Aula 1 — Conjuntos Numéricos

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Conjuntos Numéricos
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Objetivo desta Aula 
Ao final desta aula, o aluno será capaz de: 
 Identificar os diferentes tipos de conjuntos numéricos e 
realizar operações. 
Na teoria dos conjuntos, existem três noções aceitas sem 
definição: conjunto, elemento e pertinência. 
Conjunto nos transmite a ideia de coleção. Por exemplo: 
 Conjunto das vogais do nosso alfabeto; 
 Conjunto das letras da palavra ARARA; 
 Conjuntos dos números ímpares positivos. 
Imediatamente, pensaríamos nos conjuntos: 
a) A = {a, e, i, o, u}
b) B = {a, r}
c) C = {1, 3, 5, 7, ...}
Você não deve esquecer que: 
1) Os conjuntos são representados por letras
MAIÚSCULAS do nosso alfabeto;
2) Os elementos são representados por letras minúsculas;
3) Os elementos de um conjunto são escritos entre
chaves e separados por vírgulas. Note que não
repetimos elementos em um conjunto e que a ordem
dos elementos é irrelevante;
4) Na letra c, lançamos mão de um recurso, a saber (...),
para indicar que não existe um último elemento nesse
conjunto.
Cada membro de um conjunto é chamado de elemento. 
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Para mencionarmos que um elemento pertence a um determinado 
conjunto, utilizaremos a chamada relação de pertinência, que é 
definida como o elemento para um conjunto e é indicada pelo 
símbolo matemático ∈ (pertence). Quando o elemento não 
pertencer ao conjunto, utilizaremos o símbolo ∉. 
Descrição de um conjunto: 
a) Descrição pela enumeração de seus elementos: A = {a,
e, i, o, u}
b) Descrição por compreensão: A = {x I x tem a
propriedade P}
Podemos ainda ter o conjunto vazio e o conjunto unitário. O 
conjunto vazio é aquele que não apresenta elementos. Já o 
conjunto unitário é aquele que possui apenas um único elemento. 
Para esclarecer melhor essa ideia, consideremos os exemplos: 
Exemplo: 
A = { x I x é uma pessoa com mais de 400 anos} 
A = { x I x é um número primo par e positivo} 
Quando tratamos de conjuntos, é necessário que deixemos claro 
quem é o nosso universo. 
Por exemplo, se vou falar sobre jogadores de futebol, é importante 
deixar claro qual o clube; se vou comentar a respeito de palavras, 
é importante mencionar de que língua estamos falando, alunos de 
qual colégio, estados de qual país, etc. 
Representamos o universo pela letra U. 
CONJUNTOS IGUAIS 
Quais são os conjuntos iguais? 
Dois conjuntos são ditos iguais quando apresentam os mesmos 
elementos. Em outras palavras, podemos dizer que se todo 
elemento pertencente a um conjunto A pertence também a um 
conjunto B e vice-versa, então A = B. Em símbolos, poderíamos 
escrever: 
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B) 
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A = {1, 3, 5} e B = {5, 3, 1}; logo A = B 
A = {r, o, m, a} e B = {a, m, o, r}; logo A = B 
SUBCONJUNTOS 
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se 
todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao 
conjunto B. 
Obs.: Dizer que um conjunto A é subconjunto de conjunto B é 
o mesmo que dizer:
1) A está contido em B (relação de inclusão); utilizamos o
símbolo ⊂.
2) A é uma parte de B. Simbolicamente: A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈
A → x ∈ B)
Obs.: A relação de inclusão é definida para dois conjuntos. O 
conjunto vazio {∅} é subconjunto ⊄ (não está contido). 
Exemplos: {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 2, 3} ⊄ {2, 3, 4, 5, 6} 
Operações com conjuntos: 
a) União ou Reunião
Dados dois conjuntos A e B, denominamos união de A e
B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem
pelo menos a um dos conjuntos A ou B.
Simbolicamente: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Propriedades da união
a) A ∪ A = A (idempotente)
b) A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
c) A ∪ B = B ∪ A = (comutativa)
d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
b) Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, denominamos de inter-
seção entre A e B e representamos por A ∩ B ao
conjunto formado pelos elementos que pertencem
simultaneamente a A e B. Simbolicamente:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Observação: Quando a interseção entre dois conjuntos
é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
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Propriedades da interseção 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes 
propriedades: 
a) A ∩ A = A (idempotente)
b) A ∩ U = A (elemento neutro)
c) A ∩ B = B ∩ A( comutativa)
d) A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)
Obs.: Quando a interseção entre dois conjuntos: é 
vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos. 
Exemplos: Dados os conjuntos: 
A= {1, 2, 5, 6} e B = {1, 5, 9, 10} 
Temos: A U B = {1, 2, 5, 6, 9, 10} e A ∩ B = {1, 5} 
c) Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre
A e B o conjunto formado pelos elementos de A que
nâo pertencem a B.
Simbolicamente:
A – B = { x l x ∈ A e x ∉ B}
Exemplos:
1) {1, 3, 5, 6} – {2, 3, 6} = {1, 5}
2) {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1}
3) {a, b, c} – {c, a, b} = { }
d) Complementar de B em relação à A
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se
complementar de B em relação à A o conjunto A – B,
isto é, o conjunto dos elementos de A que não
pertencem a B.
 ou BC BA
Exemplo: 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6) e B = {1, 2, 3, 4} 
B = {5, 6} 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjunto dos números naturais 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} 
Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais: a 
adição e a multiplicação. Isso significa que, dados dois números 
naturais, a e b, é sempre possível encontrar um outro número 
natural c = a + b e também um número c = a × b. 
Propriedades: para todos a, b e c naturais temos: 
1) (a + b) + c = a + (b + c) (associativa)
2) a + b = b + a (comutativa)
3) a + 0 = a (elemento neutro da adição)
4) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação)
5) ab = ba (comutativa da multiplicação)
6) a × 1 = a (elemento neutro da multiplicação)
7) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em
relação à adição)
Observe que a subtração nem sempre é possível no conjunto dos 
números naturais, o que justifica a ampliação do conjunto ℕ. 
Conjunto dos números inteiros 
Z = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} 
Subconjuntos de ℤ 
ℤ + = {0, 1, 2, 3, ...} = ℕ (conjunto dos 
números inteiros não negativos) 
ℤ– = {0, –1, –2, –3,...] (conjunto dos 
números inteiros não positivos) 
ℤ* = {... –3, –2, –1, 1, 2, 3,...} (conjunto 
dos inteiros não nulos) 
Conjunto dos números racionais 
ℚ = {x l x = a
b
, a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*} 
Número racional é todo número que 
pode ser escrito em forma de fração. 
São exemplos de números racionais: 
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a) Todo número natural;
b) Todo número inteiro;
c) Os números decimais exatos;
d) As dízimas periódicas.
Conjunto dos números racionais 
 Dízimas periódicas simples 
1/3= 0,333... (período 3) 
2/7= 0,285714285714… (período 285714) 
Cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica simples 
a) Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,444...
Seja x = 0,444... multiplicando os dois membros da
equação por 10, teremos:
10x = 4,444… Subtraindo da segunda equação a
primeira teremos:
10x – x = 4,444… –0,444...
9x = 4
x = 4/9
Obs.: Note que o fato de multiplicarmos a equação por 10 
ocorre porque a dízima apresenta apenas 1 algarismo no seu 
período. Se o período fosse composto de dois algarismos, 
multiplicaríamos por 100 e assim por diante. Veja o próximo 
exemplo: 
Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,343434... 
Seja x = 0,343434... 
Multiplicando os dois membros da equação por 100, 
teremos: 
100x = 34,3434... 
Subtraindo da segunda equação a primeira, teremos:
100x – x = 34,3434… –0,3434... 
99x = 34 ⇒ x = 34/99 
Regra para determinação da fração geratriz de uma dízima 
periódica: escrevemos uma fração onde o numerador é o período 
e o denominador é formado por um número que possui somente 
algarismos nove tanto quanto forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
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1) 0,111... = 1/9
2) 0,525252... = 52/99
3) 2,345345345... = 2 + 345/999
Dízima periódica composta 
São aquelas que apresentam um algarismo ou um grupo de 
algarismos antes do período. 
Exemplos: 
1) 0,2333…
2) 0,12444…
3) 0,3451212...
Para determinarmos a fração geratriz de uma dízima periódica 
composta, podemos utilizar o mesmo recurso utilizado para as 
simples. Vejamos: 
1) 0,2333...
x = 0,2333... (multipliquemos a equação por 10 com a
finalidade de transformar a dízima composta em
simples)
10x = 2,333... (multipliquemos por 10, pois a dízima
simples possui um único algarismo no período) (I)
100x = 23,333… (II)
De (II) – (I): 100x – 10x = 23,333… –2,333...
90x = 21
x = 21/90 = 7/30
2) x = 0,12444… (multipliquemos a equação por 100 com
o propósito de transformar a dízima composta em
simples)
100x = 12,444... (I) (multipliquemos a equação por 10,
pois a dízima tem um algarismo no período)
1.000x =124,44...(II)
De (II) – (I): 1.000x – 100x = 124,444… –12,444...
900x = 112
x = 112/900 = 28/225
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Regra para determinação de uma dízima periódica composta 
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração que 
tem para numerador a diferença entre a parte não periódica 
seguida de um período e a parte não periódica, e para denomina-
dor um número formado de tantos noves quantos forem os 
algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os 
algarismos da parte não periódica. 
Ex: 
a) 0,2333... x = 23 – 2/90 = 21/90 = 7/30
b) 0,123434... x = (1234 – 12)/9900 = 1222/9900
Números Irracionais 
Existem números cuja representação decimal é infinita, mas não é 
periódica. Esses números são chamados de números irracionais. 
A união do conjunto dos números racionais com o conjuntos dos 
números irracionais nos fornece o conjunto dos números reais. 
ℝ = ℚ ∪ 𝕀𝕀 
1) 1,2345678910111213…
2) 3,40400400040000400000…
Operações com intervalos 
Sejam os intervalos A = [1, 5[ e B = ]-1, 2], vamos determinar: A ∪ B 
1 5 A 
–1 2 B 
A ∪ B = ]-1, 5[ 
A ∩ B = [1, 2] 
SÍNTESE DA AULA 
Nessa aula você: 
● Aprendeu a reconhecer os principais conjuntos numéricos,
bem como a realizar operações entre esses conjuntos.
Aprendeu ainda as relações de pertinência e inclusão e a
diferença entre elas.
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 LIVRO — SAIBA MAIS 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
O estudo introdutório de conjuntos numéricos se torna
necessário e importante ao aluno porque fornece a base para a 
construção do conhecimento da disciplina de Matemática, sendo 
imprescindível para algumas áreas profissionais, tais como 
Engenharia, Física, Arquitetura, entre outras. As construções 
apresentadas acompanharão o aluno ao decorrer de toda a sua 
formação acadêmica. Intuitivamente, sabemos que conjuntos são 
coleções de elementos. Neste capítulo apresentaremos os 
principais conceitos da teoria de conjuntos. Aqui, nomearemos 
todos os conjuntos com letras maiúsculas, e seus elementos, com 
letras minúsculas. 
OBJETIVOS 
 Apresentar os conjuntos numéricos dos naturais, 
inteiros, racionais e reais; 
 Realizar e compreender as operações com conjuntos; 
 Apresentar a noção de intervalo numérico; e 
 Realizar e compreender as operações com intervalos. 
1.1 Noções Elementares 
Os conjuntos que conhecemos são geralmente representados 
com chaves {} ou por diagramas de Venn. Utilizaremos, neste livro, 
a representação com chaves. 
EXEMPLO 
Você conhece a série de Fibonacci? A = {1, 1, 2, 3, 5, 8} é o 
conjunto dos seis primeiros números desta série, a qual dá 
origem à famosa proporção áurea. Você sabia que a proporção 
áurea foi utilizada por Leonardo da Vinci no quadro Mona Lisa? 
1.2 Conjuntos Importantes 
Vamos, agora, apresentar a definição de alguns conjuntos que 
serão importantes ao longo do curso. Tome nota, pois eles serão 
citados em vários momentos. 
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I. O conjunto vazio – ∅ – é aquele que não tem nenhum
elemento.
(Cuidado! A notação pode pregar peças. Por exemplo: o
conjunto representado por B = (∅) não é vazio. Ele tem
um elemento, que é o ∅.
II. Conjunto unitário é aquele que tem apenas um
elemento. Então, o conjunto B = (∅), apresentado
anteriormente, na verdade é um conjunto unitário!
III. Conjunto universo é um conjunto ao qual pertencem
todos os elementos em questão.
IV. Dois conjuntos, A e B, são ditos iguais quando todos os
seus elementos são iguais. Então, um conjunto A = {1,
2, 7} e um conjunto B = {2, 7, 1} são ditos iguais, uma
vez que têm os mesmos elementos.
V. A é dito subconjunto de B se, e somente se, todo
elemento de A também pertencer a B. Utiliza-se a
notação A ⊂ B (lê-se “A está contido em B”).
Temos duas propriedades importantes para os
subconjuntos:
a) (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B
b) (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C
VI. Dois conjuntos são ditos disjuntos quando não há
nenhum elemento comum entre eles. Sendo assim, se
D = {11, 13, 15} e E = {12, 14, 16}, então os conjuntos D
e E são disjuntos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Tome os conjuntos A = {7, 12} e C = {12}. Sabendo que A ⊂ B, 
determine a relação entre 
B e C. 
Solução: 
Veja que, como todos os elementos de C pertencem a A, então 
C ⊂ A. Concorda? 
Então, pela propriedade apresentada, devemos ter que C ⊂ B. 
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1.2.1 Operações com Conjuntos 
Agora que já conhecemos os principais tipos de conjuntos, 
vamos aprender as operações que podem ser efetuadas com 
eles. 
I. A união (∪) de dois conjuntos é formada por todos os
elementos que pertencem a A ou B. Temos A∪B = {x | x
∈ A ou x ∈ A} (lê-se “A união B é igual a x, tal que x
pertence a A ou x pertence a B”). Se, por exemplo,
tivermos A = {13, 21, 24} e B = {8, 55, 89}, então a união
entre os conjuntos A e B será dada por A∪B = {8, 13, 21,
34, 55, 89}.
II. A interseção (∩) de dois conjuntos é formada por todos
os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e
B. Temos A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} (lê-se “A interseção
B é igual a x, tal que x pertence a A e x pertence a B”).
Note que, caso a interseção entre dois conjuntos seja
vazia, então esses conjuntos são ditos disjuntos,
conforme vimos anteriormente! Você concorda? Então,
analisando os conjuntos A = {13, 21, 23}, B = {8, 55, 89}
e C = {13, 34, 55}, temos que A∩B = {13, 34}, que B ∩ C
= {55} e, como acabamos de definir, A∩B = ∅. Não se
esqueça de que A ∩ B = {∅} e A ∩ B = ∅ não
representam a mesma coisa. Dizer que A ∩ B = {∅},
nesse caso, seria afirmar que A e B têm o elemento ∅
em comum, o que, neste caso, não é verdade.
III. Define-se diferença entre A e B o conjunto dos
elementos de A que não pertencem a B. Temos A – B =
{x | x ∈ A e x ∉ B} (lê-se “A menos B é igual a x, tal que x
pertence a A e x não pertence a B”). O conjunto A – B é,
também, conhecido como complementar de A em
relação a B (CAB), se B⊂A. O complementar de A em
relação ao universo U é representado por AC.
EXEMPLO 
Se tivermos A = {1, 3, 5, 7, 9} como o conjunto dos cinco 
primeiros números ímpares e B = {1, 2, 3, 5, 7} como o conjunto 
dos cinco primeiros números primos, como ficarão as operações 
entre eles? 
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Solução: Teremos, desse modo: 
— A ∪ B
= {1, 2, 3, 5, 7, 9}, de modo que na união constem 
todos os elementos que estão tanto em A quanto em B; 
— A ∩ B = {1, 3, 5, 7}, de forma que na interseção estejam 
apenas os elementos em comum entre A e B; 
— A – B = {9}, uma vez que o único elemento que está em A 
mas não está em B é o número 0; e 
— B – A = {2}, uma vez que o único elemento que está em B 
mas não está em A é o número 2. 
Já conhecemos os principais conjuntos e as operações que 
são possíveis de executar. Agora, veremos as propriedades 
inerentes aos conjuntos. É sugerido que você não apenas leia 
cada propriedade, mas tente imaginar o porquê de ela ser válida. 
Aqui, haverá exercícios após as propriedades mais complexas, de 
modo a tornar seu entendimento mais palpável. 
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários e U o conjunto 
universo, temos: 
I. A ∪ B = A;
II. A ∪ ∅ = A;
III. A ∪ U = U;
IV. A ∩ A = A;
V. A ∩ ∅ = ∅;
VI. A ∩ U = A;
VII. A ∪ B = B ∪ A;
VIII. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C;
IX. A ∩ B = B ∩ A;
X. A ∩ B (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) = A ∩ B ∩ C;
XI. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
XII. A ∩ B (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
XIII. A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C);
XIV. AC ∩ A = ∅;
XV. UC = ∅ e ∅C = U;
XVI. (AC)C = A;
XVII. A – B = A ∩ BC = BC – AC;
XVIII. (A ∪ B)C = AC ∩ BC;
XIX. (A ∩ B)C = AC ∩ BC;
XX. A ∪ B = AC ∩ BC)C;
XXI. A ∪ B = A ∪ (B – (A ∩ B)) = A ∪ (AC ∩ B);
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XXII. AC ∩ A = ∅;
XXIII. UC = ∅ e ∅C = U;
XXIV. (AC)C = A;
XXV. A – B = A ∩ BC = BC – AC;
XXVI. (A ∪ B)C = AC ∩ BC;
XXVII. (A ∩ B)C = AC ∪ BC;
XXVIII. A ∪ B = AC ∩ BC)C;
XXIX. A ∪ B = A ∪ (B – (A ∩ B)) = A ∪ (AC ∩ B).
XXX. A ∩ B = (AC ∪ BC)C.
XXXI. A = A ∪ (A ∩ B) = A ∩ B) ∪ (A – B).
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Exercício para verificar as propriedades XI e XII: 
Sejam A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 5} e C = {2, 4, 6, 8}. Calcule: 
a) A ∪ B =
b) A ∪ C =
c) B ∪ C =
d) A ∩ B =
e) A ∩ C =
f) B ∩ C =
g) A ∩(B ∩ C) =
h) A ∩(B∪C) =
i) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) =
j) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) =
k) B – C =
l) A ∩ (B – C) =
m) (A ∩ B) – (A ∩ C) =
Exercício para verificar as propriedades XXI a XXIII: 
Sejam A = {1, 3, 5, 79}, B = {1, 2, 3, 5, 7} e U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
910}. Encontre: 
a) AC =
b) BC =
c) A ∪ B =
d) A ∩ B =
e) A – B =
f) B – (A ∩ B) =
g) AC ∩ B =
h) A ∪ (B – (A ∩ B)) =
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i) A ∪ (AC ∩ B)
j) AC ∪ BC =
k) (AC ∪ BC)C =
l) A ∪ (A ∩ B) =
m) A ∩ (A ∪ B) =
n) (A ∩ B) ∪ (A – B) =
1.3 Principais conjuntos numéricos 
Agora, vamos tratar dos principais conjuntos numéricos. São 
eles: Naturais ℕ, Inteiros ℤ, Racionais ℚ e Reais ℝ. Veremos, 
ainda, que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. 
1.3.1 Conjunto dos Naturais ℕ 
O conjunto dos números Naturais, ℕ, é o conjunto fundamental 
dos números que conhecemos desde que aprendemos a contar. 
Você lembra? Ele é definido por: 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} 
Este conjunto apresenta as seguintes propriedades: 
A. Relacionadas à adição:
I. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c, ∈ ℕ. (1)
II. Comutativa: a +b = b + a, ∀a, b, ∈ ℕ. (2)
III. Elemento neutro: a + 0 = a, ∀a ∈ ℕ. (3)
B. Relacionadas ao produto:
I. Associativa: (ab) c = a (bc), ∀a, b, c ∈N. (4)
II. Comutativa: ab = ba, ∀a, b ∈ ℕ. (5)
III. Elemento neutro: a × 1 = a, ∀a ∈ ℕ. (6)
Temos, ainda, uma propriedade do produto em relação à 
adição: 
I. Distributiva: a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c, ∈ ℕ. (7)
Conseguiu lembrar-se de todas? Elas representam todas as 
operações fundamentais do conjunto dos Naturais. Tome nota e 
não se esqueça dessas propriedades! Elas são válidas para todos 
os próximos conjuntos! 
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1.3.2 Conjunto dos Inteiros (ℤ) 
O conjunto dos números Inteiros, ℤ, é aquele que aprendemos 
quando vimos, pela primeira vez, o que são números negativos. O 
conjunto Z é definido por: 
ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Pelo fato de o conjunto dos Naturais ser subconjunto de ℤ, é 
interessante definir os seguintes subconjuntos: 
I. Inteiros não negativos: ℤ+ = N = {0, 1, 2, 3, ...}
II. Inteiros não positivos: ℤ– = {..., –3, –2, –1, 0}
III. Inteiros não nulos: ℤ* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
IV. Inteiros positivos: ℤ+* = {1, 2, 3, ...}
V. Inteiros negativos: ℤ–* = {–1, –2, –3, ...}
Você se lembra das propriedades (1) a (7)? Como foi dito 
anteriormente, elas também são válidas em Z! Há, ainda, uma 
propriedade que não existe no conjunto dos Naturais. Nos 
Inteiros, temos: 
I. Simétrico ou oposto aditivo: a + (–a) = 0 ∀a ∈ ℤ. (8)
Agora, você concorda que podemos definir a subtração? 
Fazemos a – b = a + (–b), a, b ∈ ℤ. Agora já temos adição, 
multiplicação e subtração, certo? Dê um palpite. Qual das quatro 
operações ainda não pôde ser definida? Se você pensou na 
divisão ou quociente, acertou! Sua definição só foi possível com o 
surgimento do conjunto dos Racionais ℚ. 
1.3.3 Conjunto dos Racionais (ℚ) 
A partir de agora, iremos tratar de números que podem ser 
representados por frações da forma q = a
b
 
 
 
 a ∈ ℤ, b ∈ ℤ* (Isso 
mesmo, o número b deve ser diferente de zero!), com as seguintes 
definições: 
I. a c= ad= bc
b d
⇔
II. a c ad + bc+ =
b d bd
III. a c ac× =
b d bd
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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Na fração a
b
, a é o numerador e b é o denominador (Guarde 
esses nomes!) 
Você irá precisar lembrar deles!). Se a e b forem primos entre 
si, isto é, se m.d.c. (a, b) = 1, então a fração será denominada 
irredutível. 
Aqui, são válidas as propriedades (1) a (8), e define-se, ainda, a 
seguinte: 
I. Simétrico ou inverso multiplicativo: a b a a× = 1, , 0.
b a b b
∈ ≠
Agora, finalmente, podemos definir a operação de quociente ou 
divisão, fazendo a c a d= 
b d b c
÷ × , sendo as duas frações não nulas. 
Segue um questionamento: todos os números podem ser 
escritos em forma de fração? Como você escreveria a2 = 
b
, para 
a e b inteiros? Não conseguiu? 
Isso se deve ao fato de ainda não termos apresentado o 
conjunto dos Irracionais! 
1.3.4 Conjunto dos Irracionais 𝕀𝕀 
Para contemplar os números que não podem ser escritos em 
forma de fração, criou-se o conjunto dos Irracionais 𝕀𝕀. Este 
conjunto abrange os números como √2, π, e etc. Agora 
conseguimos representar todos os números que conhecemos, 
certo? 
1.3.5 Conjunto dos Reais ℝ 
O conjunto dos números Reais é formado pela união do 
conjunto dos números racionais ℚ com o conjunto dos números 
Irracionais 𝕀𝕀. 
Para os números Reais, valem todas as propriedades 
apresentadas nesta seção (isso, aquelas que já vimos) e podemos 
representá-los por pontos sobre uma reta, chamada reta real. 
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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Você notou que existem números positivos e negativos? 
Números inteiros, fracionários e outros que não podem ser nem 
um nem outro? O conjunto dos Reais abrange todos estes! 
Introduzimos, aqui, dois conceitos que são amplamente 
utilizados na matemática. 
a) Intervalos:
São subconjuntos dos números reais. Há quatro 
possibilidades: 
I. Intervalo fechado: [a, b]
II. Intervalo aberto: (a, b)
III. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: [a, b)
IV. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: (a, b]
Se a e b forem finitos, diz-se que os intervalos acima são 
limitados. Nestes, o número a é denominado ínfimo ou extremo 
inferior do intervalo, enquanto b é denominado supremo ou 
extremo superior. 
Se a → ∞ e/ou b → ∞, diz-se que o intervalo é ilimitado. 
b) Módulo ou valor absoluto de um número real:
Chamamos de módulo |x| de um número real x a sua distância
à origem do sistema
de coordenadas. Sua definição matemática 
é: 
{| -x,x,x | = x < 0x 0≥
Então, de fato, o módulo representa quanto o número está 
longe do zero. Você concorda? Como consequência disso, pelo 
fato de o módulo representar a distância de x à origem, devemos 
ter |x| ≥ ∀0, x ∈ ℝ. 
Seguem suas propriedades: 
I. |x| = |–x|.
II. |x2| = |x2|.
III. |a × b| = |a| × |b|.
IV. a a= ,b 0
b b
≠ 
V. |a – b| = |b – a|.
VI. |a + b| ≤ |a| + |b|.
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VII. Se a > 0, |x| = a ⇔ x = ± a.
VIII. Se a > 0, |x| < a ⇔ –a < x < a.
IX. Se a > 0, |x| > a ⇔ x < – a ou x > a.
1.4 Relações 
1.4.1 Par ordenado 
Par ordenado é todo conjunto composto por dois elementos. 
Um par ordenado composto pelos elementos a e b é representado 
por (a, b). Por definição, teremos (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d. 
Tudo certo até aqui? Então, se forem iguais, o primeiro termo será 
igual ao primeiro, e o segundo será igual ao segundo. 
1.4.2 Sistema Cartesiano 
Um sistema cartesiano é composto por dois eixos (x e y, neste 
caso), perpendiculares no ponto O, definindo um plano que 
contém o ponto P. Abaixo, temos a representação do plano 
cartesiano. 
Definimos x0 como abscissa de P, Y0 como ordenada de P, o par 
ordenado (x0, y0) como as coordenadas de P, o eixo das abscissas 
como o eixo x, o eixo das ordenadas como o eixo y e O como a 
origem do sistema. Dê um palpite. Essas retas x e y deverão ser 
representadas em que conjunto? Se você pensou nos Reais, 
acertou. 
Ainda, definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto 
A X B cujos elementos são pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e 
y ∈ B. Assim, A X B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}. 
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1.4.3 Relação binária e relação inversa 
Define-se a relação binária R de A (conjunto de partida) em B 
(conjunto de chegada ou contradomínio) como todo subconjunto 
de A X B. Ou seja, R é a relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A X B. 
Dado um par ordenado (x, y), caso ele pertença à relação R, 
escrevemos (x, y) ∈ R ⇔ x R y. 
Da mesma forma, definimos relação inversa R–1 = {(y, x) ∈ B X A 
| B X A | (x, y) ∈ R}. 
ATIVIDADES 
1. Sendo A = (– ∞, –1), B = (–5, –2) e C = (–1, 4), obtenha:
a) A ∩ B =
b) A ∪ B =
c) A ∩ C =
2. Quais das proposições abaixo não são verdadeiras?
a) N ⊂ Z ⊂ Q
b) Z ∩ I = ∅
c) Z ⊃ Q
d) {0} ⊂ Q
e) Q+* ∩ Z = N
f) Q ∩ R = Q
3. Determine os conjuntos A ∪ B e A ∩ B, sendo A = (–3, 1) e B =
{x ∈ R | 0 ≤ x < 2}.
4. Sendo E = {x ∈ R | – 3 ≤ 3 ≤ x < 1}, F = {x ∈ R | x ≤ 3} e G = {x ∈
R | 1 < x ≤ 5} determinar:
a) E ∩ F.
b) E ∪ F.
c) F ∩ G.
d) F ∪ G.
e) E ∩ G.
f) E ∪ G.
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5. As revistas mais vendidas em uma banca de jornal, num
certo mês, foram A, B e C. O jornaleiro constatou que as
vendas do mês estavam de acordo com a tabela abaixo:
REVISTAS QUANTIDADE VENDIDA 
A 150 
B 120 
C 80 
A E B 60 
B E C 40 
A E C 20 
A, B E C 15 
OUTRAS 70 
a) Quantas revistas foram compradas nesse mês?
b) Dentre os consumidores de A, B e C, quantos compraram
apenas duas dessas revistas?
c) Quantos não compraram a revista C?
d) Quantos não compraram a revista B nem a revista C?
6. Dos 30 alunos de um pré-vestibular, sabe-se que 18 são do
sexo masculino, 13 são maiores de idade e 7 são mulheres
menores de idade. Quantos candidatos masculinos são
menores de idade?
7. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
P = {x ∈ N | 6 ≤ x ≤ 20}
A = {x ∈ P | x é par}
B = {6, 8, 12, 16}
C = {x ∈ P | x é múltiplo de 5}
O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é:
 2
 3
 4
 5
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8. Considere três conjuntos, A, B e C, tais que: n(A) = 28 × n(B) =
21 × n(C) = 20, n(A∩B) = 8, n (B∩C) = 9, n (A∩C) = 4 e n(A ∩ B
∩ C) = 3. Assim sendo, o valor de n ((A∪B ∩ C) é:
 3
 10
 20
 21
9. A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 30 elementos, A
∩ B tem 10 elementos e A∪B tem 48 elementos. Então, o
número de elementos de B – A é:
 8
 10
 12
 18
10. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
 600 entrevistados usam a pasta de dente da marca A.
 825 entrevistados usam a pasta de dente da marca B.
 525 entrevistados usam a pasta de dente da marca C.
 180 entrevistados usam as pastas de dente das marcas A
e B.
 225 entrevistados usam as pastas de dente das marcas A
e C.
 285 entrevistados usam as pastas de dente das marcas B
e C.
 105 entrevistados usam as pastas de dente das três
marcas.
 135 pessoas entrevistadas não usam as pastas de dente
de nenhuma das três marcas. 
Considerando os dados acima, quantas pessoas foram 
entrevistadas? 
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11. Foi feito um levantamento com as 200 crianças de uma
escola. Em uma conversa com os pais sobre o histórico de
doenças das crianças, foi verificado que 132 já tiveram
catapora, 100 já tiveram sarampo e 46 já tiveram as duas
doenças. Com base nos dados anteriores, pergunta-se:
a) Quantos crianças não tiveram catapora?
b) Quantos crianças não tiveram sarampo?
c) Quantas crianças não tiveram nenhuma das duas
doenças?
12. (UFPA – 2007) Um professor de Matemática, ao lecionar
Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma
pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos,
tendo chegado ao seguinte resultado: 23 alunos torcem pelo
Paysandu Sport Club; 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 6
alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 5 alunos torcem
pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto
dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos
torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do
Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente,
A∩B = ∅. Concluímos que o número n de alunos desta turma
é:
 49
 50
 47
 45
 46
13. Se A ⊄ B e B = {10, 23, 12, {1, 2}, então A pode ser:
 {10}
 {1}
 {10, 23, 12}
 {15, 12} ∩ {13, 12}
 {10, 23, 12, {1, 2}
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14. Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1, 2}}, então A∪B é:
 ∅
 {1}
 {10, 23, 12}
 {15, 10} ∩ {13, 10}
 {10, 23, 12, {1, 2}}
15. (UFMG – 2007) Uma escola realizou uma pesquisa sobre
os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados
dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam
de chocolate; 78% do total de entrevistados gostam de pizza;
e 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos
entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo
tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos,
de:
 25%
 30%
 35%
 40%
16. (FEI-SP – 2006) Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,
12, 14}; B = {5, 10, 15, 20,
25} e C + {1, 2, 3, 18, 20} e ∅ o conjunto vazio. É correto
afirmar que:
 B ∩ C = ∅
 A – C = {–6, 1, 2, 4, 5}
 A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 14, 20}
 (A – C) ∩ (B – C) = ∅
 A ∪ C = {3, 6, 11, 20, 34}
17. (UFPA – 2008) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do
ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e
história. Constatou-se que 65 gostam de português, 60
gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de
português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20
gostam de história e português e 10 gostam dessas três
disciplinas.
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O número de alunos que não gostam de nenhuma dessas 
disciplinas é: 
 0 
 5 
 10 
 15 
 20 
18. (UEA – 2005) Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5,
6} que contêm pelo
menos um múltiplo de 3?
 32
 36
 48
 60
 64
19. (UERGS – 2005) Oitenta alunos de uma sala de aula
responderam às duas questões de uma prova, verificando-se
os seguintes resultados:
I. 30 alunos acertaram as duas questões.
II. 52 alunos acertaram a 1ª questão.
III. 44 alunos acertaram a 2ª questão.
Nessas condições, conclui-se que:
 nenhum aluno errou as duas questões.
 36 alunos acertaram somente uma questão.
 72 alunos acertaram pelo menos uma questão.
 16 alunos erraram as duas questões.
 não é possível determinar o número de alunos que
erraram as duas questões. 
20. (Ibmec-SP – 2008) Todos os candidatos inscritos num
vestibular escolheram na ficha de inscrição que
preencheram uma única entre as três seguintes situações
prévias (em relação ao ano anterior): frequentou um
cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou
sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi
gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as
seguintes informações:
 800 não fizeram cursinho,
 1200 não acabaram de sair do ensino médio,
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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 1500 não ficaram estudando sozinhos durante o último 
ano. 
Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual 
a: 
 1.250. 
 1.750. 
 2.500. 
 3.500. 
 4.750. 
21. (Ibmec-SP – 2007) Em certo país, sabe-se que:
 todo médico usa roupa branca;
 nem todas as pessoas que usam roupa branca trabalham
em hospitais. 
Uma pessoa faz as afirmações seguintes referindo-se a esse 
país: 
I. Somente médicos trabalham em hospitais;
II. Existem médicos que não trabalham em hospitais;
III. Algumas pessoas que trabalham em hospitais não usam
roupa branca.
Pode-se concluir que é (são) necessariamente verdadeira(s):
 as afirmações II e III.
 a afirmação III.
 a afirmação II.
 a afirmação I.
 nenhuma das três afirmações.
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,/ 
o ,., 
$ 
i5 
" Introdução 
Brasil x França, 1/7/2006. 
Analise a seguinte situação-problema: 
Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber 
que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, 
o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de
basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basque­
te; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5
gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses es-
portes?
b) Quantas gostam somente de futebol?
c) Quantas gostam só de basquete?
d) Quantas gostam apenas de vôlei?
e) E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de bas­
quete ou de ambos?
Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar co­
nhecimentos de conjuntos.
� A noção de conjunto 
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental 
na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos 
os conceitos matemáticos. 
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por 
exemplo: 
conjunto dos estados da regIao Sudeste do Brasil: 
S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito 
Santol 
IWIA 
O 300 km 
OCEANO 
ATLÀNTICO 
'--------' 
1cm 
Adaptado de Trabalhando com mapas -As regiões brasileiras. 
São Paulo, Ática, 2000. 
conjunto dos números pri­
mos: 
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ... } 
Todo número primo maior 
do que 2 é ímpar? 
conjunto dos quadriláte­
ros: C = (quadriláterosl 
Todo número ímpar maior 
do que 2 é primo? 
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qual­
quer pode ser elemento de um determinado conjunto A.
Quando for, dizemos que: 
a pertence a A e escrevemos a E A. 
Caso contrário, dizemos que a não pertence a A e es-
crevemos a $. A. 
Nos exemplos acima, temos: 
Minas Gerais E S e Paraná $. S 
2EB e9$.B 
retângulo E C e triângulo (/:. C 
-, Propriedades, condições 
e conjuntos 
Consideremos a propriedade p:
p: x é um número natural ímpar 
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto 
1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ... }. 
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Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p
ou que x E 1. 
Consideremos agora a condição e:
e: x é um número inteiro que satisfaz a condição x2 - 4 = O 
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto 
A= (-2, 2). 
Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a 
condição e ou que x E A. 
É mais simples trabalhar com conjuntos do que com 
propriedades e condições. Além disso, podemos definir 
relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades 
e condições isso seria mais difícil. 
n Igualdade de conjuntos 
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Por exemplo, se A = (números naturais pares) 
e B = (O, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ), então A= B. 
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escre­
vemos A,,,_ B. 
Observação: ( 1, 2) = ( 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2), pois possuem 
os mesmos elementos. A quantidade de vezes que eles 
aparecem não é importante. 
i#:iJUtêiitl) 
Para resolver os exercícios 1 e 2 a seguir, use as convenções dadas na 
página anterior. 
1. Escreva com símbolos:
a) Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.
b) Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.
e) 17 pertence ao conjunto dos números primos.
d) 15 não pertence ao conjunto dos números primos. 
e) Pentágono não pertence ao conjunto dos quadriláteros. 
f) Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F)
a) São Paulo E S f) paralelogramo E C
b) Piauí$ S g) trapézio$ C
e) Rio de Janeiro$ S h) hexágono E C
d) 21 E B i) 29 $ B
e)2 E B j) Venezuela E S
3. Escreva o conjurfto expresso pela propriedade:
a) x é um número natural par;
b) x é um número natural menor do que 8;
e) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31;
d) x é letra da palavra CONJUNTO;
e) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.
4. Escreva o conjunto dado pela condição:
a) y é um número tal que y2 - 25 = O;
b) y é um número tal que y2 - 5y + 6 = O;
e) y é um número maior do que zero tal que y2 - 3y - 10 = O;
d) y é um número divisor de 16 tal que y3 = 8;
e) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do que -2.
5. Escreva uma propriedade que define o conjunto:
a) {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); e) {11, 13, 15, 17);
b){0, 2, 4, 6}; d) {O, 1, 2, 3, 4, ... , 99,100).
6. Escreva uma condição que define o conjunto:
a) {-3, 3}; e) {5};
b){1, 2}; d) {7, 8, 9, 10, 11, ... }.
• Conjuntos vazio, unitário
e universo
Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação 
é 0. Uma propriedade contraditória qualquer pode ser usa­
da para definir o conjunto vazio. Por exemplo: 
(números naturais ímpares menores do que 1) 
(x I x é um número natural ímpar menor do que 1) = 0,
L_ lê-se "tal que" 
pois não há número natural ímpar menor do que 1. 
Assim, o conjunto vazio não possui elementos. Ele pode 
ser representado também por ( ) . 
Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, forma­
do por um único elemento. Exemplo: 
(números naturais pares e primos) = {x I x é um número
natural par e primo) = {2), pois o único número natural par 
e primo é o 2. 
Como curiosidade, observe que 0 é diferente de {0), 
pois (0) é um conjunto unitário que tem como único elemen­
to o conjunto vazio. 
Um conjunto importar,te é o conjunto universo, cuja no­
tação é U. É o conjunto formado por todos os elementos 
com os quais estamos trabalhando num determinado as­
sunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertencem 
a U e todos os conjuntos são partes de U.
É muito importante saber em qual universo estamos tra­
balhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números 
naturais, então a equação x + 5 = 2 não tem solução; po­
rém, se U é o conjunto dos números
inteiros, então a equa­
ção x + 5 = 2 tem como solução x = -3. 
7. Classifique em conjunto vazio ou conjunto unitário:
a) A= {polígonos que possuem três lados}
b) B = {x I x é natural maior do que 10 e menor do que 11)
e) C = {x I x é par maior do que 3 e menor do que 5)
d) D = {x I x é número primo maior do que 7 e menor do que 11}
e) E= {quadriláteros que possuem todos os ângulos obtusos}
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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8. Escreva qual é o conjunto universo em cada caso:
a) O triângulo é um polígono de três lados, o quadrilátero é um po­
lígono de quatro lados e o pentágono, um de cinco lados.
b) A adição de dois números naturais é comutativa.
e) No conjunto dos números inteiros as soluções da equação
x2 - 16 = O são -4 e 4.
d) No conjunto dos números naturais a solução da equação
x2 -16=0é4.
e) As medidas são sempre números reais, positivos ou nulos.
t!I Subconjuntos e a relação 
de inclusão 
Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elemen­
tos de A forem também elementos de B, dizemos que A é 
um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, 
que A é parte de B. Indicamos esse fato por A e B. 
A é subconjunto de B
ou 
A e B lê-se A está contido em B
ou 
A é parte de B
Quando A e B podemos 
também escrever B :J A 
(lê-se B contém A). 
Se A não for subconjunto de B, escrevemos A ct. B. 
Exemplos: 
12) Considerando P o conjunto dos números naturais pares
e IN o conjunto dos números naturais, temos:
P = (O, 2, 4, 6, 8, 10, ... } e 
IN = (O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... } 
IN 
Nesse caso, P e IN, pois todos os elementos de P per­
tencem a IN. 
22) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos
quadriláteros, então A e B, pois todo retângulo é um
quadrilátero.
B 
A 
32) Se A= (1, 2, 3} e B = (1, 2, 4}, então A ct. B, pois 3 E A
e 3 ft B. Nesse caso, também B ct. A.
Relação de inclusão 
A relação A e B chama-se relação de inclusão. São ca-
sos particulares extremos de inclusão: 
A e A, pois é claro que qualquer elemento de A perten­
ce aA.
0 e A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitís­
semos que 0 ct. A, teríamos um elemento x tal que x E 0 
e x ft A. Mas x E 0 é impossível. Logo, 0 e A. 
A relação de inclusão possui três propriedades básicas. 
Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determinado 
universo U, temos: 
A e A (propriedade reflexiva). 
Se A e B e B e A, então A = B (propriedade antissimé­
trica). 
Se A e B e B e C, então A e C (propriedade transitiva). 
A propriedade antissimétrica é sempre usada quando se 
quer provar que dois conjuntos são iguais. Para provar que 
A = B basta provar que A e B (todo elemento de A pertence 
a B) e que B e A (todo elemento de B pertence a A).
A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. 
Na lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocínio 
chamada silogismo. Por exemplo: 
P: conjunto dos paulistas 
B: conjunto dos brasileiros 
S: conjunto dos sul-americanos 
Todo paulista é brasileiro. 
Todo brasileiro é sul-americano. 
Então, todo paulista é sul-americano. 
Se P e B e B e S, então P e S. 
A é subconjunto próprio de B quando 
A e B com A 7'- 0 e A 7'- B. 
Veja outro exemplo: 
IN: conjunto dos números naturais 
(Q: conjunto dos números racionais 
IR: conjunto dos números reais 
Todo número natural é racional. 
Todo número racional é real. 
Então, todo número natural é real. 
Se IN e (Q e (Q e IR, então IN e IR. 
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9. Dado o conjunto A= {1, {2, 3), {4}}. julgue se os itens abaixo são
verdadeiros ou falsos:
a)1 E A 
b){1) E A 
e) 1 e A
d){1)CA 
e){2, 3) e A
1)0EA
g)0CA
1 O. Dado o conjunto A = {0}, diga se os itens abaixo são verdadeiros 
ou falsos: 
a) A é o conjunto vazio. 
b) A é um conjunto unitário. 
c)0cA
d)0EA 
e){0} e A 
11. Dados os conjuntos A = {1, 21. B = {1, 2, 3, 4, 51.
C = {3, 4, 51 e D= {O, 1, 2, 3, 4, 5), classifique em verdadeiro (V)
ou falso (F):
a)A e B
b)C cA
e) B e D
d)D e B
e) C (/:. A
!) AC D
g) B e e
h)B e B
i) 0(/:.A
i) D::, A
k) 0c B
1) C ::, D
12. Considerando que:
• A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que
10;
• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais;
• C é o conjunto dos números primos menores do que 9;
use os símbolos e ou ct. e relacione esses conjuntos na ordem
dada:
a)Ae B b) e e A e) e e B d) Ae e
13. Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Ye Z não são vazios.
Escreva algumas relações verdadeiras entre eles usando os símbo­
los e ou ct..
y o 
'--------------z 
� Conjunto das partes 
Dado o conjunto A = {a, e, i). é possível escrever todos 
os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A é chamado de con­
junto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos: 
P(A) = {0, {a}, (e}, {i}, (a, e}, {a, i}, (e, i}, (a, e, i)} 
Observe que (a}, (a, e) e (a, e, i}, por exemplo, são ele­
mentos de P(A). Portanto, escrevemos (a) E P(A), 
{a, e) E P(A) e (a, e, i) E P(A), e não(a) e P(A), (a, e) e P(A) 
e (a, e, i) e P(A). Veja que 0 e P(A) e 0 E P(A). 
Observe também que há uma relação entre o número de 
elementos de P(A) e o número de elementos de A:
0 tem O elemento e P(0) = (0) tem 1 elemento. 
A= (a) tem 1 elemento e P(A) = {0, (a)} tem 2 elementos. 
A = (a, b) tem 2 elementos e P(A) = {0, {a}, (b}, {a, bl} 
tem 4 elementos. 
A= (a, b, c) tem 3 elementos e 
P(A) = {0, (a}, (b}, (c}, (a, b}, (a, c}, {b, c}, (a, b, c)} 
tem 8 elementos. 
Lembre-se de que 2° = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8. É pos­
sível conjecturar então que, se A tem n elementos, P(A) tem 
2n elementos. 
Essa conjectura é verdadeira e será demonstrada pos­
teriormente. 
O que significa conjecturar? Dê um exemplo. 
14. Dados A= {O, 1 l e B = {1, 3, 5), determine
a)P(A);
b) P(B);
e) o número de elementos de P(A);
d) o número de elementos de P(B).
15. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o conjunto A?
16. Escreva um subconjunto A dos números naturais tal que P(A) tenha
16 elementos.
r:, Complementar de um 
conjunto 
Dado o universo U = (O, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e o con­
junto A= {1, 3, 5, 7), dizemos 
que o complementar de A em 
relação a U é {O, 2, 4, 6, 8, 9), 
ou seja, é o conjunto formado 
pelos elementos de U que não 
pertencem a A.
O complementar de um 
conjunto só tem sentido 
quando fixamos um 
conjunto universo U.
De modo geral, dado um conjunto A de um certo univer­
so U, chama-se complementar de A em relação a U o con­
junto formado pelos elementos de U que não pertencem a 
A; indica-se e� ou AC ou A.
Logo, N = (x I x EU e x$ A). 
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9. Dado o conjunto A= {1, {2, 3). (4)). julgue se os itens abaixo são
verdadeiros ou falsos:
a)1 E A 
b){1} E A 
e) 1 e A
d}{1} e A
e){2, 31 e A
I) 0EA
g)0CA
1 O. Dado o conjunto A = (0). diga se os itens abaixo são verdadeiros 
ou falsos: 
a) A é o conjunto vazio.
b) A é um conjunto unitário.
c)0CA
d)0EA
e){0} e A
11. Dados os conjuntos A = (1, 2}. B = (1, 2, 3, 4, 51.
C = (3, 4, 5) e D= (O, 1, 2, 3, 4, 5}. classifique em verdadeiro (V)
ou falso (F):
a)A e B
b)C cA
e) B e D
d)D e B
e) C rt. A
1) A e D
g) B e e
h)B e B
i) 0(/:.A
j) D :J A
k) 0C B
1) C :J D
12. Considerando que:
• A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que
10;
• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais;
• C é o conjunto dos números primos menores do que 9;
use os símbolos e ou rt. e relacione esses conjuntos na ordem
dada:
a)AeB b)CeA c) CeB d) AeC
13. Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Ye Z não são vazios.
Escreva algumas relações verdadeiras entre eles usando os símbo­
los e ou rt..
y o 
�------------z 
O Conjunto das partes 
Dado o conjunto A = (a, e, i}. é possível escrever todos 
os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A é chamado de con­
junto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos: 
P(A) = {0, (a}. (e}. {i}. {a, e}. {a, i}. {e, i}. {a, e, il} 
Observe que {a}. {a, e} e {a, e, i}. por exemplo, são ele­
mentos de P(A). Portanto, escrevemos {a) E P(A), 
{a, e} E P(A) e (a, e, i} E P(A), e não (a) e P(A), {a, e) e P(A) 
e {a, e, i) e P(A). Veja que 0 e P(A) e 0 E P(A). 
Observe também que há uma relação entre o número de 
elementos de P(A) e o número de elementos de A:
0 tem O elemento e P(0) = {0) tem 1 elemento. 
A= (a) tem 1 elemento e P(A) = {0, {a)} tem 2 elementos. 
A= {a, b) tem 2 elementos e P(A) = {0, {a}. (b}. {a, b)} 
tem 4 elementos. 
A= {a, b, c} tem 3 elementos e 
P(A) = {0, {a}. {b}. {c}. (a, b}. (a, c}. {b, c}. (a, b, c)} 
tem 8 elementos. 
Lembre-se de que 2° = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8. É pos­
sível conjecturar então que, se A tem n elementos, P(A) tem 
2n elementos. 
Essa conjectura é verdadeira e será demonstrada pos­
teriormente. 
O que significa conjecturar? Dê um exemplo. 
14. Dados A = (O, 1 l e B = (1, 3, 5}. determine:
a) P(A);
b) P(B);
e) o número de elementos de P(A);
d) o número de elementos de P(B).
15. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o conjunto A?
16. Escreva um subconjunto A dos números naturais tal que P(A) tenha
16 elementos.
� Complementar de um 
conjunto 
Dado o universo U = (O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e o con­
junto A= (1, 3, 5, 7). dizemos 
que o complementar de A em 
relação a U é {O, 2, 4, 6, 8, 9). 
ou seja, é o conjunto formado 
pelos elementos de U que não 
pertencem a A.
O complementar de um 
conjunto só tem sentido 
quando fixamos um 
conjunto universo U. 
De modo geral, dado um conjunto A de um certo univer­
so U, chama-se complementar de A em relação a U o con­
junto formado pelos elementos de U que não pertencem a 
A; indica-se e� ou AC ou A.
Logo, AC = (x I x Eu e x fl. A}. 
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Observação: Uma vez considerado o conjunto A, em um 
universo U, para cada elemento x EU, vale uma, e somen­
te uma, das possibilidades: x E A ou x $. A (na lógica 
esse fato é conhecido como princípio do terceiro excluído).
As alternativas x E A e x $. A não podem ser verdadeiras 
ao mesmo tempo (princípio da não-contradição).
Desses princípios acima podemos tirar as seguintes pro­
priedades: 
1 �) (ACf =A para todo A e U (o complementar do comple­
mentar de um conjunto A é o próprio conjunto A). 
2�) Se A e S então se e AC (se um conjunto A está contido 
em B, o complementar de B está contido no comple­
mentar de A). Escrevendo de outra forma: 
A e s � se e AC 
É possível provar que a recíproca de A e S � se e AC 
também é verdadeira e escrevemos: 
A e s <=> se e AC 
ou seja, as afirmações "A está contido em B" e "com­
plementar de B está contido no complementar de A" 
são equivalentes. 
(i #:i§ 14 ffij{jj 
17. Dados U = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), A= {O, 2, 4, 6, 8),
s = {1, 3, 5, 7, 91 e C = {2, 41, determine:
a) e�; b) e�: e) e�; d) e�.
18. Dado o diagrama de Venn abaixo, hachure os conjuntos, fazendo
uma figura para cada item:
a) e� b) se e) e
De modo geral, podemos 
considerar e: sempre que 
A e B. Se A ct. B não 
podemos determinar e: 
19. DadosU={1,2,3,4,5,6,7}, C� ={1,2,6,71, Bc ={5,6,7}e
e� = {1, 3, 5, 71, determine os conjuntos:
a) A; b) S; e) e.
20. Verifique com um exemplo a equivalência já demonstrada:
A e s <=> se e AC.
n Operações entre conjuntos
Diferença 
Dados os conjuntos A = {O, 1, 3, 6, 8, 9) e S = { 1, 4, 9, 90), 
podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos 
que pertencem a A, mas que não pertencem a S. Assim, 
C = {O, 3, 6, 8). 
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indi­
cado por A - S (lê-se: A menos B).
De modo geral, escrevemos: 
A - s = {x I x E A e x €!. S} 
Observe que, se Se A, a diferença A - S é igual ao e:.
Por exemplo, se A = {O, 2, 4, 6, 8) e S = {4, 8), então 
A - S = {O, 2, 6) = e:. 
Reunião ou união 
Dados os conjuntos A = {O, 10, 20, 30, 50) e S = {O, 30, 
40, 50, 60), podemos escrever o conjunto C formado pelos 
elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. 
Assim, C = {O, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é cha­
mado reunião ou união de A e B e é indicado por A U S 
(lê-se: A reunião B ou A união B).
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a reunião 
A u S é o conjunto formado pelos elementos de A mais os 
elementos de B:
A U S = {x I x E A ou x E S} 
Por exemplo, se A = {3, 6) e S = {5, 6), então 
A U S = {3, 5, 6}. 
Nos diagramas a seguir, a reunião A u S está colorida: 
00 
u--- - -------
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© © 
u----� u----� 
Observação: Este "ou" da reunião não é o "ou" de exclusão 
da linguagem usual "vamos ao cinema ou ao teatro". 
Ele significa: se x E A u B, então x E A ou x E B ou x per­
tence a ambos, isto é, x E A u B quando pelo menos uma 
das afirmações, x E A ou x E B, é verdadeira. 
Intersecção 
Dados os conjuntos A= {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b}, 
podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos 
que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos 
elementos comuns a A e B. Assim, C = {a, e, u}. 
O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indi­
cado por A n B (lê-se A intersecção B ou, simplesmente, 
A inter B).
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersec­
ção A n B é o conjunto formado pelos elementos que per­
tencem simultaneamente a A e a B: 
A n B = {x I x E A e x E B} 
Por exemplo, se A = {2, 4, 6} e B = {2, 3, 4, 5), então 
A n B = {2, 4). 
Nos diagramas abaixo, a intersecção A n B está colo­
rida: 
00 
u----------� 
@ @ 
u----� u----� 
Observações: 
1 �) x E A n B quando as duas afirmações, x E A e x E B, 
são simultaneamente verdadeiras. 
2�) Se A n B = 0, então os conjuntos A e B são chamados 
disjuntos. 
Propriedades da reunião 
e da intersecção 
Dados três conjuntos, A, B e C, valem as proprieda­
des: 
1�) A U B = B U A 
( comutativa) 
AnB=BnA 
2�) (A u B) u C = A u (B u C) 
(associativa) 
(A n B) n e = A n (B n C) 
3�) A n (B U C) = (A n B) U (A n C) 
( distributiva) 
A u (B n C) = (A u B) n (A u C) 
A n (B U C) (A n B) u (A n C) 
4�) A C B ç:=> A U B = B ç:=> A n B = A 
© 
AUB=B AnB=A 
5�) A e B => (A U C) e (B U C) 
A e B => (A n C) e (B n C) 
6�) Leis de De Morgan 
Dados A e B subconjuntos de um universo U, tem-se: 
(A u B)C = AC n BC (O complementar da reunião é igual 
à intersecção dos complementares.) 
(A n B)C = AC u BC (O complementar da intersecção é 
igual à reunião dos complementares.) 
Você pode constatar a veracidade dessas propriedades 
de um modo geral, representando os conjuntos por diagra­
mas, como foi feito com a 3� e a 4� propriedades. 
21. Dados os conjuntos A = {a, b, e, d, e, f, g}, B = {b, d, g, h, i} e
C = {e, f, m, n}, determine:
a)A- B;
b)A- C;
e) B - C;
d) B - A.
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22. Dado o diagrama, hachure os conjuntos, fazendo uma figura para
cada item:
a)A -B b) A-C e) B -c d) B -A
23. Dados os conjuntos A = {O, 3, 4, 5, 6, 7, 8), B = {2, 4, 5, 6, 9) e
C = {O, 3, 6, 9, 10), determine:
a)A U B;
b)A n B;
c)A u C;
d)A n C;
e)B n C;
f) (A n B) U C;
g) (A n C) u B;
h) (A n B) n C;
i) (A u B) n C;
j) (A u C) n B;
k) A U (B n C);
1) A n (B n C).
24. Dado o diagrama, hachure os conjuntos, fazendo uma figura para
cada item:
a)A n B
b)B u C
e) (A u B) n c
d)(B n C) u A
e)An(BUC)
f) (A n B) u (A n C)
Compare os diagramas obtidos
em e e f. O que você pode con­
cluir? 
25. Dados os conjuntos:
• A= {x I x é um número natural primo menor do que 10);
• B = {x I x é um número natural múltiplo de 2 menor do que 9}; 
• C = {x I x é um número natural divisor de 12); 
determine: 
a)A n B;
b)A n C;
e) B u C;
d) B n C;
e) (A n B) n C;
f) (A U B) n C;
g) (A u B) u C;
h) (A U C) n B;
i) (A n C) U B.
26. Indique simbolicamente a parte colorida no diagrama:
a) e)
b) d) 
27. Se IN = {O, 1, 2, 3, 4, 5, ... } e P = {O, 2, 4, 6, 8, 10, ... }, determi­
ne IN -P
28. Se L é o conjunto dos números naturais primos e P o conjunto dos
números naturais pares, determine L - P.
29. Na internet, sites de busca como o Google permitem que o inter­
nauta faça combinações entre as palavras que devem ser pesqui­
sadas para obter os resultados desejados. Em geral, as regras de
procura são as seguintes:
• Quando as palavras são digitadas com um espaço entre elas, a
busca é feita por uma palavra e a outra palavra. Por exemplo,
digitando amor esperança serão procurados apenas os sites
que contenham, ao mesmo tempo, a palavra "amor" e a palavra
"esperança".
• Quando se usa um sinal de -na frente de uma determinada pa­
lavra, a busca é feita excluindo-se os sites que contenham tal
palavra. Por exemplo, digitando amor-esperança serão pro­
curados sites que contenham a palavra "amor", mas que não
contenham a palavra "esperança".
Com base nessas regras, considere que um rapaz tenha feito a
seguinte pesquisa no Google: amor beleza-desespero.
No diagrama de Venn abaixo, considere que os sites com as pala­
vras Amor, Beleza e Desespero estão representados como conjun­
tos com a inicial da palavra, ou seja, ao conjunto A pertencem
todos os sites que contêm a palavra Amor, e assim por diante.
Pinte as regiões que representam corretamente o resultado da
busca feita pelo rapaz.
30. Dados os conjuntos:
P: conjunto dos polígonos
G: conjunto dos paralelogramos
L: conjunto dos losangos
R: conjunto dos retângulos
Q: conjunto dos quadrados
faça um diagrama e determine:
a) Ln R; d) R n Q;
b) L u G; e) G u P;
e) Q n L; f) P n R.
Número de elementos da reunião 
de conjuntos 
1 9 caso: 
Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9) e B = {O, 2, 4, 6, 8). Observando 
os conjuntos, notamos que cada um tem cinco elementos. 
Representamos simbolicamente o número de elementos 
desses conjuntos da seguinte forma: 
n(A) = 5 n(B) = 5 
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Agora, veja: 
A n B = 0::::} n(A n B) = O 
A U B = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ::::} n(A U B) = 1 O 
Observe que: 
10 
t 
n(A U B) 
2g caso: 
5 + 5
t t
n(A) + n(B) 
Consideremos A o conjunto dos números ímpares de 
O a 10, e B o conjunto dos números primos de O a 10. Então, 
se n(A) representa o número de elementos de A, temos: 
A= (1, 3, 5, 7, 9)::::} n(A) = 5 
B = (2, 3, 5, 7) ::::} n(B) = 4 
A n B = (3, 5, 7) # 0::::} n(A n B) = 3 
A U B = (1, 2, 3, 5, 7, 9}::::} n(A U B) = 6 
Observe que n(A u B) # n(A) + n(B), pois há três elemen­
tos comuns a ambos os conjuntos [n(A n B) = 3). 
Assim: 
6 + 4 3 
t t t t 
n(A U B) n(A) + n(B) n(A n B) 
É possível provar que, de modo geral, quando A e B são 
conjuntos finitos, tem-se: 
n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B), quando A n B # 0 
No caso particular de A n B = 0, temos: 
n(A u B) = n(A) + n(B), pois n(A n B) = O 
Observe que n(A) inclui n(A n B) e n(B) também 
inclui n(A n B): 
(
A
íl
B
� 
� 
n ( A u B) = [ n (A) -__n(.A..A-B)í -l::.JJ.(A-A-Br + 
+ [n(B) - n(A n B)] 
n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B) 
1. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes
perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de
música? Gosta de esporte? Responderam sim à primeira
pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25
responderam sim a ambas; e 40 responderam não a am­
bas. Quantos jovens foram entrevistados?
A: conjunto dos que gostam de música ::::} n(A) = 90
B: conjunto dos que gostam de esporte ::::} n(B) = 70
A n B: conjunto dos que gostam de ambos ::::} n(A n B) = 25
A - (A n B): conjunto dos que só gostam de música::::} 
::::} 90 - 25 = 65 
B - (A n B): conjunto dos que só gostam de esporte ::::} 
::::} 70 - 25 = 45 
�
A
Ô
B
� 
\__yJ 40 
Portanto, o número de entrevistados é: 
65 + 25 + 45 + 40 = 175 
ou: 
n(A U B) + 40 = n(A) + n(B) - n(A n B) + 40 = 
= 90 + 70 - 25 + 40 = 175 
2. Agora estamos em condições de resolver o problema da
introdução deste capítulo.
Vamos considerar F o conjunto dos que gostam de futebol,
B dos que gostam de basquete, e V dos que gostam de vôlei,
e montar o diagrama com a distribuição das quantidades.
Devemos começar sempre com a intersecção dos três, depois
com a intersecção de dois e, finalmente, com os que gostam
só de um esporte, sempre desconsiderando os já contados.
a) 50 - (5 + 5 + 3 + 4 + 5 + 2 + 9) = 17
Dezessete pessoas não gostam de nenhum desses espor­
tes.
b) Nove pessoas só gostam de futebol.
e) Cinco pessoas só gostam de basquete.
d) Duas pessoas só gostam de vôlei.
e) Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem
de vôlei (9 que só gostam de futebol e 17 que não gos­
tam de nenhum dos esportes).
f) 9 + 5 + 10 = 24
Vinte e quatro pessoas gostam só de futebol ou só de
basquete ou de ambos.
Obseivação: No caso de três conjuntos, A, B e C, pode-se 
provar que a fórmula que indica o número de elementos da 
união A U B U C é: 
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n B) -
- n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C) 
Assim: 
n(F U B U V) = 23 + 18 + 14 - 10 - 9 - 8 + 5 = 33 
Aula 1 Conjuntos Numéricos
Visite-nos: mrdezigner.com.br 35 MATEMÁTICA BÁSICA
ti#UUMitll 
31. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos.
Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira
questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram
as duas questões?
32. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência
dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encon­
trados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao pro­
grama B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 fa­
mílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B
e C, 25 assistem aos programas A e C, e 1 O famílias assistem aos
três programas.
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?
e) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao pro­
grama 87
33. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A,
29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6%
leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?
e) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
34. Em uma classe 30 alunos acertaram a primeira questão de uma pro­
va e 25 alunos acertaram a segunda questão dessa prova. A prova
continha apenas duas questões e todos os alunos da classe acerta­
ram pelo menos uma questão.
a) Qual é o máximo de alunos que essa classe pode ter? Em que
situação?
b) Qual é o mínimo de alunos que essa classe pode ter? Em que si­
tuação?
35. A, B e C são conjuntos tal que n(A n B) = 8, n(C) = 10, n(A- C) = 7,
n(A n B n C) = 5, n(B n C) = 6, n(B) = 12, n(A n C) = 7. Determi­
ne o número de elementos de:
a)B - C;
b)A;
c)A U B;
d)A u B u C.
36. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique:
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A u B tem 7
elementos.
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A n B tem 2
elementos.
e) Se A n B = 0, A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então
A u B tem 9 elementos.
37. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125 entrevistados,
obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal
Z, 25
assistem a X e V, 8 a Y e Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três.
a) Quantos não assistem a nenhum desses canais?
b) Quantos assistem somente ao canal X?
e) Quantos não assistem nem a X nem a Y?
38. Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete, com 100
pessoas, sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas com­
pram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produ­
to B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas com­
pram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C,
e 4 compram os três produtos.
a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos?
b) Quantas pessoas não compram nenhum desses produtos?
e) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não compram C?
d) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?
e) Quantas pessoas compram o produto A?
1) Quantas pessoas compram o produto B?
39. Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas,
obtivemos os seguintes resultados: 41 estudam inglês; 29 estudam
francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 es­
tudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam
os três idiomas.
a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas?
b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?
6l'J Conjuntos numéricos 
Introdução 
Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemá­
tica são os números e as figuras geométricas. O objetivo 
deste tópico é recordar e aprofundar o que você estudou 
sobre números no ensino fundamental. 
Quando comparamos uma grandeza e uma unidade ob­
temos um número. Se a grandeza é discreta, a comparação 
é uma contagem e o resultado, um número natural. Exemplo: 
quando contamos o número de dias de um ano bissexto. 
Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e 
o resultado é um número real. Por exemplo, quando medi­
mos a distância entre duas cidades.
Conjunto dos números naturais (IN) 
Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens. 
Leopold Kronecker (matemático alemão) 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
IN = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } 
O sucessor de um núme-
ro natural é o número natural 
que vem imediatamente de­
pois dele. Assim, o sucessor 
de 3 é 4, de 5 é 6, etc. 
Observe que: 
Como determinamos o 
antecessor de um número 
natural? Dê um exemplo. 
qualquer número natural tem um único sucessor; 
números naturais diferentes têm sucessores diferentes; 
o zero é o único natural que não é sucessor de nenhum
outro.
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN* = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } ou IN* = IN - (O}
Os números naturais são usados:
nas contagens 
A população brasileira é de aproximadamente 190 mi­
lhões de brasileiros.
• nos códigos
O CEP da Editora Ática em São Paulo é 02909-900.
• nas ordenações 
O 12 estado brasileiro em superfície é o Amazonas, com
1 570 745,68 km2, e o 22 é o Pará, com 1247 689,515 km2.
OCEANO 
PACIFICO 
ATLÂNTICO 
O 785 km 
1 cm 
Fonte: Brasil em números, 2005. 
Em IN é sempre possível efetuar a adição e a multiplica­
ção, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais
resultam sempre um número natural. Já a subtração entre
dois números naturais nem sempre é um número natural; a
subtração 3 - 4, por exemplo, não é possível em IN. Daí a
necessidade de ampliar o conjunto IN introduzindo os nú­
meros negativos.
Conjunto dos números inteiros (.Z) 
O conjunto dos números inteiros é representado por:
'1Z. = ( ... , -4, -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, 4, ... }
• Existe número natural que não é inteiro?
• Existe número inteiro que não é natural?
• Você sabia que Zé a primeira letra da palavra
Zah/, que em alemão significa 'número'? 
Destacamos os seguintes subconjuntos de 'lZ.:
• IN, pois IN e '7Z.
• 'lZ.* = '1Z. - !O) ou 'lZ.* = !- .. , -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... }
. . . . . . . 
-4 -3 -2 -1 
• 
o
. -
2 
• . . . .
4 
Há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simé­
trico de 3 é -3, bem como o oposto de -3 é 3, valendo
3 + (-3) = -3 + 3 = O.
No conjunto '7Z. é sempre possível efetuar a adição, a
multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a
diferença de dois números inteiros resultam sempre um
número inteiro. E todas as propriedades das operações em 
IN continuam válidas em 'lZ..
Já da divisão de dois nú-
meros inteiros nem sempre 
resulta um número inteiro: 
• (-8):(+2)=-4�é pos­
sível em '7Z.
( -7) : ( + 2) = ? � não é
possível em '7Z.
Fração aparente é aquela
que indica um número 
. t . 12 3 me1ro:- = ;
4 
8 -- = -4· etc 
2 ' 
.
Daí a necessidade de ampliar o conjunto '7Z. introduzindo
as frações não aparentes.
Conjunto dos números racionais (Q) 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas
e negativas ao conjunto '7Z. obtemos o conjunto dos
números racionais (O). Assim, por exemplo, são números
racionais:
Observe que todo número racional pode ser escrito na
forma�. com a E 'lZ., b E '7Z. e b ,,;,. O. Por exemplo,
b 
6 2 10 3 2 O 
-2 = - 3, 1 = 2, 2 = 5, - 4, 3, O= 2, etc.
Assim, escrevemos:
O= { x I x = � , com a E 'lZ., b E '7Z. e b ,,;,. O}
Observe que a restrição b ,,;,. O é necessária, pois �.
divisão de a por b, só tem significado se b ,,;,. O. A designa­
ção racional surgiu porque � pode ser vista como uma
razão entre os inteiros a e b. A letra O, que representa o
conjunto dos números racionais, é a primeira letra da pala­
vra quociente.
Se b = 1, temos � = f = a E 'lZ., o que implica que '7Z.
é subconjunto de O. Assim:
INC'lZ.CO
Historicamente, os racionais estão associados a resulta­
dos de medições. Ao medir um segmento de reta AB com
uma unidade u de medida 1 podem ocorrer estas possibi­
lidades:
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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1�} A unidade u cabe em AB um número inteiro de vezes:
A B u 
Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em AB.
Então a medida de AB = p unidades, em que p é um
número natural.
2�) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes
em AB.
A B
u V 
Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que
caiba q vezes no segmento unitário u e p vezes no seg-
mento de reta AB. A medida de v será a fração ii" e,
consequentemente, a medida de AB será p vezes ii"· 
ou seja, igual a %· Quando tal segmento v existe, di­
zemos que os segmentos de reta u e AB são comen­
suráveis e a medida de AB é o número racional %· Nem
sempre existe o segmento v nessas condições.
No conjunto O, as quatro operações fundamentais são
possíveis e valem todas as propriedades que valem para os
inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão
por zero é impossível e o símbolo � não tem significado.o 
Representação decimal dos números 
racionais 
Dado um número racional �. a representação decimal
b 
desse número é obtida dividindo-se a por b, podendo re­
sultar em:
decimais exatas, finitas:
1 - = 0 25 
4 
5 - - = -0 625
8 
6 6 = 1 = 6,0 45 = 0,8 
decimais ou dízimas periódicas, infinitas:
2 -
- = 0,666 ... = 0,6 
3 
177 = 0,1787878 ... = 0,178 
990 
Determinação da fração geratriz do decimal 
Da mesma forma que um número racional � pode ser
b 
representado por um decimal exato ou periódico, estes
também podem ser escritos na forma t, que recebe o
nome de fração geratriz do decimal.
Por exemplo, vamos escrever a fração geratriz de cada
decimal:
0,75 
75 3 
0,75 = 
100 
= 4 � fração geratriz
0,222 ...
X= 0,222 ...
10x = 2,222 ..
10x = 2 + 0,222 ...
10X = 2 + X
9x = 2 
2 
x = 9 � fração geratriz
0,414141 ...
N = 0,414141 .. .
100N = 41,4141 .. .
100N = 41 + 0,4141
100N = 41 + N
99N = 41 
N 
41 
f -= 
99 
� raçao geratriz
0,178 
N = O, 1787878 .. .
10N = 1,787878 .. .
10N
= 1 + 0,787878 ... ( 0,787878 ... = ��. Verifique.)
10N = 1 + 
78 
99
990N = 99 + 78 
N = 177 � fração geratriz
990 
Observações: 
1 �) O número 0,999 ... é igual a 1, pois o símbolo 0,999 ...
representa o número cujos valores aproximados são 0,9;
0,99; 0,999; 0,9999; etc., cada vez mais próximos de 1.
Dizemos que essa sequência tem 1 como limite.
2�) Veja alguns números racionais colocados na reta:
i. l. 
8 4 
_i_ 4 _J_ +/1+ 2 3 2 
-4 -3 -2 -1 o 2 3 4 
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro
número inteiro.
Entre dois números racionais sempre existe outro racio-
p . . 1 3 nal. or exemplo, entre os racIonaIs 2 = 0,5 e 4 = O, 75 
podemos encontrar infinitos racionais; entre eles % = 0,625.
Mas isso não significa que os racionais preenchem toda
a reta.
Os números racionais são insuficientes para medir todos
os segmentos de reta. Veremos um exemplo disso no pró­
ximo item.
Embora as quatro operações fundamentais (adição, sub­
tração, multiplicação e divisão por um número diferente de
zero) sejam sempre definidas em O, uma equação como
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x2 = 2 não pode ser resolvida em Q pois não existe racional 
f tal que ( f J = 2. Surge então a necessidade de outro
tipo de número, o número irracional.
Conjunto dos números 
irracionais {llr) 
Como vimos, há números decimais que podem ser es­
critos na forma fracionária com numerador inteiro e deno­
minador inteiro (diferente de zero)-são os números racio­
nais. Mas há também números decimais que não admitem 
essa representação; são os decimais infinitos e não-perió­
dicos. Esses números são chamados números irracionais.
Veja alguns exemplos: 
J2 = 1,4142135 .. . 
J3 = 1,7320508 .. . 
1t = 3,1415926535 .. . 
Usando a relação de Pitágoras, podemos representar 
alguns desses números na reta numérica: 
-2 -1 
-13 -./2 o 
d2 = 12 + 12 => d2 = 2 => d = J2 
{2 13 2 
Observe que a medida da diagonal do quadrado de lado 
1, usando esse lado 1 como unidade, é J2. Essa diagonal 
é um exemplo de segmento que não pode ser medido com 
um número racional. Sua medida é o número irracional J2.
Você sabia que o número irracional n foi calculado com o auxílio 
de um computador obtendo-se 1,2 trilhão de casas decimais 
sem que tenha surgido uma decimal exata ou uma dízima? 
Você pode imaginar essa representação? 
1t é irracional 
O número n é obtido dividindo-se a medida do compri­
mento de qualquer circunferência pela medida de seu diâ­
metro (n = 3,1415926535 ... ). 
Pode-se também provar que n é irracional. Isso garante 
que não se vai encontrar um decimal exato nem uma dízima 
periódica no cálculo dos algarismos decimais de n, mesmo 
que se obtenham bilhões de dígitos. 
Conjunto dos números reais {IR) 
Da reunião do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos
números reais (IR). 
IR = <D U llr = {x I x E <D ou x E llr} = 
= {x I x é racional ou x é irracional} 
Como vimos, os números racionais não bastavam para 
esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da reta 
correspondentes aos números --13, J2, etc. não eram 
alcançados com os números racionais. Agora, os números 
reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto 
da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, 
a cada número real corresponde um único ponto da reta. 
Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A n B = 0.
Verifique se são disjuntos: 
IN e 2:; 
O e 1rr.
Por isso, dizemos que existe uma correspondência biu­
nívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos 
assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, 
escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um 
sentido de percurso e uma unidade de comprimento 
( o 1 ).
O conjunto IR pode ser visto como modelo aritmético de uma 
reta, enquanto esta, por sua vez, é o modelo geométrico de IR.
Observe alguns números reais colocados na reta real: 
-.fi 
-2 -1,5 -1 
_]_ 
4 
o 
.fi 
0,5 1,5 2 
O diagrama relaciona os conjuntos numéricos estudados 
até aqui: 
IN e à'. e <D e IR 
llr e IR 
<D U llr = IR 
<D n llr = 0 
llr = IR - <D 
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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Observação: Com os números reais toda equação do tipo 
x2 = a, com a E IN, pode ser resolvida e todos os segmen­
tos de reta podem ser medidos. 
São reais: 
os números naturais; 
os números inteiros; 
os números racionais; 
os números irracionais. 
Desigualdades entre números reais 
Dados dois números reais quaisquer a e b, ocorre uma 
e somente uma das seguintes possibilidades: 
a < b ou a = b ou a > b 
Geometricamente, a desigualdade a< b significa que a 
está à esquerda de b na reta real: 
b 
A desigualdade a > b significa que a está à direita de b 
na reta real: 
b a 
a>b 
Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos: 
2,195 .. < 3,189 ... , pois 2 < 3 
4,128 ... < 4,236 ... , pois 4 = 4 e 0,1 < 0,2 
3,267 ... < 3,289 ... , pois 3 = 3; 0,2 = 0,2 e 0,06 < 0,08 
5,672 ... < 5,673 .. , pois 5 = 5; 0,6 = 0,6; 0,07 = 0,07 e 
0,002 < 0,003 
e assim por diante. 
Ordenar os números reais aritmeticamente é como ordenar as 
palavras num dicionário. 
Algebricamente, a < b se, e somente se, a diferença 
d = b - a é um número positivo, ou seja, vale a < b se, e so­
mente se, existe um número real positivo d tal que b = a + d. 
Uma vez definida essa relação de ordem dos números 
reais, dizemos que eles estão ordenados. 
Usamos também a notação a ,;:; b para dizer que a < b 
ou a = b. Assim: 
a ,;:; b lê-se a é menor do que ou igual a b 
b ;;,, a lê-se b é maior do que ou igual a a 
40. Usando os símbolos e e r:t., relacione os conjuntos numéricos a
seguir:
a) IN e IN* b)O e IR
41. Com os conjuntos numéricos dados, efetue as operações de união e
intersecção:
a)il e O b)O e llr
42. Determine:
a) IN u il
b)(IN n O) u il
e) (O n 11r) n IN
d)(O u llr) n IN
43. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Todo número natural representa a quantidade de elementos de
algum conjunto finito. 
b) Existe um número natural que é maior do que todos os demais.
e) Todo número natural tem sucessor em IN.
d) Todo número natural tem antecessor em IN.
44. Identifique como decimal exato (finito), decimal infinito periódico ou
decimal infinito não-periódico cada um dos números a seguir:
a) 0,555 d) 0,26666 ...
b) 0,11454545.. e) 0,020020002 ...
e) 0,1231251271291211 1) 0,789145
45. Dê a representação decimal dos seguintes números racionais:
7 3 1 
a)- e)- e)1-
8 4 7 
b) � d)!... 
13 5 
46. Determine a geratriz f dos seguintes decimais periódicos:
a) 0,333... e) 0,242424
b)0,1666... d)0,125777.
47. Coloque em ordem crescente os números reais: 6 0,5;
10' 2' 
4 -
f 0,52; 0,25.
48. Dados A= {-4, -1, O, 1, 2, 6, 9) e
B = {x é irracional I x = Ja, com a E A}, quais são os elementos
do conjunto B?
49. Considere os conjuntos A= {x E il I x;;,, -51 e
B = {x E il I x + 1 < 0). Quantos elementos tem o con­
junto A n B?
ffl Intervalos
Certos subconjuntos de IR, determinados por desigual­
dades, têm grande importância na Matemática: são os 
intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com 
a < b, tem-se: 
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a) Intervalo aberto
a b 
(a, b) = ]a, b[ = (x E IR Ia< x < b) 
(A bolinha vazia (o) indica que os extremos a e b não 
pertencem ao intervalo.) 
b) Intervalo fechado
b 
[a, b] = (x E IR Ia ,e:; x ,e:; b) 
(A bolinha cheia(•) indica que os extremos a e b per­
tencem ao intervalo.) 
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
a b 
[a, b) = [a, b[ = (x E IR Ia ,e:; x < b) 
d) Intervalo fechado à direita e aberto
à esquerda
b 
(a, b] = ]a, b] = (x E IR Ia< x ,e:; b) 
e) Semirreta esquerda, fechada, de origem b
b 
(-oo, b] = ]-oo, b] = (x E IR I x ,e:; b) 
f) Semirreta esquerda, aberta, de origem b
b 
(-oo, b) = ]-oo, b[ = (x E IR I x < b) 
g) Semirreta direita, fechada, de origem a
[a, +oo) = [a, +oo[ = (x E IR I x ;a, a} 
h) Semirreta direita, aberta, de origem a
(a, +oo) = ]a, +oo[ = (x E IR I x > a) 
i) Reta real
(-oo, +oo) = ]-oo, +oo[ = IR
Observações: 
1 �) -oo e +00 não são números reais; apenas fazem parte 
das notações de intervalos ilimitados. 
2�) Qualquer intervalo de extremos a e b, com a#- b, contém 
números racionais e irracionais. 
t•#:iJi§Q11{j)
50. Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:
a){x E IR I -1 < x < 3) e) {x E IR 12 ,e:; x < 7)
b)]-oo, 2] !) ]-Js, Js[
e
) [-3, iJ g) {x E IR IX< -4)
d){x E IR I x ;a, 6) h) [O, 6[
51. Escreva os intervalos representados graficamente:
a)------------
-4 2 
b)--------<>-----­
c) ----------
d)------c---l>----
1 3 
e) ------------·
-\/3 V3 
52. Associe V ou Fa cada uma das seguintes afirmações:
a)2 E [2, 6] 
b)-1 E ]-5, -1[ 
e) O E {x E IR I -1 < x < 1}
d)3 � {x E IR 13 < x < 4)
e) {2, 5) e [O, +=[
f) [O, 2] = {x E IR I O ,e:; x ,e:; 2)
g)-3 E]-=, -1]
h) (1+_./2) E {x E IR lü ,s:;;x,s:;; 1)
Operações com intervalos 
Como intervalos são subconjuntos de IR, é possível fazer 
as operações de intersecção, união, diferença e comple­
mentar com eles. 
(1%1,i•it•ti•tii•iit+i+t·M 
1. Dados
A = {x E IR 1 -1 < x < 1} 
e B = [O, 5[, detennine: 
a) A n B 
-1 
Analise os possíveis 
significados de 13, 51, 
(3, 5) e [3, 5]. 
A----0------0------ - ------
B --------...--------o--..... 
o 5 
AnB 
-1 o 5 
A n B = {x E IR I o ,e:; X< 1} = [O, 1[
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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b) A U B
-1 
A -----0------0-----------
B -----'-----<----------o---
o 5 ' 
AUB-----0-------------0-------
-l 5 
A U B = {x E IR 1 -1 < x < 5} = ]-1, 5[ 
e) A - B
-1 
A ----0------0-- ---- - -- --
B--�------------0-------
o 
' 
A-B
-1 o 
A - B = {x E IR 1 -1 < x < O} = ]-1, O[ 
d) B - A
-1
5 
A---0------0-----------
B------<---.--------0-------
o 5 
B-A -+--- --------------n----
5 
B - A= {x E IR 11 :;; x < 5} = [1, 5[ 
e) C! não se define, pois A ct. B.
2. Dados os conjuntos A= [2, 5] e B = ]3, 6], calcule para
U = IR:
Observação: C ! = IR - A também pode ser represen-
tado por CA ou A.
a) A
A-- -----<-------------
2 5 
' ' 
Ã--------<>---------0------
2 5 
A= {x E IR IX< 2 ou X> 5} = ]-=, 2[ U ]5, +=[ 
b) B
B---------<>-------------
3 6 
-
B-------0--- -------0-----
3 6 
B = {x E IR IX:;; 3 OU X> 6} = ]-oo, 3] U ]6, +=[ 
e) A U B
A-+---------------------
2 5 
B- ---�--0------------
3 6 
AUB-------------------
2 6 
A U B = {x E IR i 2 :;; x :;; 6} = (2, 6] 
d} A U B
AUB----0----- -------�---
2 6 
A U B = {x E IR i x < 2 ou x > 6} = ]-=, 2( U ]6, +00( 
(i#@UNHI, 
53. Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede.
a) A= [2, 4] e B = [3, 6]: A n B, A u B, A -B, B -A e e.
b) A= {x E IR I x < 4) e B = {x E IR I x < 1 ): A u B,
B n A, e: e e:. 
e) A= [-2, O[ e B = [-1, +=[: A U B e A n B.
d) A= ]-2, 1 [ e B = [-3, O]: A, B, A n B e A u B.
- - c(AnB) - -
e)A=]-=,3] e8=]2,5]:A,B, A eB -A. 
54. Dados A= ]-5, 2]. B = [-6, 6] e C = ]-=, 2]. calcule:
a)AUBUC c)(AUB)nC
b)AnBnC d)An(BUC)
55. Dados os intervalos A= [-1, 4), B = [1, 5], C = [2, 41 e D= ( 1, 3],
verifique se 1 pertence ao conjunto (A n B) -(C - D).
Desafio 
O diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C decompõe o plano em 
oito regiões. Numere-as e exprima cada um dos conjuntos abaixo 
como reunião de algumas dessas regiões. 
a) (AC U B)C b) (AC U 8) U cc
Conjunto dos números complexos (C)* 
Se x E IR, então x2 ;,, O. Assim, a equação x2 + 1 = O 
não tem solução em IR, pois: 
x2 + 1 = O � x2 = -1 � x = ±Ff
e não existe um número real x que elevado ao quadrado 
resulte -1. 
Daí surgiu a necessidade de 
estender o conjunto dos números 
reais para obter um novo conjun­
to, chamado conjunto dos núme-
ros complexos. 
A forma z = a + bi 
é chamada de forma
algébrica de z. 
Um número complexo z é um número que pode ser es­
crito na forma: 
z =a+ bi, com a E IR, b E IR e i2 = -1 
i é chamada unidade imaginária e sua característica fun­
damental é que i2 = -1. 
Um número complexo tem duas partes, uma real e outra 
imaginária: 
z =a+ bi 
parte real de z ___j L_ parte imaginária de z 
t t 
Re(z) = a lm(z) = b 
• O conjunto numérico (IC) será estudado detalhadamente no capítulo 33. 
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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Devemos observar também que, se b = O, temos z = a 
(número real); e se a = O e b # O, temos z = bi, que é um
número imaginário puro. 
Se indicarmos o conjunto dos números complexos por 
a::, podemos escrever que IR ca::.
e------� 
o 
Veja agora o diagrama que relaciona os conjuntos nu­
méricos: 
Exemplos: 
1 Q) Em z = 2 + 5i, temos Re(z) = 2 e lm(z) = 5.
2Q) Em z = 5, temos Re(z) = 5 e lm(z) = O. Portanto, z é
real. 
3Q) Em z = -3i, temos Re(z) = O e lm(z) = -3. Portanto, z
é um imaginário puro. 
Operações com números complexos 
Adição 
Se z1 = 2 + 2i e z2 = -3 + 4i, temos: 
Z1 + Z2 = (2 + 2i) + (-3 + 4i) = (2 - 3) + (2 + 4)i = -1 + 6i
Subtração 
Se z1 = 3 + i e z2 = 5 + 3i, temos:
Z1 - Z2 = (3 + i) - (5 + 3i) = (3 - 5) + (1 - 3)i = -2 - 2i
Multiplicação 
Se z1 = 1 + 5i e z2 = 2 - 2i, temos:
Z1 • Z2 = (1 + 5i) • (2 - 2i) = 1 • 2 - 1 • 2i + (5i) • 2 - (5i)(2i) = 
= 2 - 2i + 10i - 10i2 = 2 + Si - 10(-1) = 2 +Si+ 10 = 12 + Si
Potenciação 
Veja alguns exemplos: 
1Q) Se z = 1 + 2i, temos: 
z2 = (1 + 2i)2 = (1 + 2i)(1 + 2i) =
= 1 · 1 + 1 · 2i + (2i) · 1 + (2i)(2i) = 1 + 2i + 2i + 4i2 = 
= 1 + 4i - 4 = -3 + 4i 
2Q) Se z = i, temos: 
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 • i = ( -1 ) • i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 • i = 1 • i = i
i6 = i4 . i2 = 1 . i2 = 1 ( -1) = -1
i7 = i4 . i3 = 1 ·(-i) = -i
i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1
Observe que as potências de i começam a se repetir 
depois de i4. Então, de modo geral, temos: 
i4n = (i4)n = 1 
i4n + 1 = (i4)" • i = 1 • i = i
i4n+ 2 = (i4)". i2 = 1. (-1) = -1
i4n + 3 = (i4)n . i3 = 1 . i2 . i = 1 • (-1} • i = -i
ou seja: 
(1 #:NU GU.IJ 
56. Calcule o valor de:
a) j39 
Divisão 
i4n + p = iP 
b) i80 e) 2i13 _ p2
O conjugado de um número complexo z = a + bi é o
número complexo z = a - bi.
Exemplos: 
1 Q) Se z = 3 + 4i, então z = 3 - 4i.
2Q) Se z = 1 - 3i, então z = 1 + 3i.
3Q) Se z = 5, então z = 5.
4Q) Se z = 4i, então z = -4i.
5Q) Se z = O, então z = O. 
6Q) Se z = i, então z = -i. 
O quociente � entre dois números complexos, com�# O,
Z2 
CI ti4,,i·U,t i·tii·htf tft�P; 
1. Determine o quociente .:L sabendo que z1 = 1 + 3i e
. z2
z2 = 2 + 21. 
.:1._ 
= 
1+ 3i 
=
z2 2 + 2i 
( 1 + 3i)(2-2i) 
(2 + 2i)(2 -2i) 
2 -2i + 6i -6i 2 
22 -(2i)2 
2+4i-6(-1) 
= 
8+4i 
=l+�i
4 +4 8 2 
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2. Deter mine o número complexo z tal que:
a) z - i26 = i33 - z
z -i26 = i33 - z ::::} z + z = i33 + i26 ::::}
::::} 2z = i32 · i + i24 · i2 ::::} 2z = 1 · i + 1 · (-1) ::::}
. . 1 1 . ::::} 2z = 1 - 1 ::::} 2z = -1 + 1 ::::} z = -- + - 1 
L 1 1. ogo z = -- + -1 ' 
2 2 
b) iz = z - 2 + 3i 
1ª maneira
Como z = a + bi, temos:
2 2
i(a + bi) = (a + bi) - 2 + 3i::::}
{ -b = a - 2::::} -b + ai = (a - 2) + (b + 3 )i::::} a = b + 3 
Então:
1-b = (b + 3 ) - 2::::} -2b = 1::::} b = -2
1 5 a= b + 3::::} a= -- + 3 ::::} a= -
2 2 
5 1 . Logo z = - - -1. ' 2 2
2ª maneira 
iz = z - 2 + 3i ::::} iz - z = -2 + 3i ::::} 
(. ) . - 2+3i ::::} 1 - 1 Z = -2 + 31 ::::} Z = -.-- ::::} 
1 - 1 
(-2+3i)(-1-i) 2+ 2i-3i-3i2 ::::}Z = � -� -�::::} Z = ---- - ::::}(-l+i)(-1-i) (-1) 2 - i2 
2-i+3 5 - i 5 1.::::}Z= - --::::} Z= --::::}Z= - - -1l + i 2 2 2 
3. Resolva em C a equação x 2 - 2x + 10 = O.
2+�4 - 4 0 2±� -36 x = - 2 = 2 (impossível em IR) 
E m <C podemos resolvê-la. Assim, temos: 
2±�(-1)·36 2±� 2±6i x=-�-- -= -�--=- -2 2 2 
x' = 2 + 6i = 1 + 3i2 
x" = 2 -6i = 1 - 3i2 
S = {1 + 3i; 1 - 3i} 
Verificando, vem: 
S = x' + x" = (1 + 3i) + (1 - 3i) = 2 
P = x'. x" = (1 + 3i) · (1 -3i) = 12 -(3i) 2 = 1 -(-9) = 10 
Satisfazendo port ant o a equação x 2 - S x + P = O , ou seja, 
x 2 - 2x + 10 = O. 
Quando não for indicado o conjunto universo, consideramos 
que o conjunto é IR. 
4. Efetue as divisões in dicadas :
1 a)--
2 - i 
_1 _ _ 1 · (2 + i) = _ 2_+ _i_ = _2_+_i = _2_+_i =2 - i (2-i)(2+i) 22 -i1 4 + 1 5 
2 1. = - + -1 5 5 
b) 2 + 3i
1 + 4i
_2 +_3_i _ (2 + 3i)(1 - 4i) 2 - Si + 3i - 12i 1
1+ 16 1+ 4i (1 + 4i)(1 - 4i) 
2- 5i + 12 
17 
14 - 5i 14 5 . 
= --=---1 17 17 17 
57. Efetue as operações indicadas, escrevendo o resultado na forma
algébrica z =a + bi:
a)(-2 + i) + (-3 - 6i) 
b){2 + 5i) -( 1 + 3i) 
e) (4 + 2i). (5 + 3i) 
d) ( 1 + i) 3 
58. Efetue:
a) i60
b) i101 
e) i4oo _ pso
d) i25 + i16
59. Se z1 = 2 + i e ; = 1 - i, efetue as operações indicadas:
a)z1 +; e)z1 ·;" 
b)z1 -z2 f) (z/
C) Z1 . Z2 g}(;) 2D 
d) z;- + z;
60. Resolva em O: as equações:
a) x2 + 4 = O b) 5x2 + 45 = O e) x2 + 7 = O
61. Resolva em a; as equações:
a) x2 - 2x+ 4 = O
62. Efetue as divisões indicadas:
) 1+ 5i a --2+3i 
b) 1+2i1
b) x2 - 4x + 5 = O
i c)-1 - i 
3i d) 1+2i
63. Calcule 1
1 + '. -
1
1
-
_i e dê a resposta na forma z = a+ bi. - 1 +I
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Coordenadas cartesianas 
A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de 
números reais a e b, no qual o número a é a primeira coor­
denada e o número b é a segunda coordenada. Observe 
que os pares ordenados (3, 4) e (4, 3) são diferentes, pois 
a primeira coordenada de (3, 4) é 3, enquanto a primeira 
coordenada de (4, 3) é 4. 
Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos 
perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O. 
Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido 
de um sistema de eixos ortogonais. 
(eixo vertical ou y 
eixo das ordenadas) 
o 
(origem) 
X 
(eixo horizontal ou 
eixo das abscissas) 
Os eixos ortogonais Ox e Oy dividem o plano cartesiano 
em quatro regiões chamadas quadrantes, na ordem colo­
cada abaixo: 
22 quadrante 
(x,;; O e y ;a. O) 
32 quadrante 
(x,;; O e y,;; O) 
y 
b _____ 'f P(a, b) 
(O, y) 
o 
' 
: 12 quadrante 
: (x ;a. O e y ;a. O) 
' ' 
(x, O) 
42 quadrante 
(x ;a. O e y,;; O) 
X 
Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. 
Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a
e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a
é a abscissa e b é a ordenada.
Observe que a cada par ordenado de números reais 
corresponde um ponto do plano cartesiano e, reciproca­
mente, a cada ponto do plano corresponde um par ordena­
do de números reais. Essa correspondência biunívoca entre 
pares de números reais e pontos do plano permite escrever 
conceitos e propriedades geométricas em uma linguagem 
algébrica e, reciprocamente, interpretar geometricamente 
relações entre números reais. 
3 F 
2 
-4 -3 -2 -1 O 
-1 
2 3 4 ' 
-2 ------• 
D 
�----3 
e 
Por exemplo, vamos localizar num plano cartesiano os 
pontos A(4, 1), 8(1, 4), C(-2, -3), 0(2, -2), E(-1, O), 
F(O, 3) e 0(0, O). 
Ponto A( 4, 1) � ponto A de coordenadas cartesianas 
4 e 1 {ª abscissa é 4 .
a ordenada é 1 
Ponto 8(1, 4) � ponto 8 de coordenadas cartesianas 
e 4 . {
a abscissa é 1 
a ordenada é 4 
Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto do plano cartesiano 
abaixo. 
B . 
-4 -3 -2 
D . 
-1 
4 
3 
2 
-1 
-2 
-3 
-4 
y 
A 
e X 
o 2 3 
F . 
Assinale, num plano cartesiano, os seguintes pontos: 
a)A(-1,3); e) B(0,-2); e)c(f, 4}
b) D(4, O); d) E(3, -1); l)F(+,-2)-
Um ponto P tem coordenadas (2x - 6, 7) e pertence ao eixo das 
ordenadas. Determine x. 
Os pares ordenados (2x, y) e (6, 8 - x) representam o mesmo pon­
to. Determine x e y. 
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Distância entre dois pontos 
A pergunta fundamental é: Se P(a, b) e Q(c, d), como se 
pode exprimir a distância do ponto P ao ponto Q em termos 
dessas coordenadas? 
Assim, dados dois pontos P1 (x1 , y 1 ) e P2(x2, y2), vamos 
obter a expressão da distância d(P1, P2) em termos das 
coordenadas de P1 e P2. Para isso, é preciso introduzir um 
novo ponto Q(x2, y1 ). 
y 
Y, ________________ P, 
P -------- _______________ f::o 
' ' Y, : 
x, x, 
X 
O triângulo P1P20 é retângulo em Q e o segmento de 
reta Pp2 é a sua hipotenusa. Seus catetos medem (x2 - x1 ) 
e (y2 - y 1 ), tomados em valores absolutos. Usando a relação 
de Pitágoras temos: 
[d(P1, P2)]
2 = (x2 - x1 )
2 + (Y2 - y,)
2 
ou seja, 
Essa expressão geral obtida não depende da localização dos 
pontos P1 e P2. 
1¾4,,i,mtJ•tiMiififi•M; 
1. Calcule a distância entre os pontos A(l, -4) e B(-3, 2).
li d(A, B) = �(x2 - xJ + (y2 - y1 )2 =
= �(-3 - 1)2 + (2 - (-4))2 = �(-4)2 + (6)2 
= ../16 + 36 = )si
Logo, d(A, B) = )si = 7 ,2 unidades de comprimento. 
2. Demonstre que o triângulo com vértices X(-4, 3), Y(4, -3)
e Z(3, 4) é isósceles.
d(X, Y ) = ��(4--- (-- 4-))-2 -+- (-- 3-- -3)-2 = �64 + 36 =
= .Jioõ = 10
d(Y, Z) = �(3 - 4)2 + (4 - (-3))2 = � = 
=fso 
d(X, Z) = �(3 - (-4))2 + (4 - 3)2 = �49 + 1 = ..J50
Corno d(Y, Z) = d(X, Z), o triângulo XYZ é isósceles. 
Determine a distância entre os pontos A e 8 nos seguintes casos: 
a)A(3, -4) e 8(-1, 2)
b) A(3, -3) e 8(-3, 3)
Demonstre que a distância de um ponto P(x, y) à origem 0(0, O) é 
igual a�. 
Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são A(2, 3), 8(0, O) 
e C(3, 2) 
Produto cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se pro­
duto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares 
ordenados (a, b), com a E A e b E B. 
Indicamos o produto cartesiano de A por B por A x B, 
que se lê "A cartesiano B". Assim: 
AxB={(a,b)laEA e bEB} 
tlti4,h•i§íiii•iit+ifi•III) 
Se A = {1, 2} e B = {3, 7, 9}, determine: 
a) Ax B
A x B = {(1, 3); (1, 7); (1, 9); (2, 3); (2, 7); (2, 9)}
b) B xA
B x A= {(3, 1); (3, 2); (7, 1); (7, 2); (9, 1); (9, 2)}
e) AxA
A x A= {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2)} = A2 
d) B2 
B2 = {(3, 3); (3, 7); (3, 9); (7, 3); (7, 7); (7, 9); (9, 3); 
(9, 7); (9, 9)} 
• Para A 7"- B, temos A X B 7"- B X A.
• Para A = B, indicamos A x B por A2 . 
• O par ordenado (x, y) não é a mesma coisa que o
conjunto {x, y}, porque {x, y} = {y, x} sempre, mas
(x, y) = (Y, x) somente quando x = y.
Gráfico do produto cartesiano 
Dados dois conjuntos A e 
B, com A e B subconjuntos 
de IR, cada par ordenado do 
produto cartesiano A x B é 
O exemplo mais importante 
de produto cartesiano é o 
IR2 ou IR x IR. 
representado por um ponto 
no plano cartesiano. O gráfico de A x B é o conjunto de todos 
esses pontos. 
Em A x B, representamos o conjunto A no eixo das abs­
cissas e o conjunto B no eixo das ordenadas. Já em B x A, 
o conjunto B será representado nos eixos das abscissas e
A, no eixo das ordenadas.
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(itiãuMHJ-Ufi•iit!i+J.M 1 
1. Dados A = {1, 3} e B = {2, 4, 5}, determine o gráfico de:
a) Ax B
B 
5 --�-----� ' '' '
4 --�------� ' 
3 ''
2 --�------�
-1 O 
-1
' '
2 3 4 
A 
Observe que n(A) = 2, n(B) = 3 e 
n(A x B) = 6 = n(A) · n(B). 
b) B xA
Quando A e B são conjuntos 
finitos, n(A x B) = n(A) • n(B). 
A 
4 
3 --- - - - � - - - - - � - - -, ' ' '' '
1 ------•------•---. 
-1 O 
-1
''
2 3 4 5 
B 
2. Dados os conjuntos A = {x E IR 1 1 � x � 4} e
B = {x E IR 1 -2 < x � 3}, determine o gráfico de:
a) A x B
b) B xA
B 
3 - - - ,-------, 
2 
-1 O 1 2 3 4 5 
-1 
-2 -- ----------
4 
3 
2 
-2 -1 O 
-1 
A 
2 3 4 
A 
B 
Dados os conjuntos A= {-1, O, 1, 2) e B = {2, 31, determine: 
a)AxB; b)BxA; c)A2; d)B2. 
Com os dados do exercício anterior, construa o gráfico de A x B 
e de B2 . 
Se n(A x B) = 15 e B = {-3, 1, 31, quantos elementos tem o 
conjunto A? 
O gráfico de C x D é dado por: 
t----- --;-----'"f 
' ' 1 
�----- ---+------� 1 2 f 1 ' ' 
' 1 
-2: -1 O :1 2 :3 4 
r---=-, --�-----1 
-2 
------- -- ·------.
-3 
Escreva os conjuntos C e D.
e 
,. Se A = {x E IR 1 -1 ,;; x,;; 2) e B = {x E IR 1 -2 ,;; x < 4), 
construa o gráfico de: 
a)Ax B;
O gráfico de E x F é dado por: 
4 
--------3 
2 
b) B X A. 
F 
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 
-1 
-2 
-3 
------
-4
Escreva os conjuntos E e F.
E 
Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A x B tem 12 elementos, en­
tão A u B pode ter, no máximo, um número de elementos igual a: 
a)?. b)8. c)11. d)12. e)13. 
Dados os conjuntos A e B abaixo, construa o gráfico de A x B: 
a)A={1,4}e B=[1,3] b)A=[1,3] e B=]-=,3[
Assinale a alternativa na qual está representado o gráfico de A x B 
com A= [2, 3] e B = {1, 2): 
a) y b) y 
3 3 
2 I I 2 -----
X X 
o 2 3 4 o 2 3 4 
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e) Y
3 
2 
o 
D 
2 3 4 
X 
d) y 
3 
2 
o 
/ 
2 3 4 
X 
Assinale a alternativa na qual está representado o gráfico de A x B 
com A= ]-00, 2] e B = [1, 2]: 
a) Y
4
3 
2 3 4 
Relação binária 
b) 
X 
4 
3 
2 
o 
y 
2 3 4 
X 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se relação
(binária) R entre os elementos do conjunto A e os elementos 
do conjunto B qualquer subconjunto de A x B. 
Por exemplo, se A = { 1, 3, 5) e B = {2, 4, 6, 8), então: 
A x B = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (1, 8); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (3, 8); 
(5, 2); (5, 4); (5, 6); (5, 8)} 
Agora, observe estes subconjuntos de A x B: 
R1 = {(1, 2); (1, 8); (3, 4); (3, 6); (5, 4); (5, 8)} 
R2 = {(1, 4); (3, 2); (5, 6)} 
R3 = 0 
R4 = A X 8 
R5 = {(3, 8)} 
R,, R2 , R3, R4 e R5 são relações binárias entre os elementos 
do conjunto A e os elementos do conjunto B (ou relações bi­
nárias de A em B), pois todos são subconjuntos de A x B. 
Diagrama de flechas 
Uma relação R entre os elementos do conjunto A e os 
elementos do conjunto B pode ser representada por diagra­
mas como o abaixo, chamado de diagrama de flechas.
A B 
Um caso particular e muito 
importante de relação é o 
conceito de função, que 
será estudado no próximo 
capítulo. 
As flechas indicam quais pares ordenados pertencem à 
relação. Neste exemplo, temos: 
R = {(3, 2); (3, 6); (5, 6)} 
e escrevemos 3 R 2; 3 R 6; 5 R 6 para indicar que 3 está 
relacionado com 2, 3 está relacionado com 6, e 5 está re­
lacionado com 6. 
Domínio e conjunto imagem 
Sendo R uma relação de A em B, podemos definir: 
Domínio de R: conjunto formado por todos os primeiros 
elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a 
R. É indicado por D(R).
No exemplo anterior, D(R) = {3, 5). Note que D(R) e A. 
Imagem de R: conjunto formado por todos os segundos 
elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a 
R. É indicado por lm(R).
No exemplo anterior, lm(R) = {2, 6). Note que lm(R) e B.
Relação inversa 
Dada uma relação binária R de A em B, definimos a 
relação inversa R-1 como o conjunto formado pelos pares 
ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R in­
vertendo-se a ordem dos termos em cada par. 
Assim: 
R-1 = {(x, y) E B x A 1 (y, x) E R}
Por exemplo, se R = {(1, 2); (3, 4)}, então 
R-1 = {(2, 1); (4, 3)}.
Dados os conjuntos A= {1, 2} e B = {3, 4, 5}, indique quais des­
ses conjuntos de pares ordenados representam uma relação entre os 
elementos de A e os elementos de B, ou seja, uma relação de A em B. 
a) F1 = ((1, 3); (2, 4); (2, 5)} 
b) F2 = ((2, 3); (2, 5); (2, 6)} 
e) F3 = ((1, 4); (1, 5); (2, 4); (2, 5)} 
d) F4 = ((1, 5); (O, 3); (2, 4)} 
Considerando as relações do exercício anterior: 
a) construa o gráfico de cada uma delas;
b) desenhe o diagrama de flechas de cada uma delas;
e) escreva o domínio e o conjunto imagem.
y Dados A = { -1, O, 1, 21 e
B = {2, 4, 6}, a relação R definida
de A em B tem o seguinte gráfico: 
6 - - - - - -•
a) Escreva a relação R como
um conjunto de pares orde­
nados.
b) Faça o diagrama de flechas de
R.
e) Escreva o domínio e a imagem
de R.
4 - - ., 
3 
2 
f' - -
: 1 
-1
--L--
' 
o 
2 3 
X 
Dados os conjuntos A = { -1, 1 l e B = { -2, 2}, determine o
número de relações binárias não vazias de A em B.
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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L Examine a relação R de A em B representada pelo diagrama de 
flechas abaixo: 
A B 
a) Escreva a relação R como conjunto de pares ordenados.
b) Escreva o domínio e o conjunto imagem de R.
e) Construa o gráfico de R.
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4) e B = {2, 3, 5, 6), determine: 
a) a relação R de A em B definida por
R = {(x, y) E A x B I y = X + 2};
b) o domínio e a imagem da relação R;
e) a relação R-1 inversa de R.
Dados os conjuntos A= {3, 4, 5) e B = {3, 4), escreva as relações 
abaixo como conjunto de pares ordenados. 
Em seguida, faça o diagrama de flechas, determine o domínio, o 
conjunto imagem e a sua respectiva relação inversa. 
a) R, = {(x, y) E A x B I x + y > 6}
b) R2 = {(x, y) E A x B IX= y} 
e) R3 = {(x, y) E A X B I y > x}
d) R4 = {(x, y) E A x B IX+ 1 > y} 
Relação de inclusão e implicação lógica 
Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um 
conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elementos de 
um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o 
conjunto dos elementos desse mesmo universo que pos­
suem a propriedade q. Quando dizemos que: 
p => q (p implica q ou p acarreta q),
estamos dizendo que A e B. 
Exemplos: 
1 Q) No universo dos números naturais, vamos considerar as 
propriedades: 
p: n é um número natural que termina com 3; 
q: n é um número natural ímpar. 
Então A = (3, 13, 23, 33, ... L 
B = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... } e p => q ou A e B. 
2Q) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as pro­
priedades: 
p: ser quadrilátero com quatro lados de m�pma medida; 
q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos. 
Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o con­
junto dos paralelogramos e, portanto, A e B. Logo, 
p => q, ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, 
ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é 
paralelogramo. 
As várias leituras para a implicação 
lógica 
Há várias maneiras de ler a implicação lógica p => q: 
p implica q ou p acarreta q;
se p, então q;
p é condição suficiente para ocorrer q;
q é condição necessária para ocorrer p;
todo elemento que possui a propriedade p possui a 
propriedade q.
Assim, o nosso último exemplo pode ser lido das seguin-
tes maneiras: 
ser losango implica ser paralelogramo; 
ser losango acarreta ser paralelogramo; 
se x é um losango, então x é um paralelogramo; 
ser losango é condição suficiente para ser paralelogramo; 
ser paralelogramo é condição necessária para ser losango; 
todo losango é um para-
lelogramo (ou seja, o lo­
sango é um caso particu­
lar de paralelogramo). 
• Todo retângulo é um
paralelogramo?
• Todo paralelogramo é um
retângulo? 
Recíproca de uma implicação lógica 
e equivalência 
Dada a implicação p => q, chamamos de sua recíproca
a implicação q => p. Observe que nem sempre a recíproca 
de uma implicação verdadeira é também verdadeira. No 2Q 
exemplo dado anteriormente, temos que p => q é verdadei­
ra, pois todo losango é um paralelogramo, mas sua recípro­
ca q => p é falsa, pois nem todo paralelogramo é losango. 
Quando a implicação p => q e sua recíproca q => p são 
ambas verdadeiras, escrevemos p � q e lemos: 
p é equivalente a q ou p se e somente se q ou p
é condição necessária e suficiente para q
Exemplo: 
p: a propriedade de um número natural x ser igual a 
2 (x = 2); 
q: a propriedade de o dobro deste x ser igual a 
4 (2x = 4). 
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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p =} q, pois, se x = 2, multiplicamos ambos os membros da 
igualdade por 2 e obtemos 2x = 4. 
q =} p, pois, se 2x = 4, dividimos ambos os membros da 
igualdade por 2 e obtemos x = 2. 
Assim, p =} q e q =} p são verdadeiras. Logo, p <=> q e 
podemos escrever x = 2 <=> 2x = 4. 
O correto é escrever x = 2 =} 2x = 4 ou se x = 2, 
então 2x = 4. Não podemos escrever se x = 2 =} 2x = 4, 
pois o símbolo=} significa 'implica' e não 'então'. 
" Escreva, na forma de conjuntos, os silogismos: 
a) Todo retângulo é paralelogramo.
Todo paralelogramo é quadrilátero.
Então, todo retângulo é quadrilátero.
b) Todo aluno pertence a uma classe.
Toda classe pertence a uma escola.
Então, todo aluno pertence a uma escola.
Escreva os conjuntos definidos pelas propriedades, a implicação 
lógica e a inclusão de conjuntos: 
a) Considerando o universo dos números reais:
p: n é um número natural par;
q: n é um número natural.
b) Considerando o universo
dos polígonos:
p: x é um trapézio;
q: x é um quadrilátero.
Todas as proposições 
matemáticas são do tipo se
p então q. 
Escreva todas as maneiras de ler a implicação p =} q sabendo que: 
p: n é um número natural par; 
q: n é um número escrito na forma n = 2m, com m E IN. 
No exercício anterior, a recíproca q =} p é verdadeira? Em caso po­
sitivo, como se escreve a equivalência das duas propriedades? 
Contrapositiva 
Já vimos que, se pé a propriedade que define o conjun­
to A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que 
A e B é o mesmo que dizer que p =} q (p implica q).
Vamos representar por p' a negação de p e por q' a 
negação de q. Assim, dizer que um objeto x goza da pro­
priedade p' significa afirmar que x não goza da proprieda­
de p (isso vale também para q'). Dessa forma, podemos 
escrever a equivalência: 
A e B <=> BC e AC 
da seguinte maneira:
p =} q se, e somente se, q' =} p' 
ou seja, a implicação p =} q (p implica q) é equivalente a 
esta outra implicação, q' =} p' (a negação de q implica a 
negação de p).
A implicação q' =} p' chama-se contrapositiva da impli­
cação p =} q. 
Exemplo: 
Consideremos o universo U o conjunto dos quadriláteros 
convexos, p a propriedade de um quadrilátero x ser losango 
e q a propriedade de ser um paralelogramo. Assim, p' é a 
propriedade que tem um quadrilátero convexo de não ser 
um losango e q' a de não ser um paralelogramo. Logo: 
(1) p =} q: Se x é um losango, então x é um paralelogramo. 
(2) q' =} p': Se x não é um paralelogramo, então x não é um 
losango.
As afirmações (1) e (2) são equivalentes, isto é, são
duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa. 
O que é mesmo um polígono convexo? 
Escreva a contrapositiva da implicação p =} q em que: 
p: número natural maior do que 2, primo. 
q: número natural maior do que 2, ímpar. 
p =} q: se um número natural maior do que 2 é primo, então ele é 
ímpar. 
�O Escreva a contrapositiva da implicação: 
"Se duas retas distintas (r e s) de um plano o: são perpendiculares a 
uma terceira reta (t) desse plano, então elas (r e s) são paralelas." 
s 
ex 
Escreva a contrapositiva da implicação: 
"Se um número quadrado perfeito é par, então sua raiz quadrada é par." 
Use a contrapositiva e demonstre, por absurdo, a propriedade do 
exercício 30. 
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1. (UFC-CE) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distri­
buídos:
• 29 com sangue tipo O.
• 30 com fator Rh negativo.
• 14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de O.
Determine quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de O
e fator Rh negativo.
2. (Uece) Se P = {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elementos do
conjunto W = {(x, y) E P2 I x < y) é:
a)8. b) 9. e) 10. d) 11.
3. (UFS-SE) Considere os conjuntos:
A= {X E IR 11 < x ,e;; 3 ou 4 ,e;; x ,e;; 6)
B = {x E IR 11 ,;; x < 5 e x ,t, 3)
C={xEIRl2<x,;;4)
para analisar as afirmações que seguem.
O -O) B :::> C
1-1) AUB=[1,6]
2 -2) A n c = 12, 31
3 - 3) 8 - C = {x E IR 11 ,e;; x ,e;; 2 ou 4 < x < 5)
4 - 4) Se A é o complementar de A em relação ao universo IR,
5 -então 3 E A.
4. (Ufal/PSS) No universo IN, sejam A o conjunto dos números pares,
B o conjunto dos números múltiplos de 3 e C o conjunto dos núme­
ros múltiplos de 5. Determine os 1 O menores números que perten­
cem ao conjunto B - (A u C).
5. (UFMG) Considere o conjunto de números racionais
M = {�. i, �. i}. Sejam x o menor elemento de M e y o9 7 11 7 
maior elemento de M. Então, é correto afirmar que:
5 4 3 4 
a) x = 11 e y = 7 . e) x = 7 e y = 7 .
3 5 5 5 
b) x = 7 e y = 9 . d) x = 11 e y = 9 .
6. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto
U = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):
1) 0 EU e n(U) = 10. Ili) 5 E U e {5) e U.
li) 0 e U e n(U) = 10. IV) {O, 1, 2, 51 n 15) = 5.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a)apenas I e Ili.
b) apenas li e IV.
e) apenas li e Ili.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações.
7. (Uece) Os subconjuntos X, Y e Z do conjunto dos números inteiros
positivos são constituídos pelos múltiplos de 6, 1 O e 15, respectiva­
mente. O conjunto X n Y n Zé constituído pelos múltiplos inteiros
positivos de:
a) 30. e) 60.
b) 31. d)62.
8. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos { 1, 4, 5) e {x, y, 1)
sejam iguais. Então, podemos afirmar que:
a) x = 4 e y = 5. d) x + y = 9.
b)x ,t, 4. e)x < y.
c)y ,t, 4.
9. (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumi­
dores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os
resultados da pesquisa indicaram que:
• 310 pessoas compram o produto A;
• 220 pessoas compram o produto B;
• 11 O pessoas compram os produtos A e B;
• 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos.
Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 1 O.
10. (UFG-GO) Sejam os conjuntos A= {2n; n E "11.) e
B = (2n - 1; n E "11.). Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:
1) An B = 0
li) A é o conjunto dos números pares.
Ili) B UA= "11.
Está correto o que se afirma em:
a) 1 e li, apenas. d) Ili, apenas.
b) li, apenas. e) 1, li e Ili.
e) li e Ili, apenas.
11. (Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se uma escala linear onde apare­
cem destacados os números li - fi, X e li+ .Ji. 
u 
X 
Se a distância entre li -fi e li+ fi é igual a 15 u, entãoo número X é:
a) 5li-fi.
b) 5li-5.Ji.
e) 5li-fi.5
d) li-5.Ji.5 
e) 5li -5.Ji.5 
12. (UFC-CE) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento
em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do
número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto
M u Né: 
a) o triplo do número de elementos de M.
b) o triplo do número de elementos de N.
e) o quádruplo do número de elementos de M.
d) o dobro do número de elementos de M.
e) o dobro do número de elementos de N.
13. (Vunesp) Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com
1 000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que
470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham o
antígeno B
e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine o número
de pessoas que têm os antígenos A e B simultaneamente.
Aula 1 Conjuntos Numéricos
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	Objetivo desta Aula
	Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
	 Identificar os diferentes tipos de conjuntos numéricos e realizar operações. 
	Na teoria dos conjuntos, existem três noções aceitas sem definição: conjunto, elemento e pertinência.
	Conjunto nos transmite a ideia de coleção. Por exemplo:
	 Conjunto das vogais do nosso alfabeto;
	 Conjunto das letras da palavra ARARA;
	 Conjuntos dos números ímpares positivos.
	Imediatamente, pensaríamos nos conjuntos:
	a) A = {a, e, i, o, u}
	b) B = {a, r}
	c) C = {1, 3, 5, 7, ...}
	Você não deve esquecer que:
	1) Os conjuntos são representados por letras MAIÚSCULAS do nosso alfabeto;
	2) Os elementos são representados por letras minúsculas;
	3) Os elementos de um conjunto são escritos entre chaves e separados por vírgulas. Note que não repetimos elementos em um conjunto e que a ordem dos elementos é irrelevante;
	4) Na letra c, lançamos mão de um recurso, a saber (...), para indicar que não existe um último elemento nesse conjunto.
	Cada membro de um conjunto é chamado de elemento.
	/
	Para mencionarmos que um elemento pertence a um determinado conjunto, utilizaremos a chamada relação de pertinência, que é definida como o elemento para um conjunto e é indicada pelo símbolo matemático ( (pertence). Quando o elemento não pertencer ao conjunto, utilizaremos o símbolo (.
	Descrição de um conjunto:
	a) Descrição pela enumeração de seus elementos: A = {a, e, i, o, u}
	b) Descrição por compreensão: A = {x I x tem a propriedade P}
	Podemos ainda ter o conjunto vazio e o conjunto unitário. O conjunto vazio é aquele que não apresenta elementos. Já o conjunto unitário é aquele que possui apenas um único elemento.
	Para esclarecer melhor essa ideia, consideremos os exemplos:
	Exemplo:
	A = { x I x é uma pessoa com mais de 400 anos}
	A = { x I x é um número primo par e positivo}
	Quando tratamos de conjuntos, é necessário que deixemos claro quem é o nosso universo.
	Por exemplo, se vou falar sobre jogadores de futebol, é importante deixar claro qual o clube; se vou comentar a respeito de palavras, é importante mencionar de que língua estamos falando, alunos de qual colégio, estados de qual país, etc.
	Representamos o universo pela letra U.
	CONJUNTOS IGUAIS
	Quais são os conjuntos iguais?
	Dois conjuntos são ditos iguais quando apresentam os mesmos elementos. Em outras palavras, podemos dizer que se todo elemento pertencente a um conjunto A pertence também a um conjunto B e vice-versa, então A = B. Em símbolos, poderíamos escrever:
	A = B ( ((x)(x ( A ( x ( B)
	A = {1, 3, 5} e B = {5, 3, 1}; logo A = B
	A = {r, o, m, a} e B = {a, m, o, r}; logo A = B
	SUBCONJUNTOS
	Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B.
	Obs.: Dizer que um conjunto A é subconjunto de conjunto B é o mesmo que dizer:
	1) A está contido em B (relação de inclusão); utilizamos o símbolo (.
	2) A é uma parte de B. Simbolicamente: A ( B ( ((x)(x ( A ( x ( B)
	Obs.: A relação de inclusão é definida para dois conjuntos. O conjunto vazio {(} é subconjunto ( (não está contido).
	Exemplos: {1, 2, 3} ( {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 2, 3} ( {2, 3, 4, 5, 6}
	Operações com conjuntos:
	a) União ou Reunião
	Dados dois conjuntos A e B, denominamos união de A e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B.
	Simbolicamente: A ( B = {x | x ( A ou x ( B}
	Propriedades da união
	a) A ( A = A (idempotente)
	b) A ( ( = A (elemento neutro)
	c) A ( B = B ( A = (comutativa)
	d) (A ( B) ( C = A ( (B ( C) (associativa)
	b) Interseção de conjuntos
	Dados dois conjuntos A e B, denominamos de inter-seção entre A e B e representamos por A ( B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. Simbolicamente:
	A ( B = {x | x ( A e x ( B}
	Observação: Quando a interseção entre dois conjuntos é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
	Propriedades da interseção
	Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
	a) A ( A = A (idempotente)
	b) A ( U = A (elemento neutro)
	c) A ( B = B ( A( comutativa)
	d) A ((B ( C) = (A ( B) ( C (associativa)
	Obs.: Quando a interseção entre dois conjuntos: é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
	Exemplos: Dados os conjuntos:
	A= {1, 2, 5, 6} e B = {1, 5, 9, 10}
	Temos: A U B = {1, 2, 5, 6, 9, 10} e A ( B = {1, 5}
	c) Diferença de conjuntos
	Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que nâo pertencem a B.
	Simbolicamente:
	A – B = { x l x ( A e x ( B}
	Exemplos:
	1) {1, 3, 5, 6} – {2, 3, 6} = {1, 5}
	2) {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1}
	3) {a, b, c} – {c, a, b} = { }
	d) Complementar de B em relação à A
	Dados dois conjuntos A e B, tais que B ( A, chama-se complementar de B em relação à A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
	Exemplo:
	A = {1, 2, 3, 4, 5, 6) e B = {1, 2, 3, 4}
	B = {5, 6}
	CONJUNTOS NUMÉRICOS
	Conjunto dos números naturais
	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
	Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação. Isso significa que, dados dois números naturais, a e b, é sempre possível encontrar um outro número natural c = a + b e também um número c = a × b.
	Propriedades: para todos a, b e c naturais temos:
	1) (a + b) + c = a + (b + c) (associativa)
	2) a + b = b + a (comutativa)
	3) a + 0 = a (elemento neutro da adição)
	4) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação)
	5) ab = ba (comutativa da multiplicação)
	6) a × 1 = a (elemento neutro da multiplicação)
	7) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
	Observe que a subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais, o que justifica a ampliação do conjunto ℕ.
	Conjunto dos números inteiros
	Z = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
	Subconjuntos de ℤ
	ℤ + = {0, 1, 2, 3, ...} = ℕ (conjunto dos números inteiros não negativos)
	ℤ– = {0, –1, –2, –3,...] (conjunto dos números inteiros não positivos)
	ℤ* = {... –3, –2, –1, 1, 2, 3,...} (conjunto dos inteiros não nulos)
	Conjunto dos números racionais
	ℚ = {x l x = , a ( ℤ e b ( ℤ*}
	Número racional é todo número que pode ser escrito em forma de fração. São exemplos de números racionais:
	a) Todo número natural;
	b) Todo número inteiro;
	c) Os números decimais exatos;
	d) As dízimas periódicas.
	Conjunto dos números racionais
	 Dízimas periódicas simples
	1/3= 0,333... (período 3)
	2/7= 0,285714285714… (período 285714)
	Cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica simples
	a) Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,444...
	Seja x = 0,444... multiplicando os dois membros da equação por 10, teremos:
	10x = 4,444… Subtraindo da segunda equação a primeira teremos:
	10x – x = 4,444… –0,444...
	9x = 4 
	x = 4/9
	Obs.: Note que o fato de multiplicarmos a equação por 10 ocorre porque a dízima apresenta apenas 1 algarismo no seu período. Se o período fosse composto de dois algarismos, multiplicaríamos por 100 e assim por diante. Veja o próximo exemplo:
	Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,343434...
	Seja x = 0,343434...
	Multiplicando os dois membros da equação por 100, teremos:
	100x = 34,3434...
	Subtraindo da segunda equação a primeira, teremos:
	100x – x = 34,3434… –0,3434...
	99x = 34 ⇒ x = 34/99
	Regra para determinação da fração geratriz de uma dízima periódica: escrevemos uma fração onde o numerador é o período e o denominador é formado por um número que possui somente algarismos nove tanto quanto forem os algarismos do período.
	Exemplos:
	1) 0,111... = 1/9 
	2) 0,525252... = 52/99
	3) 2,345345345... = 2 + 345/999
	Dízima periódica composta
	São aquelas
que apresentam um algarismo ou um grupo de algarismos antes do período.
	Exemplos:
	1) 0,2333…
	2) 0,12444…
	3) 0,3451212...
	Para determinarmos a fração geratriz de uma dízima periódica composta, podemos utilizar o mesmo recurso utilizado para as simples. Vejamos:
	1) 0,2333...
	x = 0,2333... (multipliquemos a equação por 10 com a finalidade de transformar a dízima composta em simples)
	10x = 2,333... (multipliquemos por 10, pois a dízima simples possui um único algarismo no período) (I)
	100x = 23,333… (II)
	De (II) – (I): 100x – 10x = 23,333… –2,333...
	90x = 21 
	x = 21/90 = 7/30
	2) x = 0,12444… (multipliquemos a equação por 100 com o propósito de transformar a dízima composta em simples)
	100x = 12,444... (I) (multipliquemos a equação por 10, pois a dízima tem um algarismo no período)
	1.000x =124,44...(II)
	De (II) – (I): 1.000x – 100x = 124,444… –12,444...
	900x = 112
	x = 112/900 = 28/225
	Regra para determinação de uma dízima periódica composta
	A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração que tem para numerador a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e para denomina-dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
	Ex:
	a) 0,2333... x = 23 – 2/90 = 21/90 = 7/30
	b) 0,123434... x = (1234 – 12)/9900 = 1222/9900
	Números Irracionais
	Existem números cuja representação decimal é infinita, mas não é periódica. Esses números são chamados de números irracionais. A união do conjunto dos números racionais com o conjuntos dos números irracionais nos fornece o conjunto dos números reais.
	ℝ = ℚ ( 𝕀
	1) 1,2345678910111213…
	2) 3,40400400040000400000…
	Operações com intervalos
	Sejam os intervalos A = [1, 5[ e B = ]-1, 2], vamos determinar: A ∪ B
	A ( B = ]-1, 5[
	A ( B = [1, 2]
	SÍNTESE DA AULA
	Nessa aula você:
	● Aprendeu a reconhecer os principais conjuntos numéricos, bem como a realizar operações entre esses conjuntos. Aprendeu ainda as relações de pertinência e inclusão e a diferença entre elas.
	 LIVRO — SAIBA MAIS
	1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
	O estudo introdutório de conjuntos numéricos se torna necessário e importante ao aluno porque fornece a base para a construção do conhecimento da disciplina de Matemática, sendo imprescindível para algumas áreas profissionais, tais como Engenharia, Física, Arquitetura, entre outras. As construções apresentadas acompanharão o aluno ao decorrer de toda a sua formação acadêmica. Intuitivamente, sabemos que conjuntos são coleções de elementos. Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos da teoria de conjuntos. Aqui, nomearemos todos os conjuntos com letras maiúsculas, e seus elementos, com letras minúsculas.
	OBJETIVOS
	 Apresentar os conjuntos numéricos dos naturais, inteiros, racionais e reais;
	 Realizar e compreender as operações com conjuntos;
	 Apresentar a noção de intervalo numérico; e
	 Realizar e compreender as operações com intervalos.
	1.1 Noções Elementares
	Os conjuntos que conhecemos são geralmente representados com chaves {} ou por diagramas de Venn. Utilizaremos, neste livro, a representação com chaves.
	EXEMPLO
	Você conhece a série de Fibonacci? A = {1, 1, 2, 3, 5, 8} é o conjunto dos seis primeiros números desta série, a qual dá origem à famosa proporção áurea. Você sabia que a proporção áurea foi utilizada por Leonardo da Vinci no quadro Mona Lisa?
	1.2 Conjuntos Importantes
	Vamos, agora, apresentar a definição de alguns conjuntos que serão importantes ao longo do curso. Tome nota, pois eles serão citados em vários momentos.
	I. O conjunto vazio – ∅ – é aquele que não tem nenhum elemento.
	(Cuidado! A notação pode pregar peças. Por exemplo: o conjunto representado por B = (∅) não é vazio. Ele tem um elemento, que é o ∅.
	II. Conjunto unitário é aquele que tem apenas um elemento. Então, o conjunto B = (∅), apresentado anteriormente, na verdade é um conjunto unitário!
	III. Conjunto universo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos em questão.
	IV. Dois conjuntos, A e B, são ditos iguais quando todos os seus elementos são iguais. Então, um conjunto A = {1, 2, 7} e um conjunto B = {2, 7, 1} são ditos iguais, uma vez que têm os mesmos elementos.
	V. A é dito subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A também pertencer a B. Utiliza-se a notação A ⊂ B (lê-se “A está contido em B”).Temos duas propriedades importantes para os subconjuntos:
	a) (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B
	b) (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C
	VI. Dois conjuntos são ditos disjuntos quando não há nenhum elemento comum entre eles. Sendo assim, se D = {11, 13, 15} e E = {12, 14, 16}, então os conjuntos D e E são disjuntos.
	EXERCÍCIO RESOLVIDO
	Tome os conjuntos A = {7, 12} e C = {12}. Sabendo que A ⊂ B, determine a relação entre
	B e C.
	Solução: 
	Veja que, como todos os elementos de C pertencem a A, então C ⊂ A. Concorda?
	Então, pela propriedade apresentada, devemos ter que C ⊂ B.
	1.2.1 Operações com Conjuntos
	Agora que já conhecemos os principais tipos de conjuntos, vamos aprender as operações que podem ser efetuadas com eles.
	I. A união (∪) de dois conjuntos é formada por todos os elementos que pertencem a A ou B. Temos A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ A} (lê-se “A união B é igual a x, tal que x pertence a A ou x pertence a B”). Se, por exemplo, tivermos A = {13, 21, 24} e B = {8, 55, 89}, então a união entre os conjuntos A e B será dada por A∪B = {8, 13, 21, 34, 55, 89}.
	II. A interseção (∩) de dois conjuntos é formada por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e B. Temos A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} (lê-se “A interseção B é igual a x, tal que x pertence a A e x pertence a B”). Note que, caso a interseção entre dois conjuntos seja vazia, então esses conjuntos são ditos disjuntos, conforme vimos anteriormente! Você concorda? Então, analisando os conjuntos A = {13, 21, 23}, B = {8, 55, 89} e C = {13, 34, 55}, temos que A∩B = {13, 34}, que B ∩ C = {55} e, como acabamos de definir, A∩B = ∅. Não se esqueça de que A ∩ B = {∅} e A ∩ B = ∅ não representam a mesma coisa. Dizer que A ∩ B = {∅}, nesse caso, seria afirmar que A e B têm o elemento ∅ em comum, o que, neste caso, não é verdade.
	III. Define-se diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Temos A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} (lê-se “A menos B é igual a x, tal que x pertence a A e x não pertence a B”). O conjunto A – B é, também, conhecido como complementar de A em relação a B (CAB), se B⊂A. O complementar de A em relação ao universo U é representado por AC.
	EXEMPLO
	Se tivermos A = {1, 3, 5, 7, 9} como o conjunto dos cinco primeiros números ímpares e B = {1, 2, 3, 5, 7} como o conjunto dos cinco primeiros números primos, como ficarão as operações entre eles?
	Solução: Teremos, desse modo:
	— A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}, de modo que na união constem todos os elementos que estão tanto em A quanto em B;
	— A ∩ B = {1, 3, 5, 7}, de forma que na interseção estejam apenas os elementos em comum entre A e B;
	— A – B = {9}, uma vez que o único elemento que está em A mas não está em B é o número 0; e
	— B – A = {2}, uma vez que o único elemento que está em B mas não está em A é o número 2.
	Já conhecemos os principais conjuntos e as operações que são possíveis de executar. Agora, veremos as propriedades inerentes aos conjuntos. É sugerido que você não apenas leia cada propriedade, mas tente imaginar o porquê de ela ser válida. Aqui, haverá exercícios após as propriedades mais complexas, de modo a tornar seu entendimento mais palpável.
	Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários e U o conjunto universo, temos:
	I. A ∪ B = A;
	II. A ∪ ∅ = A;
	III. A ∪ U = U;
	IV. A ∩ A = A;
	V. A ∩ ∅ = ∅;
	VI. A ∩ U = A;
	VII. A ∪ B = B ∪ A;
	VIII. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C;
	IX. A ∩ B = B ∩ A;
	X. A ∩ B (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) = A ∩ B ∩ C;
	XI. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
	XII. A ∩ B (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
	XIII. A
∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C);
	XIV. AC ∩ A = ∅;
	XV. UC = ∅ e ∅C = U;
	XVI. (AC)C = A;
	XVII. A – B = A ∩ BC = BC – AC;
	XVIII. (A ∪ B)C = AC ∩ BC;
	XIX. (A ∩ B)C = AC ∩ BC;
	XX. A ∪ B = AC ∩ BC)C;
	XXI. A ∪ B = A ∪ (B – (A ∩ B)) = A ∪ (AC ∩ B);
	XXII. AC ∩ A = ∅;
	XXIII. UC = ∅ e ∅C = U;
	XXIV. (AC)C = A;
	XXV. A – B = A ∩ BC = BC – AC;
	XXVI. (A ∪ B)C = AC ∩ BC;
	XXVII. (A ∩ B)C = AC ∪ BC;
	XXVIII. A ∪ B = AC ∩ BC)C;
	XXIX. A ∪ B = A ∪ (B – (A ∩ B)) = A ∪ (AC ∩ B).
	XXX. A ∩ B = (AC ∪ BC)C.
	XXXI. A = A ∪ (A ∩ B) = A ∩ B) ∪ (A – B).
	EXERCÍCIO RESOLVIDO
	Exercício para verificar as propriedades XI e XII:
	Sejam A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 5} e C = {2, 4, 6, 8}. Calcule:
	a) A ∪ B =
	b) A ∪ C =
	c) B ∪ C =
	d) A ∩ B =
	e) A ∩ C =
	f) B ∩ C =
	g) A ∩(B ∩ C) =
	h) A ∩(B∪C) =
	i) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) =
	j) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) =
	k) B – C =
	l) A ∩ (B – C) =
	m) (A ∩ B) – (A ∩ C) =
	Exercício para verificar as propriedades XXI a XXIII: 
	Sejam A = {1, 3, 5, 79}, B = {1, 2, 3, 5, 7} e U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 910}. Encontre:
	a) AC = 
	b) BC =
	c) A ∪ B = 
	d) A ∩ B =
	e) A – B =
	f) B – (A ∩ B) =
	g) AC ∩ B =
	h) A ∪ (B – (A ∩ B)) = 
	i) A ∪ (AC ∩ B)
	j) AC ∪ BC =
	k) (AC ∪ BC)C =
	l) A ∪ (A ∩ B) =
	m) A ∩ (A ∪ B) =
	n) (A ∩ B) ∪ (A – B) =
	1.3 Principais conjuntos numéricos
	Agora, vamos tratar dos principais conjuntos numéricos. São eles: Naturais ℕ, Inteiros ℤ, Racionais ℚ e Reais ℝ. Veremos, ainda, que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
	1.3.1 Conjunto dos Naturais ℕ
	O conjunto dos números Naturais, ℕ, é o conjunto fundamental dos números que conhecemos desde que aprendemos a contar. Você lembra? Ele é definido por:
	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
	Este conjunto apresenta as seguintes propriedades:
	A. Relacionadas à adição:
	I. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c, ∈ ℕ. (1)
	II. Comutativa: a +b = b + a, ∀a, b, ∈ ℕ. (2)
	III. Elemento neutro: a + 0 = a, ∀a ∈ ℕ. (3)
	B. Relacionadas ao produto:
	I. Associativa: (ab) c = a (bc), ∀a, b, c ∈N. (4)
	II. Comutativa: ab = ba, ∀a, b ∈ ℕ. (5)
	III. Elemento neutro: a ( 1 = a, ∀a ∈ ℕ. (6)
	Temos, ainda, uma propriedade do produto em relação à adição:
	I. Distributiva: a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c, ∈ ℕ. (7)
	Conseguiu lembrar-se de todas? Elas representam todas as operações fundamentais do conjunto dos Naturais. Tome nota e não se esqueça dessas propriedades! Elas são válidas para todos os próximos conjuntos!
	1.3.2 Conjunto dos Inteiros (ℤ)
	O conjunto dos números Inteiros, ℤ, é aquele que aprendemos quando vimos, pela primeira vez, o que são números negativos. O conjunto Z é definido por:
	ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
	Pelo fato de o conjunto dos Naturais ser subconjunto de ℤ, é interessante definir os seguintes subconjuntos:
	I. Inteiros não negativos: ℤ+ = N = {0, 1, 2, 3, ...}
	II. Inteiros não positivos: ℤ– = {..., –3, –2, –1, 0}
	III. Inteiros não nulos: ℤ* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
	IV. Inteiros positivos: ℤ+* = {1, 2, 3, ...}
	V. Inteiros negativos: ℤ–* = {–1, –2, –3, ...}
	Você se lembra das propriedades (1) a (7)? Como foi dito anteriormente, elas também são válidas em Z! Há, ainda, uma propriedade que não existe no conjunto dos Naturais. Nos Inteiros, temos:
	I. Simétrico ou oposto aditivo: a + (–a) = 0 ∀a ∈ ℤ. (8)
	Agora, você concorda que podemos definir a subtração?
	Fazemos a – b = a + (–b), a, b ∈ ℤ. Agora já temos adição, multiplicação e subtração, certo? Dê um palpite. Qual das quatro operações ainda não pôde ser definida? Se você pensou na divisão ou quociente, acertou! Sua definição só foi possível com o surgimento do conjunto dos Racionais ℚ.
	1.3.3 Conjunto dos Racionais (ℚ)
	A partir de agora, iremos tratar de números que podem ser representados por frações da forma q = a ( ℤ, b ( ℤ* (Isso mesmo, o número b deve ser diferente de zero!), com as seguintes definições:
	Na fração , a é o numerador e b é o denominador (Guarde esses nomes!)
	Você irá precisar lembrar deles!). Se a e b forem primos entre si, isto é, se m.d.c. (a, b) = 1, então a fração será denominada irredutível.
	Aqui, são válidas as propriedades (1) a (8), e define-se, ainda, a seguinte:
	I. Simétrico ou inverso multiplicativo: 
	Agora, finalmente, podemos definir a operação de quociente ou divisão, fazendo , sendo as duas frações não nulas.
	Segue um questionamento: todos os números podem ser escritos em forma de fração? Como você escreveria , para a e b inteiros? Não conseguiu?
	Isso se deve ao fato de ainda não termos apresentado o conjunto dos Irracionais!
	1.3.4 Conjunto dos Irracionais 𝕀
	Para contemplar os números que não podem ser escritos em forma de fração, criou-se o conjunto dos Irracionais 𝕀. Este conjunto abrange os números como (2, π, e etc. Agora conseguimos representar todos os números que conhecemos, certo?
	1.3.5 Conjunto dos Reais ℝ
	O conjunto dos números Reais é formado pela união do conjunto dos números racionais ℚ com o conjunto dos números Irracionais 𝕀.
	Para os números Reais, valem todas as propriedades apresentadas nesta seção (isso, aquelas que já vimos) e podemos representá-los por pontos sobre uma reta, chamada reta real.
	/
	Você notou que existem números positivos e negativos? Números inteiros, fracionários e outros que não podem ser nem um nem outro? O conjunto dos Reais abrange todos estes!
	Introduzimos, aqui, dois conceitos que são amplamente utilizados na matemática.
	a) Intervalos:
	São subconjuntos dos números reais. Há quatro possibilidades:
	I. Intervalo fechado: [a, b]
	II. Intervalo aberto: (a, b)
	III. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: [a, b)
	IV. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: (a, b]
	Se a e b forem finitos, diz-se que os intervalos acima são limitados. Nestes, o número a é denominado ínfimo ou extremo inferior do intervalo, enquanto b é denominado supremo ou extremo superior.
	Se a → ∞ e/ou b → ∞, diz-se que o intervalo é ilimitado.
	b) Módulo ou valor absoluto de um número real:
	Chamamos de módulo |x| de um número real x a sua distância à origem do sistema de coordenadas. Sua definição matemática é:
	Então, de fato, o módulo representa quanto o número está longe do zero. Você concorda? Como consequência disso, pelo fato de o módulo representar a distância de x à origem, devemos ter |x| ≥ ∀0, x ∈ ℝ.
	Seguem suas propriedades:
	I. |x| = |–x|.
	II. |x2| = |x2|.
	III. |a ( b| = |a| ( |b|.
	V. |a – b| = |b – a|.
	VI. |a + b| ≤ |a| + |b|.
	VII. Se a > 0, |x| = a ⇔ x = ± a.
	VIII. Se a > 0, |x| < a ⇔ –a < x < a.
	IX. Se a > 0, |x| > a ⇔ x < – a ou x > a.
	1.4 Relações
	1.4.1 Par ordenado
	Par ordenado é todo conjunto composto por dois elementos. Um par ordenado composto pelos elementos a e b é representado por (a, b). Por definição, teremos (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d. Tudo certo até aqui? Então, se forem iguais, o primeiro termo será igual ao primeiro, e o segundo será igual ao segundo.
	1.4.2 Sistema Cartesiano
	Um sistema cartesiano é composto por dois eixos (x e y, neste caso), perpendiculares no ponto O, definindo um plano que contém o ponto P. Abaixo, temos a representação do plano cartesiano.
	/
	Definimos x0 como abscissa de P, Y0 como ordenada de P, o par ordenado (x0, y0) como as coordenadas de P, o eixo das abscissas como o eixo x, o eixo das ordenadas como o eixo y e O como a origem do sistema. Dê um palpite. Essas retas x e y deverão ser representadas em que conjunto? Se você pensou nos Reais, acertou.
	Ainda, definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto A X B cujos elementos são pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B. Assim, A X B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}.
	1.4.3 Relação binária e relação inversa
	Define-se a relação binária R de A (conjunto de partida) em B (conjunto de chegada ou contradomínio) como todo subconjunto de A X B. Ou seja, R é a relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A X B.
	Dado um par ordenado (x, y), caso ele pertença à relação R, escrevemos (x, y) ∈ R ⇔ x R y.
	Da mesma forma, definimos relação inversa R–1
= {(y, x) ∈ B X A | B X A | (x, y) ∈ R}.
	ATIVIDADES
	1. Sendo A = (– ∞, –1), B = (–5, –2) e C = (–1, 4), obtenha:
	a) A ∩ B =
	b) A ∪ B =
	c) A ∩ C = 
	2. Quais das proposições abaixo não são verdadeiras?
	a) N ⊂ Z ⊂ Q
	b) Z ∩ I = ∅
	c) Z ⊃ Q
	d) {0} ⊂ Q
	e) Q+* ∩ Z = N
	f) Q ∩ R = Q
	3. Determine os conjuntos A ∪ B e A ∩ B, sendo A = (–3, 1) e B = {x ∈ R | 0 ≤ x < 2}.
	4. Sendo E = {x ∈ R | – 3 ≤ 3 ≤ x < 1}, F = {x ∈ R | x ≤ 3} e G = {x ∈ R | 1 < x ≤ 5} determinar:
	a) E ∩ F.
	b) E ∪ F.
	c) F ∩ G.
	d) F ∪ G.
	e) E ∩ G.
	f) E ∪ G.
	5. As revistas mais vendidas em uma banca de jornal, num certo mês, foram A, B e C. O jornaleiro constatou que as vendas do mês estavam de acordo com a tabela abaixo:
	a) Quantas revistas foram compradas nesse mês?
	b) Dentre os consumidores de A, B e C, quantos compraram apenas duas dessas revistas?
	c) Quantos não compraram a revista C?
	d) Quantos não compraram a revista B nem a revista C?
	6. Dos 30 alunos de um pré-vestibular, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são maiores de idade e 7 são mulheres menores de idade. Quantos candidatos masculinos são menores de idade?
	7. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:
	N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
	P = {x ∈ N | 6 ≤ x ≤ 20}
	A = {x ∈ P | x é par}
	B = {6, 8, 12, 16}
	C = {x ∈ P | x é múltiplo de 5}
	O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é:
	A 2
	B 3
	C 4
	D 5
	8. Considere três conjuntos, A, B e C, tais que: n(A) = 28 ( n(B) = 21 ( n(C) = 20, n(A∩B) = 8, n (B∩C) = 9, n (A∩C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, o valor de n ((A∪B ∩ C) é:
	A 3
	B 10
	C 20
	D 21
	9. A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e A∪B tem 48 elementos. Então, o número de elementos de B – A é:
	A 8
	B 10
	C 12
	D 18
	10. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
	 600 entrevistados usam a pasta de dente da marca A.
	 825 entrevistados usam a pasta de dente da marca B.
	 525 entrevistados usam a pasta de dente da marca C.
	 180 entrevistados usam as pastas de dente das marcas A e B.
	 225 entrevistados usam as pastas de dente das marcas A e C.
	 285 entrevistados usam as pastas de dente das marcas B e C.
	 105 entrevistados usam as pastas de dente das três marcas.
	 135 pessoas entrevistadas não usam as pastas de dente de nenhuma das três marcas.
	Considerando os dados acima, quantas pessoas foram entrevistadas?
	11. Foi feito um levantamento com as 200 crianças de uma escola. Em uma conversa com os pais sobre o histórico de doenças das crianças, foi verificado que 132 já tiveram catapora, 100 já tiveram sarampo e 46 já tiveram as duas doenças. Com base nos dados anteriores, pergunta-se:
	a) Quantos crianças não tiveram catapora?
	b) Quantos crianças não tiveram sarampo?
	c) Quantas crianças não tiveram nenhuma das duas doenças?
	12. (UFPA – 2007) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A∩B = ∅. Concluímos que o número n de alunos desta turma é:
	A 49
	B 50
	C 47
	D 45
	E 46
	13. Se A ⊄ B e B = {10, 23, 12, {1, 2}, então A pode ser:
	A {10}
	B {1}
	C {10, 23, 12}
	D {15, 12} ∩ {13, 12}
	E {10, 23, 12, {1, 2}
	14. Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1, 2}}, então A∪B é:
	A ∅
	B {1}
	C {10, 23, 12}
	D {15, 10} ∩ {13, 10}
	E {10, 23, 12, {1, 2}}
	15. (UFMG – 2007) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:
	A 25%
	B 30%
	C 35%
	D 40%
	16. (FEI-SP – 2006) Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8, 12, 14}; B = {5, 10, 15, 20,
	25} e C + {1, 2, 3, 18, 20} e ∅ o conjunto vazio. É correto afirmar que:
	A B ∩ C = ∅
	B A – C = {–6, 1, 2, 4, 5}
	C A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 14, 20}
	D (A – C) ∩ (B – C) = ∅
	E A ∪ C = {3, 6, 11, 20, 34}
	17. (UFPA – 2008) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história. Constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas.
	O número de alunos que não gostam de nenhuma dessas disciplinas é:
	D 15
	A 0
	E 20
	B 5
	C 10
	18. (UEA – 2005) Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5, 6} que contêm pelo menos um múltiplo de 3?
	A 32
	B 36
	C 48
	D 60
	E 64
	19. (UERGS – 2005) Oitenta alunos de uma sala de aula responderam às duas questões de uma prova, verificando-se os seguintes resultados:
	I. 30 alunos acertaram as duas questões.
	II. 52 alunos acertaram a 1ª questão.
	III. 44 alunos acertaram a 2ª questão.
	Nessas condições, conclui-se que:
	A nenhum aluno errou as duas questões.
	B 36 alunos acertaram somente uma questão.
	C 72 alunos acertaram pelo menos uma questão.
	D 16 alunos erraram as duas questões.
	E não é possível determinar o número de alunos que erraram as duas questões.
	20. (Ibmec-SP – 2008) Todos os candidatos inscritos num vestibular escolheram na ficha de inscrição que preencheram uma única entre as três seguintes situações prévias (em relação ao ano anterior): frequentou um cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as seguintes informações:
	 800 não fizeram cursinho,
	 1200 não acabaram de sair do ensino médio,
	 1500 não ficaram estudando sozinhos durante o último ano.
	Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual a:
	A 1.250.
	B 1.750.
	C 2.500.
	D 3.500.
	E 4.750.
	21. (Ibmec-SP – 2007) Em certo país, sabe-se que:
	 todo médico usa roupa branca;
	 nem todas as pessoas que usam roupa branca trabalham em hospitais.
	Uma pessoa faz as afirmações seguintes referindo-se a esse país:
	I. Somente médicos trabalham em hospitais;
	II. Existem médicos que não trabalham em hospitais;
	III. Algumas pessoas que trabalham em hospitais não usam roupa branca.
	Pode-se concluir que é (são) necessariamente verdadeira(s):
	A as afirmações II e III.
	B a afirmação III.
	C a afirmação II.
	D a afirmação I.
	E nenhuma das três afirmações.