23. En R3 se consideran el punto P = (4, 4, 3), la recta ℓ1 de ecuaciones impĺıcitas { x+ y = 5 x− z = 2 } y la recta ℓ2 de ecuaciones continuas x...

a) Para encontrar uma equação implícita do plano π1 que contém o ponto P e a reta ℓ1, podemos utilizar o produto escalar. Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor da reta ℓ1. A partir das equações implícitas, podemos escrever o vetor diretor como v = (1, -1, 0). Agora, vamos encontrar um vetor normal ao plano π1. Podemos fazer isso encontrando o produto vetorial entre o vetor diretor da reta ℓ1 e um vetor diretor do plano π1. Um vetor diretor do plano π1 pode ser dado por u = (1, 0, 1). Calculando o produto vetorial entre v e u, obtemos um vetor normal ao plano π1, que é n = (1, 1, 1). Agora, podemos usar o ponto P = (4, 4, 3) e o vetor normal n para escrever a equação implícita do plano π1 como: n · (r - P) = 0 Substituindo os valores, temos: (1, 1, 1) · (r - (4, 4, 3)) = 0 Simplificando, temos: x + y + z - 11 = 0 Portanto, uma equação implícita do plano π1 que contém o ponto P e a reta ℓ1 é x + y + z - 11 = 0. b) Para encontrar as equações paramétricas da reta ℓ que passa pelo ponto P e intersecta as retas ℓ1 e ℓ2, podemos utilizar o método de interseção de retas. Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas ℓ1 e ℓ2. Resolvendo o sistema de equações, encontramos que o ponto de interseção é Q = (3, 2, 1). Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta ℓ como: x = 4 + t(3 - 4) y = 4 + t(2 - 4) z = 3 + t(1 - 3) Simplificando, temos: x = 4 - t y = 4 - 2t z = 3 - 2t Portanto, as equações paramétricas da reta ℓ que passa pelo ponto P e intersecta as retas ℓ1 e ℓ2 são x = 4 - t, y = 4 - 2t e z = 3 - 2t. c) Para encontrar os pontos P1 na reta ℓ1 e P2 na reta ℓ2 que estão alinhados com o ponto P, podemos substituir as coordenadas do ponto P nas equações das retas ℓ1 e ℓ2. Para a reta ℓ1, temos: x + y = 5 4 + 4 = 5 Portanto, o ponto P1 na reta ℓ1 que está alinhado com o ponto P é P1 = (4, 1, 0). Para a reta ℓ2, temos: x - 2 = y - 4 = z + 1 4 - 2 = 4 - 4 = 3 + 1 Portanto, o ponto P2 na reta ℓ2 que está alinhado com o ponto P é P2 = (2, 0, 2). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.