Exercício 3 - calculo numerico.pdf

Prévia do material em texto

Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
Ref.: 201803099033 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao 
invés da g(x) . 
 
 
 
 
Ref.: 201802216626 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
Gauss Jordan 
 Ponto fixo 
 
Bisseção 
 
Gauss Jacobi 
 Newton Raphson 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da derivada como 
tangente , é também conhecido como Método das Tangentes . 
 
 
 
 
Ref.: 201803052557 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz 
encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.0909 
 
1.0800 
 
1.0245 
 
1.0746 
 
1.9876 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x
4
-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x
3
 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.1
4
- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.1
3
 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,0909
4
 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 
3
 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
 
Ref.: 201802334446 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração. 
 
 
0,55 
 
1,56 
 
1,14 
 
1,00 
 
1,85 
 
 
Explicação: 
Função f(x) = x
3
 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14 
Confirmando a existência de raiz : f(1) = 1-2 = -1 .. f(3) = 27 - 6 = +21 , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo . 
x = [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ] , 
Cálculo de x0 : a=1 , b= 3, f(b) = f(3) = 21 , f(a)= f(1) = - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 = [1. 21 - 3(-1)] / [ 21 - (-1)] = 24 / 22 = 1,0909 
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,0909
3
 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835 ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3] 
Então na fórmula de x : a = x0 = 1,0909 , b = 3 , f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21 
substituindo na expressão de x , 
resulta x1 = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)] / [ 21 - (-0,8835)] = (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835 = 1.1679 
 
 
 
 
Ref.: 201802968405 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de: 
 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 
Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
 
 
 
Ref.: 201803100412 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico 
que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da derivada da função como a tangente , é também conhecido 
como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura. 
 
 
 
 
Ref.: 201802681067 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, 
f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 
Método do ponto fixo 
 
Método das secantes 
 
Método de Newton-Raphson 
 
Método de Pégasus 
 
Método da bisseção 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método 
das Tangentes . 
 
 
 
 
Ref.: 201802941071 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 
1,67 
 
1,17 
 
1,77 
 
1,87 
 
1,70 
 
 
Explicação: 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .) 
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 = - 6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 = - 2,546 
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771