p2 manha1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT
Departamento de Matemática e Estatística - DME
Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica - Período: 2005.1
2o Estágio - 15/09/2005 - Turno: Manhã
Aluno:___________________________________
Primeira Parte - Escolha e resolva 02 desta primeira parte
1. (2,0 pt) Identifique e esboce a cônica cuja equação é dada por
3x2 + 3y2 + 2xy + 6
√
2x+ 2
√
2y + 2 = 0.
2. (2,0 pt) Demonstre que a hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 é a cônica de foco
F (−c, 0), excentricidade e = c
a
e diretriz x = −a
c
, onde c =
√
a2 + b2.
3. (2,0 pt) Encontre a equação polar da reta tangente à curva r = 2 −
3 sen θ no ponto (2, pi). Faça um esboço da curva e da sua tangente no
ponto determinado.
Segunda Parte - Escolha e resolva 04 da segunda parte.
1. (1,5 pt) Considere x1O1y1 o sistema obtido de xOy por uma rotação
no sentido anti-horário, de um ângulo θ tal que tg 2θ = −√3, e x2O2y2
o sistema obtido de x1O1y1 por uma translação tal que a nova origem
(no sistema x1O1y1) é o ponto O2
(
3
2
, 1
)
. Determine as coordenadas do
ponto P nos sistemas xOy e x2O2y2, sabendo que no sistema x1O1y1
ele é dado por (2, 1).
2. (1,5 pt) Identifique e faça um esboço da cônica cuja equação polar é
dada por
r =
6
3− 3 sen θ .
3. (1,5 pt) Sejam a esfera x2+y2+z2 = 9 e os pontos P (1, 1, 1) e Q(2, 2, 3).
(a) Mostre que P está no interior da esfera e que Q é exterior a esfera.
(b) Determine a equação paramétrica da reta definida por P e Q.
4. (1,5 pt) De um vértice de um cubo traçam-se a diagonal do cubo e
uma diagonal de uma das faces adjecentes ao vértice. Calcule a área
do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.
1
5. (1,5 pt) Determine a equação cartesiana do plano definido pelas retas:
r :

x = 1 + 2t
y = −1− t
z = 3 + t
s :

x = 3− 2s
y = −2 + s
z = 4 + 5s
, t, s ∈ R.
6. (1,5) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores ~u = (3,−1, 4), ~v =
(2, 0, 1) e
~w = (−2, 1, 5). Calcule o volume e a altura relativa a base definida
pelos vetores ~u e ~v.
2