Aula 11 Tipos de Variáveis, Tabelas Estatísticas e Distribuição de Frequências Exercícios

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Exercí cios Aula 1.1 
 
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Exercícios Resolvidos 
1. Determine o logaritmo dos seguintes números: 2, 5, 10 e 100. 
Solução: 
Logaritmo é uma importante função matemática. A abreviatura de logaritmos é "LOG", “Log” ou "log". 
Você pode obter o valor dos logaritmos de um número usando uma calculadora científica. 
Por exemplo, pegue uma calculadora científica e calcule o valor do logaritmo dos números 2, 5, 10 e 100. 
Você irá encontrar: 
 Log (2) = 0,3010 
 LOG (5) = 0,69897 
 log (10) = 1,0000 
 Log (100) = 2,0000 
Nas figuras abaixo estão apresentadas duas calculadoras com a tecla que calcula o logaritmo assinalada 
por um círculo vermelho. 
 
 
2. Seja uma amostra com 100 dados. Informe em quantas classes podemos dividir esta amostra 
utilizando a Regra de Sturges e o Critério da Raiz. Os dois critérios fornecem o mesmo resultado? Qual 
deles devo usar? 
Solução: 
As formas de cálculo do número de classes dadas pela Regra de Sturges e o Critério da Raiz estão abaixo 
transcritas: 
 Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 ∙ log n 
 Critério da Raiz: k = √n 
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Nas fórmulas acima, temos: 
 k = número de classes; 
 n = tamanho da amostra (no nosso caso este tamanho é 100). 
Fazendo as contas teremos: 
 Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 ∙ log 100 = 1 + 3,3 ∙ 2 = 1 + 6,6 = 7,6 ≈ 8 
 Critério da Raiz: k = √100 = 10 
Note que temos sempre que arredondar o número encontrado em cada um dos critérios para o número 
inteiro imediatamente superior. 
Veja ainda que os dois critérios não fornecem resultados iguais. Isto é função das diferentes fórmulas de 
cálculo de cada um deles. 
Quando nada é especificado, você pode utilizar qualquer um dos critérios acima para separar uma 
amostra em classes de frequência. No entanto lembre que muitas vezes o enunciado dos problemas 
especifica o critério a ser utilizado. 
 
3. Sejam os dados brutos da amostra abaixo. Determine o número de classes pelo critério de Sturges, a 
amplitude amostral da sequência e a amplitude do intervalo de classes. 
10 12 14 7 6 
15 11 12 10 9 
21 17 18 19 14 
9 21 7 15 12 
 
Solução: 
A primeira coisa que devemos fazer é transformar os dados brutos em um rol. Assim: 
6 7 7 9 9 
10 10 11 12 12 
12 14 14 15 15 
17 18 19 21 21 
A partir do rol, podemos informar que: 
 n = 20 elementos 
 Vmáx = 21 (valor máximo dos dados) 
 Vmín = 6 (valor mínimo dos dados) 
 
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Assim: 
 Número de Classes: k = 1 + 3,3 ∙ log(20) = 1 + 3,3 ∙ 1,301 = 1 + 4,29 = 5,29 ≈ 6 
 Amplitude Amostral: AA = 21 – 6 = 15 
 Amplitude de Classe: h = 15 / 6 = 2,5 ≈ 3 
 
4. Aproveitando os dados do problema anterior, organize a tabela de classes de frequência. 
Solução: 
Para realizar esta atividade, temos primeiro que montar a tabela de frequência, como abaixo mostrado. 
Valor dos dados 
da amostra 
Frequência 
6 1 
7 2 
9 2 
10 2 
11 1 
12 3 
14 2 
15 2 
17 1 
18 1 
19 1 
21 2 
 
Agora vamos começar a montar a nossa tabela de classes de frequência. Do exercício anterior, sabemos 
que esta tabela terá 6 classes de amplitude 3. Arbitrariamente vamos iniciar a contagem das classes 
utilizando o valor mínimo dos dados que é 6 (note que poderíamos utilizar também outros marcos iniciais 
como os valores 0 ou 5, por exemplo; isto as vezes ajuda em uma melhor visualização dos dados da tabela; 
para cada marco inicial obteremos uma tabela de classes de frequência um pouco diferente; a única regra 
neste caso é que este marco inicial seja menor ou igual ao valor mínimo dos dados da amostra) 
Começando com o valor mínimo de 6, teremos então as seguintes classes (note que obtemos o limite 
superior somando ao limite inferior o valor da amplitude de classe que é 3): 
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 Primeira classe: limite inferior 6 e limite superior 9; 
 Segunda classe: limite inferior 9 e limite superior 12; 
 Terceira classe: limite inferior 12 e limite superior 15; 
 Quarta classe: limite inferior 15 e limite superior 18; 
 Quinta classe: limite inferior 18 e limite superior 21. 
 
Finalmente, montamos a tabela de classe de frequência a partir dos dados acima e da tabela de 
frequência: 
Classes de 
Frequência 
Frequência 
06|---09 3 
09|---12 5 
12|---15 5 
15|---18 3 
18|----21 2 
21|---24 2 
 
5. Determine, a partir dos dados do problema anterior, a frequência acumulada (Fac), frequência relativa 
(Fr) e frequência relativa acumulada (Frac) dos dados da amostra. 
Solução: 
Utilizando as definições de Fac, Fr e Frac contidas na Aula 3 da Unidade 1, teremos: 
Classes de 
Frequência 
Frequência Fac Fr Frac 
06|---09 3 3 3/20 = 0,15 0,15 
09|---12 5 3 + 5 = 8 5/20 = 0,25 0,15 + 0,25 = 0,40 
12|---15 5 8 + 5 = 13 5/20 = 0,25 0,40 + 0,25 = 0,65 
15|---18 3 13 + 3 = 16 3/20 = 0,15 0,65 + 0,15 = 0,80 
18|----21 2 16 + 2 = 18 2/20 = 0,10 0,80 + 0,10 = 0,90 
21|---24 2 18 + 2 = 20 2/20 = 0,10 0,90 + 0,10 = 1,00 
 
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6. Baseado nos dados do problema anterior construa o histograma da amostra. 
Solução: 
a) Para desenhar o histograma da amostra, utilizaremos as classes de frequência no eixo horizontal 
e a frequência simples na vertical. 
 
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Histograma
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Exercícios Propostos 
1. Determine o logaritmo decimal (log) dos seguintes números utilizando uma calculadora científica: 
a) 35 
b) 50 
c) 27 
d) 115 
2. A partir da coluna de frequência simples (f) dada, complete a tabela abaixo com as frequências 
acumulada (Fac), relativa (Fr) e relativa acumulada (Frac) dos dados. 
f Fac Fr Frac 
7 
3 
6 
8 
4 
3 
 
3. Uma empresa resolveu verificar a quantidade de funcionários por faixa etária a fim de realizar um 
levantamento dos custos da contratação de um plano de saúde coletivo. Os resultados estão 
informados na tabela abaixo. A partir da coluna de frequência simples (f) dada, complete a tabela 
abaixo com as frequências acumulada (Fac), relativa (Fr) e relativa acumulada (Frac) dos dados. 
Idade f Fac Fr Frac 
18 |-- 21 7 
21 |-- 24 3 
24 |-- 27 6 
27|-- 30 8 
30|-- 33 4 
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33|-- 36 6 
36 |-- 39 3 
39|-- 42 9 
42 |-- 45 12 
45|-- 48 6 
48|-- 51 3 
 
4. Utilize o Critério de Sturges e a Regra da Raiz para determinar o número de classes das amostras 
abaixo: 
a) Amostra 1: 30 elementos 
b) Amostra 2: 65 elementos 
c) Amostra 3: 93 elementos 
d) Amostra 4: 138 elementos 
5. Construa a tabela de classes de frequência e o histograma da amostra abaixo. Utilize a Regra de 
Sturges para determinar o número de classes. Determine ainda a frequência simples (f), frequência 
acumulada (Fac), frequência relativa (Fr) e frequência relativa acumulada (Frac) dos dados. 
150 151 165 162 156 
162 157 155 156 152 
163 154 160 160 157 
159 155 154 157 161 
 
6. Construa a tabela de classes de frequência e o histograma da amostra abaixo. Utilize a Regra de 
Sturges para determinar o número de classes. Determine ainda a frequência simples (f), frequência 
acumulada (Fac), frequência relativa (Fr) e frequência relativa acumulada (Frac) dos dados. 
70 80 74 72 74 
71 77 76 78 75 
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79 76 74 72 71 
75 79 77 73 73 
 
7. Uma tabela contendo os dados de uma pesquisa de opinião de um total de 500 entrevistados foi 
enviada por fax mas ficou com alguns números apagados. Seria possível você recompor os números 
originais? 
Classe de Frequênciaf fr Percentual fac 
10 |-- 50 100 
50 |-- 100 34 270 
100 |-- 150 0,28 
150 |-- 200 
 
8. A partir dos dados da tabela abaixo, complete as casas que faltam. Sabe-se que o número total de 
dados da pesquisa representada na tabela é de 800. 
 
Classe de Frequência f fr Percentual fac 
1 150 
2 0,2750 
3 33,75 
4 160 
 
 
9. O treinador de um time de basquete coletou os seguintes dados relativos aos pontos por partida em 
uma temporada completa do seu time: 
 
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85 77 79 73 73 70 95 71 93 89 
100 80 79 72 85 86 73 76 83 81 
94 96 95 83 82 93 98 86 84 84 
91 85 94 100 75 70 84 77 85 85 
87 95 96 84 74 93 83 79 97 81 
79 98 97 78 86 74 71 86 98 94 
 
 Em relação aos dados acima informe: 
a) O valor mínimo; 
b) O valor máximo; 
c) Em quantos jogos foram feitos menos de 85 pontos; 
d) Em quantos jogos foram feitos 85 pontos ou mais; 
e) Em quantos jogos foram feitos mais de 85 pontos; 
f) Qual a porcentagem de jogos em que foram feitos mais de 90 pontos; 
g) Qual a porcentagem de jogos em que foram feitos entre 80 e 92 pontos. 
 
 
10. Uma oficina mecânica mediu o comprimento das placas de metal recebidas de um fornecedor, 
obtendo os seguintes resultados em metros: 
0,964 1,009 1,022 1,043 0,966 1,005 0,998 0,957 0,976 1,016 
1,020 0,965 0,983 0,957 1,039 1,032 1,006 1,004 1,002 1,045 
0,990 0,953 0,984 1,030 1,018 0,963 1,034 0,975 1,007 0,964 
0,959 1,021 0,967 1,039 1,024 0,959 0,954 1,006 1,045 1,036 
0,960 0,952 1,012 1,002 1,047 0,962 0,983 1,004 1,003 0,958 
0,959 0,993 1,039 1,018 0,957 1,032 1,042 1,025 0,951 1,022 
0,955 0,968 0,967 1,025 1,029 0,977 0,950 1,050 1,043 1,032 
Exercí cios Aula 1.1 
 
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1,022 1,025 0,985 1,045 1,037 1,031 1,034 1,036 1,032 0,968 
0,968 1,014 0,965 1,027 0,966 0,983 0,963 1,025 1,028 0,961 
1,000 1,000 0,972 0,987 1,022 1,027 1,036 0,988 1,015 0,969 
 
 Em relação aos dados acima informe: 
a) O valor mínimo; 
b) O valor máximo; 
c) Qual a porcentagem da amostra que apresenta comprimento superior a 1,012m; 
d) Qual a porcentagem da amostra que apresenta comprimento inferior a 0,983m; 
 
 
Soluço es 
 
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Soluções dos Exercícios Propostos 
1. 
a) log 35 = 1,544 
b) log 50 = 1,699 
c) log 27 = 1,431 
d) log 115 = 2,061 
2. 
f Fac Fr Frac 
7 7 0,23 0,23 
3 10 0,10 0,32 
6 16 0,19 0,52 
8 24 0,26 0,77 
4 28 0,13 0,90 
3 31 0,10 1,00 
3. 
Idade f Fac Fr Frac 
18 |-- 21 7 7 0,10 0,10 
21 |-- 24 3 10 0,04 0,15 
24 |-- 27 6 16 0,09 0,24 
27|-- 30 8 24 0,12 0,36 
30|-- 33 4 28 0,06 0,42 
33|-- 36 6 34 0,09 0,51 
36 |-- 39 3 37 0,04 0,55 
39|-- 42 9 46 0,13 0,69 
42 |-- 45 12 58 0,18 0,87 
45|-- 48 6 64 0,09 0,96 
48|-- 51 3 67 0,04 1,00 
 
Soluço es 
 
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4. Veja as respostas na tabela abaixo: 
Amostra Classes pela Regra de Sturges Classes pelo Critério da Raiz 
Amostra 1: 30 elementos k = 1 + 3,3 ∙ log 30 = 5,87 ≈ 6 k = √30 = 5,48 ≈ 6 
Amostra 2: 65 elementos k = 1 + 3,3 ∙ log 65 = 6,98 ≈ 7 k = √65 = 8,06 ≈ 9 
Amostra 3: 93 elementos k = 1 + 3,3 ∙ log 93 = 7,50 ≈ 8 k = √93 = 9,64 ≈ 10 
Amostra 4: 138 elementos k = 1 + 3,3 ∙ log 138 = 8,06 ≈ 9 k = √138 = 11,75 ≈ 12 
5. 
Tabela de Classes de Frequência 
Classes Lim Inf Lim Sup f Fac Fr Frac 
1 150 153 3 3 0,15 0,15 
2 153 156 4 7 0,20 0,35 
3 156 159 5 12 0,25 0,60 
4 159 162 4 16 0,20 0,80 
5 162 165 3 19 0,15 0,95 
6 165 168 1 20 0,05 1,00 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Histograma
Soluço es 
 
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6. 
Tabela de Classes de Frequência 
Classes Lim Inf Lim Sup f Fac Fr Frac 
1 70 72 3 3 0,15 0,15 
2 72 74 4 7 0,20 0,35 
3 74 76 5 12 0,25 0,60 
4 76 78 4 16 0,20 0,80 
5 78 80 3 19 0,15 0,95 
6 80 82 1 20 0,05 1,00 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Histograma
Soluço es 
 
Página 14 de 14 
7. 
Classe de Frequência f fr Percentual fac 
10 |-- 50 100 0,20 (8) 20 (10) 100 (1) 
50 |-- 100 170 (2) 0,34 (3) 34 270 
100 |-- 150 140 (5) 0,28 28 (6) 410 (12) 
150 |-- 200 90 (7) 0,18 (9) 18 (11) 500 (4) 
Nota: os dados originais do problema estão em azul negritado; 
Nota: os números em vermelho indicam a ordem na qual os valores em cada célula devem ser calculados. 
8. 
Classe de Frequência f fr Percentual fac 
1 150 0,1875 (6) 18,75 (8) 150 (10) 
2 220 (4) 0,2750 27,50 (2) 370 (11) 
3 270 (5) 0,3375 (1) 33,75 640 (12) 
4 160 0,2000 (7) 20,00 (9) 800 (3) 
Nota: os dados originais do problema estão em azul negritado; 
Nota: os números em vermelho indicam a ordem na qual os valores em cada célula devem ser calculados. 
 
9. 
a) O valor mínimo: 70 
b) O valor máximo: 100 
c) Em quantos jogos foram feitos menos de 85 pontos: 30: 
d) Em quantos jogos foram feitos 85 pontos ou mais: 30; 
e) Em quantos jogos foram feitos mais de 85 pontos 25; 
f) Qual a porcentagem de jogos em que foram feitos mais de 90 pontos: 19/60 = 0,3167 = 31,67%; 
g) Qual a porcentagem de jogos em que foram feitos entre 80 e 92 pontos: 23/60 = 0,3833 = 38,33%. 
10. 
a) O valor mínimo: 0,950; 
b) O valor máximo 1,050; 
c) Qual a porcentagem da amostra que apresenta comprimento superior a 1,012m: 43/100 = 43%; 
d) Qual a porcentagem da amostra que apresenta comprimento inferior a 0,983m: 34/100 = 34%;