: 
        
Caso este limite exista. 
 
Definição: Se a função    está definida em , então a derivada à 
esquerda de  em , denotada por  é definida por: 
        
SUGESTÃO DE LEITURA 
Você pode ver a demonstração deste teorema em livros de Cálculo que 
estão disponíveis na biblioteca de sua universidade. Como sugestão indico 
o livro: 
 FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006. 
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Caso este limite exista. 
 Uma função é derivável em , quando as derivadas à direita e à 
esquerda existem e são iguais. 

 
 Conheceremos agora várias regras de derivação. Estas regras nos 
permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição. Tenho 
certeza que está ansioso para aplicar tais regras, e por consequência, ver os 
seus cálculos facilitados. 
Proposição (Derivada da constante): Se  é uma constantee    para 
todo , então    
Prova: Seja   . Então, 
                  
 
Viu como foi simples? Usamos a definição para a demonstração e agora 
já sabemos que a derivada da função constante é igual a zero. Podemos usar 
este resultado, e não há necessidade de usar a definição quando quisermos 
derivar a função constante. Vejamos outras propriedades que continuarão 
ajudando no cálculo das derivadas. 
Proposição (Regra da potência): Se  é um número inteiro e positivo e  
, então     . 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE: 
Tente demonstrar a proposição acima usando a definição de derivada. Você 
precisará da expressão conhecida como binômio de Newton. Bom trabalho. 
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Esta regra da potência é realmente muito útil. Veja alguns exemplos e 
note como fica simples calcular as derivadas. 
Exemplos 
• Se   , então   . 
• Se   , então   . 
• Se   , então   . 
Obs.: Esta proposição é verdadeira se  é um número real qualquer. Assim, 
estendemos mais ainda a aplicabilidade desta proposição. 
Exemplos 
• Se     , então        
• Se     , então        
 
Proposição: Se  e  duas funções deriváveis, e c uma constante. Então são 
deriváveis e, além disto: 
(i)        
(ii)    
(iii)            
(iv)     , desde    
 
Tenho certeza de que agora, com estas regras, o processo de derivar 
funções ficará muito mais prático. Poderemos então, derivar as mais diversas 
funções. Veja só. 
Exemplos: Encontre a função derivada das funções reais abaixo: 
 
a.        
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                         
 
b.        
          
  
           

                   
      
 
c.    
 

  

   


   
              

                            
 
d.        
 
  

   
 

    


   

   
            

   
           
 
   
      
 
 
Você percebeu quantas operações fomos capazes de fazer? Estas 
propriedades operatórias da derivação são muito úteis e facilitam o cálculo das 
derivadas de diversas funções. Posteriormente, estudaremos as derivadas das 
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funções elementares, como as funções trigonométricas, exponenciais, 
logarítmicas entre outras. 
Para finalizar as regras de derivação, conheça uma das ferramentas 
mais importantes no cálculo de derivadas: a derivação de funções compostas, 
também conhecida como regra da cadeia. 
 

 
 Considere duas funções deriváveis  e , em que    e   . 
Para todo  tal que  está no domínio de , podemos escrever    
, isto é, podemos considerar a função composta   . 
 Veja como se construir algumas funções compostas. 
Exemplos: 
• Sejam      e   ; temos então      
     
• Sejam      e   ; temos então      
     
Para encontrar a derivada de tais funções compostas, utilizaremos a 
regra que se chama regra da cadeia. Ela nos dá a derivada da função  
 em termos das derivadas de  e . 
Proposição (Regra da cadeia): Se    e    e as derivadas  e  
existem, então a função composta    tem derivada e é igual a: 
         
Para encontrar a derivada de uma função composta, através da regra da 
cadeia, basta conhecer as derivadas das funções que formam a composição. 
Vamos então ver como aplicar tal proposição? 
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Exemplos: Encontre a função derivada das seguintes funções compostas. 
a.      
Veja que esta função é a composição de    com     . Assim, 
pela regra da cadeia temos a seguinte derivada: 
                          
    
Percebeu que aqui é mais prático aplicar a regra da cadeia? Se fossemos 
desenvolver a potência   , encontraríamos o mesmo resultado, porém 
teríamos muitos mais cálculos a fazer e a possibilidade de cometer erros de 
conta seria bem maior. 
b.      
Aqui temos a composição de        e de       . 
Logo, pela regra da cadeia, sua derivada é: 
            
       
    
    
         
Espero que tenha compreendido bem esta última proposição estudada. 
Trabalharemos muito com funções compostas, e por isto, a regra da cadeia é 
uma ferramenta muito importante. Estude bastante, para que não haja dúvidas 
de como proceder com os cálculos. Para isto, deixaremos aqui algumas 
atividades propostas, com o objetivo de lhe oferecer mais material para estudo. 
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

 
A função inversa de uma função , é uma função   , de tal forma 
que o domínio de  é a imagem de  e a imagem de  é o domínio de . Nem 
todas as funções possuem função inversa. Quando uma função  possui 
inversa, podemos determinar sua derivada através do teorema a seguir. 
Teorema: Seja    uma função definida em um intervalo aberto  . 
Suponhamos que  admita uma função inversa    contínua. Se  
existe e é diferente de zero para qualquer    , então    é derivável 
e vale: 
     
 
Exemplos: 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE 
 Encontre a função derivada das funções abaixo. (use as regras de 
derivação convenientes). 
a.        
b.    
c.    
d.        
e.        
   
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• Seja       . A sua inversa é dada por        . 
Podemos ver que as derivadas,    e    são inversas uma 
da outra. 
• Seja   . Sua inversa é     . Como    e é maior que 
zero para todo   , temos,        

 . 

 
Agora que já conhecemos diversas regras de derivação, podemos 
começar a conhecer as derivadas das funções elementares, tais como as 
trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc. Para tanto, será necessário 
que você tenha conhecimento de algumas características destas funções. Na 
medida do possível, estaremos lhe relembrando algumas destas 
características.

 
• Se   , então    . 
Veja que 
INDICAÇÃO DE SITE 
A base do cálculo diferencial e integral é o estudo das funções. Algumas 
funções são consideradas elementares. Para rever tais funções visite: 
 http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.ppt 
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              
      
      
         
      
                  
• Se   , então    . 
Veja que 
              
       
      
         
      
                  
 
• Se   , então    . 
Veja que      ; podemos então usar a derivada do quociente de 
duas funções, já que conhecemos a derivada da função seno e da função 
cosseno. Acompanhe: 
                           
             
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• Se   , então   . 
Temos que     ; usaremos também, portanto, a regra da 
derivada do quociente de duas funções. Veja que: 
                        
             
 
• Se    , então       
Neste caso temos         ; aqui usaremos a regra da 
cadeia, para poder encontrar a derivada da função secante. Observe: 
        
                         
 
• Se    , então       
Neste caso temos         ; aqui também usaremos a 
regra da cadeia, para poder encontrar a derivada da função cossecante. 
Observe novamente: 
      
    
                   
 
Nossa! Encontramos todas as derivadas das funções trigonométricas! 
Veja que usamos a definição apenas para as funções seno e cosseno. Todas 
as demais funções trigonométricas se escrevem em função de seno e cosseno, 
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e assim foi possível utilizar as regras de derivação já citadas anteriormente. 
Veja agora a derivada de algumas funções que envolvem funções 
trigonométricas. 
 
Exemplos: Calcular a derivada das funções abaixo. 
•     
Temos                 
 
•     
Temos                  
   
•    
Temos                        
    
 
 

 
• Se   , então      , onde    e   . 
Note que           
            . 
 
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Caso Particular: Se   , então             
 
Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo: 
•    
Temos                 . 
•    
Temos                          
 

 
• Se    , então     , onde    e   . 
Aqui, precisamos relembrar que a função logarítmica é a função inversa 
da função exponencial. Assim, podemos encontrar a sua derivada usando a 
derivada da função inversa. Vejamos como fica esta derivada! 
Temos:     e, portanto,    pela definição de logaritmo. Usando a 
derivada da função inversa temos: 
                    
Caso particular: Se     então   . 
Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo: 
•     
Temos:            
•     
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Temos: 
    
           
           . 
 

 
As funções trigonométricas inversas desempenham um papel importante 
no cálculo diferencial e integral. Aqui apresentaremos suas derivadas, através 
da derivada da função inversa. 
 
• Se    , então   . 
Veja que se    , então    Logo,        

    
 
Desta mesma maneira, podemos ter todas as derivadas das demais 
funções trigonométricas inversas. Veja a seguir: 
SAIBA MAIS 
As funções trigonométricas inversas são muito utilizadas na geometria, nas 
transformações de coordenadas, etc. Como toda função inversa, estas 
foram obtidas através das funções trigonométricas, onde houve a inversão 
do domínio e imagem. Para conhecer melhor as funções trigonométricas 
inversas visite: 
 http://www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf 
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• Se    , então    . 
• Se   , então   . 
 
Exemplos: Encontre a derivada das funções abaixo: 
•    
Temos            
•     
Temos            
 
Enfim, conhecemos as derivadas de diversas funções reais. Agora 
chegou a sua vez de praticar, e calcular a derivada de muitas funções reais, 
usando as derivadas já conhecidas e as regras de derivação estudadas. 
Consulte seu tutor e peça sugestões de atividades. 

 
 Se  é uma função derivável, a sua derivada  é também uma função, 
definida no mesmo intervalo que . Podemos portanto pensar na derivada da 
função . 
Definição: Seja  uma função derivável. Se  também for derivável, então sua 
derivada é chamada derivada segunda de  e é representada por . 
Exemplos: 
• Se       , então 
     
   
 
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• Se    , então 
    
     
 
 Se  é uma função derivável, sua derivada, representada por , é 
chamada derivada terceira de . 
 A derivada de ordem  ou -ésima derivada de , representada por 
, é obtida derivando-se a derivada de ordem    de . 
 
Exemplo: 
• Se      então 
     
     
   
   
   
 
Bom, chegamos ao fim de mais uma etapa do nosso estudo. Neste 
capítulo estudamos sobre um limite